【精品】2018年河南省高考数学一诊试卷及参考答案(文科)
2018年河南省新乡市高考数学一模试卷(文科)
n=23,m=77,sm100,
n=24,m=76,sm100,
n=25,m=75,s=100,
输出n=25,
故选：B.
9.（5分）若函数f（x）=-x2+ax+2lnx在（1,2）上有最大值，则a的取值范围 为（ ）
A
2
【解答】解：f'(x)=-2x+a+2=P‘+自x+2
16.（5分）在厶ABC中，si nA:si nB: si nC=2: 3:4,则厶ABC中最大边所对角
的余弦值为.
17.（5分）已知函数f（x）=1八’，则f（Iog26）+f（._-
212（”+1） “
三、解答题：共70分•解答应写出文字说明•证明过程或演算步骤•第仃〜21
题为必考题•每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题•考生根据要求
2018
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（5分）复数z=8+（-i）17可化简为（）
A.1-i B.0C. 1+i D.2
2.（5分）已知集合A={x|x2-x<0},B={x| a- 1<xva}，若AQB只有一个元
素，则a=（）
(2)若直线’|(t为参数)与曲线C有公共点，求m的取值范围.
o
X
［选修4-5:不等式选讲］(10分)
24.已知函数f(x)=|x-3|.
(1)求不等式f(x)+f(2x)vf(12)的解集；
(2)若X1=3x3-X2,|X3-2|>4,证明：f(X1)+f(X2)>12.
2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：{本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|2x﹣1＜1}，B={y|y=}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，1）C．[0，1]D．[O，1）2．（5分）复数（1+i）3（i是虚数单位）化简的结果是（）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i3．（5分）为了规定学校办学，省电教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查，抽查到班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（）A．13B．19C．20D．524．（5分）已知等比数列{an }，a2=，a5=，则数列{log2an}的前10项之和是（）A．45B．﹣35C．55D．﹣555．（5分）若x＞m是x2﹣3x+2＜0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1]D．[2，+∞）6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入a=，则输出的k值是（）A．9B．10C．11D．127．（5分）一个几何体的侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的正视图为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=e ln|x|﹣2sinx的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2] 10．（5分）已知x，y满足约束条件，目标函数z=2x﹣3y的最大值是2，则实数a=（）A．B．1C．D．411．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．12．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）=0若对任意x ∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，则使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2013．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为．14．（5分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AC两边分别交于M，N两点，且=x，=y，则x+2y的最小值为．15．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，若F关于直线+y=0的对称点A是双曲线C上的点，则双曲线C的离心率为．16．（5分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣（a∈R，且a＜1），g（x）=x2+e x﹣xe x，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列．（1）若向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求cosA的值；（2）若ac=8，求△ABC的面积S的最大值．18．（12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（1）求图2中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．19．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，，AB=2BC=2，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求四面体FBCD的体积；（Ⅲ）线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？证明你的结论．20．（12分）已知点M，N分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=e x﹣ax．（1）若函数f（x）在区间（﹣e，﹣1）上是减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数F（x）=f（x）﹣（e x﹣2ax+2lnx+a）在区间（0，）内无零点，求实数a的最大值．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l 交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：{本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）1．【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|x＜1}，B={y|y≥0}；∴A∩B=[0，1）．故选：D．【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，指数函数的单调性，交集的概念及运算．2．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1+i）3==1+=﹣8．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．【分析】根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个学生的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．【解答】解：用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大：7，？，33，46成等差数列，因此，另一学生编号为7+46﹣33=20．故选：C．【点评】系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．4．【分析】设等比数列{an }的公比为q，由a2=，a5=，可得a1q=，=，联立解得q，a1．可得an，log2an．即可得出数列{log2an}的前10项之和．【解答】解：设等比数列{an }的公比为q，∵a2=，a5=，∴a1q=，=，解得q==a1．∴an =．∴log2an=﹣n．数列{log2an}的前10项之和=﹣1﹣2﹣……﹣10=﹣=﹣55．故选：D．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2﹣3x+2＜0得1＜x＜2，若x＞m是x2﹣3x+2＜0的必要不充分条件，则m≤1，即实数m的取值范围是（﹣∞，1]，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式的关系是解决本题的关键．6．【分析】根据程序框图的流程，计算运行n次的结果，根据输入a=，判断n 满足的条件，从而求出输出的k值【解答】解：由程序框图知第一次运行s=0+，k=2；第二次运行s=0++，k=3；…∴第n次运行s=0+++…+=×[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=×（1﹣）=，当输入a=时，由n＞a得n＞9，程序运行了10次，输出的k值为11．故选：C．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，由程序框图判断程序运行的功能，用裂项相消法求和是解答本题的关键．7．【分析】首先画出几何体的复原图，进一步整理出几何体的正视图．【解答】解：根据三视图中的侧视图和俯视图，得知：该几何体为上边是一个直三棱锥，下边是一个正方体，所以：，如图所示：其中左边的方向应该朝里边．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用．8．【分析】由已知中函数f（x）=e ln|x|﹣2sinx，分类讨论函数的单调性及极值，利用排除法可得答案．【解答】解：当x＞0时，f（x）=e ln|x|﹣2sinx=x﹣2sinx，f′（x）=1﹣2cosx，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数为减函数，故排除AC；当x＜0时，f（x）=e ln|x|﹣2sinx=﹣x﹣2sinx，f′（x）=﹣1﹣2cosx，当x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，函数为减函数，当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＞0，函数为增函数，故当x=﹣时，函数取极大值此时f（x）=+故当x=﹣时，函数取极小值此时f（x）=﹣，故排除D，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，利用导数法研究函数的图象和性质，难度中档．9．【分析】由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得2+a≥a2，又a≥0，从而解得a的范围．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x++a≥2+a；（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）；故当x=1时取得最小值2+a，∵f（0）是函数f（x）的最小值，∴当x≤0时，f（x）=（x﹣a）2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f（0）=a2，故2+a≥a2，解得，﹣21≤a≤2．又a≥0，可得0≤a≤2．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，注意运用基本不等式和二次函数的单调性，属于中档题．10．【分析】先作出不等式组的可行域，利用目标函数z=2x﹣3y的最大值为2，求出交点坐标，代入ax+y﹣4=0求解即可．【解答】解：先作出约束条件的可行域如图，∵目标函数z=2x﹣3y的最大值是2，由图象知z=2x﹣3y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2．由，解得A（4，2），同时A（4，2）也在直线ax+y﹣4=0上，∴4a=2，则a=，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键．11．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．12．【分析】构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．对任意x∈R，都有f （x）＞f'（x）+1，可得g′（x）=＜0，函数g（x）在R单调递减，利用其单调性即可得出．【解答】解：构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，∴g′（x）==＜0，∴函数g（x）在R单调递减，由f（x）+e x＜1化为：g（x）=＜﹣1=g（0），∴x＞0．∴使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（0，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2013．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数a，b满足+=，∴a，b＞0，且≥，解得ab≥2，当且仅当b=2a=时取等号．则ab的最小值2．故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】由M，N，G三点共线和△ABC的重心性质，求得x与y的关系式，再利用换元法建立x+2y的解析式，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：由M，N，G三点共线，∴=λ，∴﹣=λ（﹣）；又点G是△ABC的重心，∴=（+），∴（+）﹣x=λ（y﹣（+）），∴，解得（3x﹣1）（3y﹣1）=1；结合图形知≤x≤1，≤y≤1；令3x﹣1=m，3y﹣1=n，（≤m≤2，≤n≤2）；故mn=1，x=，y=；故x+2y=+2×=++1≥•2+1=+1，（当且仅当=，即m=，n=时，等号成立），∴x+2y的最小值为+1．故答案为：+1．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，也考查了基本不等式在求最值中的应用问题．15．【分析】求出A点坐标，代入双曲线方程化简得出a，b，c的关系，得出离心率．【解答】解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点为A（x0，y），则，且=，解得x0=，y=．代入双曲线C的方程可得：，即，令a=1，解得c2=4±2，∴c=或c=（舍）．∴e=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的性质，点关于直线的对称问题，属于中档题．16．【分析】存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即 f（x）min ＜g（x）min，由f（x）在[e，e2]上递增，可得f（x）min，利用导数可判断g（x）在[﹣2，0]上的单调性，可得g（x）min ，由 f（x）min＜g（x）min，可求得a的范围；【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=（a∈R），当a＜1时，x∈[e，e2]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（e）=e﹣（a+1）﹣；若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即 f（x）min ＜g（x）min，g′（x）=x+e x﹣xe x﹣e x=x（1﹣e x），当x∈[﹣2，0]时g′（x）≤0，g（x）为减函数，g（x）min=g（0）=1，∴e﹣（a+1）﹣＜1，a＞，∴a∈（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、求闭区间上函数的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题往往转化为函数的最值加以解决．三、解答题：共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】（1）首先利用等差数列求出边长的关系式，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果．（2）利用余弦定理的基本不等式求出sinB的范围，进一步利用三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列，则：2b=a+c．向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，则：3sinC=2sinB，利用正弦定理得：3c=2b．故：a=2c，b=，所以：cosA==﹣．（2）由于：2b=a+c，则：cosB===．由于：0＜B＜π，则：，所以：，故：三角形面积的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，余弦定理和正弦定理的应用及三角形的面积公式的应用．18．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D 1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，故甲乙两校的合格率相同．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D 1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论可得AC⊥CF，又CF⊥CD，利用线面垂直的判定定理即可得出FC⊥平面ABCD．利用等腰梯形的性质即可得出△BCD的面积，利用三棱锥的体积公式即可得出；（Ⅲ）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM．利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵，AB=2，BC=1，∴AC2+BC2=AB2．∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．在Rt△ACB中，，∴∠CAB=30°，∴在等腰梯形ABCD中可得∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°，∴CB=DC=1，∴FC=1．∴△BCD的面积S==．∴四面体FBCD的体积为：．（Ⅲ）解：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，证明如下：连接CE与DF交于点N，连接MN．由 CDEF为正方形，得N为CE中点．∴EA∥MN．∵MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，∴EA∥平面FDM．所以线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM成立．【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、等腰梯形的性质、三棱锥的体积公式、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键．20．【分析】（1）利用|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．得到（a+c）（a﹣c）=3，结合椭圆的离心率求解即可．（2）直线l的斜率存在且不为0．设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用判别式以及韦达定理，通过OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，推出m2（4k2﹣3）=0，求出，0＜m2＜6，且m2≠3，然后求解三角形的面积的表达式，求解范围即可．【解答】解：（1）解：|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．∴（a+c）（a﹣c）=3，∴b2=a2﹣c2=3．又，解得a=2，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．故可设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题意可知，△=64km﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0，即4k2+3＞m2，且，又直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，所以，将y1，y2代入并整理得m2（4k2﹣3）=0，因为m≠0，，0＜m2＜6，且m2≠3，设d为点O到直线l的距离，则有，，所以，所以三角形面积的取值范围为．【点评】本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．21．【分析】（1）求出原函数的导函数，分离参数a，由题意可得a＞e x在（﹣e，﹣1）上恒成立，求出e x在（﹣e，﹣1）上的范围得答案；（2）求出函数F（x），求其导函数F′（x）=a﹣=，可知当a≤0时函数F （x）在区间（0，）上单调递减，可得F（x）＞F（）＞0，函数F（x）在区间（0，）上无零点；当a＞0时，分0＜a≤4和a＞4分类分析，求得函数F（x）在区间（0，）内无零点的a的范围，则答案可求．【解答】解：（1）∵f（x）=e x﹣ax，∴f′（x）=e x﹣a，∵函数f（x）在区间（﹣e，﹣1）上是减函数，∴f′（x）=e x﹣a＜0在（﹣e，﹣1）上恒成立，∴a＞e x在（﹣e，﹣1）上恒成立，∵y=e x在（﹣e，﹣1）上为增函数，∴a＞e﹣1=；（2）函数F（x）=f（x）﹣（e x﹣2ax+2lnx+a）=ax﹣2lnx﹣a，x∈（0，），∴F′（x）=a﹣=，①当a≤0时，F′（x）＜0在（0，）上恒成立，函数F（x）在区间（0，）上单调递减，则F（x）＞F（）=﹣2ln ﹣a=ln4﹣＞0，∴a≤0时，函数F（x）在区间（0，）上无零点；②当a＞0时，令F'（x）=0得，x=，令F'（x）＞0，得x＞，令F'（x）＜0，得0＜x＜，因此，函数F （x）的单调递增区间是（，+∞），单调递减区间是（0，）．（ⅰ）当≥，即0＜a≤4时，函数F（x）的单调递减区间是（0，），∴F（x）＞F（）=a﹣2ln﹣a=ln4﹣，要使函数F（x）在区间（0，）内无零点，则ln4﹣≥0，得a≤4ln2；（ii）当＜，即a＞4时，函数F （x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，），∴F（x）=F（）=2﹣2ln﹣a=2﹣ln4+2lna﹣a，min设g（a）=2﹣ln4+2lna﹣a∴g′（a）=﹣1=＜0，∴g（a）在（4，+∞）上单调递减，∴g（a）＜g（4）=2﹣ln4+2ln4﹣4=ln4﹣2=2（ln2﹣lne）＜0，而当x→0时，f（x）→+∞，∴函数F（x）在区间（0，）内有零点，不合题意．综上，要使函数F（x）=f（x）﹣（e x﹣2ax+2lnx+a）在区间（0，）内无零点，则a的最大值为4ln2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是压轴题[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．【分析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4m﹣m22 ，求得m的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或 x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x）+2m2＜4m，即f（x）＜4m﹣2m2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4m﹣2m2 ，求得﹣＜m＜．【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的能成立问题，属于中档题．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
2018年河南省六市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．124．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．185．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．2008．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．49．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．411．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x212．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]【解答】解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{1，2，3}．故选：A．2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，若为纯虚数，则，解得a＝，则z＝（2a+1）+i＝z＝2+i，则复数z＝（2a+1）+i的模为，故选：C．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．12【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×4+2＝10．即目标函数z＝2x+y的最大值为10．故选：C．4．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．18【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5＝a1+a1+2d+a1+4d＝105，即a1+2d＝35，①a2+a4+a6＝a1+d+a1+3d+a1+5d＝99，即a1+3d＝33，②由①②联立得a1＝39，d＝﹣2，∴S n＝39n+×（﹣2）＝﹣n2+40n＝﹣（n﹣20）2+400，故当n＝20时，S n达到最大值400．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：若f（x）与g（x）的对称中心相同，则函数的周期相同即，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+）由2x+＝kπ，即x＝﹣，即f（x）的对称中心为（﹣，0）即g（x）的对称中心为（﹣，0），则g（﹣）＝cos（2×（﹣）+φ）＝cos（kπ﹣+φ）＝±cos（φ﹣）＝0，即φ﹣＝kπ+，则φ＝kπ+，k∈Z当k＝﹣1，φ＝﹣π+＝﹣，故选：D．6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β【解答】解：对于A，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；对于B，设α∩β＝m，a，b均与m平行，则a∥b，故B错误；对于C，若b⊂α，显然结论不成立，故C错误；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．200【解答】解：由频率分布直方图得支出金额在[30，50]的学生所在频率为：1﹣（0.01+0.025）×10＝0.65，∵支出金额在[30，50]的学生有17人，∴n＝＝180．故选：A．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．4【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD＝DC＝BD ＝2，∠ADC＝120°，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB＝BC＝2，AC＝2，底面△BCD的面积为：×2×2＝2，侧面△ABD的面积为：×2×2＝2，侧面△ADC的面积为：×2×2×＝，侧面△ACB是腰长为2，底长2的等腰三角形，故底边上的高为＝，其面积为：×2 ×＝，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．9．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．【解答】解：可令|x|＝t（1≤t≤4），g（t）＝﹣，由y＝，y＝﹣在[1，4]上递增，可得g（t）在[1，4]递增，g（t）的最小值为1﹣1＝0；最大值为2﹣＝，又f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，则f（x）的最小值为m＝0，最大值为M＝，则M﹣m＝，故选：A．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，又由{a n}为正面递增等比数列，则q＞1，数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0，则有1＝（a4﹣a2）+λq（a4﹣a2）＝（1+λq）（a4﹣a2），∴1+λq＝，a6+λa7＝a6（1+λq）＝＝，令g（q）＝，（q＞1），∴g′（q）＝．分析可得：1＜q＜，g′（q）＜0，g（q）在（0，）为减函数，当q＞，g′（q）＞0，g（q）在（，+∞）为增函数，则当q＝时，g（q）取得最小值，此时g（q）＝g（）＝4，∴a6+λa7的最小值为4．故选：D．11．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x2【解答】解：由题意及框图，在①应填y＝﹣x；在②应填y＝x2；在③应填y ＝0故选：B．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2e）＝﹣f（x），∴f（x+2e）＝f（﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝e对称，∵f（x）在区间[e，2e]上为减函数，∴f（x）在区间[0，e]上为增函数，∵a＝，b＝，c＝，通过单调性判断，易知0＜c＜a＜b＜e∴f（c）＜f（a）＜f（b），故选：A．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．【解答】解：，，＝（k+1，k+2），，则：k+1+k+2＝0，解得k＝﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝4．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝1﹣，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣a，由切线方程为y＝﹣2x+5，可得1﹣a＝﹣2，解得a＝3，由切点（1，3），可得3＝1+3+b，解得b＝﹣1，则a﹣b＝4，故答案为：4．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．【解答】解：抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，代入双曲线的方程可得y2＝4（1+）＝4+，可设M（﹣，），∠MFN＝120°，可得tan＝tan60°＝＝，解得a＝，故答案为：．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．【解答】解：∵{a n}和{}都是等差数列，且公差d相等，则＝+（n﹣1）d，S n＝na1+d，令n＝2，3，可得：＝+d，＝+2d，化为：2d2＝d，解得d＝，或d＝0．d＝0时，a1＝0，与a1＞0矛盾，舍去．把d＝代入：＝+d，化为：﹣+＝0，解得a 1＝，则a2＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．【解答】解：（1）由题意得，4sin A cos B﹣sin B cos C＝sin C cos B；∴4sin A cos B＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A；∵sin A≠0；∴；（2）由得ac cos B＝3，ac＝12；由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得a2+c2＝24，所以可得．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．【解答】解：（Ⅰ）由平均数相同，列方程得93+90+x+81+73+77+61＝90+94+84+72+76+63，解得x＝4；（Ⅱ）由题意知一班赋3，2，1分的学生各有2名，设赋3分的学生为A1，A2，赋2分的学生为B1，B2，赋1分的学生为C1，C2，…（6分）则从6人抽取两人的基本事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2共15种，其中赋分和为4分的有5种，∴这两名学生赋分的和为4的概率为P＝＝．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BE＝G，则平面SAC∩平面EFB＝FG，∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，∴△GEA～△GBC，∴，∴，解得．（Ⅱ）∵，∴SE⊥AD，SE＝2，又∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴，∴SE2+BE2＝SB2，∴SE⊥BE，∴SE⊥平面ABCD，所以．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，由直线MF1的斜率1，得，因为a2＝b2+c2，所以b＝1，c＝1，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可得直线MF1方程为y＝x+1，联立得，解得N（﹣，﹣），所以，因为，即，所以|QF1|＝2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，且|y2|＝|2y1|，则有y2＝﹣2y1，联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，所以，消去y2得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【解答】解：（I）当a＝4时，f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）＝0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）＝lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）＝ln1+2﹣4＝2﹣4＝﹣2，即函数的切线斜率k＝f′（1）＝﹣2，则曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线方程为y＝﹣2（x﹣1）＝﹣2x+2；（II）∵f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）＝1++lnx﹣a，∴f″（x）＝，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）＝2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）＝0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）＝0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，即为a＜，由y＝的导数为y′＝，由y＝x﹣﹣2lnx的导数为y′＝1+﹣＝＞0，函数y在x＞1递增，可得＞0，则函数y＝在x＞1递增，则＝＝2，可得＞2恒成立，即有a≤2．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为y＝x﹣1，∵圆C的极坐标方程为：，∴ρ2＝4ρsinθ+4ρcosθ∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得，设两个实根为t1，t2，则，即t 1，t2异号所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x|+|2x﹣1|≥|2x﹣（2x﹣1）|＝1，故m≥1；…（5分）（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，∴a+2b＞0，2a+b＞0故＝＝a2+b2+2ab＝（a+b）2，即由（Ⅰ）知a+b＝m≥1，∴．…（10分）。
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx 4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是．14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y ﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，故函数f（x）不是偶函数，不合题意；对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；故选：A．4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，∴sinα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，∴a3+a5=q2+q4=6，得q4+q2﹣6=0，即（q2﹣2）（q2+3）=0，则q2=2，则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，故选：A．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次运行n=1，s=0，满足条件s＜0.8，s==0.5，n=2，第二次运行n=2，s=0.5，满足条件s＜0.8，s=+=0.75，n=3，第三次运行n=3，s=0.75，满足条件s＜0.8，s=0.75+=0.75+0.125=0.875，n=4，此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出，n=4，故选：B．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a，=•a2•sin=a2；其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域，如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，=•π•=，∴S阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+7=2a5，∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，故选：D．11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根，即函数y=a，g（x）=的图象有3个不同的交点．g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）x∈（﹣∞，﹣3），（2，+∞）时，g（x）递增，x∈（﹣3，2）递减，函数g（x）图如下，结合图象，只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可，即﹣＜＜，故选：B．12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，∴2=+，=，∴+=，∵，∴•=0，∴⊥，∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，∴m=a=2（﹣1）a，∵|F1F2|=2c，∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），∴=9﹣6=（﹣）2，∴e=﹣，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是∃x0∈R，使得．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是“∃x0∈R，使得”．故答案为：∃x0∈R，使得．14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为14π．【解答】解：∵长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，∴球半径R==，∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．故答案为：14π．15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），∵=（2，3），=（x，y），∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y ﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是[0，3] ．【解答】解：设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，得到：，整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0，∴点M在圆心为D（0，1），半径为2的圆上．又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，∴1≤|CD|≤3，∴1≤≤3，解得0≤a≤3．即实数a的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A，B∈（0，π），所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，所以A=B﹣A，B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．由△ABC为锐角三角形得，得，则0＜cosB＜，由a+2acosB=2得，又由0＜cosB＜，则．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，代入中，得，解得a=0.15．（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3，则抽取的5天中，滞销日有2天，记为a，b，畅销日有3天，记为C，D，E，再从这5天中抽出2天，基本事件有ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，CD，CE，DE，共10个，2天中恰有1天为畅销日的事件有aC，aD，aE，bC，bD，bE，共6个，则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F，连接BF，EF．在△PAD中，EF为中位线，则，又，故，则四边形BCEF为平行四边形，得CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍，则．由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=BC=CD=2，AD=4，其高为，则．取AD的中点O，在等腰直角△PAD中，有，PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，故PO⊥平面ABCD，则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．，故三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．所以=．综上，△OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由，得，令f′（x）=0，得．当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x0＞0，则，即，其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），得h（x）在上单调递减，在上单调递增，又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x0=e，经验证也满足（1）式．于是，f（x0）=g（x0）=3e，f′（x0）=g'（x0）=3，曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），即y=3x．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy 的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，代入y2=4x，并整理得4x2﹣8x+1=0，所以，=，=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，∴，∴．∴，∴，当且仅当m=n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1，+∞）．。
2018年河南省信阳高中高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年河南省信阳高中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合M＝{x|y＝lg}，N＝{x|x＜1}，则M∩∁R N＝（）A．（0，2]B．（0，2）C．[1，2）D．（0，+∞）2．（5分）已知复数z＝a+i（a∈R），若z+＝4，则复数z的共轭复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i 3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8＝6+a11，则S9＝（）A．27B．36C．45D．544．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题5．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A．8πB．C．D．12π7．（5分）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．5B．6C．7D．88．（5分）一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（）A．9B．3C．17D．﹣119．（5分）函数f（x）＝（3﹣x2）•ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）A．B．C．D．11．（5分）已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x∈R时，均有f（3+x）＝f （2﹣x），2≤f（x）≤8，则满足条件的f（x）可以是（）A．B．C．D．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多人．14．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，焦距为8，左顶点为A，在y轴上有一点B（0，b），满足•＝2a，则该双曲线的离心率的值为．15．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2﹣c2）•（a cos B+b cos A）＝abc，若a+b＝2，则c的取值范围为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为（t∈R），且，若不等式恒成立，则正实数p的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知向量＝（cos x，﹣），＝（sin x ，cos2x ），x ∈R ，设函数f （x ）＝•．（1）求f （x ）的表达式并完成下面的表格和画出f （x ）在[0，π]范围内的大致图象；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0在[0，π]上有两个根α、β，求m 的取值范围及α+β的值．18．（12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查．抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4＝42人．（1）在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（2）在地理成绩及格的学生中，已知a≥10，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1＝AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0），圆O：x2+y2＝r2（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y＝kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k＝﹣，r＝1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足+＝，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x+a．（Ⅰ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），求函数y＝h（x）的单调区间；（Ⅱ）若﹣1＜a＜0，函数M（x）＝，试判断是否存在x0∈（1，+∞），使得x0为函数M（x）的极小值点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（I）若直线l与圆O相交于A，B两点，求弦长|AB|，若点P（2，4），求|P A|•|PB|的值；（II）以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，圆O和圆C的交点为P，Q，求弦PQ所在直线的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣|2x﹣2|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数a的取值范围．2018年河南省信阳高中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合M＝{x|y＝lg}，N＝{x|x＜1}，则M∩∁R N＝（）A．（0，2]B．（0，2）C．[1，2）D．（0，+∞）【解答】解：∵集合M＝{x|y＝lg}＝{x|x（2﹣x）＞0}＝（0，2），又∴N＝{x|x＜1}，∴（∁R N）＝[1，+∞），∴M∩∁R N＝[1，2），故选：C．2．（5分）已知复数z＝a+i（a∈R），若z+＝4，则复数z的共轭复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【解答】解：∵z＝a+i，∴z+＝2a＝4，得a＝2．∴复数z的共轭复数＝2﹣i．故选：B．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8＝6+a11，则S9＝（）A．27B．36C．45D．54【解答】解：∵等差数列{a n}的2a8＝6+a11，∴a5+a11＝6+a11，∴a5＝6，∴S9＝＝9a5＝54，故选：D．4．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题【解答】解：命题p：“a＞b”⇔“2a＞2b”，是真命题．q：令f（x）＝e x﹣lnx，f′（x）＝．x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f （x）单调递增，∴f（x）＞f（1）＝e＞0．∴不存在x∈R，e x＜lnx，是假命题．∴只有p∨q为真命题．故选：D．5．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）＝﹣cosα＝﹣＝，故选：C．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A．8πB．C．D．12π【解答】解：由题意可知几何体是放倒的半个圆柱与半个圆锥的组合体，如图：圆锥，圆锥的底面半径为2，高为4，该几何体的体积为：＝．故选：B．7．（5分）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：当输入的值为n＝5时，n不满足第一判断框中的条件，n＝16，k＝1，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n＝8，k＝2，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n＝4，k＝3，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n＝2，k＝4，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n＝1，k＝5，n满足第二判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k＝5，故选：A．8．（5分）一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（）A．9B．3C．17D．﹣11【解答】解：设这个数字是x，则平均数为，众数是2，若x≤2，则中位数为2，此时x＝﹣11，若2＜x＜4，则中位数为x，此时2x＝，x＝3，若x≥4，则中位数为4，2×4＝，x＝17，所有可能值为﹣11，3，17，其和为9．故选：A．9．（5分）函数f（x）＝（3﹣x2）•ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝（3﹣x2）•ln|x|是偶函数，排除A，D选项，（3﹣x2）•ln|x|＝0，当x＞0时，解得x＝1，或x＝，是函数f（x）＝（3﹣x2）•ln|x|在x＞0时的两个零点，当x＝时，f（）＝（3﹣（）2）•ln||＝＜0，可得选项B不正确，故选：C．10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）A．B．C．D．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h＝PE＝A1C＝．故选：D．11．（5分）已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2＝1的圆心为C （0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选：C．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x∈R时，均有f（3+x）＝f （2﹣x），2≤f（x）≤8，则满足条件的f（x）可以是（）A．B．C．D．【解答】解：A.3≤f（x）≤9，不满足2≤f（x）≤8，即A错误；B．显然f（x）不满足f（3+x）＝f（2﹣x），即B错误；C．x∈Q时，3+x，2﹣x∈Q；∴f（3+x）＝2，f（2﹣x）＝2；即f（3+x）＝f（2﹣x）；同理，x∈∁R Q时，有f（3+x）＝f（2﹣x）；显然2≤f（x）≤8，∴C正确；D．f（0）＝2，f（5）＝8；不满足f（3+2）＝f（2﹣2）；即不满足f（3+x）＝f（2﹣x），∴D错误．故选：C．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多10人．【解答】解：设z＝x+y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．但此时z最大值取不到，由图象当直线经过整点E（5，5）时，z＝x+y取得最大值，代入目标函数z＝x+y得z＝5+5＝10．即目标函数z＝x+y的最大值为10．故答案为：10．14．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，焦距为8，左顶点为A，在y轴上有一点B（0，b），满足•＝2a，则该双曲线的离心率的值为2．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），F（4，0），B（0，b），∴＝（﹣a，﹣b），＝（4，﹣b）∵•＝2a，∴（﹣a，﹣b）•（4，﹣b）＝2a，∴﹣4a+b2＝2a，∴b2＝6a，∴16﹣a2＝6a，∴a＝2，∴e＝＝＝2，故答案为：215．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2﹣c2）•（a cos B+b cos A）＝abc，若a+b＝2，则c的取值范围为[1，2）．【解答】解：根据题意，△ABC中，a cos B+b cos A＝a×+b×＝＝c，若（a2+b2﹣c2）•（a cos B+b cos A）＝abc，则有a2+b2﹣c2＝ab，则cos C＝＝，则C＝，又由a+b＝2，则c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝4﹣3ab，又由a+b＝2，则ab≤（）2＝1，则c2≥1，则有c≥1，又由c＜a+b＝2，则c的取值范围为[1，2）；故答案为：[1，2）．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为（t∈R），且，若不等式恒成立，则正实数p的取值范围是（，+∞）．【解答】解：由条件可得a1＝S1＝t；当n≥2时，．故a8＝15t＝15，故t＝1，则a1＝1，a n＝2n﹣1．则b n＝n+1，由，及p＞0可得对任意正整数恒成立，设，则，故f（n+1）＜f（n），故{f（n）}是递减数列，最大值为，故只需，故答案为：（，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知向量＝（cos x，﹣），＝（sin x，cos2x），x∈R，设函数f（x）＝•．（1）求f（x）的表达式并完成下面的表格和画出f（x）在[0，π]范围内的大致图象；（2）若方程f（x）﹣m＝0在[0，π]上有两个根α、β，求m的取值范围及α+β的值．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），如图示：（2）由图可知m∈（﹣1，﹣）∪（﹣，1），或，∴或．18．（12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查．抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4＝42人．（1）在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（2）在地理成绩及格的学生中，已知a≥10，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．【解答】（本小题满分为12分）解：（1）∵该样本中，数学成绩优秀率是30%，∴，解得a＝14，b＝100﹣30﹣（20+18+4）﹣（5+6）＝17…（5分）（2）在地里及格学生中，a+b＝100﹣（7+20+5）﹣（9+18+6）﹣4＝31…（6分）∵a≥10，b≥7，∴a，b的搭配有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8），（24，7）（22，9），（23，8），（24，7），共有15种…（8分）记“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A，可得7+9+a＜5+6+b，即a+5＜b．事件A包括：（10，21），（11，20），（12，19），共3个基本事件；…（10分）所以，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率P（A）＝＝．…（12分）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1＝AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．[（2分）]在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1＝AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1．[（3分）]所以A1C⊥平面ABC1．[（5分）]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为A1A∥B1B，A1A⊄平面BB1C1C，[（6分）]所以A1A∥平面BB1C1C．[（8分）]因为平面AA1EF∩平面BB1C1C＝EF，所以A1A∥EF．[（10分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为V2，三棱柱ABF﹣A1B1E的体积为V3．因为三棱锥B1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1B1E同底等高，所以，[（11分）]所以．因为，所以．[（12分）]因为三棱柱ABF﹣A1B1E与三棱柱ABC﹣A1B1C1等高，所以△ABF与△ABC的面积之比为，[（13分）]所以．[（14分）]20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0），圆O：x2+y2＝r2（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y＝kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k＝﹣，r＝1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足+＝，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当k＝﹣，r＝1时，则切线l：y＝﹣x+m，即2y+x﹣2m＝0，由圆心到l的距离d＝＝1，解得：m＝±，点A，B都在坐标轴的正半轴上，则m＞0，∴直线l：y＝﹣x+，∴A（0，），B（，0），∴B为椭圆的右顶点，A为椭圆的上顶点，则a＝，b＝，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）a，b，r满足+＝成立，理由如下：设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l与圆x2+y2＝r2相切，则＝r，即m2＝r2（1+k2），①则，（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2＝0．则x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝，AB为直径的圆经过坐标原点O，则∠AOB＝90°，则⊥＝0，∴x1x2+y1y2＝+＝＝0，则（a2+b2）m2＝a2b2（1+k2），②将①代入②，＝，∴+＝．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x+a．（Ⅰ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），求函数y＝h（x）的单调区间；（Ⅱ）若﹣1＜a＜0，函数M（x）＝，试判断是否存在x0∈（1，+∞），使得x0为函数M（x）的极小值点．【解答】解：（I）由题意可知：h（x）＝xlnx﹣x﹣a，其定义域为（0，+∞），则h′（x）＝lnx+1﹣1＝lnx．令h′（x）＞0，得x＞1，令h'（x）＜0，得0＜x＜1．故函数y＝h（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．（II）由已知有，对于x∈（1，+∞），有M′（x）＝．令，则．令q′（x）＞0，有x＞﹣a．而﹣1＜a＜0，所以0＜﹣a＜1，故当x＞1时，q′（x）＞0．∴函数q（x）在区间（1，+∞）上单调递增．注意到q（1）＝﹣a﹣1＜0，．故存在x0∈（1，e），使得M'（x0）＝0，且当x∈（1，x0）时，M'（x）＜0，当x∈（x0，e）时，M'（x）＞0，即函数M（x）在区间（1，x0）上单调递减，在区间（x0，+∞）上单调递增．∴x0为函数M（x）的极小值点．故存在x0∈（1，+∞），使得x0为函数M（x）的极小值点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（I）若直线l与圆O相交于A，B两点，求弦长|AB|，若点P（2，4），求|P A|•|PB|的值；（II）以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，圆O和圆C的交点为P，Q，求弦PQ所在直线的直角坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为（t为参数）．消去参数t，可得x﹣y+2＝0，即直线l的普通方程为x﹣y+2＝0．圆O 的参数方程为（θ为参数），根据sin2θ+cos2θ＝1，消去参数θ，得x2+y2＝4，∴圆心O到直线l的距离d ＝＝，故弦长|AB|＝2＝2．联立，得A（0，2），B（﹣2，0），∵P（2，4），∴|P A|＝＝2，|PB|＝，∴|P A|•|PB|＝2＝16．（Ⅱ）圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2，∵ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴圆C的普通方程为x2+y2＝2x+2．∵圆O方程为x2+y2＝4，∴弦PQ所在直线的直角坐标方程为4＝2x+2，即x +．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣|2x﹣2|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于或或，解得：x＜﹣1或，∴不等式f（x）≤3的解集为．（2）由方程可变形为a＝x+|x﹣1|﹣|x+1|，令，第21页（共22页）作出图象如下：于是由题意可得﹣1＜a＜1．第22页（共22页）。
[精品]2018年河南省安阳市高考数学一模试卷及解析答案word版(文科)
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2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x 1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx 4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是．14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y ﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，故函数f（x）不是偶函数，不合题意；对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；故选：A．4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，∴sinα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，∴a3+a5=q2+q4=6，得q4+q2﹣6=0，即（q2﹣2）（q2+3）=0，则q2=2，则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次运行n=1，s=0，满足条件s＜0.8，s==0.5，n=2，第二次运行n=2，s=0.5，满足条件s＜0.8，s=+=0.75，n=3，第三次运行n=3，s=0.75，满足条件s＜0.8，s=0.75+=0.75+0.125=0.875，n=4，此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出，n=4，故选：B．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a，=•a2•sin=a2；其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域，如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，=•π•=，∴S阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+7=2a5，∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，故选：D．11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根，即函数y=a，g（x）=的图象有3个不同的交点．g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）x∈（﹣∞，﹣3），（2，+∞）时，g（x）递增，x∈（﹣3，2）递减，函数g（x）图如下，结合图象，只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可，即﹣＜＜，故选：B．12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，∴2=+，=，∴+=，∵，∴•=0，∴⊥，∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，∴m=a=2（﹣1）a，∵|F1F2|=2c，∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），∴=9﹣6=（﹣）2，∴e=﹣，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定∃x0∈R，使得．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是“∃x0∈R，使得”．故答案为：∃x0∈R，使得．14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为14π．【解答】解：∵长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，∴球半径R==，∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．故答案为：14π．15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），∵=（2，3），=（x，y），∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y ﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是[0，3] ．【解答】解：设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，得到：，整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0，∴点M在圆心为D（0，1），半径为2的圆上．又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，∴1≤|CD|≤3，∴1≤≤3，解得0≤a≤3．即实数a的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A，B∈（0，π），所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，所以A=B﹣A，B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．由△ABC为锐角三角形得，得，则0＜cosB＜，由a+2acosB=2得，又由0＜cosB＜，则．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，代入中，得，解得a=0.15．（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3，则抽取的5天中，滞销日有2天，记为a，b，畅销日有3天，记为C，D，E，再从这5天中抽出2天，基本事件有ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，CD，CE，DE，共10个，2天中恰有1天为畅销日的事件有aC，aD，aE，bC，bD，bE，共6个，则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F，连接BF，EF．在△PAD中，EF为中位线，则，又，故，则四边形BCEF为平行四边形，得CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍，则．由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=BC=CD=2，AD=4，其高为，则．取AD的中点O，在等腰直角△PAD中，有，PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，故PO⊥平面ABCD，则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．，故三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．所以=．综上，△OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由，得，令f′（x）=0，得．当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x0＞0，则，即，其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），得h（x）在上单调递减，在上单调递增，又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x0=e，经验证也满足（1）式．于是，f（x0）=g（x0）=3e，f′（x0）=g'（x0）=3，曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），即y=3x．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，代入y2=4x，并整理得4x2﹣8x+1=0，所以，=，=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，∴，∴．∴，∴，当且仅当m=n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2018年河南高考数学文真题及答案（已公布）
【导语】2018年河南⾼考⼈数位居全国第⼀，⾼考终于结束了，为了不影响⼤家考试的⼼情，所以2018年河南⾼考数学⽂试题及答案特意在⾼考全部结束后才公布，已经为你把2018年河南⾼考数学⽂真题及答案整理如下，⼤家可以查阅估分，⼀举⾼中好花魁，⾃信奔赴好前程。
说明：2018年河南⾼考数学⽂试卷使⽤的是全国卷I，全国卷I适⽤的地区包括【河_南、河_北、⼭_西、江_西、湖_北、湖_南、⼴_东、安_徽、福_建、⼭_东】
2018全国卷I⾼考数学⽂真题及答案已公布，由于河南⾼考数学⽂试卷采⽤全国卷I，所以就代表了2018河南⾼考数学⽂真题及答案也已公布了。
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2018年河南省高考文科数学试题与答案
2018年河南高考文科数学试题与答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设1i2i 1iz -=++，则z =A ．0B ．12C ．1D 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．B ．C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=A ．15B C D ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________． 16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知s i n s i n 4s i ns i nb Cc B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．三、解答题：共70分。
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2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）A．2 B．3 C．4 D．65．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2 11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）A．B．C．3 D．212．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵A={x∈R|3≤32﹣x＜27}={x∈R|﹣1＜x≤1}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}={﹣2，﹣1，0}，∴A∩B={0}．∴A∩B中元素的个数为1．故选：B．2．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B．3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：△ABC中，A=，b=6，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2=36+c2﹣6c①；又=2sinAsinB，∴=2ab，即cosC==，∴a2+36=4c2②；由①②解得c=4或c=﹣6（不合题意，舍去）；∴c=4．故选：C．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B．6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C．7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，∴S=，△PAD则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）A．B．C．3 D．2【解答】解：根据题意，设|AF|=a，|BF|=b，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有|BF|=|BN|=b，|AF|=|AM|=a，若，则有|CB|=4|BF|，即|CB|=4|BN|，又由BN∥AM，则有|CA|=4|AM|，即有4b+a+b=4a，变形可得=，即=，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．【解答】解：由题意知，方程g（﹣x）﹣f（x）=0在（0，+∞）上有解，即e x+2x2+ax﹣lnx﹣e x﹣x2=0，即x+a﹣=0在（0，+∞）上有解，即函数y=x+a与y=在（0，+∞）上有交点，y=的导数为y′=，当x＞e时，y′＜0，函数y=递减；当0＜x＜e时，y′＞0，函数y=递增．可得x=e处函数y=取得极大值，函数y=x+a与y=在（0，+∞）上的图象如右：当直线y=x+a与y=相切时，切点为（1，0），可得a=0﹣1=﹣1，由图象可得a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．【解答】解：如图，设正方体的棱长为2a，则其内切球的半径为a，则，，∴蜜蜂“安全飞行”的概率为P=．故答案为：．15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．【解答】解：α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，∴cos（α+）==，则====，故答案为：．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF 2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．【解答】解：（1）设公差为d，由，得，化简得d2=2a1d，因为d≠0，a1=3，所以d=6，所以a n=6n﹣3．（2）因为，所以﹣（36×（2n）2﹣9），所以，即S2n=﹣36（1+2+3+4+…+（2n﹣1）+2n）=．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为：=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×0.010×10=64.5．（2）要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60，70）内的男生中选：6×=3人，体重在[70，80）内的男生中选：6×=2人，体重在[80，90]内的男生中选：6×=1人，再从这6人中选2人当正副队长，基本事件总数n==15，∴这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率p=1﹣=．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．【解答】证明：（1）∵在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，∴DE∥BC，DB A 1B1，∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D∥BB1，∵A1D∩DE=D，BB1∩BC=B，A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，∴平面A1DE∥平面B1BC，∵B1C⊂平面B1BC，∴B1C∥平面A1DE．解：（2）∵AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．∴AE=3，DE=1，B1E==3，∠AED=90°，∴四棱锥A1﹣B1C1ED的体积：=﹣=S△ADE•B1E﹣====3．20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．【解答】解：（1）由题意可得，∴故W的标准方程为．（2）联立得∴，∴，易知B（0，1），∴l的方程为y=﹣3x+1．联立，得37x2﹣24x=0，∴x=0或，∴，联立，得31x2﹣18x﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，故．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知得（x＞0），则，所以x0=e，所以所求切线方程为．（2）令，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1．所以f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，所以f（x）∈[1，+∞）．而g（x）=（e﹣1）x在（﹣∞，a）上单调递增，所以g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a）．欲使函数的值域为R，须a＞0．①当0＜a≤1时，只须（e﹣1）a≥1，即，所以．②当a＞1时，f（x）∈[a﹣lna，+∞），g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a），只须a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立，即lna+（e﹣2）a≥0对一切a＞1恒成立，令φ（x）=lnx+（e﹣2）x（x＞1），得，所以φ（x）在（1，+∞）上为增函数，所以φ（x）＞φ（1）=e﹣2＞0，所以a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立．综上所述：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。