直线与抛物线的位置关系。

小结：求解抛物线与直线的交点个数
（1） 通法（代数法）：
联立方程组，消去方程组中变量y(或x) 得到关于变量
x（或y）的一元方程 ax2 bx c 0 (或ay2 by c 0).
① 所得方程的二次项系数不为0，
0 直线与抛物线相交于两点
0 直线与抛物线相切交于一点
0 直线与抛物线相离
k 4x
x
2
消去x得,ky2 -4y +42k +1 = 0
1
1 当k = 0时,由方程1得y =1
将y =1代入y2 4x,得x 1 .
这时直线l与抛物线只有一4个公共点
1 4
,1
2当k 0时，方程1的判别式为
162k 2 k 1
(1)当Δ = 0时,即2k2 + k -1= 0，
解得k = -1,或k = 1 2
②一元方程的二次项系数为0，则得到关于x(或 y)的 一 元一次方程，则直线与抛物线相交于一点。
（2）数形结合法（几何法）：
练习
变式1：过点(1,1)与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线条
数是(
)
A、0
B、1
C、2
D、3
变式2： 求过定点P（0，1）且与抛物线 y2 2x 只有一
个公共点的直线的方程.
于是当k
=
-1,或k
=
1 2
时,方程
1
只有一个解,
从而
方程组只有一个解.此时直线l与抛物线有一个交点。
(2)当 0时即2k 2 k 1 0,
解得 1 k 1 2
于是当-1<
k
<
1 2
时,方程
1
有两个解,从而
方程组有两个解.此时直线l与抛物线有两个交点。
(3)当 0时,即2k 2 k 1 0,
4 4c 0 c 1
4 1
3
3
5
5 55
由x2 2x 1 0得x 1，此时y=1
P(1,1)
解法一:平行直线系
题型三：最值问题
例2.求抛物线 x2 y上一点P到直线l
2x y 4 0的距离最小值及P的坐标.
解法二：设抛物线上任意一点P(x,y), y x2
则P到直线l的距离
求函数的最小值
小结
1、直线与抛物线的位置关系。 2、相交时的交点个数、求抛物线或直线方程、
弦长等问题。 3、相离时的最小值问题。 4、数形结合的思想。
方法2：焦点弦的弦长公式
AB x1 x2 p
题型二：交点个数问题
例1 已知抛物线的方程为y2 = 4x,直线l过定点P -2,1,
斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y2 = 4x:
只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?
解:由题意,设直线l的方程为y 1 k x 2
由方程组
y y
1 2
解得k< 1或k 1
于是当k
<
-1或k
2
>
1 2
时,方程
1
没有解,
从而
方程组没有解.此时直线l与抛物线没有交点。
综上所述：当-1< k < 1 且k ≠0时，直线和抛物线有两个交点； 2
当k = -1或k = 1 或k = 0时，直线和抛物线有一个交点； 2
当k < -1或k > 1 时，直线和抛物线没有交点。 2
题型三：最值问题
例2.求抛物线 x2 y上一点P到直线l 2x y 4 0的距离最小值及P的坐标.
y
O
x
题型三：最值问题
例2.求抛物线 x2 y上一点P到直线l
2x y 4 0的距离最小值及P的坐标.
解法一：设与直线l平行且于抛物线x2 =y相切
的直线方程为2x-y+c=0
由：2xx2 -y+yc=0 x2 2x c 0 切线方程为：x2 2x 1 0 dmin
目标： 1、能用坐标法解决一些与抛物线有关的
简单几何问题（直线与抛物线的位置关系）和 实际问题；
2、通过对位置关系的学习，进一步体会 数形结合的思想。
探究
直线与抛物线位置关系
y 相离
O
相切
x
相交
一个交点或 者两个交点
题型一：弦长问题
小结：求解抛物线与过焦点的直线相交的弦长
方法1：利用弦长公式 AB (1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
d= 2x y 4 = 2x x2 4
x2 2x 4 (x 1)2 3
22 12
5
5
5
当x=1时，d min =
3 3 5 55
此时P（1，1）
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解法二:用坐标表示出距离，求距离的最小值（注意
在不同的抛物线标准方程中点的坐标的设法）
题型三：最值问题
小结：相离时的距离最值问题： 解法一：平行直线系 解法二：用坐标表示出距离，可转化为