高考数学考点专题：解析几何：圆的方程
高中数学圆的方程知识点题型归纳
高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。
圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。
标准方程和一般方程可以互相转化。
二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。
三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。
二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。
在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。
同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。
变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。
变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。
方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。
2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。
3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。
变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。
这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。
首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。
高考数学必考之圆的方程
高考数学必考之圆的方程考点一 圆的方程1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是【答案】()()223125x y -+-=【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()223125x y -+-=，2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为 【答案】()5,2【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为64131-=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+.线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为13-，故线段AC 的垂直平分线方程为()1323y x -=--，即11133y x =-+.由75111233y x x y y x =-+⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==-+⎩⎪⎩.所以ABC ∆外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是【答案】－2<a <23【解析】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<.考点二 点与圆的位置关系1．点()1,1在圆()2211x y +-=的（ ）A ．圆上B ．圆内C ．圆外D ．无法判定【答案】A【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2211x y +-=的方程即()221111+-=，∴点()1,1在圆()2211x y +-=上，2．经过点(1,2)A 可做圆22240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（ ）A ．(,(23,)-∞-+∞B ．(5,(23,)--+∞C ．(,)-∞-⋃+∞D ．(5,(22,)--+∞【答案】B【解析】圆22240x y mx y ++-+=，即为222()(1)324m m x y -+-=-， 2304m ∴->⇒m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-．所以5m -<<-m >故选B3．若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．,22⎛-⎝⎭C ．(D ．(【答案】D【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-⨯+⨯+-<解得：m <本题正确选项：D考点三 直线与圆1．已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b = 。
2025高考数学一轮复习-第39讲-圆的方程【课件】
解得
(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，
ab＝ ＝21， ，
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
r＝ 10，
25＋4＋5D＋2E＋F＝0，
方法三：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则9＋4＋3D－2E＋F＝0，
解得DE＝＝－－24，，所以所求圆的方程为
M
为线段
ED
的中
点得
x＝x1＋2 3， y＝y1＋2 0，
解得
x1＝2x－3， y1＝2y.
又点 D 在圆 C：(x－2)2＋(y－4)2＝10 上，所以(2x－3－2)2＋(2y－4)2＝
10，化简得x－522＋(y－2)2＝52，故点 M 的轨迹方程为x－522＋(y－2)2＝52.
【答案】(x－2)2＋(y－4)2＝10 x－522＋(y－2)2＝52
a－b 4＝－12， 2a－b－3＝0，
解得ab＝ ＝21， ， 所以 C(2，1)，所以 r＝|CA|＝ (5－2)2＋(2－1)2＝ 10，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2(5a－－ab)－2＋3(＝2－0，b)2＝r2，
举题说法 圆的方程
1 (1) 经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的 圆的标准方程是________________________．
【解析】 方法一：(几何法)由题意知kAB＝2，AB的中点为(4，0).设圆心为C(a，b). 因为圆过 A(5，2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上，则
2．圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)的圆的方程是( A )
高考圆方程知识点总结
高考圆方程知识点总结高考是每个学生都经历的一场考试，对于数学科目，圆方程是一个重要的知识点。
掌握圆方程的相关知识，可以帮助学生在高考中取得好成绩。
本文将对高考圆方程涉及的知识点进行总结，帮助学生加深对该知识点的理解和掌握。
一、概念及性质：- 圆的定义：平面内到给定点距离恒等于给定长度的点的集合。
- 圆心和半径：圆心是到圆上任意一点的距离都相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
- 圆的方程：圆的方程是指平面内满足给定条件的点的集合的方程形式。
圆的标准方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
二、圆的方程的转化：- 完成平方：根据圆的标准方程，可以通过完成平方来将一般形式的方程转化为标准形式。
例如，对于方程x^2 + y^2 - 4x + 2y - 3 = 0，可以通过平方配方法将其转化为(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 10。
- 合并项：有时候，圆的方程中可能存在合并项的情况。
合并项指的是x和y的一次项系数不为1的情况。
通过将x和y的一次项系数提取出来，并进行平移、平方等操作，可以将合并项转化为标准方程。
三、圆与直线的位置关系：- 直线与圆相切：当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点，且该点在圆上。
此时，直线的方程与圆的方程有特定的关系，可以通过解方程组来确定切点的坐标。
- 直线与圆相交：当直线与圆相交于两个不同的点时，可以通过解方程组来确定相交点的坐标。
此时，直线的方程与圆的方程有两个解。
四、圆与圆的位置关系：- 相交：当两个圆相交于两个不同的点时，可以通过解方程组来确定相交点的坐标。
此时，两个圆的方程可以构成一个方程组。
- 相切：当两个圆相切时，两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。
此时，两个圆的方程可以构成一个方程组。
- 相离：当两个圆没有共同的交点时，它们是相离的。
五、常见题型分析：- 已知圆的方程，求切点坐标等。
高三解析几何知识点圆
高三解析几何知识点圆圆是解析几何中的重要概念之一，它在几何图形中起着重要的作用。
本文将对高三解析几何中的圆进行详细的知识点解析。
一、圆的定义和性质圆是平面上一组到定点距离相等的所有点的集合。
其中，定点称为圆心，距离称为半径。
以下是圆的一些性质：1. 圆上任意两点与圆心的距离相等；2. 圆上的点到圆心的距离等于半径；3. 圆的直径是通过圆心的两点，直径等于半径的两倍；4. 圆的任意两条弦的长度乘积等于这两条弦所夹的圆心角所对的弧的长度乘积；5. 圆的外接圆和内切圆性质：外接圆的半径等于斜边的一半，内切圆的半径等于短直角边的一半。
二、圆的方程及相关公式1. 圆的标准方程：设圆心为（a，b），半径为r，则圆的标准方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²;2. 圆的一般方程：设圆心为（h，k），半径为r，则圆的一般方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0；其中D、E、F为实数；3. 圆与直线的位置关系：- 圆与直线相交：相交的点与圆心到直线的距离等于半径；- 圆在直线上：圆心到直线的距离等于半径；- 圆包围直线：圆心到直线的距离小于半径；- 圆在直线外：圆心到直线的距离大于半径。
三、圆的判定在解析几何中，我们常常需要对一个图形进行判定，确定其是否为一个圆。
以下是几个常见的圆的判定方法：1. 已知圆心和半径，可以唯一确定一个圆；2. 已知圆上三点的坐标，可以判断是否共线，进而判断是否为一个圆；3. 已知圆上两点的坐标和圆的半径，可以判断是否为一个圆。
四、圆的常见定理在解析几何中，圆还有一些重要的定理与公式，下面列举几个常见的：1. 切线定理：若直线和圆只有一个公共点，这条直线称为圆的切线，切线的性质：切线与半径垂直；2. 弦切角定理：弦切角是指圆的弦与切线所夹的角，定理：圆的弦切角等于该弦所对的圆心角的一半；3. 弦长公式：弦长的计算公式：弦长 = 2 * 半径 * sin(圆心角的一半)；4. 弧长公式：弧长的计算公式：弧长 = 弧度 * 半径；5. 圆心角和弧度的关系：圆心角和其所对弧度的关系：圆心角= 弧度* 180 / π。
高考数学复习考点题型归类解析39圆与方程(解析版)
高考数学复习考点题型归类解析专题39圆与方程一、关键能力1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想．二、教学建议1．处理解决几何问题时，主要表现在两个方面：（1）根据曲线的性质，建立与之等价的方程；（2）根据方程的代数特征洞察并揭示曲线的性质．要重视坐标法，体会用坐标法研究平面几何问题的解析思想．2．帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．学会借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，感受“数”与“形”的对应和统一，不断地体会“数形结合”的思想方法．三、自主梳理1.圆的方程：（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．（2）圆的一般方程：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F ．2．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 （1）圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.（2）有关弦长问题的2种求法3．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)|r－r|＜d(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．四、高频考点+重点题型考点一、圆的方程、轨迹方程例1-1．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则圆C的标准方程为．【解答】解：根据题意，圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，设圆心的坐标为（2t+3，t），圆C经过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+（t+5）2，解可得t＝﹣2，则2t+3＝﹣1，即圆心C的坐标为（﹣1，﹣2），圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝（﹣1﹣2）2+（﹣2+3）2＝10，故圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝10；故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝10．例1-2．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A 的上方），且|AB|＝2．（Ⅰ）求圆C的标准方程；【解答】解：（1）由题意，圆的半径为√1+1=√2，圆心坐标为（1，√2），∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y−√2）2＝2；例1-3．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1，0），N（4，0）的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；【解答】解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），依题意得：|PM||PN|=12，又M（1，0），N（4，0），∴2√(x−1)2+y2=√(x−4)2+y2，化简得：x 2+y 2＝4，则动点P 轨迹W 方程为x 2+y 2＝4；例1-4.已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．例1-5.设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程． 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 整理得⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.例1-6.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.例1-7．若AB =2，AC =√2BC ，则S △ABC 的最大值． 【解答】解：设BC ＝x ，则AC =√2x ，根据面积公式得S △ABC =12AB •BC sin B =12×2x ×√1−cos 2B ， 又根据余弦定理得cos B =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =4+x 2−(√2x)24x=4−x 24x，代入上式得： S △ABC ＝x √1−(4−x 24x)2=√128−(x 2−12)216，由三角形三边关系有：{√2x +x ＞2x +2＞√2x，解得：2√2−2＜x ＜2√2+2．所以当x ＝2√3时，x 2﹣12＝0，此时S △ABC 取得最大值√12816=√8=2√2． 故答案为：2√2例1-8.(多选)设有一组圆C ：(x －1)2＋(y －k )2＝k 4(k ∈N *)，下列四个命题正确的是( ) A ．存在k ，使圆与x 轴相切 B ．存在一条直线与所有的圆均相交 C ．存在一条直线与所有的圆均不相交 D ．所有的圆均不经过原点 答案 ABD解析对于A，存在k，使圆与x轴相切⇔k＝k2(k∈N*)有正整数解⇔k＝1，故A正确；对于B，因为圆心(1，k)恒在直线x＝1上，故B正确；对于C，当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确；对于D，将(0,0)代入得1＋k2＝k4，即1＝k2(k2－1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确．考点二. 直线与圆的位置关系例2-1．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2＝1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by＝1的距离d=√a2+b21＝r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．例2-2．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为[−√33，√33]．【解答】解：设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0 ∵直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，∴圆心到直线l的距离小于等于半径即|2k−4k|√k2+1≤1，解得−√33≤k≤√33∴直线l的斜率的取值范围为[−√33，√33]故答案为[−√33，√33]例2-3．若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为( )A．(－∞，2)B.(2，＋∞)C．(－∞，－6)D．(－6，＋∞)解析：选C ∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴8－4b＞0，即b＜2.∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6，∴b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.例2-4．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )A．1B.2C．3D．4解析：选C 由圆的方程知圆心坐标为(3,3)，半径为3，如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．题型三切线问题例3-1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．（1）求切线PA，PB的方程；（2）求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB的方程．【解答】解：（1）根据题意，分析易得切线斜率存在，则设切线的斜率为k，又由切线过点P（2，﹣1），则切线方程为：y+1＝k（x﹣2）即：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，又圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的圆心坐标为（1，2），半径r=√2，=√2，则有√1+k2解可得k＝7或k＝﹣1，则所求的切线方程为：x+y﹣1＝0和7x﹣y﹣15＝0；（2）根据题意，圆心C到P的距离d=√(2−1)2+(2+1)2=√10，则切线长为√(√10)2−(√2)2=√8=2√2，（3）以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝8…①由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，…②②﹣①可得AB的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣（x﹣2）2﹣（y+1）2＝﹣6，可得x﹣3y+3＝0．例3-2．直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【解答】解：设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点A （1，3）在圆的外部， 且点A 与圆心O 之间的距离为OA =√10， 圆的半径为r =√2， ∴sin θ=√2√10， ∴cos θ=√2√10，tan θ=12，∴tan2θ=11−14=43，故答案为：43．例3-3．设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[−12，12]C ．[−√2，√2]D ．[−√22，√22] 【解答】解：由题意画出图形如图：点M （x 0，1），要使圆O ：x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则∠OMN 的最大值大于或等于45°时一定存在点N ，使得∠OMN ＝45°， 而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值， 此时MN ＝1，图中只有M ′到M ″之间的区域满足MN ＝1， ∴x 0的取值范围是[﹣1，1]． 故选：A ．例3-4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+（y ﹣3）2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是（ ） A ．[2√73，2√2）B ．[2√143，2√2）C ．[2√53，2√3）D ．[2√33，2√5） 【解答】解：设AC ＝x ，则x ≥3，由PC ⊥AP 可知AP =√AC 2−PC 2=√x 2−2， ∵AC 垂直平分PQ ， ∴PQ ＝2PC⋅AP AC=2•√2⋅√x 2−2x=2√2•√1−2x 2．∴当x ＝3时，PQ 取得最小值2√2•√1−29=2√143． 又√1−2x 2＜1， ∴PQ ＜2√2． ∴2√143≤PQ ＜2√2．故选：B ．例3-5．已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d＝3∴|PA|＝|PB|=√d2−r2=2√2|PA|r=2√2∴s PACB=2×12故答案为：2√2考点四直线与圆相交的弦长问题例4-1．直线l：kx+y+4＝0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A．√2B．√2C．√6D．2√62【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0，即（x+2）2+（y﹣2）2 ＝2，表示以C （﹣2，2）为圆心、半径等于√2的圆．由题意可得，直线l ：kx +y +4＝0经过圆C 的圆心（﹣2，2）， 故有﹣2k +2+4＝0，∴k ＝3，点A （0，3）． 直线m ：y ＝x +3，圆心到直线的距离d =√2=√2，∴直线m 被圆C 所截得的弦长为2√2−12=√6． 故选：C ．例4-2．直线y ＝kx +3与圆（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4相交于M ，N 两点，若MN ＜2√3，则k 的取值范围是．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y ＝kx +3的距离为d ，则d =√k 2+12，由于(MN 2)2=4﹣d 2，且MN ＜2√3，求得 d ≥1，∴1≤d ＜2，即√k 2+1∈[1，2），由d ≥1求得k ≤−34，k ≥0，由d ＜2 求得 −3−2√65＜d ＜−3+2√65， 即k 的取值范围是{k |−3−2√65＜k ≤−34，或0≤k ＜−3+2√65}， 故答案为：{k |−3−2√65＜k ≤−34，或0≤k ＜−3+2√65}． 例4-3．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（ ） A ．2√5B ．4√5C ．6√3D ．8√3【解答】解：圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25的圆心坐标为C （1，2），半径为5． 由直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，得m （2x +y ﹣7）+x +y ﹣4＝0， 联立{2x +y −7=0x +y −4=0，解得{x =3y =1．∴直线l 过定点P （3，1），点P（3，1）在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．此时|PC|=√(1−3)2+(2−1)2=√5．∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2√52−(√5)2=4√5．故选：B．例4-4．已知AC、BD为圆O：x2+y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），则四边形ABCD的面积的最大值为5．【解答】解：如图连接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分别为E、F∵AC⊥BD∴四边形OEMF为矩形已知OA＝OC＝2 OM=√3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22＝OM2＝3．•|AC|（|BM|+|MD|），四边形ABCD的面积为：s=12从而：s=1|AC|⋅|BD|=2√(4−d12)(4−d22)≤8−(d12+d22)=5，2当且仅当d12＝d22时取等号，故答案为：5．考点五、直线与圆的交点问题例5-1.在平面直角坐标系中，已知圆:，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，线段的中点为。
2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】
A．a<－2
B．－23<a<0
C．－2<a<0
D．－2<a<23
【解析】 由方程表示圆的条件得 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 即 3a2＋4a－4<0，∴－2<a<23.故选 D.
6．已知实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝4，则 3x2＋4y2 的最大值为___4_8____．
3．过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( C ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】 解法一：∵圆心在直线 x＋y－2＝0 上，
设圆心(a,2－a)，圆方程为(x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2，代入点 A(1，－1)，B(－1,1)得
【解析】 由(x－2)2＋y2＝4，得 y2＝4x－x2≥0，得 0≤x≤4.所以 3x2＋4y2＝3x2＋4(4x －x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64,0≤x≤4，所以当 x＝4 时，3x2＋4y2 取得最大值 48.
易错点睛：(1)忽视表示圆的充要条件 D2＋E2－4F>0 致误． (2)忽视圆的方程中变量的取值范围致误．
x－y－1＝0.联立 Nhomakorabeax－y－1＝0， 2x－7y＋8＝0，
解得
x＝3， y＝2.
∴r＝ 6－32＋0－22＝ 13.
∴圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
解法二(待定系数法)：设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得61－ －aa22＋ ＋05－ －bb22＝ ＝rr22， ， 2a－7b＋8＝0，
16高中数学：圆的标准方程全解析
高中数学：圆的标准方程全解析一、引言圆是平面几何中最基本、最重要的图形之一。
在数学中，我们常用圆的标准方程来描述一个圆。
掌握圆的标准方程及其性质，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。
本文将详细解析高中数学中圆的标准方程的知识点，帮助学生更好地掌握这一内容。
二、基本概念与性质1.圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2。
这个方程反映了圆上任意一点到圆心的距离等于半径的几何性质。
2.圆心与半径：在圆的标准方程中，点O(a,b)称为圆心，r称为半径。
圆心是圆的中心，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
3.圆的性质：圆具有许多重要的性质，如圆的任意两点间的距离小于等于直径、圆的切线垂直于半径等。
这些性质在解决与圆相关的问题时非常有用。
三、求解与圆相关的问题1.求解圆的方程：给定圆的圆心坐标和半径，可以直接写出圆的标准方程。
例如，以(2,3)为圆心，4为半径的圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=16。
2.判断点与圆的位置关系：通过比较点到圆心的距离与半径的大小关系，可以判断点是否在圆内、圆上或圆外。
若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；若等于半径，则点在圆上；若大于半径，则点在圆外。
3.求解与圆相关的最值问题：利用圆的性质，可以求解一些与圆相关的最值问题。
例如，求解点到圆的最近距离、最远距离等。
4.求解与圆相交的直线方程：当直线与圆相交时，可以通过联立直线和圆的方程求解交点坐标。
若直线方程为Ax+By+C=0，则联立方程组{Ax+By+C=0(x−a)2+(y−b)2=r2可求得交点坐标。
四、应用举例1.几何问题中的应用：在解决一些几何问题时，需要利用圆的标准方程及其性质。
例如，在求解两圆的公切线、内切圆等问题时，可以通过分析两个圆的方程和性质找到解决方法。
2.实际问题中的应用：在实际生活中，圆的标准方程也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，可以利用圆的标准方程来确定建筑物的圆形结构的尺寸和位置；在物理学中，可以利用圆的标准方程来描述物体的运动轨迹等。
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圆的方程
【考点梳理】
1. 圆的定义和圆的方程
2. 点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)d<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．
【教材改编】
1．(必修2 P121练习T2改编)圆(x－3)2＋(y＋2)2＝16的圆心坐标和半径分别为()
A．(3，－2)，r＝16 B．(3，－2)，r＝4
C．(－3,2)，r＝16 D．(－3,2)，r＝4
[答案] B
[解析] 根据圆的标准方程知，圆心为(3，－2)，半径r＝4，故选B.
2．(必修2 P123练习T1(1)改编)圆x2＋y2－6x＝0的面积为()
A．3π B．6π
C ．9π
D ．12π
[答案] C
[解析] 法一：由x 2＋y 2－6x ＝0得(x －3)2＋y 2＝9. ∴r 2＝9，r ＝3，则圆面积为S ＝πr 2＝9π，故选C. 法二：∵r ＝1
2D 2＋E 2－4F
＝12
(－6)2＋02－4×0＝3.
∴圆的面积为S ＝πr 2＝9π，故选C.
3．(必修2 P 123练习T 2(3)改编)若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( )
A ．1
B ．2 C. 2 D ．4
[答案] B [解析] 由r ＝1
2D 2＋E 2－4F ＝1
2
4a 2＋4b 2＝2得 a 2＋b 2＝2.
∴点(a ，b )到原点的距离d ＝
a 2＋
b 2＝2，故选B.
4．(必修2 P 119例2改编)过点A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)的圆的面积为( ) A ．15π B ．20π C ．25π D ．30π
[答案] C
[解析] 由题意得线段AB 的中垂线方程为x －2y －8＝0，① 线段BC 的中垂线方程为x ＋y ＋1＝0，②
将①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2
y ＝－3，∴过三点A ，B ，C 圆的圆心坐标为(2，－3)，则该
圆的半径为r ＝5，∴该圆的面积S ＝πr 2＝25π，故选C.
5．(必修2 P 124B 组T 3改编)已知A (－1,0)，B (2,0)，动点C 满足|CA |＝2|CB |，则△ABC 面积的最大值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
[答案] B
[解析] 设动点C (x ，y )， ∵|CA |＝2|CB |，∴
(x ＋1)2＋y 2＝2
(x －2)2＋y 2， ∴y 2＝－x 2＋6x －5(1<x <5)，∴|y |＝－x 2＋6x －5 ＝
－(x －3)2＋4，∴|y |max ＝4＝2，∴△ABC 面积的最大值为S max ＝1
2|AB |·|y |max
＝1
2×3×2＝3，故选B.
6．(必修2 P 122例5改编)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4
C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 [答案] A
[解析] 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，
PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧
x ＝4＋x 02
y ＝－2＋y
2
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2
.
因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简
得
(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.
7．(必修2 P 124A 组T 1(4)改编)若圆x 2＋y 2－2by －2b 2＝0的面积为27π，则b ＝________.
[答案] ±3 [解析] r ＝12
(－2b )2－4×(－2b 2)＝3b 2.
∴π×3b 2＝27π，∴b ＝±3.
8．(必修2 P 124A 组T 4改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3), 若M (m ，6)在圆C 内，则m 的范围为________．
[答案] 0<m <4
[解析] 设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.∴a ＝2. 半径r ＝|CA |＝
(2＋1)2＋12＝10.
故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 由题意知(m －2)2＋(6)2<10，
解得0<m <4.
9．(必修2 P 124A 组T 4改编)圆C 的圆心在y 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________．
[答案] x 2＋(y －3)2＝2
[解析] 设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋4
2＝3. 半径r ＝12|AB |＝1
2
[(1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.
∴圆C 的方程为x 2＋(y －3)2＝2.
10．(必修2 P 124A 组T 5改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的方程为________．
[答案] x 2＋(y －2)2＝2
[解析] 设圆心坐标为C (0，a )， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即
(a －1)2＋1＝
(a －3)2＋1，
解得a ＝2，所以圆心为C (0,2)， 半径 |CA |＝
(2－1)2＋1＝2，
∴圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝2.
11．(必修2 P 133B 组T 4改编)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与⊙C 交于点M ，N .
(1)若OP
→＝12
(OA →＋OB →)，求直线l 的方程； (2)当四边形AMBN 的面积为162时，求直线l 的方程． [解析] (1)由OP →＝12(OA →＋OB →
)
知点P是弦AB的中点，如图所示．
∴CP⊥l，又∵圆心C(0,4)，直线CP的斜率k CP＝－1，
∴直线l的斜率为k＝1，
∴直线l的方程为y－2＝x－2，
即x－y＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，易求得四边形AMBN的面积不为162，与题意不符，故直线l的斜率存在．
设l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，圆C的方程为x2＋(y－4)2＝16，圆心C(0,4)，半径r＝4，
∵圆心C到直线l的距离d＝2|k＋1|
k2＋1
，
则|AB|＝2r2－d2＝2 16－4(k＋1)2 k2＋1
，
由题意知，MN为⊙C的直径，|MN|＝8，∴四边形AMBN的面积为1
2|AB|·|MN|＝162，
∴1
2×2 16－4(k＋1)2
k2＋1
×8＝162，
∴k2－2k＋1＝0，解之得k＝1，∴l的方程为x－y＝0.。