六年级数学竞赛上册奥数高思第9讲不定方程(彩色)
高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程
张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有《张丘建算经》．该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作．
《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题的求解．百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题．
「分析」不妨设已经截出了 根长36厘米的管子和 根长24厘米的管子．合金铝管如果刚好能够被用完，方程应该怎么列？列出来的方程有自然数解吗？
练习4、酒店里有500升女儿红，李一白每次路过这里就打走35升，杜二甫每次路过这里就打走21升．那么若干天后，酒店剩余的女儿红最少是多少升？
二元一次不定方程只要找到一组自然数解，就能利用方程系数有规律地写出所有自然数解．而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢？
形如 （a、b、c为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解这样的方程，最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们下面结合例题来进行讲解．
例1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请问：张明共买了多少支铅笔？
「分析」设张明买了甲级铅笔 支，乙级铅笔 支，可以列出不定方程： ，其中 和 都是自然数．怎么求解呢？
3.答案：17
简答：设留下来的数中有x个1.21和y个1.3，则．由于总和的百分位是8，说明8或18．仅当相应的y是整数，求得，所以应该划去个1.3．
4. 答案：（1）10；（2）7
简答：（1）设买了冬菜包x个，豆香包y个．由，得：，所以樱木同学一共买了个包子；（2）由，得：、、或 ，所以羊肉串最多有7串．
例题6.答案：12
详解：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有 包、 包、 包和 包，则 ．把系数都化成整数，得： ．由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数 分为一组，其余未知数分为另一组： ．也就是 ．令 ，则 ．它的自然数解只有 ，所以阿奇共买了12包奶糖．
小学六年级奥数教材(上册)
第一讲工程问题第一讲工程问题工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．这三个量之间有下述一些关系式：工作效率×工作时间＝工作总量，工作总量÷工作时间＝工作效率，工作总量÷工作效率＝工作时间．为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效．例1 一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位．这样，工效就用工例2 师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天批零件各需几天？工效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天．答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．例3 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？分析解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。
解：设甲做了x天．那么，两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36，x＝4．答：甲做了4天．例4 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？分析设一件工作为单位“1”．甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下：由图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量，∴甲1小时工作量＝乙3小时工作量．可用代换方法求解问题．解：若由乙单独做共需几小时：6×3＋12＝30（小时）．第一讲工程问题若由甲单独做需几小时：8＋6÷3＝10（小时）．甲先做3小时后乙接着做还需几小时：（10－3）× 3＝21（小时）．答：乙还需21小时完成．例5 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程之几（即一人的工效）．解：①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）：②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：＝36（人）．③需增加几人：第一讲工程问题36－18＝18（人）．答：还要增加18人．例6 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时．排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水…的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）分析与解答①在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，一个出水管的情况．若进水管、出水管同时开放，则积满水的时间＝1÷（进水管工效－出水管工效），排空水的时间＝1÷（出水管工效－进水管工效）．②这道应用题是分析推理与计算相结合的题目．根据已知条件推出水池好排完．一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？分析这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？第一讲工程问题如果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？分析求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效＝4∶3，所以甲与乙的工效比是3∶4．这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解决了．甲与乙的时间比是4∶3．工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比的反比，为3∶4．答：这批树一共252棵．例9 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成．现在由甲先做16天，第一讲工程问题个零件，求这批零件共多少个？分析欲求这批零件共多少个，由题中条件只需知道甲、乙二人每天共做多少个即可，然后这就转化为求甲、乙两人单独做各需多少天，有了这个结论后，只需算出3个零件相当于总数的几分之几即可．由条件知甲做16甲单独做所用天数可求出，那么乙单独做所用天数也就迎刃而解．解：甲、乙合作12天，完成了总工程的几分之几？甲1天能完成全工程的几分之几？乙1天可完成全工程的几分之几？这批零件共多少个？答：这批零件共360个．第一讲工程问题例10 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？分析要求共用多少小时？可以设想把这些小时重新分配：甲做1小时，乙做1小时，它们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．这样先大致算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．解：①若甲、乙两人合作共需多少小时？②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？④共用了多少小时？习题一习题一1．一项工程，甲单独做12天可以完成．如果甲单独做3天，余下工作由乙去做，乙再用6天可以做完．问若甲单独做6天，余下工作乙要做几天？2．一条水渠，甲乙两队合挖30天完工．现在合挖12天后，剩下的由乙队挖，又用24天挖完．这条水渠由乙单独挖，需要多少天？3．客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟相遇，相遇时客车比货车多行9.6千米．已知客车从甲站到乙站行4小时30分钟，求客车与货车的速度各是多少？4．水箱上装有甲、乙两个注水管．单开甲管20分钟可以注满全箱．现满水箱？5．一项工程，甲、乙单独做分别需要18天和27天．如果甲做若干天后，乙接着做，共用20天完成．求甲乙完成工作量之比．7．做一批儿童玩具．甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天可生产64 件．如果让甲、乙两组合作4天，则还有256件没完成．现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？习题一解答习题一解答②余下工作乙几天完成？答：余下工作乙要4天完成．答：乙队单独挖需40天完成．＝32（千米/小时）．答：客车与货车的速度分别为每小时32千米和28千米．答：单开乙管需30分钟注满水箱．5．解：设甲先做x天，乙做（20－x）天．20－x＝20－14＝6．答：甲乙完成工作量之比是7∶2．②甲乙工作时间比：3∶2，工效比为2∶3．答：单独做甲需18天，乙需12天．7．解法1：①要加工儿童玩具多少件？②丙组单独做需要几天？960÷64＝15（天）．③甲乙丙三组合作，共需几天？答：三组合作做这批儿童玩具要4天完成．解法2：甲、乙两组合作4天后，所剩没有完成的256件，由丙组完成，需：256÷64＝4（天）．答：甲、乙、丙三组合作这批儿童玩具要4天完成．第二讲比和比例第二讲比和比例在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断．成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？①速度一定，路程与时间．②路程一定，速度与时间．③路程一定，已走的路程与未走的路程．④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．⑤总产量一定，亩产量和播种面积．⑥整除情况下被除数一定，除数和商．⑦同时同地，竿高和影长．⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．⑩圆的半径和面积．(11)长方体体积一定，底面积和高．第二讲比和比例(12)正方形的边长和它的面积．(13)乘公共汽车的站数和票价．(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例．解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．例2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．解：上坡路的路程：走上坡路用的时间：第二讲比和比例上坡路所用时间与全程所用时间比：走完全程所用时间：例3 一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？分析要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量．应该注意到铜和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是（36－6）克．铜的重量始终没有变．解：铜和锌的比是2∶3时，合金重量：36－6＝30（克）．铜的重量：新合金中锌的重量：36－12＝24（克）．新合金内铜和锌的比：12∶24＝1∶2．第二讲比和比例答：新合金内铜和锌的比是1∶2．例4 师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？工作量与工作效率成正比例．解法1：设师傅加工x个，徒弟加工（168－x）个．5x＝168×9－9x，14x＝168×9，x＝108．168－x＝168－108＝60（个）．答：师傅加工108个，徒弟加工60个．第二讲比和比例＝60（个），（徒弟）．考方法可求出两人各用了多少分钟．然后用师、徒每分钟各自的效率，分别乘以540就是各自加工零件的个数．解法4：按比例分配做：第二讲比和比例例5 洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？分析这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工效看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100台/天．从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数．根据工效和工时成反比例的关系，得：提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．解法1：设完成计划还需x天．1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×580×1.25×x＝1600－400100x＝1200x＝12．答：完成计划还需12天．解法2：此题还可以转化成正比例．根据实际效率是原来效率的1＋25因为工效和工时成反比例，所以实际与原来所需时间的比是4∶5，如果设实际还需要x天，原来计划的天数是20－5＝15天，根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，可以用正比例解答．设完成计划还需x天．第二讲比和比例5x＝60，x＝12．解法3：（按工程问题解）设完成计划还需x天．例6 一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？画出图便于解题：解法1：BC的长：182÷13＝14（厘米），BD的长：14＋13＝27（厘米），从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是14∶5，AB与BD的比是5∶（14－5）＝5∶9，第二讲比和比例原长方形面积是42×15＝630（平方厘米）．答：原长方形面积是630平方厘米．解法2：设原长方形长为14x，宽为5x．由图分析得方程（14x－13）× 13－5x×13＝182，9x＝27，x＝3．则原长方形面积（14×3）×（5×3）＝630（平方厘米）．例4、例5、例6是综合性较强的题，介绍了几种不同解法．要求大家从不同角度、综合、灵活运用所学知识，多角度去思考解答应用题，从而提高自己思维判断能力．习题二习题二1．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长比宽多24米，这块地的面积是多少平方米？2．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长方形的周长是120米，求这块地的面积？3．水果店运来橘子、苹果共96筐，橘子和苹果筐数的比是5∶3，求橘子、苹果各是多少筐？4．化肥厂计划生产化肥1400吨，由于改进技术5天就完成了计划的25％，照这样计算，剩下的任务还需多少天完成？5．小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件，他们用去钱数的比是4∶3，已知一件上衣7元，求一条裤子多少元？页，这时已读的页数与剩下页数的比是3∶7，小刚再读多少页就能读完这本书？7．甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲乙两车速度比是2∶8．“长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里，第二次在同一河流中顺流航行12公里，逆流航行7公里，结果两次所用的时间相等．求顺水船速与逆水船速的比．习题二解答习题二解答2．120÷2＝60（米），36×24＝864（平方米）．3．5＋3＝8，4．设剩下的任务还需x天完成．25％x=75％×5，x=15．习题二解答5．设一件上衣与一条裤子的价钱之比是1∶x，则小强和小明用去钱数的比是：3（1＋2x）＝4（1＋x）,3＋6x＝4＋4x，2x＝1，7．设乙车行完全程用x小时．8．顺水船速∶逆水船速＝（21－12）∶（7－4）＝3∶1．第三讲分数、百分数应用题（一）第三讲分数、百分数应用题（一）分数、百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一．一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律．因此，在这类问题中，数量之间以及“量”、“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确解答带来一定困难．为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作．①具备整数应用题的解题能力．解答整数应用题的基础知识，如概念、性质、法则、公式等仍广泛用于分数、百分数应用题．②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用．③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件．它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理．④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路．例1 （1）本月用水量比上月节约7％，可以联想到哪些关系？①上月用水量与单位“1”的关系．②本月节约用水量与上月用水量的7％的关系．③本月用水量与上月用水量的（1－7％）的关系．（2）蓝墨水比红墨水多20％，可以联想到哪些关系？①红墨水与单位“1”的关系．②蓝墨水比红墨水多出的量与红墨水的20％的关系．③蓝墨水与红墨水的（1＋20％）的关系．（3）已看的页数比未看的页数多15％，可以联想哪些关系？第三讲分数、百分数应用题（一）①未看的页数与单位“1”的关系．②已看的与未看的页数的差与未看页数的15％的关系．③已看的页数与未看的页数的（1＋15％）的关系．是多少页？分析每天看15页，4天看了15×4＝60页．解题的关键是要找出解：①看了多少页？15×4＝60（页）．②看了全书的几分之几？③这本书有多少页？答：这本故事书是150页．事书分析要想求这本书共有多少页，需要找条件里的多21页，少6页，剩下172页所对应的百分率．也就是说，要从这三个量里找出一个能明确占全书的几分之几的量．画线段图：答：这本故事书共有264页．例4 惠华百货商场运到一批春秋西服，按原（出厂）价加上运费、营知售价是123元，求出厂价多少元？于123元，相当如上图可以得出解答：答：春秋西服每套出厂价是108元．其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？率”的关系已经直接对应，求每筐的千克数的条件完全具备．解：其余部分是总千克数的几分之几：克，收完与百分西红柿总数共装了多少筐：每筐是多少千克：共收西红柿多少千克：综合算式：答：共收西红柿384千克．解法2：（以下列式由学生自己理解）答：共收西红柿384千克．水泥没运走．这批水泥共是多少吨？分析上图中有3个相对各自讨论范围内的单位“1”（“全部”、“余下”、“又余第三讲分数、百分数应用题（一）下”）．依据逆向思路可以得出，最后剩下的15吨对应的是下”的吨数90吨（即“余下”含义中的1个单位是90吨）．这90吨恰是“全例7 某人在公共汽车上发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他秒？分析与解答这是一个追及问题，因此求追上所花时间必须求出相距距离及它们速度差．相距距离是因为车上之人与小偷反向走了10秒钟产生的．而速度差是易求的．所以追上所花时间是答：追上小偷要110秒．例8 A有若干本书，B借走一半加一本，剩下的书，C借走一半加两本，再剩下的书，D第三讲分数、百分数应用题（一）借走一半加3本，最后A还有2本书，问A原有多少本书．答：A原有50本书．解法2：用倒推法解．分析A剩下的2本应是C借走后剩下的一半差3本，所以C借走后还综合算式：答：A原有50本书．习题三习题三比苹果少1440千克，运来橘子多少千克？2．有两袋米，甲袋比乙袋少18千克．如果再从甲袋倒入乙袋6千克，3．一本书，已看了130页，剩下的准备8天看完．如果每天看的页数苹果？每天各吃了几个苹果？5．古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一．再过了五年，他幸福地得到了一个儿子．可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”．你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？6．一瓶酒精，当用去酒精的一半后，连瓶共重700克；如只用去酒精多少台？习题三解答习题三解答1．①苹果重量占总重量的几分之几？③总重量是多少千克？④运来橘子多少千克？2．①倒米后甲袋比乙袋少多少千克？18＋6×2＝30（千克）．②倒米后甲袋比乙袋少几分之几？③倒米后乙袋有米多少千克？习题三解答④原来乙袋有米多少千克？80－6＝74（千克）．⑤原来甲袋有米多少千克？74－18＝56（千克）．4．共买苹果：习题三解答＝605（台）．第四讲分数、百分数应用题（二）第四讲分数、百分数应用题（二）在解题过程中，除了要利用上一讲中所说的一些技巧和方法（如画线段示意图等）之外，还要注意在解题过程中量的转化．例如，在解题过程的不同阶段，有时需把不同的量看成单位1，即要把单位1进行“转化”；有时，在解题过程中需把相等的量看成完全一样，即其中之一可“转化”为另一．通过这样的转化，往往能使解题思路清晰，计算简便．几？而问题“女工人数比男工人数少几分之几”是把男工人数看作单位“1”．解答这题必须转化单位“1”．说明：“1”倍量的转换引起了“百分率”的转化，其规律是，甲数是第四讲分数、百分数应用题（二）修路程的比是4∶3，还剩50O米没修，这条路全长多少米？分析此题条件中既有百分率又有比，可以把比转化成百分率，按分数应用题解答．第二天与第一天所修路程的比是4∶3．即第二天修的占4份，第一天米相对应的百分率，进而求出全长有多少米．＝1200（米）．答：全长是1200米．求两个班各分到多少皮球？相等，单位“1”不一致，因此一班与二班分到的皮球之间缺乏统一的倍数关系，率”转化，才能做此题．二班的球数相当于一班的几分之几．总球数120就和两个班的百分率之和相对应，求出一班分到多少皮球．二班分到的球占一班的几分之几：二班分到多少皮球：120－72＝48（个）．答：一班分到72个皮球，二班分到48个皮球．倍题，就可求出二班分到多少球．一班分到的占二班几分之几：二班分到多少球：一班分到多少球：120－48＝72（个）．一班与二班分到皮球数的比：问两班第四讲分数、百分数应用题（二）各多少人？画出线段图：由量、百分率的对应就不难求出甲班人数了．乙班人数：84－40＝44（人）．答：甲班有40人，乙班有44人．例5 加工一批零件，甲乙二人合作需12天完成；现由甲先工作3天，这批零件共有多少个？分析解答此题要用条件转化法，即把“甲工作3天，乙工作2天”，转化为“二人合作第四讲分数、百分数应用题（二）2天，再由甲独干一天”，问题便可以得到解决．件所对应的百分率，求出这批零件有多少个．解：甲每天完成这批零件的几分之几：乙每天完成这批零件的几分之几：这批零件共有多少个：答：这批零件共有240个．第四讲分数、百分数应用题（二）分析题目中除全厂外，还有两个单位“1”：一个是一车间，另一个是二车间．可以通过转化的思路，统一到一车间．找到三车间的156人相当于一车间的几分之几，从而先求出一车间的人数，由于一车间人数占全厂的25％，从而直接求出全厂的人数，这样可无需求出二车间的具体人数．解：二车间人数是一车间的几分之几：三车间的人数是一车间的几分之几：一车间有多少人：答：这个服装厂全厂共有600人．全厂共有多少人：150÷25％＝600（人）．综合算式：习题四习题四2．修路队修一条1800米的路，前5天完成了全长的25％，照这样计算，把这条水渠还要多少天？3．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经4小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过3小时，甲车到达B地，乙车离A地还有70千米，求A、B两地相距多少千米？4．哥哥和弟弟共有人民币10．8元，哥哥用去自己钱数的75％，弟弟用去自己钱数的80％，两人所剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？5．一项工程，甲、乙两队合作可30天完成，甲队独做24天后，甲、乙两队又合作了12 天，然后甲调走，乙又做了15天才完成了全部的工程，甲队若单独做这项工程需几天完成？6．甲、乙两台抽水机共同工作10小时，可以把整池水抽完，如果甲台两台抽水机单独抽各需几小时？7．二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少少人？习题四解答习题四解答甲班：120－24＝96（棵）2．解法1：1800×（1－25％）÷（1800×25％÷5）＝15（天）．解法2：1800÷（1800×25％÷5）－5＝15（天）．解法3：1÷（25％÷5）－5＝15（天）．解法4：5×[（1－25％）÷25％]＝15（天）．4．解法2：1－75％＝25％，1－80％＝20％，（1÷25％）∶（1÷20％）＝4∶5，10.8÷（4＋5）×4＝4.8（元）．习题四解答二班人数：90－48＝42（人）．第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱．在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；长方体的体积：V长方体＝abc．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：S正方体=6a2，V正方体=a3．例1有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积．解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2a2平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：190＋2a2＝240，可知，a2＝25，故a＝5（厘米）．又因为2a2＋4ah＝190，。
高斯小学奥数六年级上册含答案第09讲 几何综合
例5．如图，在四边形ABCD中， ， ， ，且 ， ．请问：四边形ABCD的面积是多少？
「分析」本题的条件让人感觉很别扭，虽然 ，但它们并不是紧挨着的；虽然 ，但它们也不是紧挨着的．那究竟对这个图形做怎样的变换，才能让那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢？
例题3. 答案：8
详解：图1阴影部分的面积是整个长方形的一半，而图2阴影部分的面积也是整个长方形的一半．两个阴影部分有一块公共部分，那就是△APD．去掉这块公共部分之后，剩下的阴影部分仍然应该相等，因此就有 ．由题意， ， ，所以 ．
例题4. 答案：42厘米
详解：为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a厘米和b厘米．如右图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为 厘米．这样 ，而 ．六边形边长就等于 厘米．
第九讲 几何综合问题
例题：
例题1.答案：157平方厘米
详解：记大圆半径为R，小圆半径为r，那么圆环的面积为 ，我们只要能够求出 即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于 ，所以 ．由此可得圆环面积等于 ．
例题2. 答案：24厘米
详解：利用勾股定理可得 厘米，所以 厘米．长方形ABCD的面积等于 平方厘米，所以△BOC的面积等于 平方厘米．连接OP，观察△OPB与△OPC，它们分别以OB和OC为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR和PQ，因此面积和就等于 ，而这个面积和就是△BOC的面积，等于300，所以 ，由此可得 厘米．
练习3、如图，P为长方形ABCD外的一点．三角形PAB的面积为7，三角形PBC的面积为20，三角形PCD的面积为4．请问：三角形PAD的面积是多少？三角形PAC的面积又是多少？
六年级奥数不定方程
六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
六年级奥数专题培优讲义不定方程及解析全国通用
六年级奥数专题培优讲义——不定方程及解析知识点梳理：在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 典型例题的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
六年级高斯学校竞赛数学方程解应用题含答案
第3讲方程解应用题内容概述掌握一元一次方程的解法，多元一次方程组的解法，以及具有对称性的多元一次方程的特殊解法．能从已知条件中寻找出等量关系，列出方程或方程组并求解。
典型问题兴趣篇1. 解下列方程：;52221)1(+-=--x x x ;65)521(31)2(x x =-⨯⋅=+-312311)3(x x2．在一次选举中，有甲、乙、丙三位候选人，乙的选票比甲的2倍还多5张，丙的选票比甲的一半还少4张．如果甲、乙、丙三人的选票一共有36张，请问：甲得了多少张选票？．3．有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了26个．问：有多少名学生上体育课？4．唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发17张画片，小班每人发13张画片．已知大班人数是小班的⋅53，小班比大班总共多发126张画片，求小班的人数．5．明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的70%，六年级二班的男生比一班男生少2名，而女生人数为一班女生的2倍．如果两班合在一起，则男生所占的比例为60%．请问：二班有多少名女生？6．甲、乙两车同时从A 、B 两地出发，相向而行，在A 、B 之间不断往返行驶．甲车到达B 地后，在B 地停留了2个小时，然后返回A 地；乙车到达A 地后，马上返回B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B 地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：A 、B 两地相距多少千米？7．解下面的方程组：⎩⎨⎧=+=+;80717,2224)1(y x y x ⎩⎨⎧=-=+.24812,14474)2(x y y x8．冬冬与小悦一起在水果店买水果，冬冬买了3千克苹果和2千克梨，共花了18.8元．小悦买了2千克苹果和3千克梨，共花了18.2元，你能算出1千克苹果多少元，1千克梨多少元吗？9.2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的103，8个蟹将和10个虾兵就能把龙官全部打扫完．如果只让蟹将打扫龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？10.如图3-1，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的．正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1：2．她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完．那么在小玲所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？拓展篇1．解下列方程：;11276143)1(+=-+++x x x x ;3227]2)141(32[23)2(x x =-++⨯⨯ ;251453)3(=++x x .5)2()7)(1)(4(2++=++x x x2．一个分数，分子与分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约分后是51，那么原来的分数是多少？3. 130克含盐5%的盐水，与若干含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水．请问：最后配成的盐水有多少克？4．如图3-2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是以．图3-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a 的2倍，求这个自然数．5．给六年级五班的同学分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个．已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果，问：该班一共有多少名学生？6．解下面的方程组：⎩⎨⎧=-=+;17313,49911)1(y x y x ⎩⎨⎧=-=-;59813,12)2(y x x y ⎩⎨⎧=+=+.2842816,3072918)3(y x y x7．商店里有大盒、中盒、小盒共27盒筷子，其中大盒中装有18双筷子，中盒中装有12双筷子，小盒中装有8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍，问：三种包装的筷子各有多少盒？8．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先出发2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先出发2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问：甲、乙两人每小时各走多少千米？ 9．一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡．如果从右盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡．如果从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，那么需要再给右盘加50克砝码，两边才能平衡．问：白球、黑球每个各重多少克？10.奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种．小悦买了一个大号的、三个中号的和两个小号的，共花了360元；冬冬买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了270元；阿奇买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了300元．请问：商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少？11.如图3-4，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上去，使得木板向下滑动了 一段距离，现在已知图中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木板的长度吗？12.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29， 23，21和17.这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？超越篇1．丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：⎩⎨⎧=+=+.704 □ □,2536 □ □y x y x其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了．甲计算得出方程的解是x=7，y=3；而乙误把“2536”看作“1536”，得到的解是x=4，y=4．试问：方程组四个被遮住的系数中最小的一个是多少？2．幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人．老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣．问：三个班总共分了多少个枣？3．下表显示了一次钓鱼比赛的结果：nO1 2 3 … 13 14 15 钓了n 条鱼的人数 95723…521已知：①冠军钓到15条鱼；②钓到3条或3条以上的选手平均每人钓到了6条鱼；③钓到12条或者12条以下的选手平均每人钓到了5条鱼．请问：一共有多少名选手参赛？这些选手一共钓到了多少条鱼？4．A、B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地，请问：甲比乙每分钟多走多少米？5．甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运5次；如果一起运，各运6次就刚好运完．问：甲车单独运要几次运完？6．一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以2，末项乘以2，这些数的平均数就增加了7；如果把首项乘以2，末项除以2，平均数就少了2．已知这个等差数列中所有数的和等于245，求这个数列的末项．7．一个水池，顶部有一个进水管，底部有一个出水管．如果只打开进水管，50分钟可以把水池灌满；如果只打开出水管，60分钟可以把一池水放完，现在水池在中间的某个位置出现了一条与池底平行的裂缝，如果只打开进水管，需要80分钟才能放满一池水，而只打开出水管只需46.5分钟即可放完一池水，请问：裂缝出现在离池底几分之几高度的地方？8．“太平洋号”和“北冰洋号”两艘潜艇在海下沿直线同向潜航，“北冰洋号”在前，“太平洋号”在后．在某个时刻，“太平洋号”发出声波，间隔2秒后，再次发出声波，当声波传到“北冰洋号”时，“北冰洋号”会反射声波．已知“太平洋号”的速度是每小时54千米，第一次和第二次探测到“北冰洋号”反射的回波的间隔时间是2.01秒，声波传播的速度是每秒1185米．请问：“北冰洋号”的速度是每小时多少千米？⎪ 第3讲方程解应用题兴趣篇1、解下列方程：（1）x-x -1=2-x +2；2 51 2 5（2）⨯(1- x) =x ；3 5 6（3）x -11=1. x +23 3[分析]（1）10x -5(x -1)=20 -2(x+2)10x -5x +5 =20 -2x -47x =11 ；11x =7（2）2⎛1-2x ⎫=5x⎝ 5 ⎭2 -4x =5x 529x =2 ；510x =29（3）3(x-11)=x +233x -33 =x +232x =56x =282、在一次选举中，有甲、乙丙三位候选人，乙的选票比甲的2 倍还多5张，丙的选票比甲的一半还少4 张.如果甲、乙、丙三人的选票一共有36 张.请问：甲得了多少张选票？[分析]设甲有选票x票，那么乙有2x+ 5 票，丙有1 x - 4 票.依题意有2x + 2x +5+1x - 4 = 36 2解得，x=10答：甲得了5票.3、有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了26 个.问：有多少名学生上体育课？[分析]设一共有x名学生上课.那么有1 1 x +x +3 4 x = 26解得，x= 26答：一共有26 名学生上体育课.4、唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发17 张画片，小班每人发13 张画片.已知大班人数⎨ ⎨是小班的 3，小班比大班总共多发 126 张画片，求小班的人数.5[分析]设小班有 x 人，那么大班有 3x 人.依题意有517 ⨯ 3x +13 x =1265 解得， x = 45 答：小班有 45 人.5、明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的 70%，六年级二班的男生比一班男生少 2 名，而女生人数为一班女生的 2 倍.如果两班合在一起，则男生所占的比例为 60%.请 问：二班有多少名女生？ [分析]设一班男生有 7 x 人，那么一班女生有 3x 人，二班男生 7 x - 2 人，二班女生3 x ⨯ 2 = 6 x人.依题意有： 7 x + 7 x - 2 = 3x + 6x6 4 解得， x = 4 ,那么二班女生有 4 ⨯ 6 = 24 （人） 答：二班有 24 名女生.6、甲、乙两车同时从 A 、B 两地出发，相向而行，在 A 、B 之间不断往返行驶.甲车到达 B 地后，在 B 地停留了 2 个小时，然后返回 A 地；乙车到达 A 地后，马上返回 B 地；两车 在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离 B 地 288 千米.已知甲车的速度是每小时 60 千 米，乙车的速度是每小时 40 千米.请问： A 、 B 两地相距多少千米？ [分析]设 A 、 B 两地相距 x 千米.那么相遇时甲走了 x + 288 千米，乙走了2 x - 288 千米.根 据题意列方程 x + 288 + 2 = 2x - 28860 40 解得， x = 420 答： A 、 B 两地相距 420 千米7、解下面的方程组：（1） ⎧4x + 2y = 22, ⎩17x + 7y = 80; （2） ⎧ 4x + 7y = 144, ⎩12x - 8y = 24. [分析]（1）x=1，y =（2） x = 15 ， y = 128、冬冬与小悦一起在水果店买水果，冬冬买了 3 千克苹果和 2 千克梨，共花了 18.8 元， 小悦买了 2 千克苹果和 3 千克梨，共花了 18.2 元.你能算出 1 千克苹果多少元，1 千克 梨多少元吗？ [分析]设 1 千克苹果 x 元，1 千克梨 y 元，由题意 ⎧3 x + 2 y =18.8 ⎨ ⎩ 2 x + 3 y = 18.2 ⎧ x = 4 ⇒ ⎨ ⎩ y = 3.4 答：苹果 4 元，梨 3.4 元. 9、2 个蟹将和 4 个虾兵能打扫龙宫的 3 10，8 个蟹将和 10 个虾兵就能把龙宫全部打扫完.如 果只让蟹将打扫龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？ [分析]设只让蟹将打扫龙宫，需要 x 个；只让虾兵打扫龙宫，需要 y 个.⇒ 2⎧ 2 + 4= 3 ⎪ x y 10 ⎨⎧ x = 12⎨ ⎪ 8 + 10 = 1 ⎪⎩ x y⎩ y = 30 答：只让蟹将打扫龙宫，需要 12 个；只让虾兵打扫龙宫，需要 30 个.10、如图，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的.正方形纸板的 总数与长方形纸板的总数之比是 1：2.她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒， 正好将纸板用完.那么在小玲所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多 少？[分析]设做了竖式纸盒 x . 方形纸板 x + 2 y 个，长方形纸板 4 x + 3 y 个. x + 2 y =14 x + 3 y 2 解得， x : y = 1 : 2答：竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1: 2 .拓展篇1、解下列方程：（1） x + x + 3 + x - 1 = 7x+ 1 ；4 6 123 ⎡ 2 1 （2） ⨯ ⨯ ( x + 1) + ⎤ - 7 = 2 x ；2 ⎢⎣3 42 3 3x + 5 5 （3） = ；4x + 1 2（ x + （ x + 7 ） = ( x + 2)2 + 5.[分析](1 )12x + 3( x + 3) + 2( x - 1) = 7 x + 1212x + 3x + 9 + 2x - 2 = 7 x +12 10x = 5x = 12（2） 1 x +1 + 3 - 7 = 2x4 2 35 x = 1 12 26 x = 5 （3） 2 (3x + 5) = 5 (4 x + 1) 6 x + 10 = 20 x + 5 （4） x 2 + 8x +7 = x 2 + 4x + 4 + 54 x = 2x = 5 ； x = 114 22、一个分数，分子与分母的和是 122.如果分子、分母都减去 19，得到的分数约分后是 1，5那么原来的分数是多少？17 ⎨ 3x - 3y = 17; ⎨3x - 8y = 59; ⎨6x + 28 y = 284. 8[分析]设原分数是x 122 - x，那么 x -19 = 1 ，解得 x = 33 ，原来的分数是 33.122 - x - 19 5 893、130 克含盐 5%的盐水，与若干含盐 9%的盐水混合，配成含盐 6.4 %的盐水.请问：最后配 成的盐水有多少克？ [分析]设 9%的盐水有 x 克，依题意 5% ⨯ 130 + 9% x = 6.4% ⨯ (130 + x )解得， x = 70 ，因此最有有盐水 200 克. 答：最后配成的盐水有 200 克.4、如图 1 中的短除式所示，一个自然数被 8 除余 1，所得的商被 8 除也余 1，再把第二次 所得的商被 8 除后余 7，最后得到的商是a .如图 2 中的短除式表明：这个自然数被 17 除余 4，所得的商被 17 除余 15，最后得到的商是 a 的 2 倍.求这个自然数.8所求的自然数 … … 余1 8 第一次商… … 余1 17 所求的自然数 … … 余48第二次商 a图1… … 余7 17第二次商 … … 余152 a 图2[分析]原数可以表示成 (a 711)= a ⨯ 83 + 7 ⨯ 82 + 1 ⨯ 8 + 1 = 512a + 457 也可表示成 ((2a ) (15) 4) = 2a ⨯172 + 15 ⨯17 + 4 = 578a + 259 那么512a + 457 = 578a + 259 ，解得 a = 3 那么原数为 512 ⨯ 3 + 457 = 19935、给六年级五班的同学分苹果，第一组每人 3 个，第二组每人 4 个，第三组每人 5 个，第 四组每人 6 个.已知第二组和第三组共有 22 人，第一组人数是第二组的 2 倍，第三组和 第四组人数相等，总共分出去 230 个苹果.问：该班一共有多少名学生？ [分析]设第二组有 x 名学生，那么，第三组、第四组有 22 - x 名，第一组有 2 x 名. 依题意： 2 x ⨯ 3 + x ⨯ 4 + (22 - x ) ⨯ 5 + (22 - x )⨯ 6 = 230 ，解得 x = 12 那么一共有：12 ⨯ 2 +12 + 2 ⨯ (22 -12) = 56 （名）学生. 答：该班一共有 56 名学生.6、解下面的方程组： （1） ⎧11x + 9 y = 49,⎩1（2） ⎧2y - x = 1, ⎩1（3） ⎧18 x + 29 y = 307,⎩1 [分析]（1）x = 2 ，7、商店里有大盒、中盒、小盒共 27 盒筷子，其中大盒中装有 18 双筷子，中盒中装有 12 双筷子，小盒中装有 8 双筷子，一共装有 330 双筷子，其中小盒数是中盒数的 2 倍.问： 三种包装的筷子各有多少盒？ [分析]设有 x 个中盒，那么有 2 x 个小盒， 27 - 3x 个大盒. 18 ⨯ (27 - 3x ) + 12 x + 8 ⨯ 2 x = 330 ，解得， x = 6 那么，大盒数 9，中盒数 6，小盒数 12 答：共有大盒 9 个，中盒 6 个，小盒 12 个. 8、甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行.如果甲比乙先出发 2 小时，那么他们在乙出⇒发 2 .5 小时候相遇；如果乙比甲先出发 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时候后相遇.问： 甲、乙两人每小时各走多少千米？ [分析]设甲速每小时 x 千米，乙速每小时 y 千米.那么依据题意列方程组： ⎧ 4.5x + 2.5y = 36 ⎧x = 6⎨⎨ ⎩3 x + 5 y = 36 ⎩ y = 3.6答：甲每小时走 6 千米，乙每小时走 3 .6 千米.9、一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平 衡.如果从右盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给 左盘加 20 克砝码，这时两边也平衡.如果从右盘两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球 到右盘上，那么需要再给右盘加 50 克砝码，两边才能平衡.问：白球、黑球每个各重多 少克？[分析]设白球重 x g ，黑球重 y g ， 因为，原来天平是平衡的，在进行调整后天平重新达到平衡，但总重量增加了一个砝码 的重量.对于第一次调整，增加了 20g ，对于第二次调整，增加了 50g .那么实际上，第一次调整，天平两边各重了 10g ，第二次调整各重了 25g . 通过天平一侧的重量变化建立方程：所以，白球重 20g ，黑球重 15g . [分析]白球 20 克，黑球 15 克⎧2 y - x = 10 ⎨⎩2 x - y = 25 ⎧ x = 20 ⇒ ⎨ ⎩ y = 1510、奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种.小悦买了一个大号的、三个中 号的和两个小号的，共花了 360 元；冬冬买了两个大号的、一个中号的和一个小号的， 共花了 270 元；阿奇买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了 300 元.请问： 商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少？ [分析]设大、中、小 3 种型号的福娃单价分别是 x , y , z .那么有 ⎧ x + 3y + 2z = 360 ⎪ 2 x + y + z = 270 ⎧x = 80⇒ ⎪y = 60 ⎨ ⎨⎪ x + 2 y + 2z = 300 ⎪z = 50⎩ ⎩ 答：大号 80 元，中号 60 元，小号 50 元11、如图，墙边放着一块木块，一只猫淘气，爬了上去，使得木块向下滑动了一段距离， 现在已知图中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木板的长度吗？[分析]设下滑后，木块低端距离地面 x 厘米.那么根据勾股定理可以列式： 2002 + x 2 = 702 + ( x + 90 )2，解得 x = 1502002 +1502 = 2502 ，因此木块长 250 厘米.⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎪⎩答：木块的长度为 250 厘米12、甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 29,23,21 和 17. 这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少? [分析]设四个人的年龄分别为 a , b , c , d ，那么有⎧ a + b + c+ d = 29 ⎪ 3⎪⎪ a + b + d + c = 23 ⎪ 3 ⎨ ⎪ a + c + d + b = 21 四试相加，得 2 (a + b + c + d ) = 90 ⇒ a + b + c + d = 45 ⎪ 3 ⎪ ⎪ b + c + d + a = 17⎩ 3⎧ 2d = 29 - 15 = 14 ⎪ 3 ⎪ ⎪ 2 c = 23 - 15 = 8⎪ 3 ⎨⎧ a = 21 ⎪b = 12 ⇒把上式代入方程组，有 ⎪ 2 ⎪ 3 ⎪ b = 21- 15 = 6⎨ c = 9 ⎪⎩ d = 3，因此，最大与最小之差为 18 ⎪ 2a = 17 - 15 = 2 ⎩ 3另解：四个人的年龄分别为 a > b > c > d ，那么 b + c + d + a = 29, a + b + c+ d = 17 ，两式相3 3减得： b + c + d + a - a + b + c - d = 12 ⇒ 2 ( a - d ) = 12 ⇒ a - d = 183 3 3即最大年龄与最小年龄的差是 18 岁超越篇1、丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：⎧ x + y = 2536 ⎨ x + y =704其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了.甲计算[分析]把 x ，y 的值代入方程，以方框为未知数，重新建立方程，得： ⎧7 a + 3b = 2536 ⎪7 c + 3d = 704 ⎨ 4a + 4b = 1536 ⎧a = 346 ⎪b = 38⎨c = 44 ⎪ ⎪ 最小的是 38. 4c + 4d = 704 d = 132 2、幼儿园有三个班，甲班比乙班多 4 人，乙班比丙班多 4 人.老师给小孩分枣，甲班每个 小孩比乙班每个小孩少分 3 个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 5 个枣.结果甲班 比乙班总共多分 3 个枣，乙班比丙班总共多分 5 个枣.问：三个班总共分了多少个枣？ [分析]设丙班有 x 人，则乙班 x +4 人，甲班 x +8 人.丙班每个小孩共分了 y 个枣，则乙班分⎩了 y -5 个枣，甲班分了 y -8 个枣.则： ⎧ (x + 8)( y - 8) - (x + 4)( y - 5) = 3 ⎨⎩ (x + 4)( y - 5) - xy = 5 ⎧ 4 y - 3x = 47 ⇒ ⎨ ⎩4 y - 5x = 25⎧ x = 11⇒ ⎨ ⎩ y = 20 则三班总共分了 (x + 8)( y - 8) + (x + 4)( y - 5) + xy = 19 ⨯ 12 + 15 ⨯ 15 + 11⨯ 20 = 673 个枣 答：三个半总共分了 673 个枣3②钓到 3 条或 3 条以上的选手平均每人钓到了 6 条鱼； ③钓到 12 条或者 12 条以下的选手平均每人钓到了 5 条鱼. 请问：一共有多少名选手参赛？这些选手一共钓到了多少条鱼？ [分析]设共有 x 人参加比赛，则钓到 3 条及以上的人数为 x - 9 - 5 - 7 = x - 21 ，掉到 12 条及 以下的人数为 x - 5 - 2 - 1 = x - 8 . 依题意列方程： (x - 21) ⨯ 6 + 1 ⨯ 5 + 2⨯ 7 = (x - 8) ⨯ 5 + 13 ⨯ 5 + 14 ⨯ 2 + 15 ⨯ 1 解得 x = 175 . 则共钓鱼： (175 - 21) ⨯ 6 + 1 ⨯ 5 + 2 ⨯ 7 = 943 条. 答：一共有 175 名选手；一共钓上 943 条鱼.4、A 、B 两地相距 2400 米.甲、乙两人分别从 A 、B 两地同时出发，相向而行.两人在途中 某处相遇后，甲又继续行进 18 分钟到达 B 地，乙又继续行进 50 分钟到达 A 地.请问： 甲比乙每分钟多走多少米？ [分析]设甲速为 x ，乙速为 y .那么，甲走乙 50 分钟的路程和乙走甲 18 分钟的路程需要的时 间相同（都为两者相遇时对方走的路程）.那么可以建立方程：⎧18x + 50 y = 2400⎪⎨ 50 y = 18 x⎧ x = 50 ⇒ ⎨y = 30 ，甲比乙每分钟多走 20 米. ⎪ x y⎩ 答：甲比乙每分钟 多走 20 米.5、甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运 5 次；如果一起运，各运 6 次 就刚好运完.问：甲车单独运要几次运完？ [分析]设甲效 x ，乙效 y ，建立方程 ⎧ 1 - 1 = 5 ⎪ y x ⎧ x =⇒ ⎪ 110，甲单独运要 10 次. ⎨ ⎨⎪ x + y = 1= ⎪ y = 1 615 答：驾车单独运要 10 次运完.6、一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以 2，末项乘以 2，这些数的 平均数就增加了 7；如果把首项乘以 2，末项除以 2，平均数就少了 2.已知这个等差数 列中所有数的和等于 245，求这个数列的末项. [分析]题目出错7、一个水池，顶部有一个进水管，底部有一个出水管.如果只打开进水管，50 分钟可以把 水池灌满；如果只打开出水管，60 分钟可以把一池水放完.现在水池在中间的某个位置 出现了一条与池底平行的裂缝，如果只打开进水管，需要 80 分钟才能放满一池水，而 只打开出水管只需 46.5 分钟即可放完一池水.请问：裂缝出现在离池底几分之几高度的 地方？⇒[分析]设裂缝出现在离池底 x 处，裂缝漏水的效率为 1 .那么可以建立方程： y⎧ 1 ⨯ 80 - (80 - 50 x ) ⨯ 1 = 1 ⎧ 2 ⎪ 50 ⎨ y ⎪ x = ⎨ 5 .⎪ 1 ⨯ 46.5 + (46.5 - 60 x ) ⨯ 1 = 1 y = 10060 y答：裂缝出现在离池底 2 高的地方. 5 “太平洋号”和“北冰洋号”两艘潜艇在海下沿直线同向“北冰洋号”在前，“太 平洋号”在后.在某个时刻，“太平洋号”发出声波，间隔 2 秒后，再次发出声波.当声 波传到“北冰洋号“北冰洋号”会反射声波.已知“太平洋号”的速度是每小时54 千米，第一次和第二次探测到“北冰洋号C D B E M P Q N O [分析]用上图示意太平洋号、北冰洋号和声波运动的情况：A 、D 分别是第一次发出声波时 太平洋号和北冰洋号的位置，M 和 Q 分别是第二次发出声波时太平洋好和北冰洋号的位 置；C 和E 分别是太平洋好接收到北冰洋号第一次反射声波时太平洋好和北冰洋号的位 置，P 和 O 分别是太平洋好接收到北冰洋号第二次反射声波是太平洋好和北冰洋号的位 置；B 是北冰洋号收到第一次声波时的位置，N 是北冰洋号收到第二次声波时的位置. 太平洋好的速度是 54 千米/小时，相当于 15 米/秒.声波的速度是 1185 米/秒，设北冰洋 号的速度为 x 米/秒. 设 t 为太平洋好第一次发出声波的时刻， t + 2 为太平洋好第二次发出声波的时刻，设 0 0 t + t 0 为太平洋号收到第一次发出声波返回的时刻， t + t 0 + 2.01 是太平洋号收到第二次发出 声波返回的时刻. （1）如图，AC 是太平洋号第一次发出声波到接收反射回的声波潜航的距离， A C = 15t ， AB + BC 是 第 一 次 声 波 传 导 的 距 离 ， AB + BC = 1185t ， 他 们 的 和 等 于AC + AB + BC = 2 A B = 1200t ； （ 2 ） 类 似 的 ， MP = 15(t + 0.01), MN + NP 是 第 二 次 声 波 传 导 的 距 离 ， MN + NP = 1185 (t + 0.01) ，他们的和等于 M P + MN + NP = 2MN = 1200 (t + 0.01) ； （ 3 ） 由 （ 1 ），（ 2 ） 得 ： BC - NP = 6 - 1185 ⨯ 0.01 MN - AB = 6, M N - AB + NP - BC = 1185 ⨯ 0.01 ， 也 有 （4）由于 D B 是北冰洋号从太平洋好第一次发出声波到北冰洋号接收到声波时潜航的距离， DB = tv - BC 1185 v ；QN 是北冰洋号从太平洋好第二次发出声波到北冰洋号接收到声波时的潜 航距离， Q N = (t + 0.01)v - NP v ； 1185 （5）由（4）得到： Q N - DB = 0.01v + ( 6 -1185 ⨯ 0.01) ⨯ v . 1185 （6） AD 是太平洋好第一次发出声波时两艘潜艇之间的距离，是太平洋好第二次发出声波 时两艘潜艇之间的距离， M D - AD = 2 ( v - 15) .因为 A D = AB - DB , MQ = MN - QN ，所以， MQ - AD = ( MN - AB ) - ( Q N - DB ) = 6 - 0.01v - (6 -1185 ⨯ 0.01) ⨯ v = 6 - 6v1185 1185于是：6- 6v=2(v -15)1185解得v =17 2122因此北冰洋号潜航的速度是每小时17 21 = 64 7 千米.22 11答：北冰洋号潜航的速度是每小时64 7 千米.11。
六年级数学竞赛上册奥数高思第4讲方程解应用题(彩色)
上册第4讲方程解应用题本讲我们主要学习如何利用方程或方程组来解应用题．在以前的学习中，我们已经系统地学习了很多不同类型的应用题，像和差倍分问题、行程问题、工程问题等．这些问题的解决方法已经学过很多，为什么现在又要专门学习方程方法呢？和以前的方法相比，方程方法有什么优点呢？这些问题大家在学完本讲之后就会有答案了．24方程解应用题首先，我们来复习一下一元一次方程的解法．练一练解下列方程：（1）3171x +x −xx++=+；（2）461232172××x +1+2−=x23423；（3）3x 55+=4x +12；（4）()()()2x +1x +7=x +2+ 5．；（4）()()()2接下来我们学习如何列一元一次方程解应用题．一个分，分子与分母的和是122；如果分子、分母都减去19，得到的分数化简后是15，那么原分数是多少？分析设原来的分子x ，那原来的分母就是122−x ．再由另外一个已知条件，不难列出方程求解．1.一个分数，分子与分母的和是122．如果把分子、分母都加上19，得到的分数化简后是14．那么这个分数是多少？25上册第4讲如下图的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是a．同时这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a 的2倍．求这个自然数．8 ĂĂဥ1ဥဥԅ가ဥဥ8 ĂĂဥ1ԛԛұဥ8 ԛԛұဥĂĂဥ7a 17 ĂĂဥ4ဥဥԅ가ဥဥ17 ĂĂဥ15ԛԛұဥ2a分析这是一个带余除法的问题，蕴含着等量关系：被除数= 除数×商+ 余数．利用这一等量关系以及图中的两个短除式，不难用字母a 表示出原来的自然数（有两种不同表示方式）．2.如果一个自然数被3除余1，所得的商被3除也余1，第二次所得的商被3除后余2，最后得到的商是a．同时这个自然数被7除余6，所得的商被7除余3，最后得到的商是a 的一半．求这个自然数．给某班分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个．已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果．问：该班一共有多少人？分析刚开始看这道题目，会觉得条件非常多，有些乱．不过稍加分析就会发现，本题的数量关系并不复杂．题目中虽然有四个组，但这四组人数之间有很多联系．如果某一组的人数知道了，其他各组的人数也就知道了．根据这一点，我26方程解应用题们可以设出其中一组的人数，列方程求解．3.司机小王身上带有1元、2元、5元、10元四种面值的纸币共82元，其中1元与2元纸币共22张，5元和10元纸币共7张，所有2元纸币的总面值和所有5元纸币的总面值相等．问：小王身上有多少张10元纸币？有大、中、小三种包装盒的筷子，里面分别装有18双、12双和8双筷子．现在某商店里有27盒这样包装的筷子，一共装有筷子330双，其中小盒数是中盒数的2倍．问：三种包装的筷子各有多少盒？分析本题与例3类似，你能够方程解这道题吗？4.小王家今早由于懒得做饭，直接到包子店里花了18元4角买了31个包子．已知这个店里只有A、B、C 三种包子，三种包子单个价格分别为4角、6角、7角．据卖包子的小哥透露，小王买的4角的包子比6角的包子少一个．问：小王今早买了三种包子各多少个？看过前面这些一元一次方程解应用题的题目，大家是否有这样的体会：原本这些题目都属于不同的类型，算术方法迥异，难度差别也很大，但如果我们利用方程进行求解，那么解题方法就变得统一起来，而且难度也降低了不少．只要找到等量关系，列出方程，就可以得到答案——这就是方程的妙处，看上去只是一种简单的套路，却有着四两拨千斤的功效，轻描淡写就能化解难题．27上册第4讲一元一次方程我们已经会解了，那么二元一次方程组应该怎么解呢？方法很简单，只要设法把二元一次方程组变为一元一次方程，就可以求解了．下面我们学习二元一次方程组的解法．解二元一次方程的两种常用方法一、代入消元法，如示例1．该解法的步骤和要点可总结如下：1. 由方程组的任意一个方程出发，把一个未知数写成只含有另一个未知数的算式；2. 将这个算式代入另一个方程中去，使它转化为一元一次方程，达到消元的目的；3. 解一元一次方程，得到一个未知数；4. 将该未知数的数值代回第1步所得的算式，求出另一个未知数．2x +7y =39，示例1．解方程组：3x +5y =31．①②我们采用类似的方法．由①式可得x39−7y=③．将其代入②式消去x，可得297−y +=．5y 312解这个关于y 的一元一次方程可得y =5．再将y 的数值代入③式即可得到x =2．x =综上所述，该方程组解为=y 2，5．二、加减消元法，如示例2．该方法的步骤和要点可总结如下：1. 若有某个未知数，它前面的系数在两个方程中恰好相反或者相同，就可以通过把两个方程相加或者相减的方法消去该未知数；如果没有上述特点，可以通过等式两边同乘以一个数，将其凑成可以加减消元的形式；2. 解消元后得到的一元一次方程；3. 把得到的未知数带入原方程中，求出另一个未知数．，5x +6y =32①示例2．解方程组：15x 7y 46②−=．注意到15x 正好是5x 的3倍，因此可以将①乘以3，得15x +18y =96．③将②与③联立可得：28方程解应用题+=15x 18y 96，③−=15x 7y 46．②该方程组的两个算式都含有15x，因此我们可以把它们相减．由于96比46大，因此采用③−②：(15x +18y)−(15x −7y)=96−46．脱去括号正好可以消去x，可得15x +18y −15x +7y =50．这样就只剩下未知数y，得方程25y =50，所以y =2．将y 的数值代入方程，可进一步求得x =4．x =4，综上所述，该方程组的解为=y 2．练一练解下面的方程组：（1）2y −x =1，−=13x 8y 59；（2）+=11x 9y 49，−=13x 3y 17；（3）18+29=307x y ，+=16x 28y 284；（4）1.2+1.3=14x y ，−=2.2x 0.7y 1．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后3小时相遇．问：甲、乙两人每小时各走多少千米？分析本题包含两个相遇过程，由于甲、乙两人并非同时出发，所以不能直接用相遇问题的公式来算．那我们应该寻找怎样的等量关系来列方程呢？29上册第4讲大家不妨从最简单的关系出发去思考，比如想想甲、乙两人走的路程等于什么？相遇时两人的路程和又等于什么？5.甲、乙两人从相距48千米的两地相向而行．如果甲、乙同时出发，他们4小时之后相遇；如果乙比甲先走3小时，那么他们在甲出发后3小时相遇．问：甲、乙两人每小时各走多少千米？一元一次方程和二元一次方程组我们都见识过了，那有没有未知数个数更多的方程组呢？这些方程组是不是也可以拿来求解应用题呢？下面我们就来看一看．奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种．卡莉娅买了一个大号的个中号的和两个小号的，共花了360元；小高买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了270元；墨莫买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了300元．请问：商店里的大号、中号和小号福娃的价各是多少？分析假设商店里的大号、中号和小号福娃的单价分别是x 元、y 元和z 元，那么这三个未知数满足哪些等量关系？要求三个未知数，通常需要三个方程组成方程组，你能列出这个方程组来吗？所列出来的方程组又当如何求解呢？6.小朋友们，我身上本来有1元、2元和5元三种纸币共18张，刚好可买16瓶2.5元的可口可乐．但由于在上课的路上用掉了一半的5元纸币和一半的2元纸币，现在想买10瓶可口可乐就差一块钱了．大家知道我现在有多少张5元纸币吗？30方程解应用题思考题如图，直角墙边放着一块木板，一只淘气的猫，爬了上去，使得木板向下滑动了一段距离，90现在已知图中的三段长度（单位：厘米），请问这块木板的长度是多少厘米？13070一、学会找等量关系，能够熟练应用一元一次方程解应用题．二、学会用代入消元法和加减法解简单的二（多）元一次方程组．三、初步学习列多元一次方程组解应用题．1.解下列方程：（1）21214(1)1x x++x −x −−=+；453；511751（2）××x +−−=x122115524（3）4x +3=44x +13；31上册第4讲（4）()()()22x −32x −5=2x −1−28．2.解下列方程组：（1）6x +7y =23，+= 14x 17y 55；（2）3x +2y =19，−= 7x 18y 33；（3）16y −9x =6，−=．21x 12y 593.寒暑表中通常有两个刻度：摄氏度和华氏度，它们之间的换算关系是：摄氏度×+32=5华氏度．问：在摄氏多少度时，华氏度的值恰比摄氏度的值大80？4.小高去商店买了一些大瓶饮料和小瓶饮料，共花了75元．已知大瓶饮料每瓶5.5元，小瓶饮料每瓶1.8元．每只大瓶装饮料2.5升，每只小瓶装480毫升，所有大瓶比所有小瓶共多装饮料27.6升．问：小高买了大瓶和小瓶饮料各多少瓶？5.小琪到超市购物，他花了73元买了甲、乙、丙、丁4种商品．已知四种商品单价分别是2元、3元、5元、7元，其中乙和丙共7件，丁的数量是丙的3倍，甲和乙的总数量恰与丙和丁的总数量相同．问：小琪在超市一共买了多少件商品？32。
高斯小学奥数六年级上册含答案第09讲 几何综合
例3．如图，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为13．请问：三角形PBD的面积是多少？
「分析」直接用面积公式或者比例关系来求三角形PBD面积，显然不可行．那么还有什么方法可以用来求三角形PBD面积呢？
5. 答案：
简答：如图所示，利用图形的对称性，只要分析小圆经过区域的四分之一即可．图中阴影部分就是小圆经过区域面积的四分之一，只要求出图中阴影部分的面积，然后再乘以4即可得最后答案．
练习3、如图，P为长方形ABCD外的一点．三角形PAB的面积为7，三角形PBC的面积为20，三角形PCD的面积为4．请问：三角形PAD的面积是多少？三角形PAC的面积又是多少？
中国古代的几何学
形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．
第九讲 几何综合问题
例题：
例题1.答案：157平方厘米
详解：记大圆半径为R，小圆半径为r，那么圆环的面积为 ，我们只要能够求出 即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于 ，所以 ．由此可得圆环面积等于 ．
例题2. 答案：24厘米
详解：利用勾股定理可得 厘米，所以 厘米．长方形ABCD的面积等于 平方厘米，所以△BOC的面积等于 平方厘米．连接OP，观察△OPB与△OPC，它们分别以OB和OC为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR和PQ，因此面积和就等于 ，而这个面积和就是△BOC的面积，等于300，所以 ，由此可得 厘米．
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例题 1
钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请问： 张明共买了多少支铅笔？ 分 析 设 张 明 买 了 甲 级 铅 笔 x 支， 乙 级 铅 笔 y 支， 可 以 列 出 不 定 方 程： 7 x + 3 y = 50 ，其中 x 和 y 都是自然数．怎么求解呢？
练习
（1）求 3x + 5 y = 35 的所有自然数解； （2）求 11x + 12 y = 160 的所有自然数解． 1. x = m， x = m + b， 是 ax + by = c 的一组解，那么 （当 n ≥ a 时）也是 一般地，如果 y = n y = n − a
高
不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解
思
教
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育
六 年 级
上册第 9 讲
练一练
求下列方程的自然数解： （1） x + 2 y = 5 ； （2） 2 x + 3 y = 8 ；
（3） 3x + 2 y = 1 ；
（4） 4 x + 5 y = 20 ．
本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组） ： 它们所含未知数的个数往往大 于方程的个数，而未知数本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数——这类 方程就是“不定方程” ． 形如 ax + by = c （a、b、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解这 样的方程，最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们下 面结合例题来进行讲解．
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
就会有无穷多个解．
4 4 4 4 4 4 4 4
可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制 条件，这无穷多个解都是正确的．但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自 然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不 符合要求．
高
例题 2
思
采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有 23 个鸡蛋，每个小
教
育
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六 年 级
上解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自 然数”外，还会有一些其他的约束．下面我们就来看几道这样例题．
例题 3
甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树 12 棵，其余 每人植树 13 棵； 乙小队有一人植树 8 棵，其余每人植树 10 棵．已知两小队 植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问： 甲、乙两小队共有 多少人？ 分析 不妨设甲小队有 x 人，乙小队有 y 人．由“两小队植树棵数相等” ，你能 列出一个关于 x 与 y 的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？
盒里有 16 个鸡蛋．采购员要恰好买 500 个鸡蛋，他一共要买多少盒？ 分析 采购员要买多少个大盒，多少个小盒？大盒个数与小盒个数之间有什么 联系？
练习
2. 点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够 7 个人吃，一个小蛋糕恰好够 4 个人吃，现在有 100 个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个 大蛋糕 10 元，每个小蛋糕 7 元，那么至少要花多少钱？
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高
思
甲级铅笔 7 角一支，乙级铅笔 3 角一支，张明用 5 元
教
育
不定方程
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ax + by = c 的 一 组 解． 这 是 因 为 a (m + b ) + b (n − a ) = (am + ab ) + (bn − ab ) = am + bn = c ． x = m − b ， 另外， （当 m ≥ b 时）也是 ax + by = c 的一组解，理由相同． y = n + a 这条性质有什么用呢？我们以求 2 x + 3 y = 50 的自然数解为例，我们容易看出它有一组自 x = 10 ， ，所 然数解 应用上面的规律， x 每次增加 3， y 每次减少 2（只要 y 还是自然数） y = 10 ． x = 13， x = 16 ， x = 19， x = 22， x = 25 ， 都 得结果仍然是 2 x + 3 y = 50 的一组解，所以 y = 8 ， y = 6 ， y = 4， y = 2 ， y = 0 是 2 x + 3 y = 50 的自然数解．另外 x 每次减少 3（只要 x 还是自然数） ， y 每次增加 2，所 x = 7， x = 4 ， x = 1， 也都是 2 x + 3 y = 50 得结果也是 2 x + 3 y = 50 的自然数解，所以 y = 12， y = 14 ， y = 16 x = 1， x = 4 ， 的自然数解．这样就已经求出了 2 x + 3 y = 50 的所有自然数解，它们是： y = 16 ， y = 14 ， x = 7 ， x = 10 ， x = 13， x = 16 ， x = 19 ， x = 22， x = 25， y = 12 ， y = 10 ， y = 8 ， y = 6 ， y = 4 ， y = 2 ， y = 0 ． 这就告诉我们，在求形如 ax + by = c （a、b互质，c 为整数）的不定方程的整数解时， 我们可以先找出一组解，之后其余的所有解都可由这一组解的 x 值每次变化 b ， y 值每 次变化 a 得到（注意变化的方向相反，一个增加，另一个就得减少，才能保证 ax + by 的 大小不变） ．
不定方程
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不定方程
上．之前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程 3x + 4 = 19 只有一个解 x = 5 ，方程 x + 2 y = 5 ， x = 1， 只有一组解 组 2 x + 3 y = 8 y = 2． 什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程 x + 2 y = 5 的解就不唯 一，因为每当 y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来 就会有无穷多组解．通常情况下， 当未知数的个数大于方程个数时， 这个方程（或方程组）