数值分析3

要解决的两个问题： 1. 确定函数类：由某一组确定的基张成的函数空间。 例：H span{ x ,sin x }, ( x ) H , ( x ) ax b sin x 2. 逼近条件的度量标准： 要求整体均匀逼近（最佳逼近思想）。
Taylor 展开 f ( x ) Pn ( x ) O( hn 1 ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f '' ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )2 ... ( x x0 ) n O ( h n 1 ) 2! n!
证：充分性：0 ( x ),1 ( x ),..., n ( x )线性无关 G非奇异。
反证：设G奇异，则GC =0有非零解, 即： j ( x )， k ( x )）j =0,k =0,1,...,n有非零解。 （ c
j=0 n
( c jj ( x )， k ( x ))=0,k=0,1,...,n有非零解。
故s( x )的系数c0 , c1 , ..., cn是如下方程组的解 ( f ( x ) s( x ), k ( x )) 0, k 0,1, 2, ..., n
(1)
或
c (
j0 j
n
j
, k ) ( f , k ), ( k 0,1, ..., n)
(2)
二、构造s(x)的具体方法
设在H中，对f ( x ) X的最佳平方逼近函数为 s( x ) c j j ( x )
i 0 n
由( f ( x ) s ( x ), k ( x )) ( f ( x ) c j j ( x ), k ( x )) 0, (k 0,1, , n ) ( 0 , 0 )c0 ( 1 , 0 )c1 ( n , 0 )cn ( f , 0 ) ( , )c ( , )c ( , )c ( f , ) 0 1 0 1 1 1 n 1 n 1 得 ( 0 , n )c0 ( 1 , n )c1 ( n , n )cn ( f , n )
2 a 2 x dx b 2 x dx 2 x sin xdx 0 0 0 a 2 x dx b 2 dx 2 sin xdx 0 0 0
3 2 a b1 24 8 2 a b1 8 2 解得a 0.6644389, b 0.1147707
方程组（1）、（2）称为法方程。
充分性：设s( x ) c j j ( x )，其中c0 , c1 ,..., cn是( 2）的解，
j 0
n
即 (f ( x )-s( x ), k ( x )) 0,
k 0,1,..., n
要证对于任意 ( x ) H 有 f ( x ) s( x ) f ( x ) ( x )
是逼近f ( x )的函数类，求 s ( x ) c j j ( x ) H
j0 n
使得
( f ( x ), s( x )) min （即逼近误差最小）
称为被逼近函数 称为逼近函数 称为逼近条件
已知函数 y f ( x ) C [a , b] 构造函数 s( x ) H C [a , b] ( f ( x ), s( x )) min
按逼近误差的度量有两种逼近问题 （即两种最佳逼近） 1. 赋范线性空间中的最佳一致逼近 （契比雪夫意义下的逼近） ( f ( x ), s( x )) max | f ( x ) s( x ) ||| f ( x ) s( x ) ||
a xb
2. 内积空间的最佳平方逼近 ( f ( x ), s( x )) || f ( x ) s( x ) ||2

2 0
ax b sin x dx
2
确定a , b使I (a , b )达到最小，必须满足 I 0, a I 0 b
2 2 ax b sin x xdx 0 0 即 2 2 ax b sin x dx 0 0
由 0 ( x )，1 ( x )， ， n ( x )是线性无关的，容易 证明Gram矩阵是非奇异的。
定理 2 设j ( x ) (j=0,1,...,n)是内积空间H中的元素， 则其Gram矩阵G非奇异的充分必要条件是 0 ( x ), 1 ( x ),..., n ( x )线性无关。
s( x ) c jj ( x )
j=0
n
思考题：证明G是对称正定的。 即：对x ( x0 , x1 , ..., xn )T 0, 有x T Gx 0。
定理3
法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
( 0 , 0 ) (1 , 0 ) ( n , 0 ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 n 1 G 0 1 ( 0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
需要解决几个重要问题： 1. H中s( x )的存在唯一性; 2. 构造s( x )的具体方法; 3. 误差 || ||2 || f ( x ) s( x ) ||2 。
例：选取常数a , b使

2 0
ax b sin x dx达到最小
2
解：设I (a , b )
2 2
min
求多元函数g (c0 , c1 , ..., cn )的极小值。
由多元函数取极值的必要条件，g的极小点(c0 , c1 , ..., cn ) 应满足方程组
n g 2 ( x )[ f ( x ) c j j ( x )] k ( x )dx c k j0 a 2( f ( x ) s( x ), k ( x )) 0 k 0,1, 2, ..., n b
在内积空间C[a, b]中，设f ( x ) C[a, b], 但f ( x ) H ,
在H中寻找一个函数s( x ) c j j ( x ) H
n
使得
f ( x ) s( x ) 2 min f ( x ) ( x )
2
j 0
2 2
( x )H
若s( x )存在, 则称其为f ( x )在[a , b]上的最佳平方 逼近函数。
在内积空间C [a , b]中，取n 1个线性无关函数 0 ( x ), 1 ( x ), ..., n ( x )张成C [a , b]的子空间 H span{ 0 ( x ), 1 ( x ), ..., n ( x )} C [a , b]
连续函数最佳平方问题的一般提法
对于任意 ( x ) H， ( x ) j j ( x ),必有 ( f ( x ) s( x ), ( x )) 0
j 0
n
因为 f ( x ) ( x ) f ( x ) s( x ) s( x ) ( x )
2 2 2 2 2 2
j=0
n
由 ( c jj ( x )， k ( x ))=0, k=0,1,...,n 得 ( c jj ( x )， ck k ( x ))=0
j=0 k=0 j=0 n n
n
所以0 ( x ),1 ( x ),..., n ( x ),线性相关,矛盾。反之亦然。
解法方程 GC=F 求出 C 以后，就可得到最佳平 方逼近函数
Hale Waihona Puke 几何解释：f ( x)f ( x ) s( x )
H
s( x )
证：必要性：
记g(c0 , c1 ,..., cn ) f ( x ) s( x ) 2
2 b a
( x ) f ( x ) c j j ( x ) dx j 0
n
2
求解s( x ) H , 使 f ( x ) s( x )
第三章 函数逼近与曲线拟合
第一节 连续函数的最佳平方逼近
第二节 离散数据的最小二乘拟合
第三节 连续函数的最佳一致逼近
引
言
连续函数最佳逼近的一般提法
设f ( x ) X C [a , b], 0 ( x ), 1 ( x ), ..., n ( x )在[a , b] 上线性无关，H span{ 0 ( x ), 1 ( x ), ..., n ( x )}
因为 0 ( x ), 1 ( x ), ..., n ( x )在[a , b]上线性无关， 所以 G 0, 故法方程 GC F 的解存在且唯一。
三、逼近误差
记 f ( x ) s( x )

2 2
f s ( f s, f s ) ( f , f ) ( s, f )
n j0 n
2
( f , f ) ( c j j , f ) ( f , f ) c j ( j , f )
称 2 为最佳平方逼近误差，简称平方误差。
2
j0
最大误差为

max f ( x) s( x )
i 0 n
若记向量C (c0 , c1 , cn )T R n1 称 GC F 为法方程
用矩阵形式表示为GC F
( 0 , 0 ) (1 , 0 ) ( n , 0 ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 n 1 其中 G 0 1 R( n1)( n1) ( 0 , n ) (1 , n ) ( n , n ) F (( f , 0 ),( f , 1 ), ,( f , n ))T R n1 矩阵G称为关于 0 ( x )，1 ( x )， ， n ( x )的Gram （克莱姆）矩阵，也常记为G ( 0 , 1 , , n )