六年级奥数第23讲 - 不定方程
小学奥数知识点：不定方程
小学奥数知识点：不定方程
一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;
常规方法：观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;
多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范围大的未知数;。
小学6年级奥数知识目录
目录第一讲估值巧算--省略尾数法第二讲估值巧算--放缩法第三讲估值巧算--前后夹击法第四讲分数、小数四则混合运算第五讲四则混合运算的速算与巧算第六讲已知一个数的百分之几求原数第七讲日常生活中的百分数应用题第八讲求一个数是另一个数的几分之几第九讲求一个数的几分之几是多少第十讲已知一个数的几分之几求原数第十一讲棋盘中的数学问题第十二讲棋盘中的两人对弈问题第十三讲棋盘中的覆盖问题第十四讲按比例分配的一般题型及应用第十五讲比和比例在行程问题中的应用第十六讲比和比例在工效问题中的应用第十七讲比和比例在浓度问题中的应用第十八讲离散最值——最多最少问题第十九讲离散最值——最大最小问题第二十讲溶液稀释问题第二十一讲溶液加浓问题第二十二讲两种溶液混合问题第二十三讲平面最短路线问题第二十四讲立体最短路线问题第二十五讲行程中的发车问题第二十六讲行程中的过桥问题第二十七讲流水行船问题第二十八讲整数的分组第二十九讲整数的拆分第三十讲分数的拆分第三十一讲利息问题第三十二讲利润问题第三十三讲圆锥的表面积和体积第三十四讲圆柱的表面积和体积第三十五讲圆柱、圆锥混合问题第三十六讲二元一次不定方程第三十七讲多元一次不定方程第三十八讲圆与扇形的一般求法第三十九讲圆与扇形的加辅助线法第四十讲圆与扇形的分割移补法第四十一讲运筹学初步中的排队问题第四十二讲运筹学初步中的调运问题第四十三讲运筹学初步中的场地设置问题第四十四讲解题方法--设数法第四十五讲解题方法-- 找定量法第四十六讲解题方法--分析综合法第四十七讲解题方法--筛选法第四十八讲解题方法--极端考虑法第四十九讲解题方法--类比转化法第五十讲解题方法--交集法。
小学奥数小学6年级奥数之不定方程
解：设0.9米长的x段，0.4米长的y段，由题意得
0.9x 0.4 y 5.8, 9x 4 y 58, y 14 2x 2 x ,
4
解得 x 2, x 6, y 10; y 1.
答：可分割成0.9米的2段，0.4米长的10段， 或0.9米长的6段，0.4米长的1段。
第23讲 趣谈不定方程
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0). (1) 5x+10y = 14; (2) 11x+3y = 89. 解：
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0). (1) 5x+10y = 14;
(2) 11x+3y = 89.
解：（1）因为(5,10) = 5, 5Ɨ14,所以原方程无整数 解。[注] 不定方程ax+by=c中，如果（a,b)Ɨc, 那么这个方程 无整数解。
因为7+8 14 解：设这个学生出生年份是19ab年,由题意得
1991-19ab=1+9+a+b, 11a 2b 81, b 40 5a 1-a
2 a 1, a 3, a 5, a 7
... b 35, b 24, b 13, b 2 所以, 这个学生出生年份是1972年 1994 1972 22. 答：这个学生1994年22岁。
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0).
(1) 5x+10y = 14;
(2) 11x+3y = 89.
解：（1）因为(5,10) = 5, 5Ɨ14,所以原方程无整数 解。[注] 不定方程ax+by=c中，如果（a,b)Ɨc, 那么这个方程 无整数解。
（2)(11,3）=1,1|89，原方程整理得
(小学奥数)列不定方程解应用题
列不定方程解應用題教學目標1、熟練掌握不定方程的解題技巧2、能夠根據題意找到等量關係設未知數解方程3、學會解不定方程的經典例題知識精講一、知識點說明歷史概述不定方程是數論中最古老的分支之一．古希臘的丟番圖早在西元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程．中國是研究不定方程最早的國家，西元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，西元5世紀的《張丘建算經》中的百雞問題標誌著中國對不定方程理論有了系統研究．宋代數學家秦九韶的大衍求一術將不定方程與同餘理論聯繫起來．考點說明在各類競賽考試中，不定方程經常以應用題的形式出現，除此以外，不定方程還經常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數論問題等壓軸大題之中．在以後初高中數學的進一步學習中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學生學會利用不定方程這個工具，並能夠在以後的學習中使用這個工具解題。
二、運用不定方程解應用題步驟1、根據題目敘述找到等量關係列出方程2、根據解不定方程方法解方程3、找到符合條件的解模組一、不定方程與數論【例 1】 把2001拆成兩個正整數的和，一個是11的倍數（要儘量小），一個是13的倍數（要儘量大），求這兩個數．【考點】列不定方程解應用題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這是一道整數分拆的常規題．可設拆成的兩個數分別為11x 和13y ，則有：11132001x y +=，要讓x 取最小值，y 取最大值． 可把式子變形為：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可見12213x +是整數，滿足這一條件的x 最小為7，且當7x =時，148y =．則拆成的兩個數分別是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】則拆成的兩個數分別是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬磚，甲搬的磚數是18的倍數，乙搬的磚數是23的倍數，兩人共搬了300塊磚．問：甲、乙二人誰搬的磚多？多幾塊？【考點】列不定方程解應用題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設甲搬的是18x 塊，乙搬的是23y 塊．那麼1823300x y +=．觀察發現18x 和300都是6的倍數，所以y 也是6的倍數．由於3002313y <÷≈，所以y 只能為6或12．6y =時18162x =，得到9x =；12y =時1824x =，此時x 不是整數，矛盾．所以甲搬了162塊，乙搬了138塊，甲比乙搬得多，多24塊．【答案】甲比乙搬得多，多24塊【巩固】 現有足夠多的5角和8角的郵票，用來付4.7元的郵資，問8角的郵票需要多少張？【考點】列不定方程解應用題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設5角和8角的郵票分別有x 張和y 張，那麼就有等量關係：5847x y +=．嘗試y 的取值，當y 取4時，x 能取得整數3，當y 再增大，取大於等於6的數時，x 沒有自然數解．所以8角的郵票需要4張．【答案】8角的郵票需要4張【例 2】 用十進位表示的某些自然數，恰等於它的各位數字之和的16倍，則滿足條件的所有自然數之和為___________________.【考點】列不定方程解應用題【難度】3星【題型】解答【關鍵字】北大附中，資優博雅杯【解析】若是四位數abcd，則()⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然數也161636<1000a b c d不可能。
(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)
不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个 方程。
当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种 情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。
特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。
奥数题不定方程
不定方程知识梳理:一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题：模块一、利用整除性质解不定方程【例1】求方程2x-3y=8的整数解练习：求方程2x+6y=9的整数解【例2】求方程4x+10y=34的正整数解练习：求方程3x+5y=12的整数解模块二、利用余数性质解不定方程【例3】求不定方程7x +11 y = 1288的正整数解有多少组?【例4】求方程3x+5y=31的整数解练习：解方程7x + 4y = 89 ,（其中x、y均为正整数）模块三、解不定方程组5% + 3y + 3 Z =100 （其中x 、y 、z 均为正整数）% + y + z = 100二元一次方程组的解法代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一 次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解 的方法.代人消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重 要思想，代人法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方 法. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y ，用另一个 未知数如％的代数式表示出来，即写成y = a% + b 的形式；②y = ax + b 代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于％的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出％的值；【例5】解方程 1800a +1200b + 800c =16000 （其中a 、b 、c 均为正整数） 练习：解不定方程/④回代求解：把求得的％的值代入y = ax + b 中求出y 的值，从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成r =a 的形式.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元 一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知 数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程; ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成［x = a 的形式.例6：解下列方程练习：解下列方程⑵[4 x - 5 y =1[4 x - y = 13一、填空题1.已知△和☆分别表示两个自然数,并且A入&r ,△+☆二.A+ ☆= 37 ----------2.箱子里有乒乓球若干个，其中25%是一级品|五分之几是二级品，其余91 个是三级品.那么，箱子里有乒乓球个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵，且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了组.4.不定方程2x + 3y + 7z = 23的自然数解是5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是.2 5 76.有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a上,b-,c 7.已知a,b,c3 6 8都小于 10, a, b, c依次为,,.7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶（若干碗）的1 1-和全部咖啡（若干碗）的1.那么，全家有口人.4 6 -------18.某单位职工到郊外植树，其中1的职工各带一个孩子参加，男职工每人种 313棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工人.9.将一个棱长为整数（单位:分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中，6个面都没涂红色的有12 块，仅有2面涂红色的有28块，仅有1面涂红色的有块.原来长方体的体积是立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了（例如，把12.34元看成34.12元），并按看错的数字支付.李林将其款花去 3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么，李林应退回的款额是元.二、解答题11. 一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初每辆汽车乘22 人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客？12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种, 每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果, 并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望？13.一次数学竞赛准备了 22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支，问：获一、二、三等奖的学生各几人？14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10 元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换,找回的100 元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个？。
6年级奥数-不定方程
不定方程讲义讲义编号 LTJYsxsrl005学员编号：LTJY001 年 级：六年级 课时数： 学员姓名: 辅导科目：数学 学科教师： 学科组长签名及日期教务长签名及日期课 题一次不定方程（组）的整数解问题授课时间：备课时间：教学目标 1.理解不定方程（组）的含义2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法 重点、难点 重点：不定方程定理的理解难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用 考点及考试要求 不定方程（组）是数论中的一个重要课题教学内容【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理 3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到⎩⎨⎧==1,1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解），根据定理2 ，)(1,31是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或 【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来. 【实践】求方程2654731=+y 的正整数解.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉 〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t ty t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和.【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 . 【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值. 【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 .【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== .2,1,07181071804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地 〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t ty t x y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解， 从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-= 又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解.【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a .∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ， 整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得 当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组； 当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…； 当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题. 【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求AB 两地的距离.学生签名： 签字日期：。
六年级不定方程
解:设需要大客车x辆，小客车y辆， 则 48x＋30y＝306 即 8x＋5y＝51， 可以变形为：y＝（51－8x）÷5， 由于y是自然数，所以51－8x应该是5的倍数， 我们不难找出：x＝2；y＝7。
5
例题精讲
例4、一个工人将99颗子弹装入两种盒子中，每个大盒子装12 颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，问这两种 盒子各有多少个？
7
练习题
2、大旅游车有50个座位，小旅游车有21个座 位，现有284位乘客去八达岭旅游，要使每位 旅游者都有座位且车上没有空座位，共需多少 辆旅游车？
分析：没有空座，即 坐满，列出符合题意 的不定方程求解即可。
解:设大旅游车x辆，小旅游车y辆， 则50x＋21y＝284，变形得：x＝（ 284－21y）÷50 即284－21y是50的倍数，y只能取4 ，此时x＝4，即共需8辆旅游车 。
所以，解答这类方程，一定要 找出题中明显或隐含的限制条 件。亦可以根据整除知识，缩 小未知数的取值范围，然后试 算求解。
2
例题精讲
例1、求不定方程7x＋11y＝276的自然数解。
题中不定方程的限制条件就是x、y都是自然数。将不定方程7x＋11y＝ 276变形为：x＝（276－11y）÷7，由于x、y都是自然数，说明276－ 11y应该是7的倍数，y可以从最小的自然数1开始试验。经过试验，y可 取6、13、20，相对应，x＝30、19、8。
分析：题中已经告诉我们恰好装完，则大盒子与小盒子总量就 是99颗，且注意限制条件，所需的盒子数必须大于10 。列出 符合题意的不定方程求出解。
解: 设大盒有x只，小盒有y只，列方程得：12x＋ 5y＝99，且x＋y＞10，x，y都是整数。 变形得：x＝（99－5y）÷12，99－5y是12的倍 数，可得：x＝2时，y＝15，符合条件； x＝7，y＝3时，x＋y＝10，不符合条件。 所以大盒子有2只，小盒子有15只。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【例1】求3x+4y=23的自然数解。
解：先将原方程变形， 。可列表试验求解：
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
5
×
×
×
2
×
×
所以方程3x+4y=23的自然数解为 或
【变式1-1】求3x+2y=25的自然数解。
【变式1-2】求4x+5y=37的自然数解。
【例2】求方程组的自然数解：
解：这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程：
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
【例5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？
解：设一等奖有x人，二等奖有y人，三ห้องสมุดไป่ตู้奖有z人。则
由 ×2－ ，得12x+5y=22，可得
苹果
9
8
7
6
5
4
3
2
1
橘子
2
4
6
8
10
12
14
16
18
梨
19
18
17
16
15
14
13
12
11
【变式4-1】有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？
【变式4-2】用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）
1、求5x－3y=16的自然数解。
2、求方程的自然数解：
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
4、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？
12x+5y=99（x＞0，y＞0，x+y＞9）
y=（99－12y）÷5
经检验，符合条件的解有： 或
答：大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
【变式3-1】某校六⑴班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）
【变式3-2】甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？
由 ×2+ ，得13x+13y=52，即x+y=4……
把 式变形，得y=4-x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3。
当x=1时，y=3
当x=2时，y=2
当x=3时，y=1
把上面的结果再分别代入 或 ，得x=1，y=3时，z无正整数解。
x=2，y=2时，z也无正整数解。
x=3时，y=1时，z=1。
5、一头猪卖 个银币，一头山羊卖 个银币，一头绵羊买 个银币。有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头？
【例4】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？
解：设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得：
4x+3y+2×（30－x－y）＝82
x＝10－
由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：
不定方程
【知识梳理】
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x-3y=9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x-3y=9的解有：
； ； ； ；……
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x=3，y=2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
【变式2-1】求方程组的自然数解： 。
【变式2-2】求方程组的自然数解：
【例3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
解：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则
x只能取1，y=2，代入 得z=5，原方程的解为
答：一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。
【变式5-1】某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发？
【变式5-2】篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？