高考数学必考之圆的方程
（江苏专用）高考数学总复习 第八章第3课时 圆的方程课件
【解】 设点M的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是 (4,3)且M是线段AB的中点，
所以 x＝x0＋2 4，y＝y0＋2 3， 于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点 A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，
所以点 A 的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝ 4， 即(x0＋1)2＋y20＝4. ② 把 ①代入 ②， 得(2x－ 4＋ 1)2＋ (2y－ 3)2 ＝4，
(2)求圆的方程有两类方法 ①几何法，即通过研究圆的性质、直 线和圆、圆和圆的位置关系，进而求 得圆的基本量(圆心、半径)和方程；
②代数法，即用“待定系数法”求圆 的方程，其一般步骤是：a.根据题意 选择方程的形式——标准形式或一般 形式(本例题中涉及圆心及切线，故设 标准形式较简单)；b.利用条件列出关 于a，b，r或D，E，F的方程组；c.解 出a，b，r或D，E，F，代入所设的标 准方程或一般方程．
第八章 平面解析几何
第3课时 圆的方程
回归教材•夯实双基
基础梳理 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 (a_，__b_)____为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)其中圆心为
__－__D2_，__－__E2___，半径为_12__D__2_＋__E_2－ __4_F_.
d＝|2－－1－1|＝ 2.
1＋1
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2， ∴2＝2，即2＝2，解得r＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝ 4.
(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2，则有
b＝－4a，
3－a2＋－2－b2＝r2， |a＋b－1|＝r， 2
高考数学专题突破教师版-圆的方程(考点讲析)
22
2
②若 D 2 E 2 4F 0 ，则方程只表示一个点 ( D ， E ) ； 22
③若 D 2 E 2 4F 0 ，则方程不表示任何图形．
4.点 A(x0，y0 ) 与⊙C 的位置关系
(1)|AC|<r⇔点 A 在圆内⇔ (x0－a)2＋( y0－b)2 r 2 ；
(2)|AC|＝r⇔点 A 在圆上⇔ (x0－a)2＋( y0－b)2 r 2 ；
.
【解析】
AOB 120 ， OA OB 2
PO
AO cos 60
4 ，即 x02
y02
16
6
又 PC x0 82 y02 且 PO PC
解得：
x0
5 2 1 2
5
1 2
2
x0
82
y02
16
且
0
x02 y02 16
4 x0 4
4
5
1 2
4 ，解得：
1 3
【典例 12】（江苏高考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 y2 8x 15 0 ，若直线 y kx 2
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值为__________． 【答案】 4
3
【解析】 ∵圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆 C 是以（4，0）为圆心，1 为半径的圆；又直 线 y=kx-2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，∴只需圆 C′：（x-4）2+y2=4
中，
．
故答案为 4
【典例 11】（2019·江苏高三）已知圆 O：x2＋y2＝4 和圆 O 外一点 P( x0 ， y0 )，过点 P 作圆 O 的两条切线， 切点分别为 A，B，且∠AOB＝120°．若点 C(8，0)和点 P 满足 PO＝ PC，则 的范围是_______．
高考数学一轮单元复习：第44讲 圆的方程
2 2
。
│要点探究
要点探究
► 探究点1 探究点 求圆的方程
重庆卷] 轴上， 例 1 [2009·重庆卷 圆心在 y 轴上，半径为 1， 重庆卷 ，且过点 (1，2)的圆的方程为 的圆的方程为( ) ， 的圆的方程为 A. x2＋(y－2)2＝1 － B. x2＋(y＋2)2＝1 ＋ C. (x－1)2＋(y－3)2＝1 － － D. x2＋(y－3)2＝1 －
│要点探究
思路】 二次函数图象与x轴有两个交点 【思路】 (1)二次函数图象与 轴有两个交点，与y轴 二次函数图象与 轴有两个交点， 轴 的交点中b≠0，(2)设圆的一般方程用待定系数法，(3)含 设圆的一般方程用待定系数法， 含 的交点中 ， 设圆的一般方程用待定系数法 b的两项为一组，并提取 ， 不含 的为另一组， 用恒等 的两项为一组， 的为另一组， 的两项为一组 并提取b，不含b的为另一组 式求. 式求
│要点探究
江苏卷]在平面 变式题 [2008·江苏卷 在平面直角坐标系 xOy 中， 江苏卷 在平面直角坐标系 记二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交 ＝ ＋ ∈ 与两坐标轴有三个交 点，经过三个交点的圆记为 C。 。 (1)求实数 b 的取值范围； 求实数 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； 求圆 的方程； (3)问圆 C 是否经过定点 其坐标与 b 无关 ？请证明你 问圆 是否经过定点(其坐标与 无关)？ 的结论。 的结论。
│要点探究
【解答】 (1)设所求圆的方程为 解答】 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则由题意有 ＋ ＋ ＝ ，
2020-2021学年高考数学(理)考点：圆的方程
2020-2021学年高考数学（理）考点：圆的方程圆的定义与方程概念方法微思考1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.1．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】如图示：，半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆， 故当圆心到原点的距离的最小时，连结OB ，A 在OB 上且1AB =，此时距离最小， 由5OB =，得4OA =，即圆心到原点的距离的最小值是4， 故选A ．2．（2018•天津）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__________． 【答案】22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-= 【解析】【方法一】根据题意画出图形如图所示， 结合图形知经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆， 其圆心为(1,0)，半径为1， 则该圆的方程为22(1)1x y -+=．【方法二】设该圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则042020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩， 解得2D =-，0E F ==；∴所求圆的方程为2220x y x +-=．故答案为：22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-=．3．（2017•上海）若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为__________． 【答案】2【解析】圆222440x y x y +-++=，可化为22(1)(2)1x y -++=，P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，||PQ ∴的最大值为2，故答案为2．1．（2020•江西模拟）圆C 的半径为5，圆心在x 轴的负半轴上，且被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2216390x x y +++= C ．2216390x x y -+-= D ．2240x y x +-=【答案】B【解析】设圆心为(a ，0)(0)a <，由题意知圆心到直线3440x y ++=的距离为|34|45a d +==，解得8a =-， 则圆C 的方程为22(8)25x y ++=，即为2216390x x y +++=， 故选B ．2．（2020•西城区模拟）若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1] B ．(-∞，0] C ．[0，)+∞ D ．[5，)+∞【答案】A【解析】圆2222420(2)(1)5x y x y a x y a +-++=⇒-++=-；圆心(2,1)-，r =圆与x ，y 轴都有公共点； ∴2515150a a a a ⎧-⎪⎪-⇒⎨⎪->⎪⎩； 故选A ．3．（2020•全国Ⅱ卷模拟）已知圆C 过点(4,6)，(2,2)--，(5,5)，点M ，N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为( ) A ．100 B ．25 C ．50 D ．252【答案】D【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 将(4,6)，(2,2)--，(5,5)代入可得，52460822050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩，解得2D =-，4E =-，20F =-，故圆C 的一般方程为2224200x y x y +---=， 即22(1)(2)25x y -+-=， 故CMN ∆的面积1125||||sin 55222S CM CN MCN =∠⨯⨯=， 故选D ．4．（2020•长春三模）已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆22:20C x y x +-=的公共弦所在直线的方程为0x =，则圆E 的方程为( )A ．22(2x y +-=B ．22(2x y +=C ．22(3x y +=D ．22(3x y ++=【答案】C【解析】圆E 的圆心在y 轴上，∴设圆心E 的坐标为(0,)b ，设半径为r ， 则圆E 的方程为：222()x y b r +-=，即222220x y by b r +-+-=， 又圆C 的方程为：2220x y x +-=，两圆方程相加得公共弦所在直线的方程为：2202b r x by --+=，又公共弦所在直线的方程为0x =，∴2202b b r ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得b r ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴圆E的方程为：22(3x y +=，故选C ．5．（2020•怀柔区一模）已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于原点对称，则圆C 的方程为( ) A ．221x y += B ．22(1)1x y ++= C ．22(1)1x y +-= D ．22(1)1x y ++=【答案】D【解析】圆22(1)1x y -+=的圆心坐标为(1,0)，半径为1． 点(1,0)关于原点的对称点为(1,0)-， 则所求圆的方程为22(1)1x y ++=． 故选D ．6．（2020•郑州二模）圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为( ) A ．22(3)(2)4x y +++= B ．22(4)(6)4x y ++-= C ．22(4)(6)4x y -+-= D ．22(6)(4)4x y +++=【答案】C【解析】由圆22(2)(12)4x y ++-=可得圆心坐标(2,12)-，半径为2，由题意可得关于直线80x y -+=对称的圆的圆心与(2,12)-关于直线对称，半径为2， 设所求的圆心为(,)a b 则21280221212a b b a -+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩解得：4a =，6b =，故圆的方程为：22(4)(6)4x y -+-=， 故选C ．7．（2020•西城区一模）设(2,1)A -，(4,1)B ，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=【答案】A【解析】弦长AB =(3,0)， 所以圆的方程22(3)2x y -+=， 故选A ．8．（2020•拉萨二模）圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是( ) A ．22(2)(1)1x y -+-= B ．22(2)(1)1x y +++= C ．22(2)(1)5x y -+-= D ．22(2)(1)5x y +++=【答案】A【解析】圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1， 故它的的方程是22(2)(1)1x y -+-=， 故选A ．9．（2020•绵阳模拟）已知圆22:6890C x y x y +--+=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足||||PM PN =且PM PN ⊥，则||PC 的最大值为( )A ．8B ．C ．4D ．【答案】D【解析】根据题意，若平面上一动点P 满足||||PM PN =，又由||||CM CN =，则PC 为线段MN 的垂直平分线，设MN 的中点为G ，||NG n =，||CG m =，又由||||PM PN =且PM PN ⊥，则PMN ∆为等腰直角三角形，故||||PG NG n ==， 圆22:6890C x y x y +--+=，即22(3)(4)16x y -+-=， 则2216m n +=，则||()16(PC m n m =++当且仅当m n =时等号成立，故||PC 的最大值为 故选D ．10．（2020•绵阳模拟）已知圆22:280C x y x +--=，直线l 经过点(2,2)M ，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为( ) A ．220x y -+= B ．260x y +-= C ．220x y --= D ．260x y +-=【答案】D【解析】如图所示：圆22:280C x y x +--=，化为标准方程为：22(1)9x y -+=，∴圆心(1,0)C ，当直线l 与CM 垂直时，直线l 分圆C 的两部分的面积之差的绝对值最大， 20221CM k -==-， ∴直线l 的斜率12k =-， ∴直线l 的方程为：12(2)2y x -=--，即260x y +-=，故选D ．11．（2020•和平区校级二模）已知圆C 的圆心在直线230x y --=上，且过点(2,3)A -，(2,5)B --，则圆C 的标准方程为__________． 【答案】22(1)(2)10x y +++=【解析】根据题意，圆C 的圆心在直线230x y --=上，设圆心的坐标为(23,)t t +， 圆C 经过点(2,3)A -，(2,5)B --，则有2222(232)(3)(232)(5)t t t t +-++=++++， 解可得2t =-，则231t +=-，即圆心C 的坐标为(1,2)--， 圆的半径为r ，则2222||(12)(23)10r CA ==--+-+=， 故圆C 的标准方程为22(1)(2)10x y +++=； 故答案为：22(1)(2)10x y +++=．12．（2020•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线:0l x -+=与圆22:4C x y +=的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为__________．【答案】223(()12x y ++-=【解析】根据题意，直线:0l x -+=与圆22:4C x y +=相交，设其交点为A 、B ，则有2204x x y ⎧-+⎪⎨+=⎪⎩，联立解可得：1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩，即A 、B 的坐标为(1)和(0,2)；当AB 为圆M 的直径时，圆M 的面积最小，此时圆M的圆心(M ，3)2，半径1||12r AB ==； 则此时圆M的标准方程为：223(()12x y +-=；故答案为：223(()12x y ++-=． 13．（2020•河东区一模）已知圆O 过点(0,0)A 、(0,4)B 、(1,1)C ，点(3,4)D 到圆O 上的点最小距离为__________．【解析】设圆O 的方程为220x y dx ey f ++++=，圆O 过点(0,0)A 、(0,4)B 、(1,1)C ， ∴0016040110f e f d e f =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，求得240d e f =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22240x y x y ++-=，即22(1)(2)5x y ++-=，表示圆心为(1,2)-的圆．||DO =故点(3,4)D 到圆O上的点最小距离为．14．（2020•南通模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(10,0)-的圆M 与圆22660x y x y +--=相切于原点，则圆M 的半径是__________． 【答案】【解析】圆22660x y x y +--=化为22(3)(3)18x y -+-=， 圆心坐标为(3,3)，半径为 如图，所求的圆与圆22660x y x y +--=相切于原点，∴两圆圆心的连线在直线y x =上，可设所求圆的圆心为(,)a a 解得5a=-，∴所求圆M 的半径为故答案为：15．（2020•滨海新区模拟）以点(1,0)C 为圆心，且被y 轴截得的弦长为2的圆的方程为__________． 【答案】22(1)2x y -+= 【解析】如图，圆的半径为r ． 又圆心为(1,0)，∴所求圆的方程为22(1)2x y -+=．故答案为：22(1)2x y -+=．16．（2020•东城区一模）圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为__________． 【答案】221(1)2x y -+=【解析】设所求圆的方程为222()x a y r -+=， 因为圆与直线1:l y x =和2:2l y x =-r ==，解得1a =，r ，所以圆的方程为221(1)2x y -+=． 故答案为：221(1)2x y -+=． 17．（2020•河西区一模）已知圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，圆C 与抛物线24y x =的准线和x 轴都相切，则圆C 的方程为__________． 【答案】22(1)(2)4x y -+-=【解析】圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上， 故可设圆心为(,2)C a a ，0a >，圆C 与抛物线24y x =的准线1x =-和x 轴都相切，故圆的半径|1||2|a a +=，解得1a =，或13a =-（舍去），故半径为2，则圆C 的方程为22(1)(2)4x y -+-=， 故答案为：22(1)(2)4x y -+-=．18．（2020•宿迁模拟）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2100x y +-=相切，当圆C 面积最小时，圆C 的标准方程为__________． 【答案】22(2)(1)5x y -+-=【解析】A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2100x y +-=相切，所以原点(0,0)在圆上，原点(0,0)到直线2100x y +-=的距离d ==(0,0)到直线的距离为直径时，该圆最小．即2dr =直线2100x y +-=与圆的切点坐标满足210012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，所以圆心坐标为40222012a b +⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，故圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=． 故答案为：22(2)(1)5x y -+-=．19．（2020•滨海新区模拟）已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A --和(2,2)B -，且圆心C 在直线:10l x y --=上，则圆心为C 的圆的标准方程是__________．【答案】22(3)(2)25x y -+-=【解析】由(1,1)A --，(2,2)B -，得AB 的中点为3(2-，1)2，又12312AB k --==--+，AB ∴的垂直平分线方程为113()232y x -=+，即330x y -+=． 联立33010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩．∴圆心坐标为(3,2)C ，半径为||5CA =．∴圆心为C 的圆的标准方程是22(3)(2)25x y -+-=．故答案为：22(3)(2)25x y -+-=．20．（2020•如皋市校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若(0,1)A ，点B 是圆22:230C x y x ++-=上的动点，则2AB BO +的最小值为__________．【解析】由(0,1)A ，圆22:230C x y x ++-=上可化为22(1)4x y ++=， 设点(,)B x y ，则2AB BO +=====这表示圆C 上的点B 到点A 的距离与到点(3,0)D 的距离的和， 所以点B 在线段AD 上时，2AB BO +取得最小值，如图所示，所以2AB BO +的最小值是AD21．（2020•江苏一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切于点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为__________． 【答案】22(2)8x y ++=【解析】已知圆22:48120M x y x y +--+=，整理得：22(2)(4)8x y -+-=， 令0y =，圆的方程转换为：28120y y -+=，解得2y =或6． 由于圆N 与圆M 相切于(0,)m 且过点(0,2)-． 所以2m =．即圆N 经过点(0,2)A ，(0,2)B -． 所以圆心在这两点连线的中垂线x 轴上，x 轴与MA 的交点为圆心N ．所以:2MA y x =+． 令0y =，则2x =-． 即(2,0)N -，|R NA ==．所以圆N 的标准方程为：22(2)8x y ++=． 故答案为：22(2)8x y ++=．22．（2020•南通模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 圆心在直线:21l y x =-上，若圆C 上存在一点P ，使得直线1:20l ax y --=与直线2:20l x ay +-=交于点P ，则当实数a 变化时，圆心C 的横坐标x 的取值范围是__________． 【答案】[1-，7]5【解析】因为直线1:20l ax y --=与直线2:20l x ay +-=互相垂直，且分别过定点(0,2)A -，(2,0)B ，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，直径AB ，圆心坐标为(1,1)-， 又因为点P 在圆C 上，故两圆有公共点，所以两圆的圆心距d 满足022d ， 即220(1)(211)22x x -+-+，解得715x-， 故答案为[1-，7]5．23．（2020•南通模拟）已知半径为1的圆C 的圆心在射线2(1)y x x =-+上，若圆C 上有且仅有一点Q ，满足226QA QB +=，其中(1,1)A ，(3,3)B ，则圆C 的方程为__________． 【答案】22(2)1x y -+=【解析】设(,)Q x y ，则由22||||6QA QB +=得：2222[(1)(1)][(3)(3)]6x y x y -+-+-+-=， 整理得22(2)(2)1x y -+-=，所以点Q 在以(2,2)为圆心，半径为1的圆上；又点Q 在圆22()[(2)]1(1)x a y a a -+--+=上， 且两圆有唯一公共点，则两圆相切，如图所示； 当两圆外切时，22(2)[2(2)]4a a -+--+=，解得2a =或0a =，应取2a =；当两圆内切时，22(2)[2(2)]0a a -+--+=， 此时方程无实数解，a 的值不存在； 综上知，圆C 的圆心为(2,0)， 圆C 的方程为22(2)1x y -+=． 故答案为：22(2)1x y -+=．24．（2020•许昌一模）若圆22420x y x y F +--+=的半径为3，则F =__________． 【答案】4-【解析】根据题意，圆22420x y x y F +--+=的半径为33=， 解可得：4F =-； 故答案为：4-．25．（2020•南开区校级模拟）过点(3,2)A -，(5,2)B --，且圆心在直线3240x y -+=上的圆的半径为__________．【解析】(3,2)A -，(5,2)B --，∴2225(3)AB k --==---，AB 的中点坐标为(4,0)-，AB ∴的垂直平分线方程为1(4)2y x =-+，即240x y ++=．联立2403240x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩．∴所求圆的圆心坐标为(2,1)--，半径r26．（2020•洛阳二模）已知点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，||3AB =，2BM MA =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,1)N 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，与曲线C 分别交于P ，Q （不同于点)N 两点，求证：直线PQ 过定点．【解析】（1）设点M 的坐标为(,)M x y ，(,0)A a ，(0,)B b ．由2BM MA =得21(,)33M a b所以3,32a xb y == 因为229a b += 所以223()(3)92x y +=则2214xy += （2）由题可知，直线NP 的斜率存在，设直线1()NP l 的方程：1y kx =+ 联立22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)80k x kx ++=，解得12280,14k x x k -==+ 则222814(,)1414k k P k k --++，由于1l ，2l 为过N 互相垂直的直线，同理得22284(,)44k k Q k k -++直线PQ 的斜率为22222224141414885414k k k k k k k k k k k----++==--++ 直线PQ 的方程为2222418()454k k ky x k k k ---=-++化简得：21355k y x k -=-因此直线PQ 恒过点3(0,)5-．27．（2019•西湖区校级模拟）如图，已知圆M 过点(10,4)P ，且与直线43200x y +-=相切于点(2,4)A （1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且||||BC OA =，求直线l 的方程；【解析】（1）过点(2,4)A 且与直线43200x y +-=垂直的直线方程为34100x y -+=①；AP 的垂直平分线方程为6x =；由①②联立得圆心(6,7)M ，半径||5r AM =； 圆M 的方程为22(6)(7)25x y -+-=． （2）因为直线//l OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-． 设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离d =因为BC OA ==，而222()2BC MC d =+，所以2(5)2555m +=+，解得5m =或15m =-． 故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=．28．（2019•西湖区校级模拟）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=， （Ⅰ）若直线1l 过定点(1,0)A ，且与圆C 相切，求1l 的方程；（Ⅱ）若圆D 的半径为3，圆心在直线2:20l x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．【解析】（Ⅰ）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意． ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心(3,4)到已知直线1l 的距离等于半径2，2=解之得34k =． 所求直线方程是1x =，3430x y --=．（Ⅱ）依题意设(,2)D a a -，又已知圆的圆心(3,4)C ，2r =，由两圆外切，可知5CD =∴5=，解得3a =，或2a =-， (3,1)D ∴-或(2,4)D -，∴所求圆的方程为22(3)(1)9x y -++=或22(2)(4)9x y ++-=．。
高考数学圆的方程与性质选择题
高考数学圆的方程与性质选择题1. 请根据圆的标准方程 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，判断圆心坐标和半径。
2. 圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 是一个什么圆？3. 已知一个圆的方程是 (x-1)^2 + (y-2)^2 = 16，请问这个圆的半径是多少？4. 如果一个圆的方程是 x^2 + y^2 = 1，那么这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？5. 已知一个圆的方程是 (x-2)^2 + (y-3)^2 = 4，请判断这个圆是否是圆心在原点的圆。
6. 请根据圆的方程 x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，判断这个圆的圆心坐标和半径。
7. 已知一个圆的方程是 (x-3)^2 + (y+2)^2 = 1，请问这个圆的半径是多少？8. 请判断圆的方程 x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0 是否是一个标准圆的方程。
9. 如果一个圆的方程是 (x-1)^2 + (y-2)^2 = 5，请问这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？10. 已知一个圆的方程是 (x+2)^2 + (y-3)^2 = 1，请判断这个圆的圆心坐标和半径。
11. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的半径。
12. 已知一个圆的方程是 x^2 + y^2 = 4，请问这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？13. 请判断圆的方程 x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0 是否是一个标准圆的方程。
14. 如果一个圆的方程是 (x-3)^2 + (y+2)^2 = 1，请问这个圆的半径是多少？15. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的圆心坐标和半径。
16. 已知一个圆的方程是 (x+2)^2 + (y-3)^2 = 1，请判断这个圆的圆心坐标和半径。
17. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的半径。
高考数学一轮复习圆的方程
F＝0，
16＋4D＋F＝0， 2－D＋E＋F＝0，
D＝－4，
解得E＝－6， F＝0，
易得 D2＋E2－4F>0，所以过这
三点的圆的方程为 x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13.
若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点， 设过这三点的圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点
第二节
圆与方程
第二节 圆与方程
1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
必备知识·系统归纳 先整体系统知识，再分课时研究题点考法
Ⅰ.主干知识的再认再现
圆心到直线 l 的距离为 2 ＝ 2<2，所以直线 l 与圆相交．又圆 心不在直线 l 上，所以直线不过圆心．故选 D. 答案：D
4．(人教 A 版选择性必修①P98·T3 改编)直线 y＝ 3x 被圆 C：x2＋y2－2x
＝0 截得的线段长为
()
A．2
B. 3
C．1
D. 2
解析：圆 C：x2＋y2－2x＝0 的圆心为(1,0)，半径为 1，圆心到直线 y ＝ 3x 的距离为 d＝ |3＋3| 1＝ 23，弦长为 2· 1－ 232＝1，故选 C.
16＋4D＋F＝0，
可 得 2－D＋E＋F＝0， 20＋4D＋2E＋F＝0，
D＝－156， 解 得 E＝－2，
F＝－156，
易得 D2＋E2－
4F>0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋y2－156x－2y－156＝0，即x－852 ＋(y－1)2＝12659.
高中数学必考内容,圆的方程,(高考热点)
2 2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
D E y=-E/2，表示一个点（ 2 , 2 ）
（3）当D2+E2-4F＜0时,方程（1）无实数解,所以 不表示任何图形。
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
思考5:方程 x y Dx Ey F 0 2 2 ( D E 4F 0)叫做圆的一般方程，其 圆心坐标和半径分别是什么？
用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
例2 方程 x y ax 2ay 2a a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
2 2 2
求动点轨迹的步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y);
2.列出动点M满足的等式并化简; 3.说明轨迹的形状.
圆的方程
问题提出 1.在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也确定一条直线， 那么在什么条件下可以确定一个圆呢？
圆心和半径
2.直线可以用一个方程表示，圆也可 以用一个方程来表示，怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.
知识探究一：圆的标准方程
思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线,在 平面几何中,圆是怎样定义的？
x y 8x 6 y 0
2 2
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； 2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程； 3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入 所设方程，就得要求的方程．
根据题目条件,恰当选择圆方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】
课时过关检测(四十八)圆的方程【原卷版】1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝52．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．54．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为()A．23B．13C．23＋1D．13＋16．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝438．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．14．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3,0)C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5)4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．课时过关检测(四十八)圆的方程【解析版】1．圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是()A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －2)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5解析：A 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A ．2．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆，则有D 2＋E 2－4F ＝a 2＋4－8＞0，解得a ＞2或a ＜－2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜－2”的充分不必要条件，所以“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A ．3．若x 2＋y 2＝8，则2x ＋y 的最大值为()A ．8B ．4C ．210D ．5解析：C 设2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x ，当直线y ＝t －2x 与x 2＋y 2＝8相切时，t 取到最值，所以|t |5≤22，解得－210≤t ≤210，所以2x ＋y 的最大值为210，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是()A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：D圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心C (3，1)，半径为1，因为圆心C 到O (0,0)的距离为2，所以圆C 上的点到O (0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB ＝90°，则以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得|PO |＝12|AB |＝t ，所以有1≤t ≤3，故选D ．5．点M 为圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为()A ．23B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0＋y －2＝0，x ＋2y －5＝0得＝1，＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABCx 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ),半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＝43．8．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则＝0，＋2D ＋F ＝0，＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得＝－2，＝－6，＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210．所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x－y ＋2＝0＋y ＝0，－y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联x ＋1)2＋(y －1)2＝10，－y －2＝0，＝0，＝－2＝2，＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，故直线l的方程为y＝－13x＋83，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝22，点O到直线l的距离为812＋32＝4105，|PM|＝＝4105，所以△POM的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝22得x2＋y2＝8，2＋y2＝8，①－1)2＋(y－3)2＝2，②①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝145，y2＝2．从而x1＝－25，x2＝2．所以M－25，|PM|＝＝4105．又点O到l距离d＝812＋32＝4105，所以△POM的面积S＝12|PM|·d＝12×4105×4105＝165．15．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π解析：ABD圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D．16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T 两侧．(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5)4－x2－y2＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，解得－1<k<3 2．(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·4－x2－y2<0，x＋4y－5<0，2＋y2<4，点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，故∠AOB＝2π3，因此，所求面积为S＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。
2024高考数学常考题型 第18讲 直线与圆常考6种题型总结(解析板)
第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即2+-x y ；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：2+-x y 题型五：圆中最值问题【例1】已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．82-B ．1682-C ．842+D ．162+【答案】C 【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离422d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则42AB =PAB △面积的最大值为()14222822⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295【答案】B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为()221265247125d ⨯-+==+-，【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。
高考数学复习：圆的方程
命题角度4 利用函数或基本不等式求最值问题
例6 设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当
x+y-2=0
|AB|取最小值时,切线l的方程为
设点 A,B 的坐标分别为 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线 AB
又所求圆在直线 x-y-3=0 上截得的弦长为√6,
圆心(a,-a)到直线 x-y-3=0 的距离
∴d +
2
√6
2
2
2
(2-3)
=r2,即
2
|2-3|
d=
,
√2
3
+ =2a2,
2
解得 a=1.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
(方法二)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
故 y-x 的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.
命题角度3 距离型最值问题
例5 在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.
解 如图,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在
原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
因为圆心到原点的距离为 (2-0)2 + (0-0)2 =2,
例2 如图,已知点A(-1,0),B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长
至点D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.
解 设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.
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高考数学必考之圆的方程考点一 圆的方程1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是【答案】()()223125x y -+-=【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()223125x y -+-=，2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为 【答案】()5,2【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为64131-=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+.线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为13-，故线段AC 的垂直平分线方程为()1323y x -=--，即11133y x =-+.由75111233y x x y y x =-+⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==-+⎩⎪⎩.所以ABC ∆外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是【答案】－2<a <23【解析】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<.考点二 点与圆的位置关系1．点()1,1在圆()2211x y +-=的（ ）A ．圆上B ．圆内C ．圆外D ．无法判定【答案】A【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2211x y +-=的方程即()221111+-=，∴点()1,1在圆()2211x y +-=上，2．经过点(1,2)A 可做圆22240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（ ）A ．(,(23,)-∞-+∞B ．(5,(23,)--+∞C ．(,)-∞-⋃+∞D ．(5,(22,)--+∞【答案】B【解析】圆22240x y mx y ++-+=，即为222()(1)324m m x y -+-=-， 2304m ∴->⇒m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-．所以5m -<<-m >故选B3．若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．,22⎛-⎝⎭C ．(D ．(【答案】D【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-⨯+⨯+-<解得：m <本题正确选项：D考点三 直线与圆1．已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b = 。
【答案】3-或1=∴|1|2b +=∴13b b ==-或2．已知定点()00,P x y 在单位圆221x y +=内部，则直线001x x y y +=与圆221x y +=的位置关系是 。
【答案】相离【解析】()00,p x y 在圆221x y +=的内部22001x y ∴+<因为圆心为(0,0)，半径为r，所以圆心到直线的距离1d r =>=∴直线与圆相离，3．圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y ++=的距离为1，则a = 。
【答案】125-【解析】因为2228130+--+=x y x y 可转化为()()22144x y -+-=， 所以圆的圆心为()1,4，半径为2，因为圆心到直线10ax y ++=的距离为1，所以24111a a ，解得125a =-， 4．圆2228130+--+=x y x y 截直线10axy +-=所得的弦长为a = 。
【答案】43-【解析】圆2228130+--+=x y x y ,即()()22144x y -+-=1=根据点到直线距离公式可知1d ==,化简可得()2231a a +=+ 解得43a =-5．已知不全为0的实数a ，b ，c 满足2b a c =+，则直线0ax by c -+=被曲线22220x y x y +--=截得的弦长的最小值为（）．A B ．1C ．D ．2【答案】D【解析】2b a c =+∴直线0ax by c -+=过定点(1,2)A ,因为22220x y x y +--=，所以22(1)(1)2x y -+-=因此当圆心(1,1)C 与(1,2)A 连线垂直直线0ax by c -+=时，直线0ax by c -+=被曲线22220x y x y +--=截得的弦长最小，此时最小值为212==⨯=故选：D6．已知O 为坐标原点，点P 在单位圆上，过点P 作圆C ：22(4)(3)4x y -+-=的切线，切点为Q ，则PQ的最小值为（）AB ．C ．2D ．4【答案】B【解析】根据题意，圆22:(4)(3)4C x y -+-=，其圆心(4,3)C ，半径2r ，过点P 作圆22:(4)(3)4C x y -+-=的切线，切点为Q ，则||PQ =，当||PC 最小时，||PQ 最小，又由点P 在单位圆上，则||PC 的最小值为||114OC -==，则||PQ =； 故选：B ．考点四 圆与圆1．若圆()()221:221C x y ++-=，()()222:2516C x y -+-=，则1C 和2C 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相交C ．内切D ．外切【答案】D【解析】可知，圆1C 的圆心为()12,2C -，半径为11r =，圆2C 的圆心()22,5C ，半径为24r =，12125C C r r ===+，因此，圆1C 与圆2C 外切.故选：D.2．若圆221:4C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则实数m =（ ）A ．24-B ．16-C ．24D ．16【答案】D【解析】圆1C 的圆心为()0,0，半径为2，圆2C 的圆心为()3,45=.由于两个圆外切，所以25=，解得16m =. 故选：D3．若圆222x y a +=与圆2260x y ay ++-=的公共弦长为a 的值为（ ） A ．2 B ．2±C ．1D ．±1【答案】B【解析】圆222x y a +=的圆心为原点O ，半径r a =将圆222x y a +=与圆2260x y ay ++-=的左右两边分别相减，可得260ay a +-=，即得两圆的公共弦所在直线方程为260ay a +-=.原点O 到260ay a +-=的距离6d a a=-，根据垂径定理可得2226a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 24a ∴=2a ∴=±故选：B.4．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆12,C C 上的点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( )A B 1C ．6-D ．4【答案】D【解析】如图所示，圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标3(2,)A -，半径为1，圆2C 的圆心坐标为(3,4),，半径为3，由图象可知，当,,P M N 三点共线时，||||PM PN +取得最小值，且||||PM PN +的最小值为圆3C 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径之和，即23144AC --==， 故选D ．5．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】圆()()221:124C x y +++=，圆心1C ()1,2-- ，12r =，圆()()222:229C x y -+-= ,圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+ ∴两圆外切，有3条公切线.故选C.6．若圆1C ：2246120x y x y ++--=与圆2C ：()()2245x y m -++=有且仅有3条公切线，则实数m的值为（ ） A ．4 B ．25C ．5D ．16【答案】B【解析】依题意，圆1C ：()()222325x y ++-=，由题得1C 与2C 外切，则1212C C r r =+，5=25m =，故选：B.。