高考数学总复习专题9_1直线方程和圆的方程试题含解析

专题1 直线方程和圆的方程【三年高考】1．【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】22(1) 2.x y -+=【考点定位】直线与圆位置关系2．【2014江苏，理9】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为d ==，所求弦长为5l ==．【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【2012江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________． 【答案】434. 【2016高考新课标2理数改编】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a ＝ ． 【答案】43- 【解析】试题分析：圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-．考点： 圆的方程、点到直线的距离公式. 【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离； 若d ＝r ，则直线与圆相切； 若d <r ，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x (或y )的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切； 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【2016高考新课标3理数】已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B两点，过,A B分别做l 的垂线与x 轴交于,C D两点，若AB =||CD =__________________. 【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【2016高考山东文数改编】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是 ． 【答案】相交 【解析】 试题分析：由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是=2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以MN ==123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交．考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 7.【2016高考北京文数改编】圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为 ．【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d == 考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点),(00y x 到直线b kx y +=(即0=--b kx y )的距离公式2001||k b kx y d +--=记忆容易，对于知d 求k ，b 很方便.8．【2016高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离________.【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5===考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【2016高考浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--；5． 【解析】试题分析：由题意22a a =+，12a =-或，1a =-时方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，2a =时方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【2016高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+= 【解析】试题分析：设(,0),(0)C a a >2,3a r =⇒=，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程． 11．【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =________. 【答案】4612.【2015高考陕西，理15】设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ． 【答案】()1,1【解析】因为xy e =，所以xy e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以2011x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．13.【2015高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B（B 在A 的上方）， 且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设),1(r C （r 为圆的半径），因为2||=AB ，所以21122=+=r ，所以圆心)2,1(C ，故圆的标准方程为2)2()1(22=-+-y x .（Ⅱ）联立方程组⎩⎨⎧=-+-=2)2()1(022y x x ，解得⎩⎨⎧-==120y x 或⎩⎨⎧+==120y x ，因为B 在A 的上方，所以)12,0(-A ，)12,0(+B ，令直线MN 的方程为0=x ，此时M )1,0(-M ，)1,0(N ，所以2||=MA ，22||+=MB ，22||-=NA ，2||=NB ，因为221222||||-=-=NB NA ，12222||||-=+=MB MA ，所以NA MA NBMB=.所以11)2NB MA NAMB-==-=，11NB MA NAMB+===，正确结论的序号是①②③.14．【2014陕西高考理第12题】若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______. 【答案】22(1)1x y +-=【解析】因为圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，所以圆心坐标为(0,1). 所以圆的标准方程为：22(1)1x y +-=,故答案为22(1)1x y +-=.【2018年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测2018年对这一部分考查不会有太大变化．【2018年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程． 【考点1】直线的方程 【备考知识梳理】 1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α；(2)若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1212x x y y K AB --=．2.直线的方程a.点斜式：)(11x x k y y -=-；b.斜截式：b kx y +=；c.两点式：121121x x x x y y y y --=--；d.截距式：1=+bya x ；e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是tan k α=，其中α是切斜角，故可结合正切函数tanx y =[0,)x π∈的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若(m,n)a =是直线l 的方向向量，则k nm=（m 0≠）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件． 【考点针对训练】1.已知直线l 过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点，且与直线320x y -+=垂直，则直线l 的方程为________ 【答案】320x y ++=【解析】由题意得：直线l 可设为30x y m ++=，又过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点(1,1)-，所以312,m =-=直线l 的方程为320x y ++=2.过点()3,1P -引直线，使点()2,3A -，()4,5B 到它的距离相等，则这条直线的方程为 ．【答案】41303x y x --==或【解析】显然直3x =符合题意，此直线过线段AB 的中点，又5(3)442AB k --==-，//l AB 时方程为14(3)y x +=-，化简为4130x y --=，因此所求直线方程为4130x y --=或3x =．【考点2】两条直线的位置关系 【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2；②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1；③1212l l k k ⇔≠（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当1221A B A B =时，12l l ，平行或重合，代入检验；当1221A B A B ≠时，12l l ，相交；当1222+=0A A A B 时，12l l ⊥．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：0Bx Ay m －＋＝； (2)平行：0Ax By n ＋＋＝. 2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． 【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ． 【答案】2.3【解析】由题意得：232.1243m m m --=≠⇒=- 2.已知直线()1:3210l mx m y +++=，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且12//l l ，则m 的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当2m =-时，1211:,:62l x l x =-=显然两直线平行，符合题意；当2m ≠-时，131:22m l y x m m =--++，222:22m l x m m ---++，若平行需满足3222m m m m --=-++且1222m m -≠-++，解得：1m =-，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离 【备考知识梳理】 (1)两点间的距离：平面上的两点1122()()A x y B x y ，，，间的距离公式：(2)点到直线的距离：点11()P x y ，到直线0l Ax By C ：＋＋＝的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线10Ax By C ＋＋＝与20Ax By C ＋＋＝间的距离【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理． 【考点针对训练】1.已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ． 【答案】2 【解析】由题意346m=，8m =，所以直线方程为68140x y ++=，即3470x y ++=，2d ==.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】23， ；【考点4】圆的方程 【备考知识梳理】标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，为圆心F E D 42122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且0422>-+AF E D ”，它可根据圆的一般方程推导而得． 2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 【考点针对训练】1．已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为_________________. 【答案】22(1)1x y -+=【解析】抛物线24y x =的焦点为（1,0），所以圆222()()x a y b r -+-=的圆心为（1,0），圆心到直线3420x y ++=的距离143|20413|22=++⨯+⨯=d ，所以所求圆的方程为22(1)1x y -+=．2．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为______________________. 【答案】()()22112x y -++=【解析】直线0=-y x 与直线04=--y x 两条平行线的距离22114=+，圆的半径2=r ，由⎩⎨⎧=+=-00y x y x ，得⎩⎨⎧==00y x ，由⎩⎨⎧=--=+040y x y x ，得⎩⎨⎧-==22y x ，直径的两个端点()0,0，()2,2-，因此圆心坐标()1,1-，圆的方程()()22112x y -++=．【两年模拟详解析】1．【2017届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【2016届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【2016届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()02A -，，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是 ． 【答案】10 【解析】试题分析：设圆心(,)a b ，半径为r ，根据圆C 被x 轴所截得的弦长为2得：22r 1b =+，又切点是()02A -，，所以222r (2)a b =++，且，所以解得1,1a b ==-或5,7a b =-=-，从而，1r 210r =，所以答案应填：10．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【2017届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y -+=与直线2:k 20l x y +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为______.【解析】 由题意得，直线1:20l kx y -+=的斜率为k ，且经过点()0,2A , 直线2:20l x ky +-=的斜率为，且经过点()2,0B ，且直线12l l ⊥ 所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标()1,1C ，半径为则圆心到直线40x y --=的距离为所以点P 到直线40x y --=的最大距离为5．【江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三三模】在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围是____．【解析】由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，所以OA OB ⊥,如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B D 、，圆上要存在满足题意的点A ，只需090BOD ∠≥，即045COB ∠≥，连接CB ，CB OB ⊥，由于()2,C m -，【点睛】已知圆的圆心在直线2x =-上，半径为，若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，说明OA OB ⊥，就是说圆上存在两点A B 、，使得OA OB ⊥.过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B D 、，圆上要存在满足题意的点A ，只需090BOD ∠≥，即045COB ∠≥，则只需0sin sin45COB ∠≥，列出不等式解出m 的范围.6．【2016届江苏省南京市高三第三次学情调研】若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为____ 【答案】2.3【解析】试题分析：由题意得： 232.1243m m m --=≠⇒=- 考点：两直线位置关系7．【东台市2017届高三5月模拟】过点(),2t 作直线l 与圆22:1C x y +=交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，则实数t 的取值范围是______．【解析】由圆x 2+y 2=1的参数方程,可设N (cos θ,sin θ)， 由M 点恰好是线段NE 的中点,代入圆方程,化简可得4cos θ+2tsin θ=−1−t 2，由|sin (θ+φ)|⩽1,即为t 4−2t 2−15⩽0,即有−3⩽t 2⩽5，则实数t 的取值范围是8．【2016-2017学年江苏省泰兴中学高三12月阶段性检测】直线3y k x =+与圆()()22234x y -+-=相交于,M N 两点,则实数k 的取值范围是______.所以圆心(2,3)求解可9．【苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研（二）】已知直线l ： 210mx y m +--=，圆C ：22240x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m =__________．【答案】1-【解析】直线l 过定点()2,1A ，圆()()22:125C x y -+-= ，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，10．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研】在平面直角坐标系中，圆：.若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是__________．【答案】(或)【解析】由于原C 存在以G 位中点的弦AB ，且AB=2GO ，故， 如图所示，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B,D ，圆上要存在满足题意的点A ，只需，即，连结CB ，由可得：，.11．【南通市2017届高三第三次调研】在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，为圆上一动点，则的最大值是____．【答案】2【解析】设点P（x,y）,则=而表示圆上一点与点的斜率，所以当过点的直线与圆相切时取得最值，设直线：由d=r得所以的最大值时，故=点睛：首先根据问题将的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后根据函数或者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论12．【南通市2017年高考数学全真模拟试题（一）】在平面直角坐标系中，若直线l 与圆221:1C x y +=和圆且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为__________． 【答案】7点睛：此题主要考查直线与圆的位置关系，三角函数定义，两角和差的正切公式，以及数形结合法等有关方面的知识，属于中高档题型，也是高频考点.用数形结合的方法解决解析几何问题时，一方面要发挥图形的直观、形象的作用，另一方面则要注意画图的准确性、完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成.13．【2016-2017学年苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为______________． 【答案】【解析】由题意，设直线与圆联立，可得，设，则，，，联立解得，则直线的方程为，故答案为.14．【2017届江苏南京市盐城高三一模】如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长是 .【答案】512 【解析】 与x 轴交点为P ，则1112223331;112;224;A B A P A B A P A B A P ====+===+=依次类推得101011A B A ∆的边长为92512= 考点：归纳推理15．【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C ：222x y +=，直线20x by +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且3OA OB OA OB +≥-，则b 的取值范围为__________．151,3⎫⎛⎤⎪ ⎥⎪ ⎭⎝⎦【解析】试题分析：设AB 中点为M ，则32|OA OB OA OB +≥-⇒又直线20x by +-=与圆C 相交于A ，B 两点，所以所以，即b 的取值范围为151,3⎫⎛⎤⎪ ⎥⎪ ⎭⎝⎦考点：直线与圆位置关系【思路点睛】（1）向量加法与弦中点，向量减法与弦长的关系，是本题综合向量与圆中弦长的切入点；（2）涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；（3）直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断16.【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】已知直线l 过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点，且与直线320x y -+=垂直，则直线l 的方程为________【答案】320x y ++=【解析】由题意得：直线l 可设为30x y m ++=，又过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点(1,1)-，所以312,m =-=直线l 的方程为320x y ++=17．【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点，点M 为AB 中点，若直线:l y kx =上存在点P ，使得30OPM ∠=，则实数k 的取值范围为________【答案】22k -≤≤【解析】因为点M 为AB 中点，所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM 为单位圆切线时，OPM ∠取最大值，即30OPM ∠≥，从而12sin OP OPM=≤∠，因此原点到直线:l y kx =距离不大于2222k ≤⇒-≤≤18．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 . 【答案】1±【解析】设:(0)l y kx b b =+≠，代入圆的方程，化简得222(1)240k x kbx b +++-=：设()()1122,,,P x y Q x y ，得212122224,11kb b x x x x k k-+=-=++， 22121212121212op oq y y x x b b b k k k k k kb x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅=⋅=++=++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2222222222222222422(1)44444k b k b k b b kb b k b k k kb b b b b --+++-⎛⎫=+-+== ⎪----⎝⎭，由2op oq l k k k⋅=得222244b k k b -=-解得1k =±． 19．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】已知直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=相交于,A B两点，若AB =，则k = ． 【答案】12【解析】圆心()2,0C ，半径为1，圆心到直线距离d =，而AB =，得221+=⎝⎭，解得12k =．20．【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．【答案】(9,－4)【解析】把直线方程整理得(21)50x y m x y +---+=，所以21050x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，解得94x y =⎧⎨=-⎩，所以定点为(9,4)-． 21．【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 .【答案】340x y ±+=【解析】如果直线l 与x 轴平行，则(1(1A B ,A 不是PB 中点，则直线l 与x 轴不平行；设:4l x my =-，圆心C 到直线l 的距离d =AB 中点为Q ，则3AQ PQ AQ ===Rt CPQ ∆中222PQ CQ PC +=,得2252521d m==+，解得3m =±，则直线l 的方程为340x y ±+=． 【一年原创真预测】1. 若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是____________.【答案】4【入选理由】本题考查圆的性质，二次函数的最值等基础知识，意在考查学生的分析问题的能力和计算能力．本题有一定的难度，将点(,)a b 向圆所作的切线长转化为二次函数最值，这是该题难点和亮点之一，是一个好题，故选此题．2. 过()3,2P -的光线经x 轴上点()0,0A x 反射后，经过不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-092073032y x y x y x 所表示的区域，则0x 的取值范围 . 【答案】51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧≥+-032y x【入选理由】本题考查线性规划的应用，直线的对称问题，直线方程等基础知识知识，意在考查画图、用图以及计算能力.本题将直线的方程，对称问题，线性规划巧妙地结合起来，构思巧妙，故选此题．。