《解析几何》第4讲 圆的方程
《4.1.1圆的标准方程》教学设计.doc
《4.1.1圆的标准方程》教学设计本课时编写：成都市第二十小学付江平设计思路说明：圆是解析几何中一类重要的曲线，对圆锥曲线的学习有着重耍的意义。
学生在初中对圆的平血几何性质己有了 i定的了解和研究，因此本节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。
类比前面确定直线的方法得到圆心与半径大小确定后，圆就确定下来，再利用圆心和圆上任意一点间的距离公式得到圆的标准方程，培养学生的理性思维，引导学生剖析方程的基本元素，辅之以练习加以巩固，以变式循序渐进的开展教学。
问题的设计中，由易到难，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神。
本节课以问题为纽带设计环节，使学生在问题的引导下，以探究活动为载体，层层展开、步步深入，以求发挥学生的主体作用，凸显教师的主导地位。
多媒体的参与使课堂容量加大,有利于课堂效率的提髙。
应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，充分体现重视教学过程的新课程理念。
在解决问题的同时锻炼了思维.提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。
一、讲什么1.教学内容（1）概念原理：圆的标准方程、圆心在原点的标准方程、点与圆的位置关系;（2）思想方法：类比法;（3）能力素养：数学抽象、数学建模、逻辑推理。
2.内容解析：解析儿何的本质是用代数方法研究图形的儿何性质，体现了数形结合的重要数学思想。
圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续, 在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。
对于知识的后续学习，具有相当重要的意义°另外，本节课的学习是通过由特殊到一般逐步展开的，可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及灵活处理问题的能力。
解析几何初步4
第4讲 │ 要点探究
[解答] (1)当 k＝1 时，两圆的方程为 C1：x2＋y2＋2x＝0， C2：x2＋y2＋4y＋3＝0，即 C1：(x＋1)2＋y2＝1，C2：x2＋(y ＋2)2＝1， 圆心分别为 C1(－1,0)， 2(0， C －2)， 半径 r1＝r2＝1， ∵|C1C2|＝ 5，|C1C2|>r1＋r2＝2，∴两圆外离． (2)两圆的标准方程为 C1：(x＋k)2＋y2＝1，C2：x2＋(y ＋k＋1)2＝1， ∴圆心为 C1(－k,0)，C2(0，－k－1)，
[思路] (1)通过半径的和或差与圆心距的大小的比较， 得出两圆的位置关系；(2)将圆心距表示为 k 的函数，求其 最小值； (3)根据∠AC1B＝60° 和两圆半径相等可以得出四边 形 AC1BC2 是菱形，于是可以求得|C1C2|的长，进而求出参 数 k，再将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程．
第4讲 │ 要点探究
2 2 9 x1＋y1＝ ， 3 5 20 即 .从而得方程组 10 2x1－4y1＋3＝0， 解得满足条件的点 P
3 3 坐标为－ ， . 10 5
[点评] 圆的切线问题常用圆心到直线的距离等于半径 解决；求过某点的圆的切线问题，首先确定定点与圆的位 置关系，若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆外，则 过该点的切线有两条，同时求解时应注意斜率不存在的直 线．切线长、半径、点到圆心的距离以及点到切点的距离 构成的图形是易考点，如下面变式题：
第4讲 │ 要点探究
► 探究点2 圆的切线问题
例 2 已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若 C 的切线在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求 此切线方程； (2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为 M， O 为原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的 P 点的坐标．
第4讲直线与圆的位置关系
B
考向三
直线与圆的综合问题
[审题视点] 第(1)问利用平面几何的知识解决；第(2)问设点 Q的坐标，从而确定点A、B的坐标与AB的直线方程．
【反思与悟】 在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑 平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度 计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截 得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算， 这样既简年新课标高考试题可以看出高考对圆的要求大大提高 了，因此也就成了高考命题的一个新热点．由于圆的特有性 质，使其具有很强的交汇性，在高考中圆可以直接或间接地 综合出现在许多问题之中，复习备考时值得重视．
一、圆与集合的交汇
二、圆与概率的交汇 5 1/6 三、圆与圆锥曲线交汇
专题九 解析几何
第4讲 直线与圆的位置关系
1．考查直线与圆相交、相切的问题．能根据给定直线、圆的 方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断 两圆的位置关系． 2．考查与圆有关的量的计算，如半径、面积、弦长的计算． 【复习指导】 1．会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系． 2．掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线 被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几 何问题的思想．
A
考向二
圆与圆的位置关系的判定及应用
[审题视点] 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，再利用 半径、弦长的一半及弦心距构成的直角三角形解得．
【反思与悟】 当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或 是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就 是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线 就可以求出公共弦长．
“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”； 而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时 应根据具体条件选取合适的方法．
解析几何中的圆及其方程求解
解析几何中的圆及其方程求解圆是我们数学里一个非常重要的几何图形，它可以在解析几何中被理解为平面上所有与固定点距离相等的点构成的图形。
比如我们平常所说的车轮、球、光盘等，都可以被抽象表示为圆形。
接下来，我们将会学习在解析几何中，如何表示圆及其方程的求解方法。
一、圆的表示方式解析几何中，我们可以用不同的方式来表示圆。
最常使用的是标准方程、一般方程和参数方程。
1、标准方程标准方程的表达式为：$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$其中，$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
通过标准方程，我们可以得知圆的位置、大小以及形状等信息。
但是，我们需要确定圆的两个参数$a$和$b$，所以我们需要求解这两个未知数。
通常我们通过已知圆上一点的坐标来求解$a$和$b$。
2、一般方程一般方程的表达式为：$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$注意，这里的系数$A,B,C,D,E$和常量$F$都可以是有理数和实数。
如果我们需要表示一个圆，那么该方程必须满足$B^2-4AC<0$，这是因为圆是对称图形，不存在直线$x=y$，所以该方程的实际解是一组虚数。
通过一般方程，我们可以得到圆的位置、大小以及形状等信息。
3、参数方程参数方程的表达式为：$$x=a+r\cos\theta,y=b+r\sin\theta$$其中$(a,b)$为圆心，$r$为半径，$\theta$为参数。
通过参数方程，我们可以看到圆的位置和形状，但是需要我们确定一个参数$\theta$，因此我们需要转化成另一个方程。
二、圆的方程求解方法一般来说，我们在实际应用中需要通过已知条件，求解出圆的方程。
下面，我们将重点介绍几种常用的求解方法。
1、已知圆心和半径当我们知道了圆心和半径时，我们可以用标准方程来求解。
比如，我们知道圆心坐标为$(5,5)$，半径为$3$时，可以得出：$$(x-5)^2+(y-5)^2=9$$2、已知圆上任意一点和半径当我们知道了圆上任意一点的坐标和半径时，可以通过圆的特殊性质，即圆周长相等，来求解圆心坐标和半径。
圆的方程以及圆的有关性质
圆的⽅程以及圆的有关性质【本讲教育信息】⼀. 教学内容：圆的⽅程以及圆的有关性质⼆、学习⽬标1、通过图⽚欣赏探索确定圆的⼏何要素，在平⾯直⾓坐标系中掌握圆的标准⽅程与⼀般⽅程。
能根据给定直线、圆的⽅程判断直线与圆、圆与圆的位置关系；会利⽤直线⽅程和圆的⽅程解决简单的位置关系问题和度量问题；2、经历具体图形探索，确定圆的⼏何要素的过程；经历⽤待定系数法求圆的⽅程的过程；在学习过程中体会⽤代数⽅法处理⼏何问题的思想；3、体会转化、数形结合等数学思想和⽅法。
三、知识要点1、圆的定义①运动的观念：平⾯内⼀条线段绕着⼀个端点旋转，另⼀个端点形成的轨迹；其中，静⽌的端点叫做圆⼼，线段的长等于半径。
②集合的观念：平⾯内与定点的距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆⼼，定长等于半径。
2、圆的⽅程①标准形式：圆⼼为（a，b），半径为r的圆的⽅程的标准形式是( x － a ) 2 + ( y － b ) 2 = r 2.特别地，当圆⼼在原点的时候，其⽅程为 x 2 + y 2 = r 2.②⼀般形式：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0. （*）上式可变形为：（x+）2+（y+）2=.说明：（1）圆的⼀般⽅程体现了圆的⽅程的代数特点：a. x2、y2项的系数相等且不为零.b. 没有xy项.（2）若D2 + E2－ 4F > 0时，（*）式表⽰的是以为圆⼼，以为半径的圆；若D2 + E2－ 4F = 0时，（*）式表⽰的是⼀个点；D2 + E2－ 4F < 0时，（*）式不表⽰任何图形。
3、⼆元⼆次⽅程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表⽰圆的充要条件①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0.4、点与圆的位置关系设圆⼼为M，半径为R，对于点P①|PM|=R：点P在圆上；②|PM|<R：点P在圆内；③|PM|>R：点P在圆外。
5、求曲线⽅程的两种⽅法①直接法：在不明确曲线是何种曲线的情形下，根据条件，寻找或构造等量关系，列等式，代坐标，得⽅程。
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
解 由题意，得圆心 C(1,2)，半径 r＝2.
(1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4，
∴点 P 在圆 C 上．
又
2－ 2－2 kPC＝ 2＋1－1＝－1，∴切线的斜率
k＝－k1PC＝1，
∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝1×[x－( 2＋1)]，即 x－y
＋1－2 2＝0.
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
D．x－ 3y＋2＝0
解析 圆 Q 的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.∵P(1， 3)在圆 Q 上，∴所求
切线方程为(1－2)(x－2)＋( 3－0)·(y－0)＝4，即 x－ 3y＋2＝0.
解析 答案
3．对任意的实数 k，直线 y＝kx－1 与圆 C：x2＋y2－2x－2＝0 的位置
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点 M 在圆 C 外部．
当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x＝3，即 x－3＝0. 解
又点 C(1,2)到直线 x－3＝0 的距离 d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线 x－3＝0 是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为 y－1＝k(x－3)，即 kx－y＋1－3k
3.(2020·浙江高考)设直线 l：y＝kx＋b(k＞0)，圆 C1：x2＋
3 y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线 l 与 C1，C2 都相切，则 k＝____3____，b
＝___－__2_3__3___.
解析 由题意，两圆圆心 C1(0,0)，C2(4,0)到直线 l 的距离等于半径，即
|2c| a2＋b2
>2，所以
圆的标准方程 课件(48张)
()
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2 一定表示圆．
()
(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 的圆心坐标是(2，3)，半径是 9．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径． (2)错误．当 m＝0 时，不表示圆． (3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 的圆心为(－2，－3)，半径为 3．
类型 2 待定系数法求圆的标准方程
【例 2】 (对接教材人教 B 版 P99 例 2)求下列各圆的标准方程． (1)圆心在 y＝0 上且过两点 A(1，4)，B(3，2)； (2)圆心在直线 x－2y－3＝0 上，且过点 A(2，－3)，B(－2，－5)．
[解] (1)设圆心坐标为(a，b)，半径为 r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ∵圆心在 y＝0 上，故 b＝0， ∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2． 又∵该圆过 A(1，4)，B(3，2)两点，
1234 5
回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m 一定表示圆吗？ [提示] 不一定．当 m＞0 时，表示圆心为 C(a，b)，半径为 m的 圆； 当 m＝0 时，表示一个点 C(a，b)； 当 m＜0 时，不表示任何图形．
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3．圆心为点 P(－2，3)，并且与 x 轴相切的圆的方程是( ) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 C [因为圆心 P(－2，3)到 x 轴的距离为 3，且圆与 x 轴相切， 所以圆的半径为 3，则该圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝9．]
解析几何《圆》
解析几何【4】圆1、圆的定义平面内到定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹是圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2、圆的标准方程方程为3、方程2x 的圆，此时方程22x y xy 项．4、点 00,P x y 与圆 222x a y b r （0r ）的位置关系(1)若 22200x a y b r ，则点P 在圆外；(2)若 22200x a y b r ，则点P 在圆上；(3)若 22200x a y b r ，则点P 在圆内．5、直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d；联立直线和圆的方程得到一元二次方程M．这时，直线与圆的位置关系如下表所示：6、圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R、r，且R r，圆心距为d；联立两圆的方程组成方程组M．这时，两圆的位置关系如下表：（1）几何方法；运用弦心距（即圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：1212AB x y y．位置关系相交相切相离几何特征0d rd rd r代数特征0M有两组实数解0M有一组实数解0M无实数解【考点一】求直线的倾斜角和斜率【例1】已知两点 1,2A 、 ,3B m ．（1）求直线AB 的斜率k 与倾斜角 ；（2）已知实数13m，求直线AB 的倾斜角 的取值范围．设直线（1）（2）（3）【考点二】求直线的方程【例2】求适合下列条件的直线方程．（1）经过点 3,2A ，且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点 5,4B ，且倾斜角是直线324y x的倾斜角的12：（3）经过点 1,1C ，与已知直线260x y 相交于点P 且5CP ．（1）（2）（3）【考点三】直线过定点问题【例3】已知直线 :2311l a y a x ．（1）求证；无论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）直线l 是否有可能不经过第二象限？若有可能，求出a 的范围；若不可能，说明理由．【同类变式】已知直线方程为 22140m x m y ．（1）该直线是否经过定点？若经过，求出该点坐标；若不经过，说明你的理由；（2）当m 为何值时，点 3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）当m 在什么范围时，该直线与两坐标轴负半轴均相交？【考点四】求与最值有关的直线方程【例4】如图，已知直线l 过点 3,2P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【同类变式】（1）若本例条件不变，求OA OB 的最小值及此时直线l 的方程；（2）若本例条件不变，求PA PB的最大值及此时直线l 的方程．【真题自测】1.①② x ③④.A 0；.B 1；.C 2；.D 3．2.下列命题中，正确的是（）.A 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；.B 若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为tan ；.C 若直线的倾斜角2,43，则其斜率的取值范围是,1, ；.D 当直线的倾斜角2,43时，直线的斜率在这个区间上是严格增函数．3.直线:l 4.已知点5.已知点的取值范围是．6.在平面直角坐标系中，两点 111,P x y 、 222,P x y 间的“L 距离”定义为121212PP x x y y ．现将边长为1的正ABC 按如图的方式放置，其中顶点A 与坐标原点重合．记边AB 所在直线的斜率为k ，0k ．求：当BC 取最大值时，边AB 所在直线的斜率的值．。
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平面解析几何
第3课时
圆的方程
第八章
平面解析几何
1．圆的定义、方程 (1)确定一个圆的基本要素有哪两个？ 圆心和半径 提示：_________________ (2)圆的标准方程、一般方程分别是什么？ 2＋(y－b)2＝r2(r>0)；x2＋y2＋Dx＋Ey＋ ( x － a ) 提示：_____________________________________________
栏目 导引
第八章
平面解析几何
求与圆有关的轨迹问题时， 根据题设条件的不同常采用以下 方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的 关系式等．
栏目 导引
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 ①________________________ ⇔点在圆上；
2＋(y －b)2>r2 ( x － a ) 0 0 ②_______________________ ⇔点在圆外； 2＋(y －b)2<r2 ( x － a ) 0 0 ③______________________ ⇔点在圆内．
栏目 导引
第八章
平面解析几何
2．已知实数x，y满足(x－1)2＋y2＝4，求x－2y的最小值与最 大值．
解：设 z＝x－2y，也就是 x－2y－z＝0. 由已知，圆心(1，0)到该直线的距离不大于圆的半径 2， |1－z| 即 2 ≤2， 2 1 ＋（－ 2） 解得 1－2 5≤ z≤1＋ 2 5， ∴(x－2y)min＝ 1－2 5，(x－2y)max＝1＋2 5.
栏目 导引
第八章
平面解析几何
与圆上点 (x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法： y－ b (1)形如 u＝ 型的最值问题，可转化为过点 (a，b)和点 (x， x－a y)的直线的斜率的最值问题． (2)形如 t＝ax＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的 最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－ b)2 型的最值问题，可转化为动点到定 点的距离平方的最值问题．
栏目 导引
第八章
平面解析几何
弦长问题
(2013· 高考安徽卷)直线 x＋2y－5＋ 5＝ 0 被圆 x2＋ y2 － 2x－4y＝0 截得的弦长为( C ) A． 1 B．2 C． 4 D． 4 6
栏目 导引
第八章
平面解析几何
[解析 ]
依题意，圆的圆心为 (1，2)，半径 r＝ 5，圆心到直
|1＋ 4－ 5＋ 5| 线的距离 d＝ ＝ 1，所以结合图形可知弦长的 5 一半为 r2－ d2＝ 2，故弦长为 4.
栏目 导引
第八章
平面解析几何
2．直线 l 经过点 P(5， 5)，其斜率为 k(k∈R)，l 与圆 x2＋y2 ＝ 25 相交，交点分别为 A、 B.若 AB＝ 4 5，则 k 的值为 1 或2 ． ________ 2 解析：直线 l 的方程为 y－5＝k(x－5)， 即 kx－ y＋ 5(1－ k)＝ 0. 设圆 x2＋ y2＝25 的圆心 O(0， 0)到 l 的距离为 d，则 d＝ |5（ 1－ k） | ， 2 k ＋1 2 25 （ 1 － k ） 10 2k 2 2 ∴ AB＝ 2 r － d ＝ 2 25－ ＝ 2 . k2＋1 k ＋1
2 2 D E D ＋ E － 4F － ，－ 4F>0，其圆心为 ，半径 r＝ . 2 2 2
栏目 导引
第八章
平面解析几何
2．点与圆的位置关系
点 与_______ 圆心 的距离与半径的大小关系． (1)理论依据：______
(2)三个结论： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)
2＋E2－4F>0) F ＝ 0( D ____________________________________
栏目 导引
第八章
平面解析几何
温馨提醒：(1)圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素， 即 圆心坐标和半径长． (2)方程 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0 表示圆的条件是 D2＋ E2－
1－ D＋ F＝0， 9＋9－3D＋3E＋F＝0，
栏目 导引
第八章
平面解析几何
25 E ＝－ ， 解得 3 F＝－5.
D＝－4， 25 ∴A、B、C 三点确定的圆的方程为 x ＋y －4x－ y－5＝0. 3
2 2
栏目 导引
第八章
平面解析几何
与圆有关的最值问题
已知 M 为圆 C： x2＋ y2－4x－14y＋45＝0 上任意一点， 且点 Q(－2，3)． (1)求 |MQ|的最大值和最小值； n－ 3 (2)若 M(m，n)，求 的最大值和最小值． m＋ 2
栏目 导引
第八章
平面解析几何
本考题源于教材人教 A 版必修 2 P132 习题 A 组 T “求直线 l： 5 3x－y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2x－ 4y＝0 截得的弦 AB 的 长．”的变式．
栏目 导引
第八章
平面解析几何
1． (2014· 山东济宁高三质检)若直线 2ax－by＋ 2＝ 0(a>0， b<0) 被圆 x2＋ y2＋2x－ 4y＋1＝0 截得的弦长为 4，则 ab 的最大 值是( A ) 1 A. 4 C． 2 1 B. 2 D． 4
栏目 导引
第八章
平面解析几何
n－ 3 (2)可知 表示直线 MQ 的斜率， m＋ 2 设直线 MQ 的方程为 y－ 3＝ k(x＋ 2)， n－ 3 即 kx－ y＋ 2k＋3＝0，则 ＝ k. m＋ 2 由直线 MQ 与圆 C 有交点， |2k－7＋2k＋ 3| ∴ ≤ 2 2. 2 1＋k 可得 2－ 3≤ k≤2＋ 3， n－ 3 ∴ 的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3. m＋ 2
2 2 由题意可得1 ＋（－ 5） ＋ D－ 5E＋ F＝ 0， D－E－ 2＝0
D＋ E－ 10＝0 消去 F 得 ， D－ E－ 2＝ 0 D＝ 6 解得 ，代入求得 F＝－ 12， E＝ 4
所以圆的方程为 x2＋ y2＋6x＋ 4y－ 12＝ 0， 标准方程为 (x＋ 3)2＋ (y＋ 2)2＝ 25.
第八章
平面解析几何
3．已知Rt△ABC中，A(0，0)，B(6，0)，求直角顶点C的轨 迹方程．
解：法一：依题意，顶点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆，且 去掉端点 A， B，圆心坐标为 (3，0)，半径为 3， 故直角顶点 C 的轨迹方程为 (x－3)2＋ y2＝ 9(y≠ 0)． 法二：设顶点 C 的坐标为 (x， y)， 由于 AC⊥ BC，故 kAC·kBC＝－1， y y ∴ · ＝－ 1， x x －6 ∴ x2＋ y2－6x＝ 0， 即直角顶点 C 的轨迹方程为 (x－3)2＋ y2＝ 9(y≠ 0)．
栏目 导引
第八章
平面解析几何
求圆的方程
根据下列条件，求圆的方程：
(1) 以A(1,2)，B(-2,-4)为直径的圆． (2) 过三点A(5,0)、B(－1,0)、C(－3,3).
(3) 过P(0, －6)、Q(1,－5)两点，圆心 在直线x-y+1=0上.
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第八章
平面解析几何
解：(1)法一：设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0(D2＋ E2 D E － 4F>0)，则圆心坐标为－ 2 ，－ 2 . 2 （－ 6 ） － 6E＋ F＝ 0
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平面解析几何
[解 ](1)由 C： x2＋ y2－4x－ 14y＋ 45＝0， 可得(x－ 2)2＋ (y－ 7)2＝8， ∴圆心 C 的坐标为 (2，7)，半径 r＝2 2. 又 |QC|＝ （ 2＋ 2） 2＋（ 7－ 3） 2＝ 4 2. ∴ |MQ|max＝ 4 2＋2 2＝ 6 2， |MQ|min＝ 4 2－ 2 2＝ 2 2.
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平面解析几何
x＋ y＋ 5＝ 0 圆心 C 的坐标是方程组 的解， x－ y＋ 1＝ 0 x＝－ 3 解得 ， y＝－ 2
所以圆心 C 的坐标是 (－ 3，－ 2)． 圆的半径长 r＝ |AC|＝ （ 0＋ 3） 2＋（－6＋ 2） 2＝ 5， 所以，圆心为 C 的圆的标准方程是 (x＋3)2＋ (y＋2)2＝ 25. (2)设过 A、 B、 C 三点的圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝0， 分别代入 A、 B、 C 三点坐标得 25＋5D＋F＝ 0，
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平面解析几何
法二：因为 A(0，－ 6)， B(1，－5)， 1 11 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 2，－ 2 ， － 5－（－6） 直线 AB 的斜率 kAB＝ ＝ 1， 1－0 因此线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是 1 11 y＋ ＝－ x－2 ， 2 即 x＋ y＋5＝0.
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平面解析几何
与圆有关的轨迹问题 已知圆 x2 ＋ y2 ＝ 4 上一定点 A(2 ， 0) ， B(1 ， 1) 为圆内一 点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
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[解 ](1)设 AP 的中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为 (2x－ 2， 2y)． 因为 P 点在圆 x2＋ y2＝ 4 上，所以(2x－2)2＋ (2y)2＝ 4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为 (x－1)2＋ y2＝1. (2)设 PQ 的中点为 N(x， y)，在 Rt△PBQ 中， |PN|＝ |BN|， 设 O 为坐标原点，连接 ON(图略 )，则 ON⊥ PQ，所以 |OP|2 ＝ |ON|2＋ |PN|2＝ |ON|2＋ |BN|2， 所以 x2＋ y2＋ (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2＋ y2－ x－ y－ 1＝ 0.