2021届高考数学(理)考点复习：圆的方程(含解析)

2021届高考数学（理）考点复习圆的方程圆的定义与方程定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程标准 式(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)圆心为(a ，b ) 半径为r一 般 式x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0充要条件：D 2＋E 2－4F >0 圆心坐标：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2 半径r ＝12D 2＋E 2－4F概念方法微思考1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.1．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】如图示：，半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆， 故当圆心到原点的距离的最小时，连结OB ，A 在OB 上且1AB =，此时距离最小， 由5OB =，得4OA =，即圆心到原点的距离的最小值是4， 故选A ．2．（2018•天津）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__________． 【答案】22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-= 【解析】【方法一】根据题意画出图形如图所示， 结合图形知经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆， 其圆心为(1,0)，半径为1， 则该圆的方程为22(1)1x y -+=．【方法二】设该圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则042020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩， 解得2D =-，0E F ==；∴所求圆的方程为2220x y x +-=．故答案为：22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-=．3．（2017•上海）若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为__________． 【答案】2【解析】圆222440x y x y +-++=，可化为22(1)(2)1x y -++=，P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，||PQ ∴的最大值为2，故答案为2．1．（2020•江西模拟）圆C 的半径为5，圆心在x 轴的负半轴上，且被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2216390x x y +++= C ．2216390x x y -+-= D ．2240x y x +-=【答案】B【解析】设圆心为(a ，0)(0)a <，由题意知圆心到直线3440x y ++=的距离为22|34|5345a d +==-，解得8a =-， 则圆C 的方程为22(8)25x y ++=，即为2216390x x y +++=， 故选B ．2．（2020•西城区模拟）若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1] B ．(-∞，0]C ．[0，)+∞D ．[5，)+∞【答案】A【解析】圆2222420(2)(1)5x y x y a x y a +-++=⇒-++=-； 圆心(2,1)-，5r a =-圆与x ，y 轴都有公共点； ∴2515150a a a a ⎧-⎪⎪-⇒⎨⎪->⎪⎩； 故选A ．3．（2020•全国Ⅱ卷模拟）已知圆C 过点(4,6)，(2,2)--，(5,5)，点M ，N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为( ) A ．100 B ．25 C ．50 D ．252【答案】D【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 将(4,6)，(2,2)--，(5,5)代入可得，52460822050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩，解得2D =-，4E =-，20F =-，故圆C 的一般方程为2224200x y x y +---=， 即22(1)(2)25x y -+-=， 故CMN ∆的面积1125||||sin 55222S CM CN MCN =∠⨯⨯=， 故选D ．4．（2020•长春三模）已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆22:20C x y x +-=的公共弦所在直线的方程为30x y =，则圆E 的方程为( ) A ．22(3)2x y +-= B ．22(3)2x y +=C ．22(3)3x y +=D ．22(3)3x y ++=【答案】C【解析】圆E 的圆心在y 轴上，∴设圆心E 的坐标为(0,)b ，设半径为r ， 则圆E 的方程为：222()x y b r +-=，即222220x y by b r +-+-=， 又圆C 的方程为：2220x y x +-=，两圆方程相加得公共弦所在直线的方程为：2202b r x by --+=，又公共弦所在直线的方程为30x y =， ∴22302b b r ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得33b r ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴圆E 的方程为：22(3)3x y +=，故选C ．5．（2020•怀柔区一模）已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于原点对称，则圆C 的方程为( ) A ．221x y += B ．22(1)1x y ++= C ．22(1)1x y +-= D ．22(1)1x y ++=【答案】D【解析】圆22(1)1x y -+=的圆心坐标为(1,0)，半径为1． 点(1,0)关于原点的对称点为(1,0)-， 则所求圆的方程为22(1)1x y ++=． 故选D ．6．（2020•郑州二模）圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为( ) A ．22(3)(2)4x y +++= B ．22(4)(6)4x y ++-= C ．22(4)(6)4x y -+-= D ．22(6)(4)4x y +++=【答案】C【解析】由圆22(2)(12)4x y ++-=可得圆心坐标(2,12)-，半径为2，由题意可得关于直线80x y -+=对称的圆的圆心与(2,12)-关于直线对称，半径为2， 设所求的圆心为(,)a b 则21280221212a b b a -+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩解得：4a =，6b =，故圆的方程为：22(4)(6)4x y -+-=， 故选C ．7．（2020•西城区一模）设(2,1)A -，(4,1)B ，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=【答案】A【解析】弦长22(42)(11)22AB =-++2(3,0)， 所以圆的方程22(3)2x y -+=， 故选A ．8．（2020•拉萨二模）圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是( ) A ．22(2)(1)1x y -+-= B ．22(2)(1)1x y +++= C ．22(2)(1)5x y -+-= D ．22(2)(1)5x y +++=【答案】A【解析】圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1， 故它的的方程是22(2)(1)1x y -+-=， 故选A ．9．（2020•绵阳模拟）已知圆22:6890C x y x y +--+=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足||||PM PN =且PM PN ⊥，则||PC 的最大值为( )A ．8B ．82C ．4D ．42【答案】D【解析】根据题意，若平面上一动点P 满足||||PM PN =，又由||||CM CN =，则PC 为线段MN 的垂直平分线，设MN 的中点为G ，||NG n =，||CG m =，又由||||PM PN =且PM PN ⊥，则PMN ∆为等腰直角三角形，故||||PG NG n ==， 圆22:6890C x y x y +--+=，即22(3)(4)16x y -+-=， 则2216m n +=，则222||()()216216(42PC m n m n m n mn mn m =++++++当且仅当m n =时等号成立， 故||PC 的最大值为42 故选D ．10．（2020•绵阳模拟）已知圆22:280C x y x +--=，直线l 经过点(2,2)M ，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为( ) A ．220x y -+= B ．260x y +-= C ．220x y --= D ．260x y +-=【答案】D【解析】如图所示：圆22:280C x y x +--=，化为标准方程为：22(1)9x y -+=，∴圆心(1,0)C ，当直线l 与CM 垂直时，直线l 分圆C 的两部分的面积之差的绝对值最大， 20221CM k -==-， ∴直线l 的斜率12k =-， ∴直线l 的方程为：12(2)2y x -=--，即260x y +-=，故选D ．11．（2020•和平区校级二模）已知圆C 的圆心在直线230x y --=上，且过点(2,3)A -，(2,5)B --，则圆C 的标准方程为__________． 【答案】22(1)(2)10x y +++=【解析】根据题意，圆C 的圆心在直线230x y --=上，设圆心的坐标为(23,)t t +， 圆C 经过点(2,3)A -，(2,5)B --，则有2222(232)(3)(232)(5)t t t t +-++=++++， 解可得2t =-，则231t +=-，即圆心C 的坐标为(1,2)--， 圆的半径为r ，则2222||(12)(23)10r CA ==--+-+=， 故圆C 的标准方程为22(1)(2)10x y +++=； 故答案为：22(1)(2)10x y +++=．12．（2020•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线:330l x -+=与圆22:4C x y +=的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为__________． 【答案】2233(()12x y ++-= 【解析】根据题意，直线:3230l x -+=与圆22:4C x y +=相交，设其交点为A 、B ， 则有2232304x x y ⎧-+⎪⎨+=⎪⎩，联立解可得：31x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩， 即A 、B 的坐标为(3-1)和(0,2)；当AB 为圆M 的直径时，圆M 的面积最小，此时圆M 的圆心3(M 3)2，半径1||12r AB ==； 则此时圆M 的标准方程为：2233()()12x y +-=； 故答案为：2233()()12x y ++-=． 13．（2020•河东区一模）已知圆O 过点(0,0)A 、(0,4)B 、(1,1)C ，点(3,4)D 到圆O 上的点最小距离为__________． 5【解析】设圆O 的方程为220x y dx ey f ++++=，圆O 过点(0,0)A 、(0,4)B 、(1,1)C ， ∴0016040110f e f d e f =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，求得240d e f =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22240x y x y ++-=，即22(1)(2)5x y ++-=，表示圆心为(1,2)-5的圆．22||(31)(42)25DO =++-故点(3,4)D 到圆O 上的点最小距离为2555 5．14．（2020•南通模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(10,0)-的圆M 与圆22660x y x y +--=相切于原点，则圆M 的半径是__________． 【答案】52【解析】圆22660x y x y +--=化为22(3)(3)18x y -+-=， 圆心坐标为(3,3)，半径为32 如图，所求的圆与圆22660x y x y +--=相切于原点，∴两圆圆心的连线在直线y x =上， 可设所求圆的圆心为(,)a a 2222(10)a a a a +++ 解得5a =-，∴所求圆M 的半径为52故答案为：52．15．（2020•滨海新区模拟）以点(1,0)C 为圆心，且被y 轴截得的弦长为2的圆的方程为__________． 【答案】22(1)2x y -+= 【解析】如图，圆的半径为22112r =+=． 又圆心为(1,0)，∴所求圆的方程为22(1)2x y -+=．故答案为：22(1)2x y -+=．16．（2020•东城区一模）圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为__________． 【答案】221(1)2x y -+=【解析】设所求圆的方程为222()x a y r -+=， 因为圆与直线1:l y x =和2:2l y x =-1111r ==++，解得1a =，2r ，所以圆的方程为221(1)2x y -+=． 故答案为：221(1)2x y -+=． 17．（2020•河西区一模）已知圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，圆C 与抛物线24y x =的准线和x 轴都相切，则圆C 的方程为__________． 【答案】22(1)(2)4x y -+-=【解析】圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上， 故可设圆心为(,2)C a a ，0a >，圆C 与抛物线24y x =的准线1x =-和x 轴都相切，故圆的半径|1||2|a a +=，解得1a =，或13a =-（舍去），故半径为2，则圆C 的方程为22(1)(2)4x y -+-=， 故答案为：22(1)(2)4x y -+-=．18．（2020•宿迁模拟）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2100x y +-=相切，当圆C 面积最小时，圆C 的标准方程为__________． 【答案】22(2)(1)5x y -+-=【解析】A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2100x y +-=相切，所以原点(0,0)在圆上，原点(0,0)到直线2100x y +-=的距离22512d ==+(0,0)到直线的距离为直径时，该圆最小． 即52dr =直线2100x y +-=与圆的切点坐标满足210012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，所以圆心坐标为40222012a b +⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，故圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=． 故答案为：22(2)(1)5x y -+-=．19．（2020•滨海新区模拟）已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A --和(2,2)B -，且圆心C 在直线:10l x y --=上，则圆心为C 的圆的标准方程是__________．【答案】22(3)(2)25x y -+-=【解析】由(1,1)A --，(2,2)B -，得AB 的中点为3(2-，1)2，又12312AB k --==--+，AB ∴的垂直平分线方程为113()232y x -=+，即330x y -+=． 联立33010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩．∴圆心坐标为(3,2)C ，半径为||5CA =．∴圆心为C 的圆的标准方程是22(3)(2)25x y -+-=．故答案为：22(3)(2)25x y -+-=．20．（2020•如皋市校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若(0,1)A ，点B 是圆22:230C x y x ++-=上的动点，则2AB BO +的最小值为__________． 10【解析】由(0,1)A ，圆22:230C x y x ++-=上可化为22(1)4x y ++=， 设点(,)B x y ，则22222(1)2AB BO x y x y ++-+2222(1)44x y x y =+-+22(1)4(32)x y x =+-- 22(1)128x y x =+--2222(1)(1)88x y x y x =+-+++-2222(1)(3)x y x y =+--+这表示圆C 上的点B 到点A 的距离与到点(3,0)D 的距离的和， 所以点B 在线段AD 上时，2AB BO +取得最小值，如图所示，所以2AB BO +的最小值是221310AD + 1021．（2020•江苏一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切于点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为__________． 【答案】22(2)8x y ++=【解析】已知圆22:48120M x y x y +--+=，整理得：22(2)(4)8x y -+-=， 令0y =，圆的方程转换为：28120y y -+=，解得2y =或6． 由于圆N 与圆M 相切于(0,)m 且过点(0,2)-． 所以2m =．即圆N 经过点(0,2)A ，(0,2)B -． 所以圆心在这两点连线的中垂线x 轴上，x 轴与MA 的交点为圆心N ．所以:2MA y x =+． 令0y =，则2x =-． 即(2,0)N -， |22R NA ==．所以圆N 的标准方程为：22(2)8x y ++=． 故答案为：22(2)8x y ++=．22．（2020•南通模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 2圆心在直线:21l y x =-上，若圆C 上存在一点P ，使得直线1:20l ax y --=与直线2:20l x ay +-=交于点P ，则当实数a 变化时，圆心C 的横坐标x 的取值范围是__________． 【答案】[1-，7]5【解析】因为直线1:20l ax y --=与直线2:20l x ay +-=互相垂直，且分别过定点(0,2)A -，(2,0)B ，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，直径4422AB =+=，即半径为2，圆心坐标为(1,1)-， 又因为点P 在圆C 上，故两圆有公共点，所以两圆的圆心距d 满足022d ， 即220(1)(211)22x x -+-+，解得715x-， 故答案为[1-，7]5．23．（2020•南通模拟）已知半径为1的圆C 的圆心在射线2(1)y x x =-+上，若圆C 上有且仅有一点Q ，满足226QA QB +=，其中(1,1)A ，(3,3)B ，则圆C 的方程为__________． 【答案】22(2)1x y -+=【解析】设(,)Q x y ，则由22||||6QA QB +=得：2222[(1)(1)][(3)(3)]6x y x y -+-+-+-=， 整理得22(2)(2)1x y -+-=，所以点Q 在以(2,2)为圆心，半径为1的圆上；又点Q 在圆22()[(2)]1(1)x a y a a -+--+=上， 且两圆有唯一公共点，则两圆相切，如图所示； 当两圆外切时，22(2)[2(2)]4a a -+--+=，解得2a =或0a =，应取2a =；当两圆内切时，22(2)[2(2)]0a a -+--+=， 此时方程无实数解，a 的值不存在； 综上知，圆C 的圆心为(2,0)， 圆C 的方程为22(2)1x y -+=． 故答案为：22(2)1x y -+=．24．（2020•许昌一模）若圆22420x y x y F +--+=的半径为3，则F =__________． 【答案】4-【解析】根据题意，圆22420x y x y F +--+=的半径为3221(4)(2)432F -+--=， 解可得：4F =-； 故答案为：4-．25．（2020•南开区校级模拟）过点(3,2)A -，(5,2)B --，且圆心在直线3240x y -+=上的圆的半径为__________． 10【解析】(3,2)A -，(5,2)B --，∴2225(3)AB k --==---，AB 的中点坐标为(4,0)-，AB ∴的垂直平分线方程为1(4)2y x =-+，即240x y ++=．联立2403240x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩．∴所求圆的圆心坐标为(2,1)--，半径22(32)(21)10r -+++1026．（2020•洛阳二模）已知点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，||3AB =，2BM MA =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,1)N 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，与曲线C 分别交于P ，Q （不同于点)N 两点，求证：直线PQ 过定点．【解析】（1）设点M 的坐标为(,)M x y ，(,0)A a ，(0,)B b ．由2BM MA=得21 (,)33 M a b所以3,32a xb y ==因为229a b+=所以223()(3)92x y+=则2214xy+=（2）由题可知，直线NP的斜率存在，设直线1()NP l的方程：1y kx=+联立22114y kxxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)80k x kx++=，解得12280,14kx xk-==+则222814(,)1414k kPk k--++，由于1l，2l为过N互相垂直的直线，同理得22284(,)44k kQk k-++直线PQ的斜率为22222224141414885414k kkk kkk k kk k----++==--++直线PQ的方程为2222418()454k k ky xk k k---=-++化简得：21355ky xk-=-因此直线PQ恒过点3(0,)5-．27．（2019•西湖区校级模拟）如图，已知圆M过点(10,4)P，且与直线43200x y+-=相切于点(2,4)A （1）求圆M的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且||||BC OA=，求直线l的方程；【解析】（1）过点(2,4)A且与直线43200x y+-=垂直的直线方程为34100x y-+=①；AP的垂直平分线方程为6x=；由①②联立得圆心(6,7)M ，半径22||(62)(74)5r AM ==-+-=； 圆M 的方程为22(6)(7)25x y -+-=． （2）因为直线//l OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-． 设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离55d ==．因为222425BC OA ==+=，而222()2BC MC d =+，所以2(5)2555m +=+，解得5m =或15m =-． 故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=．28．（2019•西湖区校级模拟）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=， （Ⅰ）若直线1l 过定点(1,0)A ，且与圆C 相切，求1l 的方程；（Ⅱ）若圆D 的半径为3，圆心在直线2:20l x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．【解析】（Ⅰ）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意． ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心(3,4)到已知直线1l 的距离等于半径2， 221k =+解之得34k =． 所求直线方程是1x =，3430x y --=．（Ⅱ）依题意设(,2)D a a -，又已知圆的圆心(3,4)C ，2r =，由两圆外切，可知5CD =∴22(3)(24)5a a -+--=，解得3a =，或2a =-， (3,1)D ∴-或(2,4)D -，∴所求圆的方程为22(3)(1)9x y -++=或22(2)(4)9x y ++-=．。