直线与抛物线的位置关系详案
考点102直线与抛物线的位置关系
考点102直线与抛物线的位置关系一、课本基础提炼1．研究直线与抛物线的位置关系,一般是联立两曲线方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．2．有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式二级结论必备过抛物线焦点的动直线与抛物线交于点A,B,则该抛物线在点A,B处的两切线的交点轨迹是抛物线的准线.1.直线与抛物线相交时的弦长问题若直线过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用|AB|＝x1＋x2＋p；若直线不过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用,对于此类问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,另外注意与面积有关的问题,常用到弦长公式.例1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值．【解析】(1)由题可知F,则该直线方程为代入y2＝2px(p＞0),得设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1＋x2＝3p.∵|MN|＝8,∴x1＋x2＋p＝8,即3p＋p＝8,解得p＝2,∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝x＋b,代入y2＝4x,得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.∵l为抛物线C的切线,∴Δ＝0,解得b＝1.∴l的方程为y＝x＋1.设P(m,m＋1),则＝(x1－m,y1－(m＋1)),＝(x2－m,y2－(m＋1)),∴＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.由(1)可知：x1＋x2＝6,x1x2＝1,∴(y1y2)2＝16x1x2＝16,y1y2＝－4.,＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14,当且仅当m＝2,即点P的坐标为(2,3)时,的最小值为－14.例2.抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.【解析】由题意,可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ,①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5,0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m,x1•x2=m2,点A到直线l的距离为,从而=4(1－m)(5+m)2,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1,△AMN的最大面积为2．抛物线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.例3．已知抛物线y2=4x的一条弦的斜率为3,它与直线交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为_______．【解析】设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2),弦PQ的中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0=1,y1+y2=2y0,又两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)即2y0(y1-y2)=4(x1-x2),∴点M的坐标为3.抛物线的切线问题由于抛物线x2=2py(p≠0),可转化为函数,因此我们可以借助导数的几何意义来研究抛物线的切线.例4. 已知抛物线x2＝2y,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________．【解析】由x2＝2y,得,∴y′＝x.设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴抛物线在P,Q两点处的切线的斜率分别为x1,x2,∴过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1),又∴切线方程为,同理可得过点Q的切线方程为,两切线方程联立解得又抛物线焦点F的坐标为,易知直线l的斜率存在,可设直线l的方程为,由,得x2－2mx－1＝0,所以x1x2＝－1,所以4．面积问题求三角形或四边形的面积最值是高考中的常见问题,解决这类问题的基本方法是把面积表示为某一变量的函数,再转化为函数求最值,或利用基本不等式求最值.例5．(2014•高考四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA→•OB→＝2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A．2 B．3【解析】设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1x2＋y1y2＝2.∴y1y2＝－2.联立得y2－ny－m＝0, ∴y1y2＝－m＝－2,∴m＝2,即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO当且仅当时,等号成立．例6．已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.【解析】(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y),由(1)知,y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,则有∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为从而当a有最大值时,S有最大值为5.对称问题根据圆锥曲线上存在不同两点关于某直线对称求参数范围，是一类典型问题，解决此类对称问题,要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点,故Δ＞0.一般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线的方程,再与曲线方程联立,由判别式不等式求出参数范围.例7.已知抛物线y＝ax2－1(a≠0)上总有关于直线x＋y＝0对称的相异两点,求a的取值范围.解：设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线y＝ax2－1上的关于直线x＋y＝0对称的两相异点,则两式相减,得y1－y2＝a(x1－x2)(x1＋x2).再由x1≠x2,得设线段AB的中点为M(x0,y0),则由M点在直线x＋y＝0上,得∴直线AB的方程为联立直线AB与抛物线的方程并消去y,得依题意,上面的方程有两个相异实根,∴a的取值范围是1.(2014•潍坊模拟)过抛物线y2＝4x的焦点且斜率为的直线l与抛物线y2＝4x交于A,B两点,则|AB|的值为( )【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的焦点为(1,0),则直线l的方程为,代入抛物线方程得3x2－10x＋3＝0.根据抛物线的定义,可知|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝2．已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C:y2=8x相交A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )【答案】D【解析】由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,由|FA|=2|FB|知x A+2=2(x B+2) 联立方程用根与系数关系可求3．抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0解方程组,得ax2－kx－b=0,可知,代入验证即可.4.已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_______．答案】y2=4x【解析】设抛物线为y2＝kx,与y＝x联立方程组,消去y,得：x2－kx＝0, x1+x2＝k＝2×2,故y2=4x.1.设抛物线x2＝12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则|AF|＋|BF|＝( )A.12B.10C.6D.8 【答案】D【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1＋y2＝2×1＝2,|AF|＋|BF|＝(y1＋3)＋(y2＋3)＝(y1＋y2)＋6＝8.故选D.2.已知双曲线(a＞0,b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p＝( )A.1 C.2 D.3 【答案】C【解析】由双曲线的离心率.∴双曲线的渐近线方程为.由题意可设得p＝2或－2(舍去).故选C.3.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】A【解析】由题不妨设A在第一象限,联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6),B(1,－2),而准线方程是x＝－1,所以|AP|＝10,|QB|＝2,|PQ|＝8,故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)•|PQ|＝48.4.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点,则这样的直线有条_______．注意到点(2,4)是抛物线上的点,用数形结合知满足题意的直线有两条,其一是过该点的切线；其二是过该点且与对称轴平行的直线.故填2.5.设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若FQ＝2,则直线l的斜率等于_______．【答案】±1【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y＝k(x＋1),联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0,x1＋x2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝,设Q(x0,y0),则,又F(1,0),,解得k＝±11.（2015福建文19）已知点F为抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G(-1,0) ,延长AF交抛物线E于点B,求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直GB相切．【答案】（1）y2=4x；（2）见解析【解析】（1）由抛物线的定义得．因为|AF|=3,即,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x．（2）解法一：因为点A(2,m),在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),所以所以k GA+K GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．解法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),故直线GA的方程为从而又直线GB的方程为所以点F到直线GB的距离这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．2.设不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y＝2x2上,l是AB的垂直平分线.(1)当且仅当x1＋x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.【查看答案】【答案】(1) x1＋x2＝0 ；(2)【解析】(1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A,B两点到抛物线的准线的距离相等,∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0,∴上述条件等价于∵x1≠x2,∴上述条件等价于x1＋x2＝0,即当且仅当x1＋x2＝0时,l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为由y＝2x2,得过A,B的直线方程为∵直线AB与抛物线有两个不同交点,∴联立得32x2＋8x＋5－16b＝0,Δ＝－9＋32b＞0,.因此直线l在y轴上截距的取值范围是3.如图,已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0)．(1)若动点M满足,求点M的轨迹C；(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E,F(E在B,F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．(1) 以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆；(2)【解析】(1)由x2＝4y,得∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1,故直线l的方程为y＝x－1,∴点A坐标为(1,0)．设M(x,y),则由得整理得∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆．(2)由题意知直线l′的斜率存在且不为零,设l′的方程为y＝k(x－2)(k≠0),①将①代入整理,得(2k2＋1)x2－8k2•x＋(8k2－2)＝0,由Δ＞0得设E(x1,y1),F(x2,y2),由此可得,且0＜λ＜1.由②知(x1－2)•(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4又∵0＜λ＜1,∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是。
直线和抛物线的位置关系学案
高二数学选修2--1学案 姓名 班级直线和抛物线的位置关系2.4.3【学习目标】1.掌握抛物线定义及其标准方程和抛物线的几何性质.，2.掌握直线和抛物线的位置关系的判断方法.3.熟练掌握直线和抛物线的位置关系的应用【预习达标】1.直线与抛物线的位置关系：（1）位置关系的判定：联立直线:l y kx m =+和抛物线22(0)y px p =>消y 整理得：2222()0k x km p x m +-+=当0a ≠时0∆>⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点0∆=⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点0∆<⇔直线与抛物线相离，没有公共交点当0a =时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切（2）若直线与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长AB =AB =，特别注意解题是结合韦达定理来处理问题 2.焦点弦问题： 设过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点(,0)2p F 的直线与抛物线交于),(),,(1111y x B y x A ， 直线与的斜率分别为21,k k ，直线的倾斜角为，则有 ①221p y y -=；②4221p x x =；③421-=k k ；④α221sin 2p p x x AB =++=， ⑤αcos 1-=p FA ，αcos 1+=p FB ；⑥112AF BF p+=， ⑦过,A B 两点做准线的垂线，垂足分别为,M N ,则090MFN ∠=, ⑧通径P AB 2=；⑨以弦AB 长为直径的圆总与准线相切【例题讲解】题型一：直线和抛物线位置关系例1.设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，求直线l 的斜率的取值范围 （ []1,1- ）例2.已知直线l ：1y kx =+和抛物线28y x =（1）若直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围（2）若直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的取值范围（3）若直线l 与抛物线没有公共点，求k 的取值范围变式练习：1.已知直线y kx k =-及抛物线22(0)y px p =>，请判断直线和抛物线的位置关系2.已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值. （40,1,5a =--） 3. 求过定点)1,0(P 且与抛物线x y 22=只有一个公共点的直线的方程。
直线与抛物线的位置关系说课稿
直线与抛物线的位置关系说课稿标题：直线与抛物线的位置关系一、教学目标1.理解直线与抛物线的基本概念和性质。
2.掌握判断直线与抛物线位置关系的方法。
3.能够运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。
二、教学内容1.直线与抛物线的定义和性质。
2.判断直线与抛物线位置关系的方法。
3.实际应用案例。
三、教学方法1.讲解法：通过讲解直线与抛物线的定义和性质，让学生对基础知识有清晰的认识。
2.讨论法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，提高学生的思维能力和解题技巧。
3.案例分析法：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用。
四、教学过程1.导入新课：通过展示一些与直线和抛物线相关的图片或问题，引导学生思考直线与抛物线的位置关系。
2.讲解基础知识：介绍直线与抛物线的定义和性质，包括直线的方程、抛物线的方程、直线与抛物线的交点等。
3.讨论判断方法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，包括利用直线和抛物线的方程求解交点、利用图像观察等方法。
4.案例分析：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用，包括求最值、解方程等问题。
5.课堂练习：布置一些与直线与抛物线位置关系相关的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
6.总结归纳：对本节课所学内容进行总结归纳，强调重点和难点，帮助学生加深对知识的理解和记忆。
五、教学评价1.对学生的课堂表现进行评价，包括参与度、思维活跃度等方面。
2.对学生的作业完成情况进行检查，了解学生对知识的掌握情况。
3.通过考试或测验的方式，对学生的学习成果进行评估。
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案教学目标：知识与能力：掌握直线与抛物线的位置关系，弦长问题、中点弦问题、最值问题。
注意数与形的结合与转化。
过程与方法：运用联系的观点解决问题，提高学生的数学素质。
情感态度与价值观：培养学生观察、推理的思维能力，使学生树立创新意识。
教学重点：直线与抛物线的位置关系，弦长、中点弦问题。
教学难点：直线与抛物线的位置关系。
学情分析：学生已经学习了“直线与圆的位置关系”，但考虑到学习时间间隔比较长，文科班的学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节先让学生课前先自己观看微课视频，课上再重点学习并灵活应用。
学生学法：自主探究。
教学过程：一、直线与抛物线的位置关系种类1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）二、判断方法探讨（1）判断直线y = x +2与抛物线y2 =4x 的位置关系（2）判断直线y = x +1与抛物线y2 =4x 的位置关系（3）判断直线y = 6与抛物线y2 =4x 的位置关系（4）判断直线y = x -1与抛物线y2 =4x 的位置关系三、判断位置关系的方法总结学生总结教师补充1、把直线方程代入抛物线方程{得到一元一次方程→直线与抛物线相交（一个交点）得到一元二次方程→计算判别式{判别式大于0，相交（2个交点）判别式等于0，相切判别式小于0，相离2、判断直线是否与抛物线的对称轴平行{平行→直线与抛物线相交（一个交点）不平行→计算判别式{判别式大于0，相交（2个交点）判别式等于0，相切判别式小于0，相离四、典例分析例1 过抛物线y2=2x的焦点做倾斜角为450的弦AB,则AB的长度是多少?变式1 已知抛物线y2=2x 截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值.变式2 已知抛物线y2=2x 截直线y=kx+1所得弦长为4,求k的值.例2 求过定点P（0，1）且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线的方程.解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是x=0(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是y=kx+1由方程组{y=kx+1y2=2x 消去y 得K2x2+2(k-1)x+1=0当k=0时，x=12, y=1故直线y=1与抛物线只有一个交点当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则∆=4(k-1)2-4k2=0∴K=12此时直线方程为y=12x+1综上所述，所求直线方程为x=0或y=1或y=12x+1点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 让学生掌握直线与抛物线的位置关系，能够判断直线与抛物线的位置；2. 学会利用数学知识解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，直观地展示直线与抛物线的交点情况。
情感态度价值观：1. 培养学生的团队协作精神，让学生在合作中学习，提高学习兴趣；2. 培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 直线与抛物线的位置关系的判断；2. 利用数形结合方法分析直线与抛物线的位置关系。
难点：1. 对直线与抛物线位置关系的理解；2. 如何在实际问题中应用直线与抛物线的位置关系。
三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT；2. 相关例题及练习题；3. 数学软件或板书。
学生准备：1. 课本；2. 笔记本；3. 草稿纸。
四、教学过程：1. 导入新课：利用PPT展示直线与抛物线的图像，引导学生观察并思考它们之间的位置关系。
2. 知识讲解：讲解直线与抛物线的位置关系，包括相交、相切、平行等情况，并通过实例进行解释。
3. 例题解析：利用数学软件或板书，展示典型例题，引导学生分析解题思路，总结规律。
4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
5. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线位置关系的判断方法及应用。
五、课后作业：1. 完成课后练习题；2. 结合生活实际，寻找直线与抛物线的位置关系应用实例，下节课分享。
注意事项：1. 注重学生个体差异，因材施教；2. 鼓励学生提问，充分调动学生的积极性；3. 课堂练习环节，关注学生的解题过程，培养学生的思维能力。
六、教学拓展：1. 分析其他类型的曲线（如圆、双曲线等）与直线的position relationship；2. 探讨直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如物理中的运动轨迹问题，工程中的优化问题等；3. 利用数学软件，让学生自己尝试绘制不同位置关系的直线与抛物线，加深对知识的理解。
高中数学同步学案 直线与抛物线的位置关系
第二课时 直线与抛物线的位置关系[读教材·填要点]直线与抛物线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m,抛物线：y 2＝2px(p ＞0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0,(1)若a≠0,当Δ＞0时,直线与抛物线相交,有两个交点； 当Δ＝0时,直线与抛物线相切,有一个交点； 当Δ＜0时,直线与抛物线相离,无公共点．(2)若a ＝0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．[小问题·大思维]若直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线与抛物线有什么样的位置关系？提示：直线与抛物线相切时,只有一个公共点,反过来,当只有一个公共点时,直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．直线与抛物线的位置关系若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点,试求实数a 的取值集合．[自主解答] 因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点,所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax有唯一一组实数解．消去y,得[(a ＋1)x －1]2＝ax, 整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0.①(1)当a ＋1＝0,即a ＝－1时,方程①是关于x 的一元一次方程,解得x ＝－1,这时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0,即a≠－1时,方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a(5a ＋4)＝0, 解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，当a ＝－45时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5.y ＝－2.综上,实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.若将“曲线C ：y 2＝ax 恰有一个公共点”改为“抛物线C ：y 2＝ax(a≠0)相交”,如何求解？解：列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax a≠0，消去x 并化简,得(a ＋1)y 2－ay －a ＝0.(*)①当a ＋1＝0即a ＝－1时：方程(*)化为y ＋1＝0, ∴y ＝－1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，故直线与抛物线相交．②当a ＋1≠0即a≠－1时, 由Δ＝(－a)2＋4a(a ＋1)≥0,得 5a 2＋4a≥0,结合a≠0, 解得a≤－45或a>0.综上所述,实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45∪(0,＋∞)．直线与抛物线的位置关系有三种,即相交、相切、相离,这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断．当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交,此时只有一个交点．1.如图,直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A. (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0,(*)因为直线l 与抛物线C 相切, 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1,故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2,代入x 2＝4y,得y ＝1, 故点A(2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切,所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离． 即r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.弦长、中点弦问题已知顶点在原点,焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15,求此抛物线方程．[自主解答] 设抛物线方程为：x 2＝ay(a≠0),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0.消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0, ∵直线与抛物线有两个交点,∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0,即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x 1＋x 2＝a 2,x 1x 2＝a 2,y 1－y 2＝12(x 1－x 2),弦长为|AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝54x 1－x 22＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝145a 2－8a .∵|AB|＝15,∴145a 2－8a ＝15,即a 2－8a －48＝0,解得a ＝－4或a ＝12, ∴所求抛物线方程为：x 2＝－4y 或x 2＝12y.(1)研究直线与抛物线的弦长问题,通常不求弦的端点坐标,而是直接利用弦长公式|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|,另外要注意斜率不存在的情况,当弦过焦点时可利用焦点弦公式求解．(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题,处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率．2．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB,若弦恰被Q 平分,求AB 所在直线方程． 解：设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②x 1＋x 2＝8， ③y 1＋y 2＝2， ④k ＝y 1－y 2x 1－x 2,⑤ ①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 将④代入,得y 1－y 2＝4(x 1－x 2),4＝y 1－y 2x 1－x 2.∴k ＝4.经验证,此时直线与抛物线相交．∴所求弦AB 所在直线方程为y －1＝4(x －4), 即4x －y －15＝0.抛物线中的定点、定值问题A,B 是抛物线y 2＝2px(p>0)上的两点,并满足OA ⊥OB,求证：(1)A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别都是一个定值； (2)直线AB 经过一个定点．[自主解答] (1)因为AB 斜率不为0,设直线AB 方程为my ＝x ＋b,由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x ＋b ，y 2＝2px ，消去x,得y 2－2pmy ＋2pb ＝0.由Δ＝(－2pm)2－8pb>0,又∵y 1＋y 2＝2pm,y 1y 2＝2pb,OA ⊥OB, ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.∴y 21·y 224p2＋y 1·y 2＝0.∴b 2＋2pb ＝0.∴b ＋2p ＝0.∴b ＝－2p. ∴y 1y 2＝－4p 2,x 1·x 2＝b 2＝4p 2.所以A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别是4p 2和－4p 2；(2)直线AB 的方程为my ＝x －2p, 所以AB 过定点(2p,0)．直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题,如果该定值是个待求的未知量,则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值,然后证明该定值即为所求．3．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A,B,求证：y A ·y B ＝－p 2. 证明：①斜率不存在时y 1＝p,y 2＝－p, ∴y 1y 2＝－p 2.②斜率存在时,⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x 得,y ＝k·y 22p －kp2,∴y 1·y 2＝－kp 2k 2p ＝－p 2.解题高手 多解题 条条大路通罗马,换一个思路试一试抛物线y 2＝x 上,存在P,Q 两点,并且P,Q 关于直线y －1＝k(x －1)对称,求k 的取值范围． [解] 法一：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧y 1－y 2＝－1k x 1－x 2，y 1＋y 22－1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－1，∴y 1＋y 2＝－k.∴－k 2－1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 222－1＝k 2[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2－2]． ∴－k －2＝k[k 2－2y 1(－k －y 1)－2]． ∴2ky 21＋2k 2y 1＋k 3－k ＋2＝0. ∴Δ＝4k 4－8k(k 3－k ＋2)>0. ∴k(－k 3＋2k －4)>0. ∴k(k 3－2k ＋4)<0. ∴k(k ＋2)(k 2－2k ＋2)<0. ∴k ∈(－2,0)．法二：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),且PQ 的中点M(x 0,y 0), 由题意可知直线y －1＝k(x －1)的斜率存在,且k≠0. 不妨设直线PQ 的方程为x ＋ky ＋m ＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋m ＝0，y 2＝x ，得y 2＋ky ＋m ＝0. ∴y 1＋y 2＝－k. 即y 0＝－k 2,x 0＝12－1k.又∵中点M(x 0,y 0)在抛物线的内部, ∴y 20<x 0,∴k 3－2k ＋4k<0,即k ＋2k 2－2k ＋2k<0,∴k ∈(－2,0)．1．若直线y ＝2x ＋p 2与抛物线x 2＝2py(p>0)相交于A,B 两点,则|AB|等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12p解析：将直线方程代入抛物线方程, 可得x 2－4px －p 2＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝4p,∴y 1＋y 2＝9p. ∵直线过抛物线的焦点,∴|AB|＝y 1＋y 2＋p ＝10p. 答案：B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线,与抛物线y 2＝8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：不妨设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 由直线AB 斜率为－2,且过点(1,0)得直线AB 方程为y ＝－2(x －1), 代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x, 整理得x 2－4x ＋1＝0, ∴x 1＋x 2＝4,x 1x 2＝1, ∴|AB|＝1＋k2|x 1－x 2|＝5[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝215.答案：B3．过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：斜率不存在时,直线x ＝0符合题意,斜率存在时,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0, k ＝0时,符合题意, k≠0时,由Δ＝0得k ＝12.答案：C4．已知△OAB 为等腰直角三角形,其中|OA|＝|OB|,若A,B 两点在抛物线y ＝14x 2上,则△OAB 的周长是________．解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 2<0<x 1,由|OA|＝|OB|及抛物线的对称性知AB ⊥y 轴,y 1＝x 1,又y 1＝14x 21,所以x 1＝y 1＝4,故|OA|＝|OB|＝42,|AB|＝8,△OAB 的周长为8＋8 2.答案：8＋8 25．已知抛物线y 2＝2px(p ＞0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2,即x ＝y ＋p 2,将其代入得：y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2,所以y 2－2py －p 2＝0,所以y 1＋y 22＝p ＝2,所以抛物线的方程为y 2＝4x,准线方程为x ＝－1.答案：x ＝－16．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A,B 两点,若线段AB 中点的横坐标等于2,求弦AB 的长． 解：将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得： k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，4k ＋82－16k 2>0⇒k>－1且k≠0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0.解得k ＝2或k ＝－1(舍去)． 由弦长公式得： |AB|＝1＋k 2·64k ＋64k2＝5×1924＝215.一、选择题1．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则y 1y 2x 1x 2的值为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：取特殊位置,当AB ⊥x 轴时,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p . ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 答案：B2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：准线x ＝－2,Q(－2,0),设l ：y ＝k(x ＋2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时,x ＝0,即交点为(0,0), 当k≠0时,Δ≥0,－1≤k＜0或0＜k≤1. 综上,k 的取值范围是[－1,1]． 答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2,－1),则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b ax ，x ＝－p2，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－bp 2a ，x ＝－p2.由题得知⎩⎪⎨⎪⎧－bp2a＝－1，－p2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，p ＝4.又知p 2＋a ＝4,故a ＝2,b ＝1,c ＝a 2＋b 2＝5,∴焦距2c ＝2 5. 答案：B4．设定点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 的距离为d 1,P 到抛物线准线l 的距离为d 2,则d 1＋d 2取最小值时,P 点的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1,2)C ．(2,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－12解析：连接PF,则d 1＋d 2＝|PM|＋|PF|≥|MF|,知d 1＋d 2的最小值为|MF|,当且仅当M,P,F 三点共线时,等号成立,而直线MF 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎪⎫x －12,与y 2＝2x 联立可得x ＝2,y ＝2.答案：C 二、填空题5．已知抛物线y 2＝4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则y 21＋y 22的最小值是________．解析：显然x 1>0,x 2>0.又y 21＝4x 1,y 22＝4x 2,所以y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥8x 1x 2,当且仅当x 1＝x 2＝4时取等号,所以y 21＋y 21的最小值为32.答案：326．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作斜率为45°的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的长为8,则p ＝________.解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由条件可知直线AB 的方程为y ＝x －p 2,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－px ＋p24＝2px.即x 2－3px ＋p24＝0,又|AB|＝8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝8. ∴x 1＋x 2＝8－p. 即3p ＝8－p,∴p ＝2. 答案：27．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A,B 两点,过A,B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0,得x ＝1或9,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP|＝10,|BQ|＝2或|BQ|＝10,|AP|＝2,所以|PQ|＝8,所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.答案：488．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A,B 满足AF ―→＝3FB ―→,则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：依题意,设直线AB 的方程是x ＝my ＋1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(my ＋1),即y 2－4my －4＝0,所以y 1＋y 2＝4m,y 1y 2＝－ 4. 又AF ―→＝3FB ―→,AF ―→＝(1－x 1,－y 1),FB ―→＝(x 2－1,y 2),于是有－y 1＝3y 2,y 22＝43, (y 1＋y 2)2＝4y 22＝163, 弦AB 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝y 21＋y 228＋1 ＝y 1＋y 22－2y 1y 28＋1＝163＋88＋1＝83. 答案：83三、解答题9．已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k(x ＋1)相交于A,B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时,求k 的值．解：(1)证明：易知k≠0,联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝－x ，y ＝k x ＋1，消去x,得ky 2＋y －k ＝0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝－1k,y 1·y 2＝－1. 因为y 21＝－x 1,y 22＝－x 2,所以(y 1·y 2)2＝x 1·x 2,所以x 1·x 2＝1,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即OA ―→·OB ―→＝0,所以OA ⊥OB.(2)设直线l 与x 轴的交点为N,则N 的坐标为(－1,0),所以S △AOB ＝12|ON|·|y 1－y 2| ＝12×|ON|×y 1＋y 22－4y 1·y 2 ＝12×1× 1k2＋4＝10,解得k 2＝136,所以k ＝±16. 10.如图,过抛物线y 2＝x 上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC 交抛物线于B,C 两点,求证：直线BC 的斜率是定值．证明：设AB 的斜率为k,则AC 的斜率为－k.故直线AB 的方程是y －2＝k(x －4),与y 2＝x 联立得,y －2＝k(y 2－4),即ky 2－y －4k ＋2＝0.∵y ＝2是此方程的一解,∴2y B ＝－4k ＋2k ,y B ＝1－2k k, x B ＝y 2B ＝1－4k ＋4k 2k 2. ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k＋4k 2k 2，1－2k k . ∵k AC ＝－k,以－k 代替k 代入B 点坐标得点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋4k＋4k 2k 2，1＋2k －k , ∴k BC ＝－1＋2k k －1－2k k 1＋4k ＋4k 2k 2－1－4k ＋4k 2k 2＝－14为定值．。
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
一．教学目标
1. 掌握抛物线的定义
2. 了解抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法
3. 掌握抛物线与直线位置关系，间接联系条件概率
二．教学准备
1. 白板，粉笔
2. 激励故事/简答题
3. 图片和例题
三．教学步骤
（一）引入
1. 播放激励性故事，引起学生对直线与抛物线的兴趣。
2. 设置简答问题，让学生思考直线与抛物线的关系，启发学生思维。
（二）快速拓展
1. 定义抛物线，并介绍抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法等。
2. 出示图片，解释抛物线与直线的位置关系：直线交抛物线两次，有两个不同的焦点；抛物线有唯一的轴对称性，其实现此轴为中轴线；两个焦点到中轴线的距离相等，为直线的焦点距。
（三）深度应用
1. 针对存在的问题，出示例题，通过研究解答，进一步深入探讨抛物线与直线位置关系的内容。
2. 邀请学生回答问题，让学生认识到解决问题的过程，加深对位置关系的理解。
（四）归纳总结
1. 回顾本节课学习内容，并总结抛物线与直线之间位置关系。
2. 介绍抛物线与条件概率的间接联系，强化对本节内容的理解加深认识。
四．教学反思
本节课学习内容比较复杂，时间较紧张，未能充分挖掘学生的潜力，希望能给学生更多的思考空间，让学生能更好的理解抛物线与条件概率的联系。
直线与抛物线的位置关系 详案
2.4.2直线与抛物线的位置关系一、教材分析及教学对象分析从教材角度分析，本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1.“直线与圆锥曲线的位置关系”一直是教学的一个重点内容，并且该内容涉及到了很多重要的数学思想，“转化思想”、“分类讨论思想”、“数形结合思想”，这些数学思想在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时起着至关重要的作用.鉴于教材并未专门设立“直线与圆锥曲线的位置关系”这一内容，因此本节课通过研究“直线与抛物线的位置关系”，探讨出相应的解决方法，并把相应的研究方法运用到讨论“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”中，从而提高教材知识的系统性和全面性.从学生的角度分析，学生在之前已学习了“直线与圆的位置关系”，对判断“直线与圆的位置关系”已掌握了基本的方法，但是考虑到学习间断的时间较长，平行班的部分学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节课利用代数方法研究“直线与抛物线的位置关系”，在知识的衔接上起到了“承上启下”的作用.二、教学目标1、知识与技能：掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；2、过程与方法：联立方程组的解析法与坐标法；3、情感态度价值观：让学生体验研究解析几何的基本思想，感受数学发展史的源远流长.三、教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法.四、教学难点：直线与抛物线的位置关系的判断方法.五、教学方法：多媒体教学、学案式教学.教学过程一、课题引入师：之前我们学习了直线与圆的位置关系，根据直线与圆公共点个数进行分类分别为：没有公共点、一个公共点、两个公共点，对应的位置关系我们分别叫做：相离、相切、相交.类比直线与圆的位置关系，你能说出直线与抛物线的位置关系吗？注：利用PPT 演示几种位置关系二、新课讲解生：观察图像，得出结论.师：结合PPT ，此时直线与抛物线没有公共点，称直线与抛物线相离；此时有两个公共点，称直线与抛物线相交；当直线与抛物线有一个公共点时，是否一定是相切呢？演示相切的情形，这时是相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，对于这种位置关系我们也叫做直线与抛物线相交.因此我们要特别注意：若直线与抛物线有一个公共点，此时位置关系有两种可能，即直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行.下面简单地总结一下.（板书：直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交）师：现在我们清楚了直线与抛物线的位置关系，那么利用什么方法判断直线与抛物线的位置关系呢？请大家做一下这个题目，第一组做（1）（2），第二组做（3）（4）判断下列直线与抛物线的公共点个数.（1）1-=y 与2x y =；（2）1=y 与x y =2；（3）12-=x y 与2x y =；（4）x y =与2x y =.注：课前先分好组，第一组做（1）（2），第二组做（3）（4）.在学生做题的过程中，教师到学生中观察，找到自己想要的两种方法.鉴于学生的基础，可能会出现的判断方法有图像观察法，解方程组的方法，个别基础好的同学会用判别式法.师：甲同学，说说你的判断结果，并和大家分享一下你所使用的方法.学生甲：作出图像，通过观察图像直接判断公共点的个数，（1）直线与抛物线没有公共点，（2）直线与抛物线只有一个公共点.师：几何法，一种很直观的方法，很不错.展示图像师：乙同学，我发现你用的方法和甲的不一样，说一下你的判断结果和判断方法.学生乙：解方程组，求出交点坐标，（3）公共点坐标为)1,1(，（4）公共点坐标为)1,1(),0,0( 师：非常好,利用解方程组的方法进行判断.展示方法师：对于判断直线与抛物线的位置关系，几何法与代数法都可以使用.但由于手工作图会有一定的误差，这对于我们判断结果是不利的.因此本节课我们重点来学习利用代数法判断直线与抛物线的公共点个数.大家一起来看这样一个例题.三、例题解析例6 已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点)1,2(-P ，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？师：仿照上述的解方程组的方法，我们来分析一下这道题目.抛物线方程已知，直线方程未知，自然我们要先把直线l 的方程表示出来.提问学生，那这条直线的方程应该怎么表示呢？ 生：由于直线l 经过点)1,2(-P ，且斜率为k ，由直线的点斜式方程可得l ：)2(1+=-x k y 师：非常好！把直线方程与抛物线方程联立，接下来我们要做的事情就是消元，那我们应该怎么消元呢？生丙：由直线方程)2(1+=-x k y 得1)2(++=x k y ，代入抛物线方程x y 42=，得x x k 42]1)2([=++，整理......师：这是一种非常实用的方法，但是计算的过程略显麻烦.还有其它的方法吗？生丁：由直线方程)2(1+=-x k y 得21--=ky x ，代入抛物线方程x y 42=，得)21(42--=ky y ，整理得0)12(442=++-k y ky 师：这种消元方法有一点瑕疵，哪位同学发现了？生：此时意识到0≠k ，才可以这么做.师：为了避免上述问题，我们可以怎么消元呢？生：也可以由抛物线方程x y 42=得42y x =，代入直线方程)242(1+=-y k y ，整理得0)12(442=++-k y ky ①师：这位同学可谓是一语中的啊.在消元这个环节，大家要特别消元方法的选择.原则上，这几位同学的消元方法都可以，但我们还是以简单为主.并且我们是整理成02=++c by ay的形式.师：那么这个方程0)12(442=++-k y ky 如何求解呢？生：思考，由于含有参数k ，确实不容易求解.师：那我们有没有必要求出具体的解呢？题目要求我们判断公共点的个数，那么公共点个数的问题与对应的方程组有什么关系呢？生：凭感觉能够说出公共点个数就是方程组的解的个数.师：对学生的感觉在理论上给予肯定，借助几何画板简单分析.根据曲线与方程的关系，点既在直线上又在抛物线上，那么点的坐标就是方程组的解.直线与抛物线有几个公共点，对应的直线方程与抛物线方程组成的方程组就有几个解，这样我们就把公共点个数的问题转化为方程组解的个数的问题.而方程组的解的个数又和消元后的方程解的个数相同，因此我们只需判断方程0)12(442=++-k y ky 的解的个数.师：方程0)12(442=++-k y ky 有几个解呢？它的解的个数什么条件有关呢？ 生：和方程的判别式有关.师：我们知道判别式是针对一元二次方程而言的，这个方程一定是关于y 的二次方程吗？ 生：意识到问题所在，该方程不一定是二次方程，方程类型与二次项系数k 有关. 师：这个时候我们要怎么办呢？生：要对系数k 分类讨论，当0=k 时，方程①变成了关于y 的一次方程，此时①只有一个解；当0≠k 时，方程①是关于y 的二次方程，此时我们再讨论判别式∆.师：补充当0>∆时，方程①有两个解，对应的方程组有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当0=∆时，方程①有一个解，对应的方程组有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0<∆时，方程①有没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点.有了上述分析过程，我们来看一下具体的书写格式.PPT 展示过程师：边展示过程，边板书重要的步骤.下面我们来做一个变式训练，请两位同学到前面共同完成，其他同学在学案上完成，注意书写的步骤.四、变式训练已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点)1,0(P ，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？生：仿照例题的步骤，完成变式训练.师：叫同学进行点评，教师再做点评，并把这种方法推广到判断直线与圆锥曲线的位置关系中，进行方法的升华.师：这里给大家留一个思考题.PPT 展示五、课堂总结1、直线与抛物线的位置关系，并注意直线与抛物线有一个公共点时不一定是相切.2、利用代数法判断直线与抛物线的位置关系.3、对于“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”，我们也可以利用代数方法来研究.4、关于利用代数方法来解决问题早在17世纪就由法国数学家笛卡尔提出，他提出了一种大胆地计划，即：任何问题 数学问题 代数问题 方程求解.。
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2.4.2 直线与抛物线的位置关系
、教材分析及教学对象分析从教材角度分析，本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1. “直线与圆锥曲线的位置关系” 一直是教学的一个重点内容，并且该内容涉及到了很多重要的数学思想，“转化思想”、“分类讨论思想” 、“数形结合思想” ，这些数学思想在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时起着至关重要的作用. 鉴于教材并未专门设立“直线与圆锥曲线的位置关系”这一内
容，因此本节课通过研究“直线与抛物线的位置关系” ，探讨出相应的解决方法，并把相应的研究
方法运用到讨论“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”中，从而提高教材知识的
系统性和全面性. 从学生的角度分析，学生在之前已学习了“直线与圆的位置关系” ，对判断
“直线与圆的位置关系” 已掌握了基本的方法，但是考虑到学习间断的时间较长，平行班的部分
学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节课利用代数方法研究“直线与抛物线的位置关
系” ，在知识的衔接上起到了“承上启下”的作用
、教学目标1、知识与技能：掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；
2、过程与方法：联立方程组的解析法与坐标法；
3、情感态度价值观：让学生体验研究解析几何的基本思想，感受数学发展史的源远流长
三、教学重点
四、教学难点
五、教学方法：直线与抛物线的位置关系及其判断方法.：直线与抛物线的位置关系的判断方法.
：多媒体教学、学案式教学.
教学过程
、课题引入
师：之前我们学习了直线与圆的位置关系，根据直线与圆公共点个数进行分类分别为：没
有公共点、一个公共点、两个公共点，对应的位置关系我们分别叫做：相离、相切、相交. 类比直线与圆的位置关系，你能说出直线与抛物线的位置关系吗？注：利用PPT 演示几种位置关系
二、新课讲解
生：观察图像，得出结论.
师：结合PPT此时直线与抛物线没有公共点，称直线与抛物线相离；此时有两个公共点，
称直线与抛物线相交；当直线与抛物线有一个公共点时，是否一定是相切呢？演示相切的情形，这时是相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，对于这种位置关系我们也叫做直线与抛物线相交. 因此我们要特别注意：若直线与抛物线有一个公共点，此时位置关系有两种可能，即直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行. 下面简单地总结一下.
（板书：直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交）师：现在我们清楚了直线与抛物线的位置关系，那么利用什么方法判断直线与抛物线的位置关系呢？请大家做一下这个题目，第一组做（1）（2），第二组做（3）（4）判断下列直
线与抛物线的公共点个数.
1）
y 1 与y
x2；
2）y 1 与y2
x；
3）
y
2x 1与
y x
2
4）y x 与y x2.
注：课前先分好组，第一组做(1) (2),第二组做(3) ( 4).在学生做题的过程中，教师到学生中观察，找到自己想要的两种方法•鉴于学生的基础，可能会出现的判断方法有图像观
察法，解方程组的方法，个别基础好的同学会用判别式法
师：甲同学，说说你的判断结果，并和大家分享一下你所使用的方法
学生甲：作出图像，通过观察图像直接判断公共点的个数，(1)直线与抛物线没有公共点，
(2 )直线与抛物线只有一个公共点.
师：几何法，一种很直观的方法，很不错•展示图像
师：乙同学，我发现你用的方法和甲的不一样，说一下你的判断结果和判断方法
学生乙：解方程组，求出交点坐标，(3)公共点坐标为(1,1)，( 4)公共点坐标为(0,0),(1,1)
师：非常好，利用解方程组的方法进行判断•展示方法
师：对于判断直线与抛物线的位置关系，几何法与代数法都可以使用•但由于手工作图会有
一定的误差，这对于我们判断结果是不利的•因此本节课我们重点来学习利用代数法判断直
线与抛物线的公共点个数•大家一起来看这样一个例题•
三、例题解析
例6已知抛物线的方程为y2 4x，直线I过定点P( 2,1)，斜率为k . k为何值时，直线I
与抛物线y2 4x :只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
师：仿照上述的解方程组的方法，我们来分析一下这道题目•抛物线方程已知，直线方程未知，自然我们要先把直线I的方程表示出来•提问学生，那这条直线的方程应该怎么表示呢？
生：由于直线I经过点P( 2,1)，且斜率为k，由直线的点斜式方程可得I : y 1 k(x 2)
师：非常好！把直线方程与抛物线方程联立，接下来我们要做的事情就是消元，那我们应该
怎么消元呢？
生丙：由直线方程y 1 k(x 2)得y k(x 2) 1，代入抛物线方程y2 4x，得
2
[k(x 2) 1]2 4x，整理……
师：这是一种非常实用的方法，但是计算的过程略显麻烦•还有其它的方法吗？
生丁：由直线方程y 1 k(x 2)得x 乂」2，代入抛物线方程y2 4x，得
k
2 y 1 2
y24( 2)，整理得ky2 4y 4(2k 1) 0
k
师：这种消元方法有一点瑕疵，哪位同学发现了？生：此时意识到k 0，才可以这么做• 师：为了避免上述问题，我们可以怎么消元呢？
2 2
生：也可以由抛物线方程y 4x得x —，代入直线方程y 1 k(L 2)，整理得
4 4
ky2 4y 4(2k 1) 0 ①
师：这位同学可谓是一语中的啊•在消元这个环节，大家要特别消元方法的选择•原则上，这几位同学的消元方法都可以，但我们还是以简单为主•并且我们是整理成ay2 by c 0
的形式•
师：那么这个方程ky2 4y 4(2k 1) 0如何求解呢?
生：思考，由于含有参数k，确实不容易求解•
师：那我们有没有必要求出具体的解呢？题目要求我们判断公共点的个数，那么公共点个数的问题与对应的方程组有什么关系呢？
生：凭感觉能够说出公共点个数就是方程组的解的个数
师：对学生的感觉在理论上给予肯定，借助几何画板简单分析•根据曲线与方程的关系，点既在直线上又在抛物线上，那么点的坐标就是方程组的解•直线与抛物线有几个公共点，对应的直线方程与抛物线方程组成的方程组就有几个解，这样我们就把公共点个数的问题转化为方程组解的个数的问题•而方程组的解的个数又和消元后的方程解的个数相同，因此我们
只需判断方程ky2 4y 4(2k 1) 0的解的个数
师：方程ky2 4y 4(2k 1) 0有几个解呢？它的解的个数什么条件有关呢？
生：和方程的判别式有关•
师：我们知道判别式是针对一元二次方程而言的，这个方程一定是关于y的二次方程吗？生：意识到问题所在，该方程不一定是二次方程，方程类型与二次项系数k有关•
师：这个时候我们要怎么办呢？
生：要对系数k分类讨论，当k 0时，方程①变成了关于y的一次方程，此时①只有一个
解；当k 0时，方程①是关于y的二次方程，此时我们再讨论判别式
师：补充当0时，方程①有两个解，对应的方程组有两个解，此时直线与抛物线有两个
公共点；当0时，方程①有一个解，对应的方程组有一个解，此时直线与抛物线有一个
公共点；当0时，方程①有没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点•有了上述分析过程，我们来看一下具体的书写格式•PPT展示过程
师：边展示过程，边板书重要的步骤•下面我们来做一个变式训练，请两位同学到前面共同
完成，其他同学在学案上完成，注意书写的步骤•
四、变式训练
已知抛物线的方程为y2 4x，直线I过定点P(0,1)，斜率为k. k为何值时，直线I与抛物
线y2 4x :只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
生：仿照例题的步骤，完成变式训练•
师：叫同学进行点评，教师再做点评，并把这种方法推广到判断直线与圆锥曲线的位置关系
中，进行方法的升华•
师：这里给大家留一个思考题PPT展示
五、课堂总结
1、直线与抛物线的位置关系，并注意直线与抛物线有一个公共点时不一定是相切
2、利用代数法判断直线与抛物线的位置关系•
3、对于“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”，我们也可以利用代数方法来研究•
4、关于利用代数方法来解决问题早在17世纪就由法国数学家笛卡尔提出，他提出了一种大胆地计划，即：任何问题►数学问题 -------- 代数问题►方程求解.。