知识讲解_直线与抛物线的位置关系(理)_基础
31知识讲解_抛物线的简单性质_提高
抛物线的简单性质【学习目标】 1．知识与技能：掌握抛物线的范围、对称性、定点、焦点、准线、离心率、顶点、通径，理解2p 和e 的几何意义，初步学习利用方程研究 曲线性质的方法．2．过程与方法：通过曲线的方程来研究曲线性质的方法，让学生体会数形结合的思想、方程思想及转化的思想在研究和解决问题中的应用．3．情感态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，感受知识的发生发展过程，力求使学生获得符合时代要求的“双基”【要点梳理】要点一：抛物线标准方程2(0)2y =px p >的几何性质1． 对称性观察图象，不难发现，抛物线y 2=2px （p ＞0）关于．．x ．轴对称．．．，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．．．．．．．． 2． 范围抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x ．≥0．．；当x 的值增大时，|y |也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．3． 顶点抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点．．．．（0，0）． 4． 离心率抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，e ．=1．．． 5． 通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．因为通过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以抛物线的通径长为．．．．2．p ．．这就是抛物线标准方程中2p 的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，p 刻画了抛物线开口的大小，p 值越大，开口越宽；p 值越小，开口越窄．6． 焦半径抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：抛物线22(0)y px p =>，0022p pPF x x =+=+；抛物线22(0)y px p =->，0022p pPF x x =-=-； 抛物线22(0)x py p =>，0022p pPF y y =+=+； 抛物线22(0)x py p =->，0022p pPF y y =-=-． 7． 焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦．设过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设1122(,)(,)A x y B x y ， 焦点弦公式：焦点弦 12()AB p x x =++； 同理： 若抛物线为22(0)y px p =->，则12()AB p x x =-+； 若抛物线为22(0)x py p =>， 则12()AB p y y =++； 若抛物线为22(0)x py p =->，则12()AB p y y =-+． 有关性质： ①124px x =和212y y p =-. 2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩2220p y y p k ⇒--=和22222(2)04k p k x k p p x -++=212y y p ⇒=-和124x x ②若已知过焦点的直线倾斜角θ，则22sin pAB θ=；当θ=900时，|AB |的最小值等于2p ，这时的弦叫抛物线的通径．（过焦点且垂直于对称轴的相交弦）.③以AB 为直径的圆必与准线l 相切．④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90︒．⑤112AF BF p+=． 要点诠释：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但没有渐进线； （2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； （3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，为1. 要点二：抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程 y 2=2px （p ＞0） y 2=－2px （p ＞0） x 2=2py （p ＞0） x 2=－2py （p ＞0）顶点 O （0，0）范围 x ≥0，y R ∈x ≤0，y R ∈y ≥0，x R ∈y ≤0，x R ∈ 对称轴 x 轴y 轴焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭离心率 e =1准线方程 2px =-2p x = 2p y =-2p y = 焦半径 0||2p MF x =+ 0||2pMF x =- 0||2p MF y =+0||2pMF y =-要点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程．要点三：直线和抛物线的位置关系 1． 点和抛物线的位置关系将点P (x 0，y 0)代入抛物线y 2=2px (p >0)：若2020y px ->，则点在抛物线外； 若202=0y px -，点在抛物线上； 若2020y px -<，则点在抛物线内．2． 直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离．将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于x （或y 的）方程组：Ax 2+Bx +C =0（或Ay 2+By +C =0），其中A ，B ，C 为常数若A =0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点； 若A ≠0，计算判别式2=4B AC ∆ ：若0∆>，则直线和抛物线相交（有两个交点）；若=0∆，则直线和抛物线相切（有一个交点）； 若=0∆，则直线和抛物线相离（无交点）； 2． 判断直线和抛物线位置关系的操作程序：要点诠释：（1）在判断直线和抛物线位置关系时，不要忽略直线和抛物线的对称轴平行的情况； （2）若直线和抛物线相交于点()111,P x y ，()222,P x y ，则相交弦的弦长()()22212121212||1|1+4PP k x x k x x x x ⎡⎤=+-+-⎣⎦或()2121212122211||1|14(0)PP y y y y y y k k k ⎛⎫⎡⎤=+-=++-≠ ⎪⎣⎦⎝⎭． 要点四：抛物线的光学性质过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线． 抛物线的法线有一条重要性质：经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角．如图．抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用．例如，在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F 处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的．反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的【典型例题】类型一：抛物线的几何性质【高清课堂：双曲线的方程 358821例1】 例1． （1）写出抛物线214y x =的焦点坐标、准线方程； （2）已知抛物线的焦点为(0,2),F -写出其标准方程；（3）已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程． x y 平行于轴法线切线O【解析】（1）抛物线214y x =的标准方程为24x y =，因为2p =4，所以焦点坐标为（0，1），准线方程为1y =-．（2）因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且2p=2，所以4p =，从而所求抛物线的标准方程为28x y =-． （3）由已知得3p =，所以所求抛物线标准方程为26y x =，焦点坐标为3(,0)2，准线方程为32x =-．【总结升华】讨论抛物线的方程和几何性质时要注意抛物线的焦点轴和几何量,,22pp p 的 区别与联系．举一反三：【变式】已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程【答案】因为p =3，所以焦点坐标是3(,0)2准线方程是32x =-例2. 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（－3，2）； （2）焦点在直线x －2y －4=0上【解析】（1）设所求的抛物线方程为y 2=－2px 或x 2=2py （p ＞0）， ∵过点（－3，2）， ∴4=－2p （－3）或9=2p ·2 ∴p =32或p =49∴所求的抛物线方程为y 2=－34x 或x 2=29y ，前者的准线方程是x =31，后者的准线方程是y =－89（2）令x =0得y =－2，令y =0得x =4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2） 当焦点为（4，0）时，2p=4， ∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ； 焦点为（0，－2）时，2p=2， ∴p =4，此时抛物线方程为x 2=－8y∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=－8y ， 对应的准线方程分别是x =－4，y =2 【总结升华】① 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的弦AB 长的最小值为2p② 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px 上的两点， 则AB 过F 的充要条件是y 1y 2＝－p 2 ③ 设A ， B 是抛物线y 2＝2px 上的两点，O 为原点， 则OA ⊥OB 的充要条件是直线AB 恒过定点 (2p ，0).举一反三：【变式】已知抛物线y 2＝4x 的内接三角形OAB 的一个顶点O 在原点，三边上的高都过焦点，求三角形OAB 的外接圆的方程．【解析】 ∵△OAB 的三个顶点都在抛物线上，且三条高都过焦点， ∴AB ⊥x 轴，故A 、B 关于x 轴对称，设A 211(,)4y y ，则B 211(,)4y y -，又F (1,0)，由OA ⊥BF 得，解得21y ＝20， ∴A，B (5，－)，因外接圆过原点，且圆心在x 轴上，故可设方程为：x 2＋y 2＋Dx ＝0， 把A 点坐标代入得D ＝－9， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－9x ＝0.类型二：直线和抛物线的位置关系例3． 已知抛物线的方程为2=4y x ，直线l 过定点(-2,1)P ，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线2=4y x ： （1）只有一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点?【思路点拨】先定数，在定量：画出草图，确定与抛物线有一个、两个、没有公共点的直线条数；再设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，消元，判断一元一次方程或一元二次方程解的个数，从而确定k 的值． 【解析】设直线l 的方程为：()12y k x -=+，联立()2124.y k x y x ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩，， 整理得24840ky y k ++= ①．当k =0时，方程①有一个解，此时直线l 方程为y =1，与抛物线有一个公共点； 当k 0≠时，方程①为一元二次方程，判别式()2=1621k k ∆+ ， 当0∆>，即112k <<时，方程①有2个不同的解，所以此时直线l 与抛物线有2个公共点； 当=0∆，即1k = 或12k <时，方程①有1个解，所以此时直线l 与抛物线有1个公共点； 当0∆<，即<1k 或12k >时，方程①有没有解，所以此时直线l 与抛物线有没有公共点； 综上所述，当k =0或1k = 或12k <时，直线l 与抛物线只有1个公共点； 当112k <<时，直线l 与抛物线有2个公共点； 当<1k 或12k >时，直线l 与抛物线有没有公共点． 如图：【总结升华】直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切．【变式1】求过定点P （0，1）且与抛物线 22y x =只有一个公共点的直线的方程． 【答案】x =0 或 y =1 或11.2y x =+ 【变式2】当k 为何值时，直线y = kx +1与抛物线24y x = （1）相交； （2）相切； （3）相离？【解析】由方程组214.y kx y x =+⎧⎨=⎩，消去 y ，并整理得22(24)10k x k x +-+=．（i ）当 k =0 时，直线方程为y =1，与抛物线交于一点；（ii ）当k ≠ 0时，该方程是一元二次方程，22(24)416(1)k k k ∆=--=-：（1）当0∆>，即1k <时，直线和抛物线相交（有2个交点）． （2）当0∆=，即1k =时，直线和抛物线相切． （1）当0∆<，即1k >时，直线和抛物线相离．综上所述，当k <1时直线和抛物线相交且k =0时交于一点;，当k =1时，直线和抛物线相切，当k >1时直线和抛物线相离．类型三：焦点弦和焦半径例4． 斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求焦点弦长AB 的长． 【解析】方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F (1，0)， 所以直线AB 的方程为01(1)y x -=⋅-，即1y x =-， ① 将方程①代入抛物线方程24y x =，化简得2610x x -+=， 解这个方程，得132x =+232x =-， 将1322x =+，2322x =-代入方程①中，得122y =+2222y =-，即A （322+222+，B （322-222-，∴22||(42)(42)8AB =+=.方法二：由抛物线的定义可知，|AF |=AD |=1x ＋1， |BF |＝|B C|=2x ＋1， 于是|AB |=|AF ＋|BF |=1x ＋2x ＋2． 在方法一中得到方程2610x x -+=后，根据根与系数的关系可以直接得到 1x ＋2x ＝6， 于是立即可以求出|AB |=6＋2=8．方法三：抛物线24y x =中24p =，直线的倾斜角为4π 所以焦点弦长224==81sin 2p AB θ=. 【总结升华】求抛物线弦长的一般方法： ①用直线方程和抛物线方程列方程组；②消元化为一元二次方程后，应用韦达定理，求根与系数的关系式，而不要求出根，代入弦长公式()()22212121212||1|1+4PP k x x k x x x x ⎡⎤=+-+-⎣⎦特别地，若弦过焦点，即为焦点弦则据定义转化为|AB | ＝ x 1＋x 2 +p 或|AB | ＝y 1＋y 2+p ．结合②中的关系式可求解．体现了转化思想．【变式1】已知AB 为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点弦，若|AB |=m ，则AB 中点的横坐标为__________． 【解析】AQ ⊥BQ ，P 为Rt △AQB 斜边中点，∴|PQ |=||22AB m =． 设AB 中点的横坐标为x 0，则|P Q|=x 0+2p． ∴x 0+2p =2m ， 得x 0=2m p -．所以AB 中点的横坐标为2m p-． 【变式2】求抛物线22y px =的焦点弦长的最小值．【解析】设焦点弦所在直线的倾角为θ，则直线AB 的方程为：cos sin ()2py x θθ=-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2cos sin ()22p y x y pxθθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：222222sin (2cos sin )sin 04p x p x θθθθ-++= 22122(2cos sin )sin p x x θθθ+∴+=112AB AF BF x x p ∴=+=++2222(2cos 2sin )2sin sin p pθθθθ+==当2sin 1θ=，即2πθ=时，AB 取最小值2p ．。
直线与抛物线的位置关系说课稿
直线与抛物线的位置关系说课稿标题：直线与抛物线的位置关系一、教学目标1.理解直线与抛物线的基本概念和性质。
2.掌握判断直线与抛物线位置关系的方法。
3.能够运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。
二、教学内容1.直线与抛物线的定义和性质。
2.判断直线与抛物线位置关系的方法。
3.实际应用案例。
三、教学方法1.讲解法：通过讲解直线与抛物线的定义和性质，让学生对基础知识有清晰的认识。
2.讨论法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，提高学生的思维能力和解题技巧。
3.案例分析法：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用。
四、教学过程1.导入新课：通过展示一些与直线和抛物线相关的图片或问题，引导学生思考直线与抛物线的位置关系。
2.讲解基础知识：介绍直线与抛物线的定义和性质，包括直线的方程、抛物线的方程、直线与抛物线的交点等。
3.讨论判断方法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，包括利用直线和抛物线的方程求解交点、利用图像观察等方法。
4.案例分析：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用，包括求最值、解方程等问题。
5.课堂练习：布置一些与直线与抛物线位置关系相关的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
6.总结归纳：对本节课所学内容进行总结归纳，强调重点和难点，帮助学生加深对知识的理解和记忆。
五、教学评价1.对学生的课堂表现进行评价，包括参与度、思维活跃度等方面。
2.对学生的作业完成情况进行检查，了解学生对知识的掌握情况。
3.通过考试或测验的方式，对学生的学习成果进行评估。
高一数学复习考点知识专题讲解23---抛物线的简单几何性质
高一数学复习考点知识专题讲解抛物线的简单几何性质学习目标 1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．知识点一 抛物线的简单几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标 O (0,0) 离心率 e ＝1 通径长2p知识点二 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．1．抛物线关于顶点对称．( × )2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √ ) 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( √ )4．抛物线x 2＝4y ，y 2＝4x 的x ，y 的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．( √ )5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．( √ )一、抛物线的几何性质的应用例1 (1)等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2 答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(2p ，2p )和(2p ，－2p )． 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4， 得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程， 得(3)2＝±a ，∴a ＝±3.∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x .反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1. 跟踪训练1 (1)边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( ) A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x答案 C解析 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则抛物线的焦点坐标为( ) A ．(2,0) B ．(1,0) C ．(8,0) D ．(4,0) 答案 B解析 因为c a ＝2，所以c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，于是b 2＝3a 2，则ba ＝3，故双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x . 而抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，则|AB |＝3p ，又三角形的高为p2，则S △AOB ＝12·p2·3p ＝3，即p 2＝4.因为p >0，所以p ＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)． 二、直线与抛物线的位置关系命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断例2 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴y ＝1，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1， 此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k >1时，l 与C 没有公共点． 命题角度2 直线与抛物线的相交问题例3 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程． 解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0 或2x ＋y －p ＝0. 延伸探究本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离．解 如图，过A ，B ，M 分别作准线x ＝－p2的垂线交准线于点C ，D ，E .由定义知|AC |＋|BD |＝52p ，则梯形ABDC 的中位线|ME |＝54p ，∴M 点到y 轴的距离为54p －p 2＝34p .反思感悟 直线与抛物线的位置关系(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．(2)一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p . 跟踪训练2 (1)过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 答案 B解析 如图，过P 可作抛物线的两条切线，即y 轴和l 1均与抛物线只有一个公共点，过P 可作一条与x 轴平行的直线l 2与抛物线只有一个公共点．故过点P 与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.(2)设抛物线C ：x 2＝4y 焦点为F ，直线y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且||AF ·||BF ＝25，则k 的值为( )A ．±2B ．－1C ．±1D ．－2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线y ＝kx ＋2代入x 2＝4y ， 消去x 得y 2－(4＋4k 2)y ＋4＝0， 所以y 1·y 2＝4，y 1＋y 2＝4＋4k 2，抛物线C ：x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1， 因为||AF ＝y 1＋1，||BF ＝y 2＋1，所以||AF ·||BF ＝y 1·y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝4＋4＋4k 2＋1＝25⇒k ＝±2.1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43 B ．－1 C ．－34 D ．－12答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2,3)在准线上，所以－p 2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2,0)，故直线AF 的斜率k ＝3－0－2－2＝－34.2．(多选)以y 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D. x 2＝－8y答案 CD解析 设抛物线方程为x 2＝2py 或x 2＝－2py (p >0)， 依题意得y ＝p2，代入x 2＝2py 或x 2＝－2py 得|x |＝p ，∴2|x |＝2p ＝8，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝8y 或x 2＝－8y .3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22) 答案 B解析 由题意知F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0. 由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B.4．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，若|AB |＝43，则焦点F 到直线AB 的距离为________． 答案 2解析 由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A ＝y 2A4＝3，∴所求距离为3－1＝2.5．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________. 答案 0或1解析 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点， 当k ≠0时，联立方程消去y ，得 k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0， 由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0， ∴k ＝1.1．知识清单：(1)抛物线的几何性质．(2)直线与抛物线的位置关系．2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法．3．常见误区：四种形式的抛物线性质混淆；忽略直线的特殊情况．1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，则点P到抛物线的焦点F的距离为()A．4 B．5 C．6 D．7答案 A解析由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，则P(3，±23)，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在答案 B解析当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，可设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16 答案 B解析 由抛物线方程y 2＝8x ，可得准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，设点A (－2，n )， ∴－3＝n －0－2－2，∴n ＝4 3.∴P 点纵坐标为4 3. 由(43)2＝8x ，得x ＝6， ∴P 点坐标为(6,43)，∴|PF |＝|P A |＝|6－(－2)|＝8，故选B.4．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|F A |＋|FB |等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|F A |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7.5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C解析 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，依题意，l ⊥x 轴，且焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∵当x ＝p 2时，|y |＝p ， ∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p 2＝p ＝6， 故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36. 6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫18，±24 解析 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24. 7．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 是FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，过点M 作MM ′⊥y 轴，垂足为M ′，|OF |＝2，∵M 为FN 的中点，|MM ′|＝1，∴M 到准线距离d ＝|MM ′|＋p 2＝3， ∴|MF |＝3，∴|FN |＝68．已知点A 到点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等，点A 的轨迹与过点P (－1,0)且斜率为k 的直线没有交点，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 设点(x ，y )，依题意得点A 在以y 2＝4x .过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0，当k ＝0时，显然不符合题意； 当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1＞0，解得k ＞1或k ＜－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．解 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，设A (x 0，y 0)，由题意知M ⎝⎛⎭⎫0，－p 2， ∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3， ∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎫y 0＋p 22＝17， ∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，O 为坐标原点．(1)求证：l 与C 必有两交点．(2)设l 与C 交于A ，B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值．(1)证明 联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，可得2x 2－kx －1＝0，所以Δ＝k 2＋8>0，所以l 与C 必有两交点．(2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1x 1＋y 2x 2＝1，① 因为y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1，代入①，得2k ＋⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝1，② 由(1)可得x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－12，代入②得k ＝1.11．若点M (1,1)是抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点，则弦AB 的长为________．答案 15解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x ，可得y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，可得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2， 所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，代入抛物线的方程得4x 2－8x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 则||AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5×⎝⎛⎭⎫22－4×14＝15， 即弦AB 的长为15.12．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________．答案 x ＝5p 2解析 由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称．设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.由题意知AF ⊥OB ，则有y x －p 2·－y x ＝－1. 所以y 2＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2，2px ＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2. 因为x ≠0.所以x ＝5p 2. 所以直线AB 的方程为x ＝5p 2. 13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 抛物线的焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1得||x ＝ 3＋p 24. 要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p ＝3＋p 24p ＝33，解得p 2＝36，p ＝6. 14．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．答案 48解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6. 所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，所以|PQ |＝8，所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.15．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB→＝0，则k 等于( )A.12B.22C. 2 D ．2答案 D解析 由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x 得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，x 1x 2＝4. y 1＋y 2＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)＝k (x 1＋x 2－4)＝8k， y 1y 2＝－8x 18x 2＝－16.∴MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4－16－16k ＋4＝0， 解得k ＝2，故选D.16．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，消去y 得4x 2－20x ＋9＝0，解得x 1＝12，x 2＝92， 故|AB |＝1＋(3)2×⎪⎪⎪⎪92－12＝2×4＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9， 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.。
抛物线复习 最新版
抛物线的简单几何性质一 抛物线的几何性质：抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线 二、1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x pp x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y pp y PF +=+=抛物线)0(22>-=p py x ，0022y pp y PF -=-= 2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22>=p px y当直线为0y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0≠k ，设b kx y l +=:联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点） 0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点 （相离） （2）相交弦长：弦长公式：21k ad +∆=，其中a 和∆分别是02=++c bx ax （*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kx y l +=:的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式相应的变为：d =（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：抛物线)0(22>=p px y ， )(21x x p AB ++=抛物线)0(22>-=p px y ， (21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：抛物线)0(22>=p py x ， (21y y p AB ++=抛物线)0(22>-=p py x ，(21y y p AB +-=（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径：d 2=（5）若已知过焦点的直线倾斜角θ则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y y θsin 24422221p p k p y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ （6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和4221x x = 例1 若线段AB 是抛物线的焦点弦，A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1、B 1，求证：∠A 1FB 1＝90°证明：不妨设抛物线方程为y 2＝2px(p>0) 由抛物线定义知|AA 1|＝|AF|,|BB 1|＝|BF|, ∴∠AFA 1＝∠AA 1F ，∠BFB 1＝∠BB 1F ， ∵AA 1∥BB 1∥x 轴，∴∠AFO ＝∠AA 1F ，∠BFO ＝∠BB 1F ，∴∠AFA 1＝∠AFO ，∠BFB 1＝∠BFO ，∴∠A 1FB 2＝90° 变1：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 让学生掌握直线与抛物线的位置关系，能够判断直线与抛物线的位置；2. 学会利用数学知识解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，直观地展示直线与抛物线的交点情况。
情感态度价值观：1. 培养学生的团队协作精神，让学生在合作中学习，提高学习兴趣；2. 培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 直线与抛物线的位置关系的判断；2. 利用数形结合方法分析直线与抛物线的位置关系。
难点：1. 对直线与抛物线位置关系的理解；2. 如何在实际问题中应用直线与抛物线的位置关系。
三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT；2. 相关例题及练习题；3. 数学软件或板书。
学生准备：1. 课本；2. 笔记本；3. 草稿纸。
四、教学过程：1. 导入新课：利用PPT展示直线与抛物线的图像，引导学生观察并思考它们之间的位置关系。
2. 知识讲解：讲解直线与抛物线的位置关系，包括相交、相切、平行等情况，并通过实例进行解释。
3. 例题解析：利用数学软件或板书，展示典型例题，引导学生分析解题思路，总结规律。
4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
5. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线位置关系的判断方法及应用。
五、课后作业：1. 完成课后练习题；2. 结合生活实际，寻找直线与抛物线的位置关系应用实例，下节课分享。
注意事项：1. 注重学生个体差异，因材施教；2. 鼓励学生提问，充分调动学生的积极性；3. 课堂练习环节，关注学生的解题过程，培养学生的思维能力。
六、教学拓展：1. 分析其他类型的曲线（如圆、双曲线等）与直线的position relationship；2. 探讨直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如物理中的运动轨迹问题，工程中的优化问题等；3. 利用数学软件，让学生自己尝试绘制不同位置关系的直线与抛物线，加深对知识的理解。
抛物线知识点和题型分类讲解
抛物线知识点和题型分类讲解抛物线知识点和题型分类讲解抛物线的定义：抛物线是平面内满足以下三个条件的点的轨迹：1.在平面内；2.动点到定点F距离与到定直线l的距离相等；3.定点不在定直线上。
当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线。
抛物线的标准方程和几何性质：标准方程：1.y^2 = 2px (p>0)2.y^2 = -2px (p>0)3.x^2 = 2py (p>0)4.x^2 = -2py (p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离。
图形：抛物线是关于对称轴对称的。
顶点：抛物线的顶点是对称轴与抛物线的交点。
对称轴：与抛物线垂直且通过顶点的直线。
焦点：抛物线的定点F。
离心率：离心率e = PF/d，其中PF为焦点到抛物线上一点P的距离，d为抛物线的准线到顶点的距离。
准线方程：与抛物线垂直且通过焦点F的直线。
范围：抛物线的定义所决定的范围。
开口方向：抛物线开口的方向由p的正负号决定。
焦半径：焦半径是从焦点到抛物线上一点P的距离。
自测：1.抛物线的顶点在原点，准线方程为x = -2，则抛物线的方程是y^2 = 8x。
2.已知d为抛物线y = 2px^2(p>0)的焦点到准线的距离，则pd等于4.3.抛物线的焦点为椭圆x^2/9 + y^2/4 = 1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为y^2 = -45x。
4.点(3,1)是抛物线y^2 = 2px的一条弦的中心，且这条弦所在直线的斜率为2，则p = 1/2.1.解析：如图，设点P的坐标为(x,y)，则点P到直线y＝－1的距离为|y－（－1）|＝|y＋1|，点P到点(0,3)的距离为√[(x－0)²＋(y－3)²]，由题意得|y＋1|＋2＝√[(x－0)²＋(y－3)²]，两边平方得y²＋2y＋1＋4＝x²＋y²－6y＋9，化简得x²＝2y－6，即为点P的轨迹方程．2.解析：如图，设点P的坐标为(x,y)，则有|PB|＋|PF|＝√[(x－3)²＋(y－2)²]＋√[(x－1)²＋y²]，由抛物线的定义可知点P 到焦点F的距离等于点P到直线x＝－1的距离，设点P到直线x＝－1的距离为d，则有d＝|x＋1|，又因为点P在抛物线上，所以有y²＝4x，代入d＝|x＋1|，得y²＝4|x＋1|，即为点P 的轨迹方程．3.删除此段落，因为没有明显的问题或需要改写的地方．4.解析：如图，设点P的坐标为(x,y)，则有y²＝4x，点A的坐标为(1,1)，抛物线的焦点为F(2,0)，则点P到抛物线的准线x＝－1的距离为|y|，点P到焦点F的距离为√[(x－2)²＋y²]，由题意得|y|＋√[(x－2)²＋y²]＝|y－1|，解得x²＝y，即为点P的轨迹方程．5.解析：如图，设点P的坐标为(x,y)，则有x²＝4y，点A的坐标为(1,1)，抛物线的焦点为F(1,0)，则点P到焦点F的距离为√[(x－1)²＋y²]，点P到点A的距离为√[(x－1)²＋(y－1)²]，由题意得√[(x－1)²＋y²]＋√[(x－1)²＋(y－1)²]＝√[(x－1)²＋y²]＋|y|，解得y＝x²/4，即为点P的轨迹方程．1) 由题意可知，点M到焦点的距离为5，横坐标为3，因此焦点坐标为(4,0)。
抛物线知识点整理资料讲解
抛物线方程1 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点（0，0）离心率焦点注：①顶点.②则焦点半径;则焦点半径为.③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.④（或）的参数方程为（或）（为参数）.空间直线知识点总结1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(可能两条直线平行，也可能是点和直线等)②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线，也可以是其他图形)⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段)⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线)3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(如下图).(二面角的取值范围)(直线与直线所成角)(斜线与平面成角)(直线与平面所成角)(向量与向量所成角推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交(共面)垂直和异面垂直.是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. (或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面)双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.⑵一般方程：①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：.渐近线方程：或，参数方程：或.②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.③离心率.④准线距(两准线的距离);通径.⑤参数关系.⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P 到两准线的距离比为m︰n.简证：常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.。
抛物线(理)
一、抛物线及其标准方程1．平面内与一个定点F 和一条定直线l ()F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>，焦点在x 轴正半轴上，坐标是(0)2p，，准线方程是2p x =-其中p 是焦点到准线的距离．二、抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程22(0)y px p =>研究性质）：1. 范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸．2. 对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3. 顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．4. 离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，1e =．三、抛物线方程的四种形式如下标准方程图形 对称轴 焦点坐标 准线方程22(0)y px p =>x 轴(0)2p， 2p x =-22(0)y px p =->(0)2p -， 2p x =22(0)x py p =>y 轴(0)2p ，2p y =-抛物线Fl OyxFlOyxOlF yx知识讲解22(0)x py p =->(0)2p -，2p y =四、抛物线的重要结论1. 标准方程：22(0)y px p =>；2. 焦点：02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，通径2AB p =；准线：2p x =-；3. 焦半径：12pCF x =+， 4. 过焦点弦长121222p pCD x x x x p =+++=++题型一、抛物线的标准方程【例1】 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23y x =或23y x =-B ．23y x =C ．29y x =-或23y x =D ．23y x =-或29y x =【例2】 已知点(10)M ，，直线:1l x =-，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线【例3】 若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【例4】 如图，在正方体中，P 是侧面内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线【例5】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线方程为__________．C 1B 1A 1PD C B AD 1OlFy xFx=-p 2D (x 2 , y 2)C (x 1 , y 1)BAyxO【例6】 ⑴以双曲线221169x y -=的右焦点为焦点，且以原点为顶点的抛物线的标准方程为_______．⑵双曲线221x y m n-=的离心率为2，有一个焦点与抛物线24x y =的焦点重合，则mn 的值为 ． 【例7】 经过点(24)P --，的抛物线的标准方程为________． 【例8】 抛物线214y x =的焦点坐标是（ ）． A ．(0,1) B ．(0,1)- C ．(1,0)- D ．(1,0)【例9】 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标是4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【例10】 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【例11】 若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．42【例12】 动圆C 经过定点(02)F ，且与直线20y +=相切，则动圆的圆心C 的轨迹方程是__ ______．【例13】 在直角坐标系xOy 中有一点(2,1)A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是__ ____．【例14】 已知抛物线22(0)y px p =>有一内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，一直角边所在的直线方程为2y x =，斜边长为513，求抛物线的方程．【例15】 若抛物线2x my =的焦点是20m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，则m 的值为_________． 题型二、抛物线的几何性质【例16】 抛物线24y x =上点M 的横坐标为1，则点M 到该抛物线的焦点的距离为（ ）A ．3B ．2C ．1.5D ．1【例17】 抛物线24x y =-与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则（ ）A ．84ABO AB S ==△，B ．82AOB AB S ==△，C ．42AOB AB S ==△，D ．44AOB AB S ==△， 【例18】 设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上一点，若4OA AF ⋅=-，则点A 的坐标是（ ）A ．(2,22)±B ．(2,22)C ．(1,2)±D ．(1,2)【例19】 抛物线24y x =的弦AB 过定点(20)，，则AOB ∠是（ ） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．以上都可能【例20】 连接抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ） A ．12-+B ．322-C ．12+D ．322+【例21】 过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30︒的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A在y 轴左侧），则AF FB=【例22】 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(02)A ，．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为 ．【例23】已知抛物线22(0)C y px p =>∶的准线为l ，过(10)M ，且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p =【例24】 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF △（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =±B ．28y x =±C ．24y x =D ．28y x =【例25】 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且||2||AK AF =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【例26】 已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)，D ．(12)-，【例27】 已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点A ()02，的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．172B ．3C ．5D ．92【例28】 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．115 D ．3716【例29】 已知点(2,8)A ，11(,)B x y ，22(,)C x y 在抛物线22y px =上，ABC ∆的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）⑴写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； ⑵求线段BC 中点M 的坐标．⑶求BC 所在直线的方程．【练1】⑴抛物线240x y +=的焦点坐标为_______，准线方程为_______；⑵抛物线240x y +=的焦点坐标为________，准线方程为_____． ⑶抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标为_______，准线方程为_______．【练2】⑴焦点是(20)F ，的抛物线的标准方程是_________． ⑵准线方程为1y =-的抛物线的标准方程为__________． ⑶焦点在直线10x y --=上的抛物线的标准方程为 ______．【练3】已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p = __． 【练4】在抛物线22y px =上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则p =________．【练5】已知动点P 到定点()2,0的距离和它到定直线:2l x =-的距离相等，则点P 的轨迹方程为____． 【练6】在抛物线22(0)y px p =>上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为． 【练7】抛物线2x ay =的准线方程为2x =，则a 的值为_________． 【练8】⑴抛物线2y x =-的焦点坐标为________，准线方程为________；随堂练习yxOMFCB A【练9】已知P 是抛物线216y x =上的一点，它到x 轴的距离为12，则它到焦点的距离为_______． 【练10】抛物线2y x =上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_____． 【练11】抛物线229y x =上一点M 到焦点的距离为738，则点M 到抛物线顶点的距离是 ． 【练12】抛物线28y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，若5PF =，则点P 的坐标为_________． 【练13】抛物线2112x y =上有两点P 、Q ，若P 点的横坐标为2，则点P 到焦点的距离为_______； 【练14】过抛物线216y x =上的动点P 向圆22(4)1x y -+=引切线，则切线长的最小值是_______．【题1】 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( )A.12 B ．1 C.32D ．2 【题2】 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是 ( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【题3】 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.【题4】 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于 ( )A ．45°B ．90°C ．60°D ．120°【题5】 如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x【题6】 若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆M ：(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值是( ) A.3－1B.102－1 C ．2 D.112－1 【题7】 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3，则|AB |与|CD |的大小关系是 ( )A ．|AB |>|CD | B ．|AB |＝|CD |C ．|AB |<|CD | D ．|AB |≠|CD |课后作业。
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直线与抛物线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】 要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个动点，一定点F （即焦点），一定直线（即准线），一定值1（即动点M 到定点F 的距离与定直线l 的距离之比）.要点二、抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式：22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >抛物线抛物线的定义与标准方程 抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 抛物线的综合问题抛物线的弦问题抛物线的准线要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p 的值.要点三、抛物线的几何性质 范围：{0}x x ≥，{}y y R ∈，抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
抛物线是无界曲线。
对称性：关于x 轴对称抛物线y 2=2px （p ＞0）关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线只有一条对称轴。
顶点：坐标原点抛物线y 2=2px （p ＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线的顶点坐标是（0，0）。
离心率：1e =.抛物线y 2=2px （p ＞0）上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。
用e 表示，e=1。
抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
要点三、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -抛物线的焦点弦问题已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则：①焦点弦长1222||||()sin pAB x x p AB AB αα=++=或为的倾斜角 ②221212-4p x x y y p ==， ③112||||FA FB p +=，其中|AF|叫做焦半径，1||2p FA x =+ ④焦点弦长最小值为2p 。
根据22||sin 2p AB παα=可见，当为时，即AB 垂直于x 轴时，弦AB 的长最短，最短值为2p 。
要点诠释：直线与圆锥曲线的位置关系和其他圆锥曲线与直线一样，注意其中方程思想的应用和解析几何的通性通法.【典型例题】类型一：抛物线的方程与性质例1． 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(4，8)的抛物线有几条?求出它们的标准方程. 【解析】因为抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在原点，并且经过点(4,8)M ，所以可设它的标准方程为2222(0)y px x py p ==>或因为点M 在抛物线上，所以6481616p p ==或即81p p ==或，因此，所求抛物线有两条，它们的标准方程是22162y x x y ==或，【总结升华】抛物线的焦点轴有四种情况，因此在讨论抛物线方程时要注意它的不同位置，恰当的设出方程是解决问题的关键.举一反三：【变式1】若抛物线通过直线12y x =与圆x 2＋y 2＋6x ＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．【答案】由221260y x x y x ⎧=⎪⎨⎪++=⎩得00x y =⎧⎨=⎩，或245125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 根据题意可设抛物线的方程为x 2＝－2my (m >0)或y 2＝－2px (p >0)，则2412(,)55--在抛物线上，∴m ＝245，p ＝35， ∴方程为2485x y =-或265y x =-【变式2】已知定点F (0,2)，若动点M (x ，y )满足|MF |＝y ＋2，则点M 的轨迹方程为________．【答案】由已知得点M 到点F 的距离等于点M 到直线y ＝－2的距离，故点M 的轨迹方程为x 2＝8y . 类型二：直线与抛物线的位置关系例2．过定点P (0,2)作直线l ，使l 与抛物线y 2＝4x 有且只有一个公共点，这样的直线l 共有________条．【答案】3【解析】如图，过点P 与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x 轴平行的直线．【总结升华】直线与抛物线只有一个公共点时要考虑相交于一点的情况，不要漏掉. 举一反三：【变式】已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．【答案】∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3， ∴x A ＋x B ＝52. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为524A B x x +=. 类型三：抛物线的弦例3.斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长． 【解析】如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y xy 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A【总结升华】抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
举一反三：【变式】顶点在原点，焦点在x 轴的抛物线截直线y ＝－2x －1所得的弦长|AB |＝程．【答案】y 2＝20x 或y 2＝－12x .例4.若直线l ：y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，且AB 的中点为M (2，y 0)，求y 0及弦AB 的长． 【解析】把y ＝kx －2代入y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵AB 中点M (2，y 0)，∴x 1＋x 2＝4，即248k k +＝4， 解得k ＝2或k ＝－1.又Δ＝16k 2＋64k ＋64－16k 2>0， ∴k >－1，∴k ＝2， 此时直线方程为y ＝2x －2， ∵M (2，y 0)在直线上，∴y 0＝2，|AB |21|x x -==【总结升华】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.举一反三：【变式】过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |等于________．【答案】8【解析】抛物线的准线方程为x ＝－1，则AB 中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB |＝8.类型四：抛物线的综合问题例5.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)两点，求证：212y y p =-；【解析】证明：由抛物线的方程可得焦点的坐标为(,0)2pF 。
（1）当直线PQ 斜率存在时，过焦点的直线方程可设为()2p y k x =-， 由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得：ky 2―2py―kp 2=0 （※） 当k=0时，方程（※）只有一解，∴k≠0， 由韦达定理得：y 1·y 2=－p 2。
当直线PQ 斜率不存在时，得两交点坐标为(,)2p p ，(,)2pp -， ∴y 1·y 2=―p 2。
综上两种情况：总有y 1y 2=―p 2。
【总结升华】韦达定理在解决抛物线综合问题中有着非常重要的作用，注意它的合理应用. 举一反三：【变式1】 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标【答案】如图，设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),M(x,y), 则x=221x x +, y=221y y +,又设点A ，B ，M 在准线l :x=─1/4上的射影分别为A /,B /,M /, MM /与y 轴的交点为N ， 则|AF|=|AA /|=x 1+41,|BF|=|BB /|=x 2+41, ∴x=21(x 1+x 2)=21(|AF|+|BF|─21)≥21(|AB|─21)=45等号在直线AB 过焦点时成立，此时直线AB 的方程为y=k(x─41) 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x k y 2)41(得16k 2x 2─8(k 2+2)x+k 2=0 依题意|AB|=21k +|x 1─x 2|=21k +×216k ∆=221kk +=3,∴k 2=1/2, 此时x=21(x 1+x 2)=22162)2(8k k ⨯+=45∴y= ±22即M(45,22), N(45,─22) 【变式2】已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A (72，4)，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C. 92 D ．5 【答案】 C【解析】 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)，又点A (72，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12， 则|PM |＝d －12，又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92.故选C.。