《推荐》2017年11月21日直线与抛物线的位置关系-试题君之每日一题君2018年高考数学(文)一轮复习Word版含
考点102直线与抛物线的位置关系
考点102直线与抛物线的位置关系一、课本基础提炼1．研究直线与抛物线的位置关系,一般是联立两曲线方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．2．有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式二级结论必备过抛物线焦点的动直线与抛物线交于点A,B,则该抛物线在点A,B处的两切线的交点轨迹是抛物线的准线.1.直线与抛物线相交时的弦长问题若直线过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用|AB|＝x1＋x2＋p；若直线不过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用,对于此类问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,另外注意与面积有关的问题,常用到弦长公式.例1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值．【解析】(1)由题可知F,则该直线方程为代入y2＝2px(p＞0),得设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1＋x2＝3p.∵|MN|＝8,∴x1＋x2＋p＝8,即3p＋p＝8,解得p＝2,∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝x＋b,代入y2＝4x,得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.∵l为抛物线C的切线,∴Δ＝0,解得b＝1.∴l的方程为y＝x＋1.设P(m,m＋1),则＝(x1－m,y1－(m＋1)),＝(x2－m,y2－(m＋1)),∴＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.由(1)可知：x1＋x2＝6,x1x2＝1,∴(y1y2)2＝16x1x2＝16,y1y2＝－4.,＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14,当且仅当m＝2,即点P的坐标为(2,3)时,的最小值为－14.例2.抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.【解析】由题意,可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ,①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5,0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m,x1•x2=m2,点A到直线l的距离为,从而=4(1－m)(5+m)2,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1,△AMN的最大面积为2．抛物线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.例3．已知抛物线y2=4x的一条弦的斜率为3,它与直线交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为_______．【解析】设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2),弦PQ的中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0=1,y1+y2=2y0,又两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)即2y0(y1-y2)=4(x1-x2),∴点M的坐标为3.抛物线的切线问题由于抛物线x2=2py(p≠0),可转化为函数,因此我们可以借助导数的几何意义来研究抛物线的切线.例4. 已知抛物线x2＝2y,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________．【解析】由x2＝2y,得,∴y′＝x.设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴抛物线在P,Q两点处的切线的斜率分别为x1,x2,∴过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1),又∴切线方程为,同理可得过点Q的切线方程为,两切线方程联立解得又抛物线焦点F的坐标为,易知直线l的斜率存在,可设直线l的方程为,由,得x2－2mx－1＝0,所以x1x2＝－1,所以4．面积问题求三角形或四边形的面积最值是高考中的常见问题,解决这类问题的基本方法是把面积表示为某一变量的函数,再转化为函数求最值,或利用基本不等式求最值.例5．(2014•高考四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA→•OB→＝2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A．2 B．3【解析】设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1x2＋y1y2＝2.∴y1y2＝－2.联立得y2－ny－m＝0, ∴y1y2＝－m＝－2,∴m＝2,即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO当且仅当时,等号成立．例6．已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.【解析】(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y),由(1)知,y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,则有∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为从而当a有最大值时,S有最大值为5.对称问题根据圆锥曲线上存在不同两点关于某直线对称求参数范围，是一类典型问题，解决此类对称问题,要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点,故Δ＞0.一般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线的方程,再与曲线方程联立,由判别式不等式求出参数范围.例7.已知抛物线y＝ax2－1(a≠0)上总有关于直线x＋y＝0对称的相异两点,求a的取值范围.解：设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线y＝ax2－1上的关于直线x＋y＝0对称的两相异点,则两式相减,得y1－y2＝a(x1－x2)(x1＋x2).再由x1≠x2,得设线段AB的中点为M(x0,y0),则由M点在直线x＋y＝0上,得∴直线AB的方程为联立直线AB与抛物线的方程并消去y,得依题意,上面的方程有两个相异实根,∴a的取值范围是1.(2014•潍坊模拟)过抛物线y2＝4x的焦点且斜率为的直线l与抛物线y2＝4x交于A,B两点,则|AB|的值为( )【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的焦点为(1,0),则直线l的方程为,代入抛物线方程得3x2－10x＋3＝0.根据抛物线的定义,可知|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝2．已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C:y2=8x相交A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )【答案】D【解析】由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,由|FA|=2|FB|知x A+2=2(x B+2) 联立方程用根与系数关系可求3．抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0解方程组,得ax2－kx－b=0,可知,代入验证即可.4.已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_______．答案】y2=4x【解析】设抛物线为y2＝kx,与y＝x联立方程组,消去y,得：x2－kx＝0, x1+x2＝k＝2×2,故y2=4x.1.设抛物线x2＝12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则|AF|＋|BF|＝( )A.12B.10C.6D.8 【答案】D【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1＋y2＝2×1＝2,|AF|＋|BF|＝(y1＋3)＋(y2＋3)＝(y1＋y2)＋6＝8.故选D.2.已知双曲线(a＞0,b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p＝( )A.1 C.2 D.3 【答案】C【解析】由双曲线的离心率.∴双曲线的渐近线方程为.由题意可设得p＝2或－2(舍去).故选C.3.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】A【解析】由题不妨设A在第一象限,联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6),B(1,－2),而准线方程是x＝－1,所以|AP|＝10,|QB|＝2,|PQ|＝8,故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)•|PQ|＝48.4.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点,则这样的直线有条_______．注意到点(2,4)是抛物线上的点,用数形结合知满足题意的直线有两条,其一是过该点的切线；其二是过该点且与对称轴平行的直线.故填2.5.设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若FQ＝2,则直线l的斜率等于_______．【答案】±1【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y＝k(x＋1),联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0,x1＋x2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝,设Q(x0,y0),则,又F(1,0),,解得k＝±11.（2015福建文19）已知点F为抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G(-1,0) ,延长AF交抛物线E于点B,求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直GB相切．【答案】（1）y2=4x；（2）见解析【解析】（1）由抛物线的定义得．因为|AF|=3,即,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x．（2）解法一：因为点A(2,m),在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),所以所以k GA+K GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．解法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),故直线GA的方程为从而又直线GB的方程为所以点F到直线GB的距离这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．2.设不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y＝2x2上,l是AB的垂直平分线.(1)当且仅当x1＋x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.【查看答案】【答案】(1) x1＋x2＝0 ；(2)【解析】(1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A,B两点到抛物线的准线的距离相等,∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0,∴上述条件等价于∵x1≠x2,∴上述条件等价于x1＋x2＝0,即当且仅当x1＋x2＝0时,l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为由y＝2x2,得过A,B的直线方程为∵直线AB与抛物线有两个不同交点,∴联立得32x2＋8x＋5－16b＝0,Δ＝－9＋32b＞0,.因此直线l在y轴上截距的取值范围是3.如图,已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0)．(1)若动点M满足,求点M的轨迹C；(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E,F(E在B,F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．(1) 以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆；(2)【解析】(1)由x2＝4y,得∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1,故直线l的方程为y＝x－1,∴点A坐标为(1,0)．设M(x,y),则由得整理得∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆．(2)由题意知直线l′的斜率存在且不为零,设l′的方程为y＝k(x－2)(k≠0),①将①代入整理,得(2k2＋1)x2－8k2•x＋(8k2－2)＝0,由Δ＞0得设E(x1,y1),F(x2,y2),由此可得,且0＜λ＜1.由②知(x1－2)•(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4又∵0＜λ＜1,∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是。
直线与抛物线的位置关系含答案解析
直线与抛物线的位置关系专题训练一、单选题(共6 分)1“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线与抛物线的位置关系可得答案【详解】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”“直线与抛物线只有一个公共点”时直线可能与对称轴平行此时不相切故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件故选：A2直线y=k(x−1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为（）A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【分析】直线y=k(x−1)+2过定点(1,2)在抛物线x2=4y内部即可得出结论．【详解】直线y=k(x−1)+2过定点(1,2)∵12<4×2∴(1,2)在抛物线x2=4y内部∴直线y=k(x−1)+2与抛物线x2=4y相交故选：A．二、填空题(共9 分)3直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点则k=________【答案】0或1【分析】当k=0时直线为y=2与抛物线对称轴平行故只有一个交点当k≠0时将y=kx+2代入抛物线y2=8x用判别式法求解【详解】当k=0时直线为y=2与抛物线只有一个交点(12,2)当k≠0时将y=kx+2代入抛物线y2=8x得：k2x2+(4k−8)x+4=0因为直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点所以Δ=(4k−8)2−16k2=0解得k=1综上：k=0或k=1故答案为：0或1【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力属于基础题4过抛物线x2=4y上一点(4,4)的抛物线的切线方程为________【答案】y=2x−4【分析】解法一：设切线方程为y−4=k(x−4)联立切线方程与抛物线方程由Δ=0得k=2则切线方程可求解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率再由点斜式方程求得答案【详解】解法一：设切线方程为y−4=k(x−4)．由{y−4=k(x−4)x2=4y⇒x2=4(kx−4k+4)⇒x2−4kx+16(k−1)=0由Δ=(−4k)2−4×16(k−1)=0得k2−4k+4=0∴k=2故切线方程为y−4=2(x−4)即y=2x−4故答案为：y=2x−4解法二：由x2=4y得y=x24∴y′=x2∴y′|x=4=42=2∴切线方程为y−4=2(x−4)即y=2x−4故答案为：y=2x−45过点P(2,−1)作抛物线C:x2=2y的两条切线切点分别为AB则直线AB的方程为___________【答案】2x−y+1=0【分析】利用导数的几何意义求出切线方程再利用直线方程的相关知识即可求出【详解】抛物线C:x2=2y可写成：y=x22且y′=x设A(x1,y1),B(x2,y2)则两条切线的斜率分别为k1=x1,k2=x2两条切线的方程为：y−y1=x1(x−x1)y−y1=x1(x−x1)又两条切线过点P(2,−1)所以−1−y1=x1(2−x1)−1−y1=x1(2−x1)所以直线AB的方程为：−1−y=x(2−x)又x2=2y所以直线AB的方程为：2x−y+1=0故答案为：2x−y+1=0三、多选题(共3 分)6已知点O为坐标原点直线y=x−1与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点则（）A|AB|=8B OA⊥OBC△AOB的面积为2√2D线段AB的中点到直线x=0的距离为2【答案】AC【分析】先判断直线过焦点联立方程组{y =x −1y 2=4x结合韦达定理得两根关系再根据选项一一判断即可．【详解】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)抛物线C:y 2=4x 则P =2 焦点为(1,0)则直线y =x −1过焦点； 联立方程组{y =x −1y 2=4x消去y 得x 2−6x +1=0 则x 1+x 2=6,x 1x 2=1y 1y 2=(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−4所以|AB |=x 1+x 2+P =6+2=8 故A 正确；由OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=1−4=−3≠0所以OA 与OB 不垂直B 错； 原点到直线y =x −1的距离为d =√2=√2所以△AOB 的面积为S =12×d ×|AB |=12×√2×8=2√2 则C 正确；因为线段AB 的中点到直线x =0的距离为x 1+x 22=62=3故D 错故选：AC 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p 若不过焦点则必须用一般弦长公式． 四、填空题(共 3 分)7过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点若|AF |=3则|BF |=______ 【答案】32 【详解】设∠AFx ＝θ则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3得cos θ＝13 又|BF|＝x B ＋1＝1－|BF|cos θ＋1＝2－13|BF|∴|BF|＝32五、单选题(共 9 分)8过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点若AB 的中点M 的横坐标为2则线段AB 的长为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7【答案】C 【分析】结合抛物线的弦长公式求得正确答案 【详解】设点A,B 的横坐标分别为x 1,x 2则x 1+x 2=2x M =4由过抛物线的焦点的弦长公式知：|AB |=x 1+x 2+p =4+2=6 故选：C9已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F 过点F 且倾斜角为45°的直线交抛物线C 于A 、B 若|AB |=9则抛物线C 的方程为（ ） A x 2=3y B x 2=12yC x 2=92yD x 2=16y【答案】C 【分析】设出直线方程然后联立直线方程与抛物线方程借助韦达定理以及过焦点的弦长公式可求出p【详解】由已知得直线AB的方程为y=x+p2联立方程组{y=x+p2,x2=2py消去x得y2−3py+p24=0设A(x1,y1)B(x2,y2)由韦达定理知y1+y2=3p因为|AB|=9所以y1+y2+p=9所以4p=9即p=94所以所求抛物线C的方程为x2=92y故选：C10设F为抛物线C:y2=3x的焦点过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点O为坐标原点则△OAB的面积为A3√34B9√38C6332D94【答案】D 【分析】【详解】由题意可知：直线AB的方程为y=√33(x−34)代入抛物线的方程可得：4y2−12√3y−9=0设A(x1,y1)、B (x2,y2)则所求三角形的面积为12×34×√(y1+y2)2−4y1y2= 94故选D考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系考查两点间距离公式等基础知识考查同学们分析问题与解决问题的能力六、填空题(共3 分)11已知直线y=(a+1)x−1与曲线y2=ax恰有一个公共点则实数a的值为________【答案】0或−1或−45【分析】根据给定条件联立方程利用方程组有解求解即得【详解】当a=0时曲线y2=ax为直线y=0显然直线y=x−1与y=0有唯一公共点(1,0)因此a=0；当a≠0时由{y=(a+1)x−1y2=ax消去y并整理得：(a+1)2x2−(3a+2)x+1=0当a=−1时x=−1,y=−1直线y=−1与曲线y2=−x有唯一公共点(−1,−1)因此a=−1；当a≠0且a≠−1时Δ=(3a+2)2−4(a+1)2=5a2+4a=0则a=−45此时直线y=15x−1与曲线y2=−45x相切有唯一公共点因此a=−45所以实数a的值为0或−1或−45故答案为：0或−1或−45七、多选题(共3 分)12已知抛物线Γ：x2=2py(p>0)过其准线上的点T(t,−1)作的两条切线切点分别为AB下列说法正确的是（）A p=2B当t=1时TA⊥TBC当t=1时直线AB的斜率为2D△TAB面积的最小值为4【答案】ABD【分析】选项A：由点T(t,−1)在准线上可求出p从而可判断；选项B：设直线y+1=k(x−1)与抛物线方程联立由韦达定理可判断；选项C：设A(x1,y1)B(x2,y2)分别求出TATB方程根据方程结构可判断；选项D：先同C求得直线AB的方程y=t2x+1再表达出△TAB的面积关于t的表达式进而求得面积的最大值即可【详解】对A易知准线方程为y=−1∴p=2C：x2=4y故选项A正确对B设直线y+1=k(x−1)代入y=x 24得x24−kx+k+1=0当直线与C相切时有Δ=0即k2−k−1=0设TATB斜率分别为k1k2易知k1k2是上述方程两根故k1k2=−1故TA⊥TB故选项B正确对C设A(x1,y1)B(x2,y2)其中y1=x124y2=x224则TA：y−x124=x12(x−x1)即y=x12x−y1代入点(1,−1)得x1−2y1+2=0同理可得x2−2y2+2=0故AB：x−2y+2=0故k AB=12故选项C不正确对D同C切线方程TA：y=x12x−y1；TB：y=x22x−y2代入点(t,−1)有−1=x12t−y1−1=x2 2t−y2故直线AB的方程为−1=x2t−y即y=t2x+1联立x2=4y有x2−2tx−4=0则x1+x2=2t,x1x2=−4故|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=2√t2+4又(t,−1)到tx−2y+2=0的距离d =2√t 2+4=√t 2+4故S △TAB =12√1+t 24|x 1−x 2|d =12(t 2+4)32故当t =0时△TAB 的面积小值为12×432=4故D 正确；故选：ABD八、填空题(共 3 分)13在平面直角坐标系xOy 中直线y =kx +4交抛物线C ：x 2=4y 于AB 两点交y 轴于点Q 过点AB 分别作抛物线C 的两条切线相交于点M 则以下结论：①∠AOB = 90°；②若直线MQ 的斜率为k 0有kk 0=−8；③点M 的纵坐标为−4；④∠AMB =90°．其中正确的序号是______________． 【答案】①③ 【分析】设A （x 1,y 1）B （x 2,y 2）利用导数求出切线AM 、BM 的方程求出M (x 1+x 22,x 1x 24)利用“设而不求法”得到x 1+x 2=4kx 1x 2=−16即可得到M(2k,−4)可判断③正确；由OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ·OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0判断①正确；直接计算出k MQ k =−4可判断②；k MA ·k MB =−4≠0可判断④ 【详解】设A （x 1,y 1）B （x 2,y 2）则由y =x 24可得：y ′=x2所以k AM =x 12直线AM 方程为y −x 124=x 12(x −x 1)；同理直线BM 方程为y =x 22x −x 224解得M (x 1+x 22,x 1x 24)将y =kx +4代入x 2=4y =4(kx +4)⇒x 2−4kx −16=0⇒x 1+x 2=4kx 1x 2=−16∴M(2k,−4)故③正确； 因为OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ·OB⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1x 2)216=0故∠AOB =90°故①正确； 由k MQ =−82k=−4k ⇒k MQ k =−4故②错误；由k MA ·k MB =14x 1x 2=−4≠0可知∠AMB ≠90°④错误． 故答案为：①③ 【点睛】解析几何问题常见处理方法：(1)正确画出图形利用平面几何知识运算； (2)坐标化把几何关系转化为坐标运算． 九、单选题(共 3 分)14已知线段AB 是过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的一条弦过点A （A 在第一象限内）作直线AC 垂直于抛物线的准线垂足为C 直线AT 与抛物线相切于点A 交x 轴于点T 给出下列命题：（1）∠AFx =2∠TAF ； （2）|TF |=|AF |； （3）AT ⊥CF 其中正确的命题个数为 A 0 B 1 C 2 D 3【答案】D 【分析】根据抛物线的定义得到|AF |=|AC |然后判断出过A 点的抛物线的切线垂直CF 进而判断出三个命题正确 【详解】根据抛物线的定义可知|AF |=|AC |由于AC 垂直抛物线的准线所以AC//x 轴 所以∠AFx =∠CAF设A (y 022p ,y 0)则C (−p 2,y 0),F (p2,0)设D 是CF 的中点则D (0,y02)所以直线AD 的方程为y −y 02=y 0−y02y 022p−0(x −0)即y =py 0x +y 02由{y =py 0x +y 02y 2=2px消去y 并化简得p 2y 02x 2−px +y 024=0其判别式Δ=p 2−4×p 2y 02×y 024=0所以直线AD 与抛物线相切故直线AD 与直线AT 重合由于D 是CF 的中点所以AD ⊥CF 也即AT ⊥CF 命题（3）成立根据等腰三角形的性质可知∠CAF =2∠TAF 所以∠AFx =2∠TAF 命题（1）成立 由于AC//x 轴所以∠CAT =∠FTA所以∠FTA =∠TAF 所以|TF |=|AF |命题（2）成立 综上所述正确的命题个数为3个 故选：D 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和抛物线的切线方程属于中档题 十、多选题(共 3 分)15已知抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F 直线的斜率为√3且经过点F 直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限）与抛物线的准线交于点D 若|AF |=8则以下结论正确的是 A p =4 B DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =FA⃑⃑⃑⃑⃑ C |BD |=2|BF |D |BF |=4【答案】ABC 【分析】作出图形利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误 【详解】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线垂足分别为点E 、M抛物线C 的准线m 交x 轴于点P 则|PF |=p 由于直线l 的斜率为√3其倾斜角为60∘ ∵AE//x 轴∴∠EAF =60∘由抛物线的定义可知|AE |=|AF |则ΔAEF 为等边三角形 ∴∠EFP =∠AEF =60∘则∠PEF =30∘∴|AF |=|EF |=2|PF |=2p =8得p =4A 选项正确；∵|AE |=|EF |=2|PF |又PF//AE ∴F 为AD 的中点则DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =FA⃑⃑⃑⃑⃑ B 选项正确； ∴∠DAE =60∘∴∠ADE =30∘∴|BD |=2|BM |=2|BF |（抛物线定义）C 选项正确； ∵|BD |=2|BF |∴|BF |=13|DF |=13|AF |=83D 选项错误 故选：ABC 【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断涉及抛物线的定义考查数形结合思想的应用属于中等题 十一、双空题(共 3 分)16直线l 过抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点F (1,0)且与C 交于A,B 两点则p =______1|AF |+1|BF |=______．【答案】 (1) 2 (2) 1 【分析】由题意知p2=1从而p =2所以抛物线方程为y 2=4x ．联立方程利用韦达定理可得结果 【详解】由题意知p2=1从而p =2所以抛物线方程为y 2=4x ．当直线AB 斜率不存在时：x =1代入解得|AF |=|BF |=2从而1|AF |+1|BF |=1． 当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y =k (x −1)联立{y =k (x −1)y 2=4x整理得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0设A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)则{x 1+x 2=2k 2+4k 2x 1x 2=1从而1|AF |+1|BF |=1x1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+x 1x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+2=1． （方法二）利用二级结论：1|AF |+1|BF |=2p 即可得结果． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系考查转化能力与计算能力属于基础题 十二、解答题(共 24 分)17已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F 斜率为32的直线l 与C 的交点为AB 与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4求l 的方程； （2）若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 求|AB |． 【答案】（1）12x −8y −7=0；（2）4√133【分析】（1）设直线l ：y =32x +mA (x 1,y 1)B (x 2,y 2)；根据抛物线焦半径公式可得x 1+x 2=52；联立直线方程与抛物线方程利用韦达定理可构造关于m 的方程解方程求得结果；（2）设直线l ：x =23y +t ；联立直线方程与抛物线方程得到韦达定理的形式；利用AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 可得y 1=−3y 2结合韦达定理可求得y 1y 2；根据弦长公式可求得结果【详解】（1）设直线l 方程为：y =32x +mA (x 1,y 1)B (x 2,y 2)由抛物线焦半径公式可知：|AF |+|BF |=x 1+x 2+32=4 ∴x 1+x 2=52 联立{y =32x +m y 2=3x得：9x 2+(12m −12)x +4m 2=0则Δ=(12m −12)2−144m 2>0 ∴m <12 ∴x 1+x 2=−12m−129=52解得：m =−78∴直线l 的方程为：y =32x −78即：12x −8y −7=0 （2）设P (t,0)则可设直线l 方程为：x =23y +t 联立{x =23y +t y 2=3x得：y 2−2y −3t =0则Δ=4+12t >0 ∴t >−13∴y 1+y 2=2y 1y 2=−3t∵AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴y 1=−3y 2 ∴y 2=−1y 1=3 ∴y 1y 2=−3 则|AB |=√1+49⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√133⋅√4+12=4√133【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题涉及到平面向量、弦长公式的应用关键是能够通过直线与抛物线方程的联立通过韦达定理构造等量关系设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F点M(2,m)(m>0)在抛物线C上且满足|MF|=3．18 求抛物线C的标准方程；19 过点G(0,a)(a>0)的两直线l1,l2的倾斜角互补直线l1与抛物线C交于AB两点直线l2与抛物线C交于P．Q两点△FAB与△FPQ的面积相等求实数a的取值范围．【答案】18 y2=4x19 (0,1)∪(1,√2)【分析】（1）根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离即可求解答（2）联立直线与抛物线方程得到根与系数的关系由弦长公式求长度由点到直线的距离求高进而可得三角形的面积即可求解【18题详解】依题意点M(2,m)是抛物线C上的一点点M到焦点的距离为3所以2+p2=3,p=2所以抛物线方程为y2=4x【19题详解】由题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为0设直线l1:x=t(y−a)所以设直线l2的方程为x=−t(y−a)联立方程组{y2=4xx=t(y−a)整理得y2−4ty+4at=0可得Δ1=16t2−16at>0,y1+y2=4t,y1y2=4atS△FAB=12×4√1+t2√t2−at×|1+ta|√1+t2=2√t2−at|1+ta|将t用−t代换可得S△FPQ=2√t2+at|ta−1|Δ2=16t2+16at>0由S△FAB=S△FPQ可得2√t2−at|1+ta|=2√t2+at|ta−1|化简可得√t+at−a =|ta+1ta−1|两边平方得t2=12−a2所以2−a2>0解得0<a<√2又由Δ1>0且Δ2>0可得t<−a或t>a可知t2>a2所以12−a2>a2即(a2−1)2>0所以a≠1所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,√2)20已知曲线C：y=x22D为直线y=−12上的动点过D作C的两条切线切点分别为AB（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (052)为圆心的圆与直线AB 相切且切点为线段AB 的中点求四边形ADBE 的面积【答案】(1)见详解；(2) 3或4√2 【分析】（1）可设A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)D(t,−12)然后求出AB 两点处的切线方程比如AD ：y 1+12=x 1(x 1−t)又因为BD 也有类似的形式从而求出带参数直线AB 方程最后求出它所过的定点（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立再通过M 为线段AB 的中点EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得出t 的值从而求出M 坐标和|EM |⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1结合弦长公式和韦达定理代入求解即可 【详解】(1)证明：设D(t,−12),A(x 1,y 1),则y 1=12x 12． 又因为y =12x 2所以y′=x 则切线DA 的斜率为x 1 故y 1+12=x 1(x 1−t)整理得2tx 1−2y 1+1=0 设B(x 2,y 2)同理得2tx 2−2y 2+1=0A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)都满足直线方程2tx −2y +1=0于是直线2tx −2y +1=0过点A,B 而两个不同的点确定一条直线所以直线AB 方程为2tx −2y +1=0即2tx +(−2y +1)=0当2x =0,−2y +1=0时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点(0,12) （2）[方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】 设AB 的中点为G A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则G (x 1+x 22,y 1+y 22)EG⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1+x 22,y 1+y 2−52)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1−x 2 ,y 1−y 2)．由EG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0得(x 1+x 22)(x 1−x 2)+(y 1+y 2−52)(y 1−y 2)=0将y =x 22代入上式并整理得(x 1−x 2)(x 1+x 2)(x 12+x 22−6)=0 因为x 1−x 2≠0所以x 1+x 2=0或x 12+x 22=6．由（1）知D (x 1+x 22,−12)所以DG ⊥x 轴则S 四边形ADBE =S △ABE +S △ABD = 12|EF|⋅(x 2−x 1)+ 12|GD|⋅(x 2−x 1)=(x 2− x 1)+(x 1+x 2)2+48(x 2−x 1)（设x 2>x 1）．当x 1+x 2=0时(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4即x 2−x 1=2,S 四边形ADBE =3；当x 12+x 22=6时(x 1+x 2)2=4,(x 2−x 1)2=(x 1+ x 2)2−4x 1x 2=8即x 2−x 1=2√2S 四边形ADBE =4√2． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2．[方法二]【利用弦长公式结合面积公式求面积】设D (t,−12)由（1）知抛物线的焦点F 的坐标为(0,12)准线方程为y =−12．由抛物线的定义 得|AB|=x 122+12+x 222+12=(x 1+x 2)2−2x 1x 22+1=4t 2+22+1=2t 2+2．线段AB 的中点为G (t,t 2+12)．当x 1+x 2=0时t =0,AB ⊥y 轴|AB|=2 S 四边形ADBE =12×2×(52+12)=3； 当x 1+x 2≠0时t ≠0由EG ⊥AB 得t 2+12−52t−0⋅t =−1即t =±1．所以|AB|=4,G (±1,32)直线AB 的方程为y =±x +12．根据对称性考虑点G (1,32),D (1,−12)和直线AB 的方程y =x +12即可．E 到直线AB 的距离为|EG|=√(0−1)2+(52−32)2= √2D 到直线AB 的距离为|1+12+12|√12+(−1)2=√2．所以S 四边形ADBE =12×4×(√2+√2)=4√2． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2． [方法三]【结合抛物线的光学性质求面积】图5中由抛物线的光学性质易得∠1=∠2又∠1=∠3所以∠2=∠3． 因为AF =AA 1AD =AD 所以△AFD ≌△AA 1D 所以∠AFD =∠AA 1D =90°,DF ⊥AB,DA 1=DF ．同理△BDF ≌△BDB 1⇒DB 1=DF 所以DA 1=DB 1即点D 为A 1B 1中点． 图6中已去掉坐标系和抛物线并延长BA,B 1A 1于点H ． 因为GE ⊥AB,DF ⊥AB 所以GE ∥DF ．又因为GD 分别为AB,A 1B 1的中点所以GD ∥AA 1∥EF故EFDG 为平行四边形从而GD =EF =2,AB =AA 1+BB 1=2GD =4．因为FI ∥GD 且FI =12GD 所以I 为HD 的中点从而DF =GE =√2．S 四边形ADBE =S △ADB +S △ABE = 12AB ⋅DF +12AB ⋅GE =4√2． 当直线AB 平行于准线时易得S 四边形ADBE =3． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2．[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】 由（1）得直线AB 的方程为y =tx +12 由{y =tx +12y =x 22可得x 2−2tx −1=0 于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=−1,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1|AB|=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1)设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1因此四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1 设M 为线段AB 的中点则M (t,t 2+12)由于EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 而EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(t,t 2−2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 与向量(1,t)平行所以t +(t 2−2)t =0解得t =0或t =±1 当t =0时S =3；当t =±1时S =4√2 因此四边形ADBE 的面积为3或4√2 【整体点评】(2)方法一：利用公共边将一个三角形的面积分割为两个三角形的面积进行计算是一种常用且有效的方法；方法二：面积公式是计算三角形面积的最基本方法；方法三：平稳的光学性质和相似、全等三角形的应用要求几何技巧比较高计算量较少； 方法四：弦长公式结合向量体现了数学知识的综合运用设抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F 点D (p,0)过F 的直线交C 于MN 两点．当直线MD 垂直于x 轴时|MF |=3． 21 求C 的方程；22 设直线MD,ND 与C 的另一个交点分别为AB 记直线MN,AB 的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时求直线AB 的方程． 【答案】21 y 2=4x ； 22 AB:x =√2y +4 【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF |=p +p2即可得解；（2）法一：设点的坐标及直线MN:x =my +1由韦达定理及斜率公式可得k MN =2k AB 再由差角的正切公式及基本不等式可得k AB =√22设直线AB:x =√2y +n 结合韦达定理可解【21题详解】抛物线的准线为x =−p2当MD 与x 轴垂直时点M 的横坐标为p 此时|MF |=p +p2=3所以p =2 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ； 【22题详解】[方法一]：【最优解】直线方程横截式设M (y 124,y 1),N (y 224,y 2),A (y 324,y 3),B (y 424,y 4)直线MN:x =my +1 由{x =my +1y 2=4x 可得y 2−4my −4=0Δ>0,y 1y 2=−4由斜率公式可得k MN =y 1−y 2y 124−y 224=4y1+y 2k AB =y 3−y 4y 324−y 424=4y3+y 4直线MD:x =x 1−2y 1⋅y +2代入抛物线方程可得y 2−4(x 1−2)y 1⋅y −8=0Δ>0,y 1y 3=−8所以y 3=2y 2同理可得y 4=2y 1 所以k AB =4y3+y 4=42(y1+y 2)=k MN 2又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为α,β所以k AB =tanβ=k MN 2=tanα2若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN =2k AB =2k >0则tan (α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k 1+2k 2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k 即k =√22时等号成立 所以当α−β最大时k AB =√22设直线AB:x =√2y +n代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0 Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16所以n =4 所以直线AB:x =√2y +4 [方法二]：直线方程点斜式 由题可知直线MN 的斜率存在设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),A (x 3,y 3),B (x 4,y 4),直线MN:y =k (x −1) 由 {y =k(x −1)y 2=4x得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0x 1x 2=1,同理y 1y 2=−4 直线MD :y =y 1x1−2(x −2),代入抛物线方程可得：x 1x 3=4同理x 2x 4=4代入抛物线方程可得:y 1y 3=−8,所以y 3=2y 2同理可得y 4=2y 1 由斜率公式可得：k AB =y 4−y 3x 4−x 3=2(y 2−y 1)4(1x 2−1x 1)=y 2−y 12(x 2−x 1)=12k MN .（下同方法一）若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN =2k AB =2k >0则tan (α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k 2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k 即k =√22时等号成立 所以当α−β最大时k AB =√22设直线AB:x =√2y +n代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16所以n =4所以直线AB:x =√2y +4 [方法三]：三点共线设M (y 124,y 1),N (y 224,y 2),A (y 324,y 3),B (y 424,y 4)设P (t,0),若 P 、M 、N 三点共线由PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(y 124−t,y 1)，PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(y 224−t,y 2) 所以(y 124−t)y 2=(y 224−t)y 1化简得y 1y 2=−4t反之若y1y2=−4t,可得MN过定点(t,0)因此由M、N、F三点共线得y1y2=−4由M、D、A三点共线得y1y3=−8由N、D、B三点共线得y2y4=−8则y3y4=4y1y2=−16AB过定点（4,0）（下同方法一）若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN=2k AB=2k>0则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k即k=√22时等号成立所以当α−β最大时k AB=√22所以直线AB:x=√2y+4【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式简化了联立方程的运算通过寻找直线MN,AB的斜率关系由基本不等式即可求出直线AB的斜率再根据韦达定理求出直线方程是该题的最优解也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系快速找到直线AB过定点省去联立过程也不失为一种简化运算的好方法．已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)焦距为2√3．23 求椭圆E的方程；24 过点P(−2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点BC直线ABAC分别与x轴交于点MN当|MN|=2时求k的值．【答案】23 x24+y2=124 k=−4【分析】（1）依题意可得{b=12c=2√3c2=a2−b2即可求出a从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程设B(x1,y1)、C(x2,y2)联立直线与椭圆方程消元列出韦达定理由直线AB、AC的方程表示出x M、x N根据|MN|=|x N−x M|得到方程解得即可；【23题详解】解：依题意可得b=12c=2√3又c2=a2−b2所以a=2所以椭圆方程为x 24+y2=1；【24题详解】解：依题意过点P(−2,1)的直线为y−1=k(x+2)设B(x1,y1)、C(x2,y2)不妨令−2≤x1<x2≤2由{y−1=k(x+2)x24+y2=1消去y整理得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0所以Δ=(16k2+8k)2−4(1+4k2)(16k2+16k)>0解得k<0所以x1+x2=−16k2+8k1+4k2x1⋅x2=16k2+16k1+4k2直线AB的方程为y−1=y1−1x1x令y=0解得x M=x11−y1直线AC的方程为y−1=y2−1x2x令y=0解得x N=x21−y2所以|MN|=|x N−x M|=|x21−y2−x11−y1|=|x21−[k(x2+2)+1]−x11−[k(x1+2)+1]|=|x2−k(x2+2)+x1k(x1+2)|=|(x2+2)x1−x2(x1+2) k(x2+2)(x1+2)|=2|x1−x2||k|(x2+2)(x1+2)=2所以|x1−x2|=|k|(x2+2)(x1+2)即√(x1+x2)2−4x1x2=|k|[x2x1+2(x2+x1)+4]即√(−16k2+8k1+4k2)2−4×16k2+16k1+4k2=|k|[16k2+16k1+4k2+2(−16k2+8k1+4k2)+4]即81+4k2√(2k2+k)2−(1+4k2)(k2+k)=|k|1+4k2[16k2+16k−2(16k2+8k)+4(1+4k2)]整理得8√−k=4|k|解得k=−4十三、单选题(共3 分)25设抛物线E:y 2=8x 的焦点为F 过点M(4,0)的直线与E 相交于AB 两点与E 的准线相交于点C 点B 在线段AC 上|BF|=3则△BCF 与△ACF 的面积之比S△BCF S △ACF=（ ）A 14 B 15C 16D 17【答案】C 【分析】根据抛物线焦半径公式得到B 点横坐标进而利用抛物线方程求出B 点纵坐标直线AB 的方程求出C 点坐标联立直线与抛物线求出A 点纵坐标利用S △BCF S △ACF=BC AC =y 2−yC y 1−y C求出答案【详解】如图过点B 作BD 垂直准线x =−2于点D 则由抛物线定义可知：|BF|=|BD|=3 设直线AB 为x =my +4 A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)C (−2,y C )不妨设m >0则y 1>0,y 2<0所以x 2+2=3解得：x 2=1则y 22=8x 2=8解得：y 2=−2√2则B(1,−2√2)所以−2√2m +4=1解得：m =3√24则直线AB 为x =3√24y +4所以当x =−2时即3√24y +4=−2解得：y C =−4√2则C(−2,−4√2)联立x =my +4与y 2=8x 得：y 2−8my −32=0则y 1y 2=−32 所以y 1=8√2其中S △BCF S △ACF=BC AC =y 2−yC y 1−y C=√212√2=16故选：C十四、解答题(共 6 分)已知抛物线C:x 2=2py (p >0)的焦点为F 且F 与圆M ：x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为427 若点P 在M 上P APB 是C 的两条切线AB 是切点求△PAB 面积的最大值 【答案】26 2 27 20√5 【分析】（1）结合焦点F (0,p2)与圆M 的位置关系可得F 与圆M 的最小距离为|FM |−1即可求解； （2）设切点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)得到直线l PA ,l PB 的方程联立可得P (x 1+x 22，x 1x 24)设直线l AB ：y =kx +b 与抛物线进行联立可得x 1+x 2=4k,x 1x 2=−4b 故可得到S △PAB =4(k 2+b)32由点P 在圆上可得k 2=−b 2+8b−154代入面积即可求得范围【26题详解】由圆M ：x 2+(y +4)2=1可得圆心圆M (0,−4)半径为1 易得焦点F (0,p2)在圆M 外所以点F (0,p2)到圆M 上的点的距离的最小值为|FM |−1=p2+4−1=4解得p =2 【27题详解】由(1)知抛物线的方程为x 2=4y 即y =14x 2则y ′=12x ,设切点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则易得直线l PA :y =x 12x −x 124直线l PB :y =x 22x −x 224,由{y =x 12x −x 124y =x 22x −x 224可得P (x 1+x 22，x 1x 24) 设直线l AB ：y =kx +b 联立抛物线方程消去y 并整理可得x 2−4kx −4b =0 ∴Δ=16k 2+16b >0即k 2+b >0且x 1+x 2=4k,x 1x 2=−4b∵|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2+16b 点P 到直线AB 的距离d =2√k 2+1∴S △PAB=12|AB |d =4(k 2+b)32①又点P(2k,−b)在圆M:x 2+(y +4)2=1上 故k 2=−b 2+8b−154代入①得S △PAB =4(−b 2+12b−154)32=4[−(b−6)2+214]32而y P =−b ∈[−5,−3]即b ∈[3,5] 因为y =−(b−6)2+214在区间[3,5]内单调递增且y =4x 32在定义域内单调递增所以S △PAB =4[−(b−6)2+214]32在区间[3,5]上单调递增∴当b =5时(S △PAB )max =20√5 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程设交点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2)；（2）联立直线与圆锥曲线的方程得到关于x （或y ）的一元二次方程必要时计算Δ； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2（或y 1+y 2、y 1y 2）的形式； （5）代入韦达定理求解 十五、单选题(共 3 分)28过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线于AB 两点且|AF |>|BF |则|AF||BF|的值为（ ）A3 B2C 32D 43【答案】A 【分析】方法1根据抛物线焦点弦的性质直接计算作答方法2根据给定条件求出直线l 的方程再与抛物线方程联立结合抛物线定义求解作答 【详解】方法1：根据抛物线焦点弦的性质可知|AF|=p1−cos60∘=3方法2：抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F(p 2,0)准线方程：x =−p2 直线l 方程为：y =√3(x −p2)由{y =√3(x −p2)y 2=2px消去y 得：3x 2−5px +34p 2=0设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)因|AF |>|BF |即有x 1>x 2解得x 1=3p 2,x 2=p6所以|AF||BF|=x 1+p 2x 2+p 2=3p 2+p 2p 6+p 2=3故选：A十六、多选题(共 3 分)29已知O 为坐标原点抛物线E 的方程为y =14x 2E 的焦点为F 直线l 与E 交于AB 两点且AB 的中点到x 轴的距离为2则下列结论正确的是（ ） A E 的准线方程为y =−116 B |AB |的最大值为6C 若AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 则直线AB 的方程为y =±√24x +1 D 若OA ⊥OB 则△AOB 面积的最小值为16 【答案】BCD 【分析】直接求出准线方程即可判断A 选项；由|AF |+|BF |=2|MN |=6以及抛物线的定义结合|AF |+|BF |≥|AB |即可判断B 选项；设出直线AB 的方程为y =kx +1联立抛物线由AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 解出A 点坐标即可判断C 选项；由OA ⊥OB 求得直线AB 恒过点(0,4)结合x 1x 2=−16即可求出面积最小值即可判断D 选项 【详解】由题意知E 的标准方程为x 2=4y 故E 的准线方程为y =−1 A 错误； 设AB 的中点为M 分别过点ABM 作准线的垂线垂足分别为CDN 因为M 到x 轴的距离为2所以|MN |=2+1=3由抛物线的定义知|AC |=|AF ||BD |=|BF |所以2|MN |=|AC |+|BD |=|AF |+|BF |=6 因为|AF |+|BF |≥|AB |所以|AB |≤6所以B 正确； 由AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得直线AB 过点F (0,1)直线AB 的斜率存在 设直线AB 的方程为y =kx +1联立方程得{y =kx +1,x 2=4y, 化简得x 2−4kx −4=0则x A x B =−4由于AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 所以(−x A ,1−y A )=2(x B ,y B −1)得x A =−2x B 得x A =±2√2所以y A =14x A 2=2所以k =±√24直线AB 的方程为y =±√24x +1故C 正确；设A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0又{y 1=x 124，y 2=x 224，所以x 1x 2+116(x 1x 2)2=0由题意知x 1x 2≠0所以x 1x 2=−16 又k AB =y 2−y1x 2−x 1=x 224−x 124x2−x 1=x 1+x 24故直线AB 的方程为y −y 1=x 1+x 24(x −x 1)由于y 1=x 124所以y =x 1+x 24x −x 1x 24=x 1+x 24x +4则直线AB 恒过点(0,4)所以S △OAB =12×4|x 1−x 2|=2√(x 1+x 2)2+64≥16 所以△AOB 面积的是小值为16故D 正确十七、填空题(共 9 分)30设抛物线x 2=2py(p >0)M 为直线y =−2p 上任意一点过M 引抛物线的切线切点分别为AB记ABM 的横坐标分别为x A ,x B ,x M 则下列关系：①x A +x B =2x M ；②x A x B =x M 2；③1x A+1x B=2xM其中正确的是________(填序号)． 【答案】① 【分析】利用导数几何意义求出切线MA,MB 的方程联立求出x A ,x B ,x M 的关系再逐一判断各个命题即得 【详解】由x 2=2py 得y =x 22p 求导得y ′=x p 则切线MA,MB 的斜率分别为xA p ,x B p而M(x M ,−2p)于是直线MA 的方程为y +2p =x A p(x −x M )直线MB 的方程为y +2p =x B p(x −x M )因此{x A22p+2p =x A p (x A −x M )x B22p+2p =x B p(x B −x M )则x A −x B p ⋅x M =x A 2−x B 22p而x A ≠x B 从而x A +x B =2x M ①正确；x M 2−x A x B =(x A +x B 2)2−x A x B =(x A −x B 2)2>0即x M 2>x A x B ②错误；当x M =0时③无意义 当x M ≠0时1x A+1x B−2x M=x A +x B x A x B−4xA +x B=(x A −x B )2xA xB (x A +x B )≠0③错误所以正确命题的序号是① 故答案为：①31已知A,B 为抛物线C:x 2=4y 上的两点M(−1,2)若AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 则直线AB 的方程为_________ 【答案】x +2y −3=0 【分析】由于AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可得M 为中点则{x 1+x 2=−2y 1+y 2=4根据点差法即可求得直线AB 的斜率从而得方程．【详解】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)又M (−1,2) 因为AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 所以{x 1+x 2=−2y 1+y 2=4又x 2=4y ,x 2=4y 则x 2−x 2=4y −4y 得x +x =4y 1−4y 2=−2则直线AB 的斜率为k =−12故直线AB 的方程为y −2=−12(x +1) 化简为x +2y −3=0．联立{x 2=4y x +2y −3=0 可得x 2+2x −6=0 Δ=28>0直线与抛物线有两个交点成立 故答案为：x +2y −3=0．32抛物线y 2=4x 的焦点为F 点P 在双曲线C ：x 24−y 22=1的一条渐近线上O 为坐标原点若|OF |=|PF |则△PFO 的面积为____ 【答案】√23##13√2 【分析】由双曲线的标准方程可求其渐近线方程则P 点坐标可设成只有一个参数m 的形式再由|OF |=|PF |可得m 的值则△PFO 的面积可求 【详解】抛物线y 2=4x 的焦点为F (10)双曲线C ：x 24−y 22=1的渐近线方程为x ±√2y =0不妨设P 在渐近x −√2y =0上可设P(√2m,m)m >0 由|OF |=|PF |可得 √(√2m-1)2+m 2=1解得m =2√23则△PFO 的面积为12|OF ||y P |=12×1×2√23=√23故答案为：√23。
直线与抛物线的位置关系
点 F 交抛物线于 A ， B 两点， O 为坐标原点，则△ ABO 的面积为
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(2)依题意，抛物线 C ： y 2＝16 x 的焦点为 F (4，0)，
直线 l 的方程为 x ＝ 3 y ＋4.
＝ 3 + 4，
由൝ 2
= 16，
消去 x ，整理得 y 2－16 3 y －64＝0.
12
2
− 2 ，
22 ＝
22
2
− 2 ，
即 x 1， x 2是方程 x 2－4 x －4p 2＝0的两根，
2
2
2 − 1
2 2
2 −1
2
2
所以 x 1＋ x 2＝4， x 1 x 2＝－4 p ，所以 kAB ＝
＝
＝ ，
2 −1
2 −1
所以｜ AB ｜＝ 1 + 2 · (1 ＋2 )2 − 41 2 ＝
直线与抛物线的位置关系
考点一
直线与抛物线的位置关系
过点(0，3)的直线 l 与抛物线 y 2＝4 x 只有一个公共点，则直线 l 的
1
y ＝ x ＋3或 y ＝3或 x ＝0
方程为
.
例1
3
1
当直线 l 的斜率 k 存在且 k ≠0时，由相切容易求出直线 l 的方程为 y ＝ x
3
＋3；当 k ＝0时，直线 l 的方程为 y ＝3，此时直线 l 平行于抛物线的对称
(6)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最
短的弦.
跟踪训练
2.
3
2
(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线 C ： y ＝3 x 的焦点为 F ，斜率为 的直线 l
直线与抛物线的位置关系.doc
直线与抛物线的位置关系一、焦点弦问题1.焦点弦长问题：已知抛物线22(0),y px p =>点F 是抛物线的焦点，直线l 过点F，且与抛物线交于,A B 两点．设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的倾斜角为θ（1）求证：p x x AB ++=21（2）求证：θ2sin 2p AB =（3）求AB的最小值（4）求证：pBF AF 211=+2.定值问题：已知抛物线22(0),y px p =>点F 是抛物线的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线交于,A B两点，设1122(,),(,)A x y B x y ，求证：212y y p ⋅=-，4221p x x =⋅变题：抛物线22(0)y px p =>上有两个动点1122(,),(,)A x y B x y 满足212y y p ⋅=-，求证：直线AB 过焦点3.垂直问题：已知抛物线22(0),y px p =>点F 是抛物线的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线交于,A B两点．直线1AA 与准线垂直，垂足为1A ；直线1BB 与准线垂直，垂足为1B ；H 为11B A 的中点。
找出图中互相垂直的直线，选择一组加以证明 （1）直线 ⊥直线（2）直线 ⊥直线（3）直线 ⊥直线（4）直线 ⊥直线（5）直线 ⊥直线4.三角形全等问题 已知抛物线22(0),y px p =>点F 是抛物线的焦点，直线l 过点F，且与抛物线交于,A B 两点．直线1AA 与准线垂直，垂足为1A ；直线1BB 与准线垂直，垂足为1B ；H 为11B A 的中点。
则（1） ≅（2） ≅5. 平行问题：图中互相平行的直线有： （1） （2）6.共线问题：已知抛物线22(0),y px p =>点F 是抛物线的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线交于,A B两点．直线1AA 与准线垂直，垂足为1A ；直线1BB 与准线垂直，垂足为1B ；求证：1AOB 三点共线变题：已知抛物线22(0),y px p =>点F 是抛物线的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线交于,A B 两点．直线AO 与准线交于点1B 。
高考备考复习解析几何(理科数学)：直线与抛物线的位置关系含答案
理科数学复习：直线与抛物线的位置关系最值问题1.已知直线是抛物线C ：的准线，P是C上的一动点，则P 到直线与直线：的距离之和的最小值为A. B. C. 6 D.2.已知点M，N 是抛物线上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足，弦MN的中点P到直线l ：的距离记为d ，若，则的最小值为A. 3B.C.D. 43.已知抛物线，焦点为F，过F点的直线l交抛物线于A，B 两点，则的最小值为______．斜率问题4.已知抛物线C ：的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若，则直线PQ 的斜率是A. B. 1 C. D.5.已知抛物线C ：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C及其准线分别交于P，Q 两点，，则直线l的斜率为1______．6.已知抛物线C ：，焦点为F ，过点作斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N 两点，若，则___3___ ．7.设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是A. B. C. D.离心率和距离问题8.已知抛物线的焦点为F，准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P 为抛物线上的动点，，当m最小时，点P恰好在以F，Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为A. B. C. D.9.已知抛物线C ：的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则的值为A. B. C. 1 D. 210.已知抛物线C ：的焦点为F，过F 且倾斜角为的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P ，则_2_____11.F 是抛物线的焦点，A、B 是抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为A. 4B.C.D. 312.已知直线l 过点，且倾斜角为，当此直线与抛物线交于A，B 时，A. B. 16 C. 8 D.13.已知抛物线C ：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与曲线相交于M，N两点，若，则A. B. C. 10 D. 11面积综合问题14.已知抛物线C ：的焦点为F，准线l ：，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若，且直线AF 的斜率，则的面积为A. B. C. D.15.已知抛物线方程为，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A，B两点，过点A，点B分别作AM，BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M，N 两点，那么必是A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 以上皆有可能16.（与向量结合点）已知直线与抛物线交于A，B 两点在x 轴上方，与x轴交于F 点，，则A. B. C. D. ．抛物线综合问题17.（一）已知抛物线G ：，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．当直线l 的倾斜角为时，求抛物线G的方程；对于问中的抛物线G ，若点，求证：为定值，并求出该定值．（二）.已知抛物线E ：，斜率为k 且过点的直线l与E交于A，B 两点，且，其中O 为坐标原点．求抛物线E 的方程；设点，记直线AN，BN的斜率分别为，，证明：为定值．(选做)已知曲线C ：，M ：，直线l与曲线C相交于A、B两点，O 为坐标原点．1若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；2若直线l 与曲线相切，，求的取值范围1 / 2最值问题：1. C 2. A 3. .斜率问题：4. D 5. 6. 7. C离心率和距离问题：8. D9. C 10. 11. C12. A13. B面积综合问题：14.C15.B16B抛物线综合问题：. 17.（一）抛物线G ：，知，设直线l 的方程为，由得：，显然成立．可得，，，可得．当直线l 倾斜角为时，，，得， (5)所以抛物线G 的方程为． (6)证明：由知，M为线段AB的中点，且， (7)可得，，即，又， (8)若满足题意， (9)此时． (11)综上为定值6． (12)(二).：根据题意，设直线l 的方程为，联立方程组得，设，，所以，，又，所以，从而抛物线E 的方程为．证明：因为，，所以，，因此，又，，所以，即为定值．选做由已知，可设l ：，，由得：，，．．由可得：．解得：．：，直线l 恒过定点．直线l 与曲线相切，，显然，，整理得：由Ⅰ及可得：，即的取值范围是．2 / 2。
直线和抛物线的位置关系
直线和抛物线的位置关系 姓名【预习达标】1.直线与抛物线的位置关系：（1）位置关系的判定：联立直线:l y k x m =+和抛物线22(0)y p x p =>消y 整理得：2222()0k x k m p x m +-+= 当0a ≠时0∆>⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点0∆=⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点0∆<⇔直线与抛物线相离，没有公共交点当0a =时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切（2）若直线与抛物线相交于112(,),(,)A x y B x y ，则弦长2212121()4AB k x x x x =++-或21212211()4AB y y y y k =++-，特别注意解题是结合韦达定理来处理问题2.焦点弦问题：设过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点(,0)2p F 的直线与抛物线交于),(),,(1111y x B y x A ，直线与的斜率分别为21,k k ，直线的倾斜角为，则有 ①221p y y -=；②4221p x x =；③421-=k k ；④α221sin 2p p x x AB =++=， ⑤αcos 1-=p FA ，αcos 1+=p FB ；⑥112AF BF p+=， ⑦过,A B 两点做准线的垂线，垂足分别为,M N ,则090MFN ∠=, ⑧通径P AB 2=；⑨以弦AB 长为直径的圆总与准线相切【例题讲解】题型一：直线和抛物线位置关系例1.设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，求直线l 的斜率的取值范围 （ []1,1- ）1.已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值. （40,1,5a =--）2.已知直线b x y l +=:与抛物线y x C 4:2=相切于点A（1）求实数b 的值（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程题型二：和弦长有关问题 例2.已知直线2y kx =-交抛物线28y x =于,A B 两点，且AB 的中点为0(2,)M y ，求0y 及弦AB 的长例3. 已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于,A B 两点，当OAB ∆的面积等于10时，求k 的值变式练习：1.已知抛物线x y 42=截直线b x y +=2所得的弦AB 的长为53，P 是其对称轴上一点，若S △PAB =39，求P 点的坐标。
直线与抛物线的位置关系
Байду номын сангаас
变式练习：
倾斜角为1350 的 直线，经过抛物线 y2 = 8x的焦点，则 截得的弦长是多少？
O
x
(方法总结)
判断直线与抛物线的对称轴情况 平 行 不平行 联立直线和抛物线 直线与抛物线相 交(一个交点) 利用弦长公式
课后作业：
习题8.6 2 题
y
O
x
;
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哥的话，强忍悲痛左右搀扶娘站定。耿正伸手拉过已经泪流满面的李尚武，流着眼泪对娘说：“娘，这是李尚武，俺们新认的 小弟弟！”李尚武顾不得擦去热泪赶快弓身施礼：“见过义母！”看看义母呜咽着说不出话来，尚武擦把泪转身对愣在一旁的 耿兰施礼，说：“见过兰妹妹！”尚武亲切的问候，使悲喜交加的郭氏终于慢慢止住悲声，这才想起来自己可怜的小女儿已经 不认识自己的爹和哥哥姐姐了啊！于是赶快转身寻找耿兰，嘴里说着：“兰儿啊，亏得这小哥哥提醒，你还没有喊一声爹呢！” 但是，一直愣在一旁的耿兰，听了娘的话后既不喊“爹”，也不认“大哥”、“二哥”、“姐姐”，以及这个给她施礼了的小 哥哥，而是快速地转身往北跑去了„„望着小女儿急速飞跑的背影，郭氏的眼泪再次犹如决堤的水„„她哽咽着说：“她是告 诉姥爷和舅舅他们去了„„她总在盼望着爹和哥哥姐姐们早点儿回来，可这真回来了，她，她怎么就不会叫了哇„„”看着耿 兰转身往北跑去了，还愣着的董妞儿，也一转身跑回家里给娘报信去了！隔壁屋里正在做针线活儿的裴氏，听得声音，激动不 已地跑出来了。看到这望眼欲穿的父子们终于平安地回来了，裴氏高兴得喜泪涟涟，嘴里唠叨着：“他大伯啊，你们可回来了， 怎么一走就是，就是这么多年啊？娃儿们都好哇？正儿、英子、小直子，快过来让婶儿看看！”耿正赶快上来见过，流着眼泪 说：“婶儿，俺们都好着呢！你和俺憨叔、秀儿、青山、青海也都好哇！”裴氏撩起衣襟擦着不断涌流出来的泪水，说：“都 好，都很好！”看到耿正往自己家院门儿那边看，裴氏赶快说：“秀儿和青海都在粉坊里帮你憨叔晾粉丝呢！”耿老爹和耿英、 耿直也都转身过来见过。裴氏先抓住耿英的双手，说：“英子啊，你长成大人了！”再抬头看看耿直，擦把眼泪对耿老爹说： “瞧瞧小直子这个头，比他哥哥走得时候还高哩！”说着话，刘氏和董妞儿也出来了。还没有走到近前呢，刘氏的眼泪早已经 决了堤。她顾不得擦去满脸的泪水，径直冲到耿英面前，一把抓住她的双肩说：“英子啊，快让大娘看看！”耿英流着眼泪说： “大娘，俺好着呢！你和大伯、大壮和二壮也好哇？妞儿俺已经见过了！”刘氏眼泪滴滴答答地点着头说：“好，都好，都 好！”又转身拉着耿正和耿直的手，一迭声地说：“看看，这兄弟俩，这兄弟俩，大娘都快认不出来了哇！”耿正擦把眼泪说： “大娘，俺能认出你来！”耿直吸溜一下鼻子说：“大娘，俺也能！”放开兄弟俩的手，刘氏撩起衣襟擦擦泪脸，就开始埋怨 耿老爹了：“他叔哇，你怎么这时候了才带娃儿们回来啊！可怜的兰兰经常和妞儿说，她不记得你们是什么模样了啊！”转头 寻找着问：“兰兰和妞儿呢？”耿英说：“兰兰跑去镇里告
#直线与抛物线的位置关系
O
X
（一）直线与抛物线的位置关系的判断方法
把直线方程代入抛物线方程得到关于x（或y）的
一元方程 A2xB xC0(或 Ay2ByC0 )
有两个公共点
>0
相交
A≠0
有一个公共点
A=0（直线和抛物线的对称轴平行,即相交）
相切
=0
A≠0
有一个公共点
相离 没有公共点
作业：
已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截 直线y=x+3/2所得的弦长 AB 4 2，求 此抛物线的方程. 提示：为避免讨论，可设抛物线的方程 为y2=ax(a≠0)
解：设所求直线的方程为y-2=kx （k ≠0 ） 即y=kx +2.
将直线y=kx +2代入抛物线方程，得
(kx2)2 8x 即 k2x2(4k8)x40
把直线方程代入抛物线方程得到关于x（或y）的
一元二次方程 A2xB xC0(或 Ay2ByC0 )
>0
相交
有两个公共点
A≠0
相切 有一个公共点
=0
A≠0
或者A=0（直线和抛物线的对称轴平行，即相交）
<0
相离
没有公共点
A≠0
3.直线与抛物线只有一个公共点是它们相 切的必要非充分条件.即
相切 有一个公共点
变式：已知直线y=x+b与抛物线y2=8x相 交于A,B两点，且 AB 4 2 ,求b的值.
分析：将直线方程代入抛物线方程得到一个 关于x的一元二次方程，再利用韦达定理以及 弦长公式 AB 1k2 x1x2 .
课时小结
1.直线与抛物线 的位置关系：
Y L4
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11月21日 直线与抛物线的位置关系
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆
典例在线
（2017年高考浙江卷）如图，已知抛物线2
x y =，点A 11()24-，，39()24
B ，，抛物线上的点13
(,)()22
P x y x -
<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．
（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值． 【参考答案】（1）(1,1)-；（2）
27
16
.
（2）联立直线AP 与BQ 的方程110,24
930,
42kx y k x ky k ⎧
-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩
解得点Q 的横坐标是2243
2(1)
Q k k x k -++=+．
因为|PA 1)
2x +1)k +，|PQ 2)Q x x -=，
所以3
(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=． 令3
()(1)(1)f k k k =--+，
因为2
()(42)(1)f k k k '=--+，
所以f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2
上单调递减， 因此当k =
1
2时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716
． 【解题必备】（1）判断直线与抛物线的位置关系,一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为二次方程,则利用判别式判断方程解的个数.
（2）研究直线与抛物线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，然后解方程组或者转化为形如一元二次方程的形式，若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解.注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用.
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1．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB △的面积为4，则||AB = A ．6 B ．8
C ．12
D ．16
2．如图，已知抛物线C ：2
4y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．
（1）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；
（2）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
1．【答案】D
【
解
析
】
设
,所以
，由A O B △的面积为
4得
D.
∴124y y m +=，124y y =-，
∴2
1212()242x x m y y m +=++=+， （1）∵2
12||2445AB x x m =++=+=，解得 ∴直线l 的斜率2
4k =，
∵0k >， ∴2k =，
∴直线l 的方程为220x y --=．
（2）设2
(,2)M a a ，
由题意及直线l 的方程可得2
(1,)D m
--，
则
∵直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，
∴存在点(1,2)M 或(1,2)M -，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列．。