人教A高中数学必修2第四章《圆与方程》41-42练习
人教新课标A版高中数学必修2第四章圆与方程4.1圆的方程同步测试
人教新课标A版高中数学必修2 第四章圆与方程 4.1圆的方程同步测试共 25 题一、单选题1、已知圆心在点P(－2,3)，并且与y轴相切，则该圆的方程是（）A. B.C. D.2、方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是( )A.以(1，-2)为圆心，为半径的圆；B.以(1，2)为圆心，为半径的圆；C.以(-1，-2)为圆心，为半径的圆；D.以(-1，2)为圆心，为半径的圆3、以点和为直径两端点的圆的方程是（）A. B.C. D.4、已知，则以为直径的圆的方程是( )A. B.C. D.5、已知圆C经过两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是( )A. B.C. D.6、圆的圆心坐标和半径分别为（）A. B.C. D.7、经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是（ ）A. B.C. D.8、已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ）A. B.C. D.9、圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是（ ）A.2πB.2πC.πD.4π10、方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（ ）A.两个点B.四个点C.两条直线D.四条直线（﹣，，﹣），﹣]﹣，=26 =26=26=26参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【分析】因为圆心点P（-2，3)到y轴的距离为|-2|=2，且圆与y轴相切，所以圆的半径为2，则该圆的标准方程为：（x+2)2+（y-3)2=4．故选B2、【答案】D【解析】【分析】配方得(x+1)2+(y-2)2=11，所以方程表示以(-1，2)为圆心，为半径的圆.选D【点评】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当时，表示圆的方程；当时，表示点；当时，不表示任何图形。
3、【答案】B【解析】【解答】∵（1，1)和（2，-2)为一条直径的两个端点，∴两点的中点为（)，且两点的距离为d=,半径为，故所求的方程为，选B.【分析】由已知的两点为直径的两端点，可得连接两点的线段的中点为圆心，连接两点线段长度的一半为圆的半径，故由中点坐标公式求出两点的中点，即为圆心坐标，利用两点间的距离公式求出两点间的距离，求出距离的一半即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的方程即可.4、【答案】A【解析】【解答】圆心为AB的中点，为。
高中数学必修2第四章方程与圆练习题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】4.1.1 圆的标准方程1．圆22(2)(3)2x y -++=的圆心和半径分别是【 】 A ．(2,3)-，1 B ．(2,3)-，3 C ．(2,3)- D ．(2,3)-2.圆13)2()3(22=++-y x 的周长是【】A.π13 B. π132 C. π2 D.π323.点)5,(2m 与圆2422=+y x 的位置关系是【】A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定4．已知直线l 的方程为34250x y +-=，则圆221x y +=上的点到直线l 的距离的最小值是【 】A. 3B. 4C. 5D. 6 5.已知圆:M 2)2()3(22=-+-y x ，直线03:=-+y x l ，点)1,2(P ，那么【】A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上B. 点P 在圆M 上，但不在直线l 上C. 点P 既在圆M 上，又在直线l 上D. 点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上6．过两点P (2,2),Q (4,2) 且圆心在直线0x y -=上的圆的标准方程是【 】 A ．22(3)(3)2x y -+-= B. 22(3)(3)2x y +++=C.22(3)(3)x y -+-=D.22(3)(3)x y +++7. 圆3)2()1(22=-++y x 的圆心坐标是 ，半径是 . 8. 圆222)()(r b y a x =-+-过原点的条件是.9．圆1)4()3(22=++-y x 关于直线0=-y x 对称的圆的方程是 .10. 求经过点)4,1(-A ,)2,3(B 且圆心在y 轴上的圆的方程.4.1.2 圆的一般方程1．方程04262=2yx表示的图形是【】x--++yA．以)2,1(-为圆心，11为半径的圆B．以)2,1(为圆心，11为半径的圆C．以)2,1(--为圆心，11为半径的圆D ．以)2,1(-为圆心，11为半径的圆2．方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是【 】 A.114m << B. 1m > C.14m <D. 1m <3．已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么通过圆心的一条直线方程是【 】A ．012=--y xB ．012=++y xC ．012=+-y xD ．012=-+y x4．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为【 】A . 2 B.2C. 1D.5．与圆0352:22=--+x y x C 同圆心，且面积为其一半的圆的方程是【 】A ．3)1(22=+-y xB ．6)1(22=+-y xC ．9)1(22=+-y x D ．18)1(22=+-y x6．圆x 2+y 2－4x －5=0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .7．已知方程042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是 ．8．已知圆C：(x-1)2+y2=1，过坐标原点O作弦OA，则OA中点的轨迹方程是.9．求经过三点(1,1)C-的圆的方程,并求出圆的圆心与半径．B，(4,2)A-，(1,4)4.2.1 直线与圆的位置关系1．直线0+yx与圆1-3=452=2x的位置关系是【】+yA．相交B．相离C．相切D．无法判断2．平行于直线2x－y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是【】A．2x－y+5=0 B．2x－y－5=0C．2x＋y+5=0或2x＋y－5=0 D．2x－y+5=0或2x－y－5=0 3．过点)1,2(的直线中，被02422=yxx截得的弦为最长的直线方程-+y+是【】A．03=-+yx753=--yx B．0C．03=-+y5x3=1--yx D．04．圆2240+-=在点P处的切线方程为【】x y xA.x-= B.40x+-=20C.x+=40x+= D.205．若),(y xP是圆252=2+yx上的点，则yx+的最大值为【】A．5 B．10 C．210D．256．已知圆C：22-+-=及直线l：30(1)(2)4x y-+=，则直线l被C截得的x y弦长为 .7．圆8)2()1(22=-++y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有 ．8．一直线过点3(3,)2P --，被圆2225x y +=截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程.4.2.2 圆与圆的位置关系一、选择题1、两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系是（）A、相离B、外切C、相交D、内切2、两圆x2+y2=r2,(x-3)2+(y+1)2=r2外切、则正实数r的值是（）10C、5D、5A、10B、23、半径为6的圆与x 轴相切,且与圆x 2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是（ ）A 、(x-4)2+(y-6)2=6B 、(x4)2+(y-6)2=6C 、(x-4)2+(y-6)2=36D 、 (x4)2+(y-6)2=364、和x 轴相切，并和圆x 2+y 2=1外切的动圆的圆心的轨迹是（ ） A 、x 2=2y ＋1 B 、x 2=－2y ＋1 C 、x 2=2y ＋1 D 、 x 2=2y －15、以相交两圆C 1: x 2+y 2+4x ＋1=0及C 2: x 2+y 2+2x ＋2y ＋1=0的公共弦为直径的圆的方程（ ）A 、 (x －1)2+(y －1)2=1B 、(x ＋1)2+(y ＋1)2=1C 、(x ＋35)2+(y ＋65)2=45D 、(x －35)2+(y －65)2=456、圆x 2+y 2+2ax ＋2ay ＋1=0与x 2+y 2+4bx ＋2b 2－2=0的公切弦的最大值是（ ） A 、12B 、 1C 、32D 、 27、若圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x －4y ＋4=0关于直线l 对称，则l 的方程为（ ）A 、x ＋y=0B 、x ＋y-2=0C 、x-y-2=0D 、x-y+2=08、和x 轴相切，并和圆221x y +=外切的动圆的圆心轨迹方程是（ ） A 、221x y =+ B 、221x y =-+ C 、22||1x y =+ D 、221x y =- 二、填空题9、圆C 1:x 2+y 2－6x ＋8y=0与x 2+y 2+b=0没有公共点，则b 的取值范围是______.10、已知两圆C 1: x 2+y 2+4x －2ny ＋n 2－5=0，则C 2: x 2+y 2+2nx ＋2y ＋n 2－3=0, C 1与C 2外离时n 的范围是_____，与内含时n 的范围是______. 11、若圆x 2+y 2-2ax+a 2=2和x 2+y 2-2by+b 2=1外离,则a,b 满足的条件是 .12、已知两圆22222306-10x y x x y +--=++=和，则它们的公共弦所在的直线方程为______________.13、圆222212:680:0C x y x y C x y b +-+=++=与没有公共点，则b 的取值范围为______. 三、解答题14、a 为何值时,圆1C : x 2+y 2-2ax+4y+(a 2-5)=0和圆2C : x 2+y 2+2x-2ay+(a 2-3)=0相交15、已知圆C 1:x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0,圆C 2:x 2＋y 2－4x ＋2y －11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.4.2.3 直线与圆的方程的应用1．圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是【 】A.相离B.外切C.相交D.内切 2．圆221:()(2)9C x m y -++=与圆222:(1)()4C x y m ++-=外切，则m 的值为【 】A. 2B. －5C. 2或－5D. 不确定3．若圆228x y +=和圆22440x y x y ++-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为【 】A.0x y -=B. 0x y +=C. 20x y -+=D. 20x y ++=4．两个圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有【 】A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．实数x ，y 满足方程40x y +-=，则22x y +的最小值为【 】A. 4B. 6C. 8D. 12 6. 圆心为)1,2(-的圆,在直线01=--y x 上截得的弦长为22，则这个圆的方程是【 】A.2)1()2(22=++-y xB. 4)1()2(22=++-y xC.8)1()2(22=++-y x D.16)1()2(22=++-y x7．两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0的公共弦所在直线方程为 . 8．已知直线20x y c ++=与曲线y =c 的取值范围 .9．求与圆222410x y x y +-++=同心，且与直线210x y -+=相切的圆的方程.10. 求经过圆0124:221=++-+y x y x C 与圆06:222=-+x y x C 的交点，且过点），（22-的圆的方程.4.3 空间直角坐标系1．点(2,1,0)A -在空间直角坐标系的位置是【 】 A. z 轴上 B.xOy 平面上C. xOz 平面上D. yOz 平面上2.点B 是点)3,2,1(A 在坐标平面yoz 内的射影，则||OB 等于【 】 A.14B. 13C. 32D.113.已知线段AB 的两个端点的坐标分别为)4,3,9(-A 和)1,2,9(B ，则线段AB 【 】A.与平面xoy 平行B. 与平面xoz 平行C. 与平面zoy 平行D. 与平面xoy 获zoy 平行4．已知三角形ABC 的顶点A （2，2，0），B （0，2，0），C (0，1，4)，则三角形ABC 是【 】A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．点(1,3,5)P 关于原点对称的点的坐标是 .6．连接平面上两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的线段12P P 的中点M 的坐标为1212(,)22x x y y ++，那么，已知空间中两点1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z ，线段12P P 的中点M 的坐标为 .7．已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7；8．在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3)M ，求它关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.。
人教A高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 43 431 432 含解析
第四章4．3空间直角坐标系4．3．1空间直角坐标系4．3．2空间两点间的距离公式课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为()A．3B．2C．1 D．0解析：选C对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)，故选D.4．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x 轴对称，则|BC|的值为()A．2 5 B．4C．2 2 D．27解析：选B点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，故|BC|＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4.5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是()A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2解析：选D∵|AB|＝(x－2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝(x－2)2＋8＝26，∴x＝6或－2.6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是三角形．(填三角形的形状)解析：|AB|＝(4－7)2＋(3－1)2＋(1－2)2＝14.|AC|＝(4－5)2＋(3－2)2＋(1－3)2＝6，|BC|＝(7－5)2＋(1－2)2＋(2－3)2＝6，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为．解析：由两点间距离公式可得|AB |＝ (1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥355. 答案：3558．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为 ．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4189．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.10.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)． ∵N 为CD 1的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1.M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212. ‖层级二‖………………|应试能力达标|1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内． 2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称． 3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 与点C 的距离为( )A.132B.534C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝(2－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－0)2＝532. 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝(0－4)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝29.5．已知点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为 ．解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A ′B ′|＝(0－0)2＋(4－5)2＋(3＋7)2＝101. 答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是 ．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．对于任意实数x，y，z则(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＋x2＋y2＋z2的最小值为．解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，则(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＋x2＋y2＋z2＝|PM|＋|PO|.由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则|PM|＋|PO|≥|OM|＝1＋4＋1＝6，故所求的最小值为 6.答案： 68．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．解：(1)设P(x,0,0)．由题意，得|P0P|＝(x－4)2＋1＋4＝30，解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．则|MN|＝(x0－6)2＋(1－x0－5)2＋(0－1)2＝2(x0－1)2＋51.所以当x0＝1时，|MN|min＝51.此时点M的坐标为(1,0,0)．。
高中数学(人教版必修2)配套练习 第四章4.1圆的方程试题解析
第四章 圆与方程§4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程一、基础过关1．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，42．点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不确定3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝14．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离为( )A.12B.32C ．1 D. 3 5．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． 6．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是________________． 7．求满足下列条件的圆的方程：(1)经过点P (5,1)，圆心为点C (8，－3)；(2)经过点P (4,2)，Q (－6，－2)，且圆心在y 轴上．8．求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程． 二、能力提升9．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆 10．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．12．平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？ 三、探究与拓展13．已知点A (－2，－2)，B (－2,6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最值．答案1．A 2.B 3.B 4．A 5．5＋ 26.⎝⎛⎭⎫x －1952＋⎝⎛⎭⎫y －352＝1 7．解 (1)圆的半径r ＝|CP |＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心为点C (8，－3)，∴圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. (2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧16＋(2－b )2＝r 2，36＋(2＋b )2＝r 2，⇒⎩⎨⎧r 2＝1454，b ＝－52.∴所求圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋522＝1454. 8．解 由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x ＋2y －15＝0， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3.∴圆心C (7，－3)，半径r ＝|AC |＝65. ∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. 9．D 10.D 11．[0,2]12．解 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将A ，B ，C 三点的坐标分别代入有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 将D (－1,2)代入上式圆的方程，得 (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上． 13．解 设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝4.|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y . ∵－2≤y ≤2，∴72≤|P A |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.即|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.4.1.2 圆的一般方程一、基础过关1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤122．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( )A ．1B. 2C. 3D ．23．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝04．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．8．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 二、能力提升9．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0 10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝011． 已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程． 三、探究与拓展13．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．答案1．B 2.D 3．B 4．B 5．(0，－1) 6．－27．解 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3,3)． ∵CM ⊥AM ， ∴k CM ·k AM ＝－1， 即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)． 8．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ； 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0. 9．D 10．A12．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y . 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14.所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14. 13．解 设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组， 得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10E ＝－8F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.。
高中数学新课标人教A版必修二第四章 圆与方程同步经典习题
4.1.2圆的一般方程基础达标1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()．A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝02．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()．A．D＝E B．D＝FC．E＝F D．D＝E＝F3．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A 的轨迹方程是()．A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)4．已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为________．6．已知圆x2＋y2－4x＋3＝0则x2＋y2的最大值是________．7．(1)定长为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点M 的轨迹．(2)如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．能力提升8．(天津高一检测)设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线且|P A|＝1，则P点的轨迹方程是()．A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x9．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．10．自点A(4，0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系基础达标1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()．A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称2．设z是任意实数，相应的点P(2，2，z)运动的轨迹是()．A．一个平面B．一条直线C．一个圆D．一个球3．(吉林高一检测)若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()．A．7 B．－7 C．－1 D．14．已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则线段AB中点的坐标为________．5．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1在如图所示的空间直角坐标系中，则体对角线的交点O的坐标是________．6．(北京东城高一检测)在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M1点，则M1关于原点的对称点坐标是________．7．四面体P－ABC是一个正方体截下的一角，且满足|P A|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，建立如图所示的空间直角坐标系，求△ABC的重心G的坐标．能力提升8．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为()．A．(4，0，6) B．(－4，7，－6)C．(－4，0，－6) D．(－4，7，0)9．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述是________．10．如图，有一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，以点D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂蚁从点D出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．的距离的最大值和最小值．的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 能力提升在平面内转动，15＝0也相切，求圆C的方y＝x截得的弦长为27，交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在r1－r2＝1.答案 1x2＋y2＝5的公共弦长为________．②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，|－3|3 22________．关于原点的对称点坐标是(2，0，3)．，|PC|，DD1的长度为单位轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么x＝________．＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－为坐标原点，分别以AB，0，0)，设B(a，0，0)，。
人教版高中数学必修二第四章圆与方程41圆的方程教师版个性化辅导含答案 精选学习文档
圆的方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 掌握圆的标准方程会求圆的标准方程；圆的一般方程和代入法的掌握、应用．一、圆的标准方程 )是圆，定点是圆心，定长是半径．1．平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹 2．确定圆的几何要素：三点确定的三角形叫该圆的内接不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，(1) 三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此(2) 求圆的方程必须具备三个独立条件．222rbayabrrx，称作圆的标准方程．特别)＋3．圆心为((，))半径为－(>0)的圆的方程为：(＝－222rrxy. 的圆方程为＝＋地，圆心在原点、半径为222rbayyPxx )＋(＝－)与圆(的位置关系．－4．点)(，00222rybPxa＋(>(在圆外?－－，))00ba)－－)rxy P222＝＋?((，在圆上00222ryPxab.－<在圆内?(＋－())00二、圆的一般方程22EDFDE4＋－????2222yx????FEyxyDx＋＋＝＋＋. 1．圆的一般方程＝＋0＋，配方得＋????224DE1??2222??FEDEFD，－－ >0时，方程表示以44＋为半径的圆；(1)当－＋为圆心，－??222DE??22??FED，－－－4；＋＝0(2)当时，方程表示一个点??2222FDE＋4当－时，方程没有实数解，它不表示任何图形．<0 (3)2222－4EFD0表示圆的条件是：A＝C≠0，B＝0，>0 ＋2．二元二次方程Ax＋Bxy＋Cy ＋＋DxEy＋F＝2222的位置关系是：4＝Ey＋F0(DF＋E>0)，3．点P(xy)与圆xy＋－＋Dx＋00，? 在圆内P，P在圆上?. P在圆外?4．求轨迹方程的五个步骤：的坐标；表示曲线上任意一点M)(1)建系：建立适当的坐标系，用(x，y ；pP＝{M|(M)}的点(2)设点：写出适合条件PM的集合0；)(M)y表示条件p()，列出方程Fx，y＝，((3)列式：用坐标x y为最简形式；)＝0，(化简：化方程(4)Fx (5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．类型一圆的标准方程页 1 第例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．22yx＝2(1)；＋22yx＝4(2)(；－3)＋22yx1)＝(3)；＋(9－22yx8.＝(4)(＋＋1)＋(2) 解析：用圆的标准方程的公式解决．2.，半径为圆心(0,0)答案：(1)2. (2)圆心(3,0)，半径为3.(3)圆心(0,1)，半径为.222)，半径为(4)圆心(－1，－222应满足的条r、br＝、(r>0)：已知圆的方程为(x－a)，试根据下列条件，分别写出＋(y－b)a1练习件：轴上；(1)圆心在x轴相切；(2)圆与y轴相切；(3)圆过原点且与y圆与两坐标轴均相切．(4)b0. 答案：(1)＝aar|((2)≠0)．＝|bara．＝|＝|(0)(3)≠0，bbara ||＝≠0，((4)|≠0)．|＝??????22????C5,33,3M6,9Q,N,10?x?56??y是在圆上，的方程为试判断点练习2：已知圆，圆内，还是在圆外？22????109CM?6?5?6??M∴点在圆上答案：∵22????N53?6?13?CN??103?在圆外∵∴点22????5?CQ?563???3?10Q∴点在圆内∵yxPQ)＝(2,2)、0(4,2)，且圆心在直线上的圆的标准方程是－例2：过两点(22yx2＝－(A．3)－3)＋(22yx2＝＋．(3)＋3)＋(B22yx2＋－3)(＝－C．(3)22yx2＝(＋D．(3)＋3)＋P A.、D，故选C(2,2)不在选项B、C、D中的圆上，排除B、解析：解法一：点2222aaaRaaa(＋－4)(解法二：设圆心坐标为(，，－)，半径为，由题意得(2)－2)＋(－2)＝a3. 解得＝222R A. ＋(3－2)＝2，故选∴＝(3－2)A答案：BA的圆的方程．，半径为－：求经过点练习14,7)(10,5)、10(ba)(，答案：解法一：设圆心为22①?5＝100?－?a10?＋b－??∴?22②100－＋?b7?＝?＋?a4??abba－15，③，即＝7①－②整理得－－150＝7页 2 第2aa0.＝＋－68将③代入①得bbaa13.或，则＝∴＝－＝2或1＝42222yxxy100. ＝－4)＋(＋1)＝100或(故所求圆的方程为(13)－2)＋(－BA、解法二：的垂直平分线方程为410＋xxyy15.即－＝－6＝－(7－3)7－5ABab，的垂直平分线上，)设圆心为(，由于圆心在ab，7 －∴15＝22ba②＝100，－10)＋( －又∵(5)aa) 4.(将①代入②可得＝＝2或以下同解法一 2：求满足下列条件的方程练习??33,4C5；）圆心在点（1）圆心在原点，半径是上，半径半径是；（28y?5x?3）圆心在直线上，又圆与坐标轴相切（322????229x?y?5?x?34??y （2）；答案：（1）22????2ba??a?bba?a?y?x?a?b或由题意知，即（3）设所求的方程为：83y?5x?上，又∵圆心在直线1a??8a?45a?3a?8a?3a5或或∴解得：2222????????164??y?x?41??yx?1?1∴所求方程为或1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．(2,2)、B(5,3)、C(3，－练习3：求以A222rbxay.)－)＋答案：设所求圆的标准方程是((－＝222rab＝－＋2－2??222rab ?＝5－＋3－，由题意得?222?rab＝1－3－＋－a 4＝??b ?1＝.解得?2?r 5＝22ABCxy －1)＝5.－4)＋故△(的外接圆的标准方程为(类型二 圆的一般方程2222mxymmxmmym ＋2＝0(表示一个圆？－例3：＋是什么实数时，关于、2)的方程(2 ＋－1)＋＋22xyDxEyF ＝0解析：形如＋＋＋的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的＋22DEF >0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程－一般方程的定义，若4＋22xyDxEyF ＝0＋＋＋的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是＋这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．22mmmm ＋2－2，＋ －1＝答案：由题意，得2mm －3＝0＋2， 即mm ＝或解得1. ＝－322mxy ＋32＝0. 21当＝时，原方程化为＋不合题意舍去；页 3 第22yxm ，时，原方程化为14＝＋140－当1＝－3122yx ，表示以原点为圆心，即＝＋ 1414 为半径的圆．以14222mymxymx 05－2表示圆，求：＋＝练习1：已知方程＋＋＋2m 的取值范围；(1)实数 (2)圆心坐标和半径．22222mmmDEF )>0＋5(－2)答案：(1)由题意，得＋－－44(＝(2，)＋22mmm 20，>0＋4－4－即41m 解得，< 51m ．(－∞，故)的取值范围为 522222mymxmmxxyym －＋5)＋((2)将方程，＋2＋－－21)＋＝＋51＝0写成标准方程为(mm,r .－故圆心坐标为(11)，半径－5＝220R ?x ?y ?x ?y ?R 练习2： 表示一个圆，则）的取值范围是（11????????,2????,2????,, ． A ．． D C B ．????22????答案：CABCABCABC的外接圆的一般方程．，求△ (4，－5)(－2，例4：已知△3)的三个顶点为、(1,4)、PQMM(1,0)．的中点为解析：设，则由中点坐标公式得Maxybab＝＋0－上，∴＋0. ∵点＝在直线PQaxyb＝0又＋所在直线与直线垂直，－－1－1a＝－1·，∴－31－ab＝－2.2.故∴＝22ABCxyDxEyF＝0＋，答案：设△＋的外接圆的一般方程为＋＋ABC三点在圆上，∵、、FDE0＋4＝1＋16＋＋??FDE?03＝4＋9－2＋＋，∴??FDE0－54＝＋＋1625＋D2＝－??E?2＝.解得??F23＝－22ABCxyxy－23＝∴△＋的外接圆的一般方程为2＋－20.CDyx上的圆的一般方程． 1,1)和＝(1,3)且圆心在直线1练习：求过点－(DE22FyDxEyx，－)，－(0答案：设圆的方程为＋＋＋＋＝，则圆心为22页 4 第ED?＝－－?22?∴FDE0＝2－＋＋??FED010＋＋＋3＝D2＝－??E?2＝－.∴??F2＝－22yxxy0.2＝＋－－22－∴所求圆的一般方程为??????ABC?5,5B,?2,?2A?1,5C,的三个顶点坐标分别为练习2：，求其外接圆的方程．220?F?x?y?Dx?Ey答案：设圆的方程为??20?E?5F?D?1?5?4?D?????22????2E??0F??22?E?2??2D?解得由题意知2?????20??F220?F?5D?5E5?5????220??2y?20x?y?4x∴所求方程为CAB的轨迹方程，并说明，底边一个端点是，求另一个端点例5：等腰三角形的顶点是(3,5)(4,2) 它的轨迹是什么．解析：利用等腰三角形性质两腰相等．yCx )，答案：设另一端点．的坐标为(ABAC|. ||＝依题意，得| 由两点间距离公式，2222yx5得＋－24＋－－2＝4－，322yx10.(＝－整理得(2)－4)＋22ABxyAAB练习1＋的中点轨迹方程．＝4上的点，求弦：自圆(2,0)引此圆的弦22yyxxABPxyB，)，则有4，)，＋答案：设(的中点，(＝1111yx02＋＋11yxxyxy.，2∴＝2＝－且＝，2＝.11222222yxyx1.1)(2∴＋－2)＋(2＝)4，即(＝－AABP、点重合，不合题意，重合时，当与22xyx＝1(＋－1)≠2)．(∴所求轨迹方程为????2,08,0MMM2的轨迹方程是的距离等于到定点到的距离的2练习：已知动点倍，那么点）（????2216x161??y1x???y? C 222216?x?y32yx?? B A．．22D．．B答案：22)满足，则点P(3,2)(4－(－(1．已知圆的方程是x2)＋y3)＝．在圆上B．是圆心A页 5 第D．在圆外C．在圆内C答案：22)－2)＝4的圆心坐标和半径分别为(2．圆(x＋1)＋(y2 ，1,2)，2 B．(1，－2)A．(－4 ，，4 D．(1，－2)C．(－1,2)A答案：)为直径的圆的方程是－5,4)，则以AB(3．已知A(3，－2)，B(2225 1)＝＋(y A．(x－1)＋2225 1)＝＋(y B．(x＋1)－22100 1)＝(y C．(x－1)＋＋22100 1)＝(y D．(x＋1)－＋B答案：122)0x的圆心坐标和半径分别是＋y(－2x＋y＋＝4．圆4111；(1，－)；1B．(A．－1，)226116 ；1，－)；，)D．(－C．(12222B答案：222)的范围是(＋a－1＝0表示圆，则5．方程xa＋yay＋ax＋2＋2a22<2B a．－<a<－2或a> A．332 <2<a C．－2<a<0 D．－3D答案：22)y＋8＝0的周长等于6．圆x(＋y2－x＋6 B．2πA.2πD．C4π．22πC答案：222________.＝上，则实数＋ym－若点P(＝1，3)在圆xm7.2±答案：2222________ 的位置关系是＝y＋＋ym＋m0x＋x点8.P(1，－2)和圆C：C外部．答案：在圆3)的圆的标准方程．，圆心为点C(8，－9.求经过点P(5,1)答案：由题意知，圆的半径22CPr1＋3＝－58＝|＋，|＝ 5C (8，－3)． 圆心为点22xy ＋3)＝25.－8)＋∴圆的标准方程为((_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 基础巩固2t 1－t 2??22??，P ．点( )1与圆xy ＋的位置关系是＝122??t ＋1＋t 1 ．在圆外B A ．在圆内 t 有关．在圆上C ．与D 页 6 第22ttt ＋－211??????222??????PPO 在圆上．＝答案：|1|＋＝，故点C ＝222ttt ??????＋1＋＋1122)y ＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是(2．圆(x ＋2) ＋225 ＋y ＝(x －2)A ．225 ＋(yx －2)＝B ．225 ＝＋2)＋(yx C ．(＋2)225＝＋2)＋(y D ．x 22yx ，即对称圆的圆心5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为答案：圆((2,0)＋2)＋＝ 为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A.22) 10 ＝02x 表示的图形是＋2y (－4x ＋8y ＋．方程3 B ．一个圆A ．一个点 D ．不存在C ．一条直线 A答案：22的对称点在圆＝0y －1x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x 4．已知点P 是圆C ：x ＋＋y ＋4)a 等于(C 上，则实数10 ．－10 A ．B20．－．20 DC aaayCx ，∴－(－2，－)，∴2×(－2)－1答案：B. 由题意知，直线2＋＝－1＝0过圆0的圆心 2210. ＝－ 能力提升)5．过点A (1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为(222225 ＝y －－5)5)＋A ．(x －1)－＋(y 1)(＝1或(x 222 ＝－1)3)＋(y B ．(x －2225 5)＝＋(y －C ．(x －5)221 1)＝＋(y D ．(x －1)－A 答案：22)1) ＝25上的点到原点的最大距离是6．圆((x ＋3) ＋(y －10 －．510B ．5＋A10 C.10 D ．B 答案：22)12＝0上的最短路程是x (＋y 4－x －6y ：A 7. 一束光线从点(－1,1)出发经x 轴反射到圆C ＋5 B ．A ．4 6．2D32－1 C．A答案：8.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是__________________．22＝2＋x＋2)y答案：(PQx轴上截得的弦长为6的圆的方程．，－1)，且在9.经过两点2,4)(－、(322xyDxEyFPQ两点的坐标分别代入，得、＋0＋，将＋设圆的方程为答案：＋＝FED①－220－4＝???FDE②10＋＝－3－??2yxDxF＝0.＋又令＋＝0，得22xxxxxDxFDF＝36，③，∴的两根是方程其中＝－由已知，||6(，＋＋＝0)－42121①、②、③联立组成方程组，解得页 7 第DD6＝－＝－2????EE??8＝－＝－4.或，????FF0＝＝－82222xyxyxyxy＝8－6－8＝0或∴所求圆的方程为＋0.－2＋－4－CPk,QRCPC的1在点(2,0)、，试求圆(0,1)10．圆，已知圆通过不同三点的切线的斜率为(0)、方程．Pk,Q(2,0)在圆上，0)∵点、(22CxyDxEyF＝0＋＋，＋答案：设圆＋的方程为kD2kxDxF＝0＋2为方程的两根．＋∴、2＋＝－??FkkD,，∴＋2＝－.2即＝?kF2＝??PEF＝＋，故1＋0. 又因圆过点(0,1)EFk－1，故圆的方程为1＝－∴2＝－－22kxkyyxk＝0.＋2)－(2＋2＋－(1)＋kk＋1＋22????C，的坐标为∴圆心.??22P的切线斜率为1，又∵圆在点k＋21－02k＝－3，即，∴＝－1k2＋k－2DEF＝－6.5＝，从而1＝，22xyxy－6＝0. 5即圆的方程为＋＋＋页 8 第。
人教A版2019高中数学必修二学案：41圆的方程_含答案
4.1圆的方程4．1.1圆的标准方程预习课本P118～120，思考并完成以下问题1．确定圆的几何要素有哪些？2．圆的标准方程是什么？3．点与圆的位置关系有哪几种？怎样去判断？[新知初探]1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x，y)，00则位置关系判断方法几何法│MA│＝r⇔点M在圆A上│MA│<r⇔点M在圆A内│MA│>r⇔点M在圆A外00代数法点M(x，y)在圆上⇔(x－a)＋2(y－b)＝2r2000点在圆上点在圆内点在圆外点M(x，y)在圆内⇔(x－a)＋2(y－b)＜2r2000点M(x，y)在圆外⇔(x－a)＋2(y－b)＞2r2000[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝m 2一定表示圆())(2)若圆的标准方程为(x ＋m )2＋(y ＋n )2＝a 2(a ≠0)，此圆的半径一定是a (答案：(1)×(2)×2．点P (m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是()B．在圆内D．不确定A．在圆外C．在圆上解析：选A ∵m 2＋25＞24，∴点P 在圆外．3．经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x ＋2)2＋y 2＝4.答案：(x ＋2)2＋y 2＝4求圆的标准方程[典例]求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．[解][法一待定系数法]22a＋b2＝r，设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，2a＝4，则有a－＋b－2a＋3b＋1＝0，2＝r2，解得b＝－3，r＝5.∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.[法二几何法]由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，2x＋3y＋1＝0，∴由x＝4，x＋y－1＝0，得y＝－3，2即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝42＋－∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.＝5.确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．[活学活用]已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有－a 2＋－b 2＝r 2，－a2＋－2－b 2＝r 2，－3－a 2＋－4－b 2＝r 2.a ＝－3，解得b ＝1，r ＝5.故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.13法二：因为A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 的中点的坐标为，，直线AB 的斜率k AB －2－531221＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －＝x －，即x －7y ＋10＝0.同理1＝－0272可得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.x －7y ＋10＝0，由2x ＋y ＋5＝0得圆心的坐标为(－3,1)，－3－2又圆的半径长r ＝＋－2＝5，故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.点与圆的位置关系[典例]已知圆C 的圆心为C (－3，－4)，且过原点O ，求圆C 的标准方程，并判断点M (－11,0)，M (1，－1)，M (3，－4)与圆C 的位置关系．23[解]因为圆C 过原点O ，圆心为C (－3，－4)，所以圆C 的半径长r ＝|OC |＝2＋－3－－4－2＝5，因此圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.1因为(－1＋3)2＋(0＋4)2＝20＜25，所以点M (－1,0)在圆C 内；因为(1＋3)2＋(－1＋4)2＝25，所以点M (1，－1)在圆C 上；因为(3＋3)2＋(－4＋4)2＝36＞25，所以点M (3，－4)在23圆C 外．判断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程：化为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)将点的坐标代入代数式(x －a )2＋(y －b )2，比较代数式的值与r 2的大小关系．(3)下结论：若(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，表示点在圆上；若(x －a )2＋(y －b )2＞r 2，表示点在圆外；若(x －a )2＋(y －b )2＜r 2，表示点在圆内．此外，也可以利用点与圆心的距离d 与半径r 的大小关系来判断．当d ＞r 时，点在圆外；当d ＝r 时，点在圆上；当d <r 时，点在圆内．[活学活用]已知M(2,0)，N(10,0)，P(11,3)，Q(6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，－a∴＋b2＝r2，2－a＋b2＝r2，－a2＋－b2＝r2，2a＝6，解得b＝3，r2＝25.∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25.将点Q的坐标(6,1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，∴M，N，P，Q四点不共圆.与圆有关的最值问题y[典例]已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值．xy[解]原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设＝k，即y＝kx，x|2k－0|当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝3，解得k＝± 3.k2＋1yx的最大值为3，最小值为－ 3.故[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．解：设y－x＝b，即y＝x＋b，|2－0＋b|当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝3，2即b＝－2± 6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.2．[变设问]在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．解：x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)＝(2＋3)2max＝7＋43，(x2＋y2)＝(2－3)2＝7－4 3.min与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：y －b (1)形如u ＝形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问x －a题．a l(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－x ＋截距的最值问题．b b(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．层级一学业水平达标1．方程|x |－1＝1－y －A．一个圆2所表示的曲线是()C．半个圆B．两个圆D．两个半圆解析：选D由题意，得2x |－2＋y －|x |－1≥0，＝1，2＝1，即x －x ≥12＋y －2＝1，x ＋或＋y －2x ≤－1，故原方程表示两个半圆．2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是()A．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52解析：选A 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.3．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是(A．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116|AB |1解析：选B 圆心为线段AB 的中点(1，－3)，半径为＝222)＋＋－1＋2＝29，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝29.故选B.4．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是()A．x ＋y －2＝0C．x ＋y －3＝0B．x －y ＋2＝0D．x －y ＋3＝0解析：选D圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l 的方程是y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.故选D.5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为(A．2C.3)B．1D.2解析：选B x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________.解析：∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上，∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2，∴m ＝±2.答案：±27．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．x －y ＋2＝0，解析：由可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝2x ＋y －8＝0，2－2＋－＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝208．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________________．解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝＋2＋－3－2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝259．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程．解：设圆心为(a,0)，则a －22＋16＝2a －＋9，所以a ＝－2.半径r ＝a －＋16＝5，故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.10．求过点A(－1,3)，B(4,2)，且在x轴，y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程．解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.把点A，B的坐标代入，得－1－a2＋－b2＝r2，－a2＋－b2＝r2.消去r2，得b＝5a－5.①令x＝0，则(y－b)2＝r2－a2，y＝b±r2－a2，∴在y轴上的截距之和是2b.令y＝0，则(x－a)2＝r2－b2，x＝a±r2－b2，∴在x轴上的截距之和是2a.∴2a＋2b＝4，即a＋b＝2.②75①代入②，得a＝，∴b＝.6675169∴r2＝－1－2＋3－2＝.661875169∴圆的标准方程为x－2＋y－2＝.6618层级二应试能力达标1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是()A．在圆内C．在圆外B．在圆上D．不确定解析：选C∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．2．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于() A．第一象限C．第三象限B．第二象限D．第四象限解析：选D由题意，知(－a，－b)为圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心．由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6C．3解析：选BB．4D．2画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为(A．(x＋1)2＋y2＝1为)B．x2＋y2＝1C．x 2＋(y ＋1)2＝1D．x 2＋(y －1)2＝1(1,0)，半径长r ＝1.设圆心C (1,0)关于解析：选C 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心C 111直线y ＝－x 对称的点为(a ，b )，b a －1－＝－1，则a ＋1b －，2＝2解得a ＝0，b ＝－1.所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.5．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆________________．C 的标准方程是解析：圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝16．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．解析：由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为－2＋－2＋5＝5＋ 2.答案：5＋27．已知圆C 的圆心为C (x ，x )，且过定点P (4,2)．0(1)求圆C 的标准方程．(2)当x 为何值时，圆C 的面积最小？求出此时圆C 的标准方程．0解：(1)设圆C 的标准方程为(x －x )2＋(y －x )2＝r 2(r ≠0)．0∵圆C 过定点P (4,2)，∴(4－x )2＋(2－x )2＝r 2(r ≠0)．0∴r 2＝2x 2－12x ＋20.∴圆C 的标准方程为(x －x )2＋(y －x )2＝2x 2－12x ＋20.0(2)∵(x －x )2＋(y －x )2＝2x 2－12x ＋20＝2(x －3)2＋2，0∴当x ＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小．0此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.8．已知圆C ：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 关于直线l 对称11的圆C 的方程．2解：设圆C 的圆心坐标为(m ，n )．27因为直线l的斜率k＝－，圆C：(x＋3)2＋(y－1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r14＝2，n－14＝7，m＋3所以，由对称性知－3＋m1＋n14×2＋8×2－31＝0，解得m＝4，n＝5.2所以圆C的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝4.4．1.2圆的一般方程预习课本P121～123，思考并完成以下问题1．圆的一般方程是什么？有什么特点？2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？3．已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？4．圆的标准方程与一般方程怎样相互转化？[新知初探]圆的一般方程1．圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为D E－，－，半径221长为2D2＋E2－4F.[点睛]圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F 为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F＞0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆()(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆(答案：(1)×(2)√2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(A．(2,3)C．(－2，－3)解析：选D圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为))B．(－2,3)D．(2，－3)－46－，－，即(2，－3)．223．若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则a的取值范围是________________．解析：若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则2a2－4a＞0，∴a2－2a＞0，∴a＜0或a＞2.答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)圆的一般方程的辨析[典例]若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解](1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，1解得m＜，51－∞，.故m 的取值范围为5(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D 2＋E 2－4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．[活学活用]1．若方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．解析：法一：方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0，即为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1－a ，它表示圆，需满足1－a ＞0，故a ＜1.法二：要使方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，需满足(2a )2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得a ＜1.答案：(－∞，1)2．已知曲线C ：x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.求证：当m ≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上．证明：∵D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2.又m ≠2，∴(m －2)2＞0，∴D 2＋E 2＋4F ＞0，即曲线C 是一个圆．设圆心坐标为(x ，y )，则由x ＝2m ，消去m ，得x ＋2y ＝0，即圆心在直线x ＋2y ＝0y ＝－m上.求圆的一般方程[典例]已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．[解][法一待定系数法]设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 的坐标分别代入上式，得4D －2E ＋F ＋20＝0，①D －3E －F －10＝0，②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知|y －y |＝43，其中y ，y 是方程③的两根．1212∴(y －y )2＝(y ＋y )2－4y y ＝E 2－4F ＝48.121212D ＝－2，联立①②④解得，D ＝－10，E ＝0，F ＝－12或E ＝－8，F ＝4.故所求方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.[法二几何法]由题意得线段PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上，设其坐标为(a ，a －1)．2又圆C 的半径长r ＝|CP |＝a －＋a ＋2.①由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |.∴r 2＝a 232，代入①并将两端平方得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1，a ＝5，∴r ＝13，121＋24r ＝37.2故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .[活学活用]求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程．解：设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，D E则圆心为－，－.2ED 2∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴2×－－－－3＝0.①22又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上，∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0.②32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0.③解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5.∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.代入法求轨迹方程[典例]已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．31 [解](1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D，－.221又k＝－3，所以km＝3，AB所以直线m的方程为x－3y－3＝0.x－3y－3＝0，由得圆心C(－3，－2)，2x－y＋1＝0－3－2则半径r＝|CA|＝＋－2－＝5，所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.(2)设点M(x，y)，Q(x，y)．00因为点P的坐标为(5,0)，所以x＋5x＝2，y＋0y＝2，x＝2x－5，即y＝2y.又点Q(x，y)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，00所以(x＋3)2＋(y＋2)2＝25，00即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.25整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝.425即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.4用代入法求轨迹方程的一般步骤[活学活用]已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x，y)．00∴2＋x2＝x，0＋y2＝y.①∵|AD|＝3，∴(x＋2)2＋y2＝9.②将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．层级一学业水平达标1．圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0的圆心坐标是(A．(2,3)C．(2，－3))B．(－2,3)D．(－2，－3)解析：选C将x2＋y2－4x＋6y＋3＝0配方，得(x－2)2＋(y＋3)2＝10，故圆心坐标为(2，－3)．故选C.2．将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是()B．x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝0A．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0解析：选C要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A、B、C、D 四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(A．以(a，b)为圆心的圆)B．以(－a，－b)为圆心的圆D．点(－a，－b)C．点(a，b)解析：选D 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，x ＋a ＝0，∴y ＋b ＝0，即x ＝－a ，∴表示点(－a ，－b )．y ＝－b .4．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有()A．D ＝E C．E ＝FB．D ＝FD．D ＝E ＝FD E解析：选A 由D 2＋E 2－4F ＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心－，－在直线y ＝x 22上，故D ＝E .5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为()A．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0C．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0B．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0D．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，－x －y ＋1＝0，由得C (－1,2)．x ＋1＝0∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|PA |2＋1＝|PB |2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝27．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．解析：由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x ，y 0)，又A (0,1)，由中点坐标公式得＋0＝2，0x y 0＋1＝－2，x ＝2，解得y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)8．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心坐标为－4－2，即(1,2)，故圆心到直－，－225|3×1＋4×2＋4|15线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝＝＝3.32＋42答案：39．当实数m 的值为多少时，关于x ，y 的方程(2m 2＋m －1)．x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆？解：要使方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足 2m 2＋m －1＝m 2－m ＋2，得m 2＋2m －3＝0，所以m ＝－3或m ＝1.3①当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝－，不合题意，舍去；2114②当m ＝－3时，方程为14x 2＋14y 2＝1，即x 2＋y 2＝，表示以原点为圆心，以为半1414径的圆．综上，m ＝－3时满足题意．10．点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．解：(1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，在R △t PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.层级二应试能力达标1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是(A．(－∞，－1)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞))B．(3，＋∞)3D.－，＋∞2解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．2．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为()A．2或1C．2B．－2或－1D．1解析：选C ∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)＞0，∴m ＞1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是()A．x 2＋y 2＝32C．(x －1)2＋y 2＝162B．x 2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝162解析：选B 设M (x ，y )，则M 满足x －＋y 2＝2x －＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.4．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有()A．1个C．3个B．2个D．4个1解析：选C ∵圆心(－1，－2)，r ＝4＋16＋12＝22，22＝ 2.∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝2∴共有3个点．5．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.答案：(－∞，1)6．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．11解析：∵r ＝k 2＋4－4k 2＝4－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆22的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)7．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．x y解：如图所示，设P(x，y)，N(x，y)，则线段OP的中点坐标为，，00线22x－3y＋段MN的中点坐标为4，22.由于平行四边形的对角线互相平分，x x－3y y＋4故＝，＝，从而2222x＝x＋3，y＝y－4.又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.9122128当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.55559122128因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点－，和点－，.55558．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．D E D E解：圆心C－，－，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.2222①D2＋E2－12又∵半径长r＝＝2，2∴D2＋E2＝20.②D＝－4，D＝2，或由①②可得E E＝2.＝－4D又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.2则D＝2，E＝－4.故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.。
高一数学A版必修二《圆与方程》第四章4.2-4.2.3直线与圆的方程的应用 同步练习含答案
第四章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用A级基础巩固一、选择题1．已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程是()A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0解析：所求直线实质是两圆心连线所在直线，即3x－y－9＝0.答案：C2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为()A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0解析：已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)．答案：B3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为()A．4条B．3条C．2条D．1条解析：⊙O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，所以|O1O2|＝（3＋2）2＋（－8－4）2＝13，所以r－R<|O1O2|<R＋r，所以两圆相交，所以公切线有2条．答案：C4．已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是() A．9 B．14C．14－6 5 D．14＋6 5解析：方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，所以圆心为(－2，1)，r＝3，而x2＋y2＝(（x－0）2＋（y－0）2)2.所以x2＋y2的最大值为(（－2－0）2＋（1－0）2＋3)2＝14＋6 5.答案：D5．(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为：x2＋(y－a)2＝a2，由题意，d ＝a 2，所以有a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距＝2，半径和＝3，半径差＝1，所以二者相交．答案：B二、填空题6．已知圆C 1：(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．解析：C 1(1，2)，r 1＝2，C 2(－2，－2)，r 2＝3，|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝5，因此两圆外切．答案：外切7．两圆相交于两点A (1，3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．解析：由题意得⎩⎨⎧k AB ＝3－（－1）1－m ＝－1，m ＋12－3－12＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，c ＝－2. 所以m ＋c ＝5－2＝3.答案：38．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是____________________________________．解析：设所求圆方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，将(3，1)代入得λ＝－25.故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.答案：x2＋y2－133x＋y＋2＝0三、解答题9．半径为3的圆C1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1内切，切点为(0，2)，求圆C1的方程．解：因半径为3，设圆C1的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝9，则圆心C1(a，b)，由已知得圆C2圆心为C2(0，3)，半径r＝1.圆心距d＝（a－0）2＋（b－3）2＝a2＋（b－3）2.因C1与C2内切，故d＝|R－r|＝|3－1|＝2，即：a2＋（b－3）2＝2.①因切点为(0，2)，故(0－a)2＋(2－b)2＝9，即：a2＋(2－b)2＝9，②联合解方程①②得：a＝0，b＝5.所以圆C1的方程为：(x－0)2＋(y－5)2＝9，即：x2＋(y－5)2＝9.10．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)若相交，请求公共弦所在直线的方程；(3)若相交，请求公共弦的长度．解：(1)配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又|C1C2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10.所以r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，所以两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)法一 两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， ②①－②得x ＝2y －4，③把③代入②得y 2－2y ＝0，所以y 1＝0，y 2＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2.所以交点坐标为(－4，0)和(0，2)． 所以两圆的公共弦长为（－4－0）2＋（0－2）2＝2 5.法二 由(2)知公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0，由(1)知圆C 1：圆心为C (1，－5)，半径r ＝5 2.圆心C 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝35，设公共弦长为2l ，由勾股定理r 2＝d 2＋l 2，得50＝45＋l 2，解得l ＝5，所以公共弦长2l ＝2 5.B 级 能力提升1．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋3b ＋1＝0解析：由题意知，相交弦过已知圆圆心，相交弦所在直线方程为2(1＋a )x ＋2(1＋b )y －a 2－1＝0，而点(－1，－1)在此直线上，故有a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.答案：B2．已知圆x 2＋y 2＝1和(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则a ＝________．解析：因为C 1(0，0)，r 1＝1；C 2(－4，a )，r 2＝5，所以若|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝6，则a ＝±25；若|C 1C 2|＝r 2－r 1＝4，则a ＝0.答案：±25或03．有一种大型商品，A 、B 两地均有出售且价格相同，其地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A ，B 两地相距10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设A (－5，0)，则B (5，0)．在坐标平面内任取一点P (x ，y )，设从A 运货到P 地的运费为2a 元/km ，则从B 运货到P 地运费为a 元/km.若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2a （x ＋5）2＋y 2<a （x －5）2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫2032. 即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2032的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．。
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人教A 高中数学必修2第四章《圆与方程》4.1-4.2练习 命题人:吕木火
姓名 座号 成绩
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（ ）
A 2、4、4；
B -2、4、4；
C 2、-4、4；
D 2、-4、-4
2、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）
(A)22 (B)4 (C)24 (D)2
3. 点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）
(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a
4. 方程22220x y ax ay ++-=表示的圆（ ）
Ａ．关于直线y x =对称 Ｂ．关于直线0x y +=对称
Ｃ．其圆心在x 轴上，且过原点 Ｄ．其圆心在y 轴上，且过原点
5. 已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是
( ) (A) 222=+y x (B) 422=+y x
(C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x
6. 若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为（ ）
A 、1，-1
B 、2，-2
C 、1
D 、-1
7. 如果实数x ，y 满足22(2)3x y -+=，那么
y x
的最大值是（ ） A 、3 B 、3- C 、33 D 、33- 8、过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )
A 、(x-3)2+(y+1)2=4
B 、(x+3)2+(y-1)2=4
9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是( )
A 、
6π B 、4π C 、3π D 、2
π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与 该圆的位置关系是（ ）
A 、相切
B 、相交
C 、相离
D 、相切或相交
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11、以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 .
12、 设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为____.
13、过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是_______________.
14、过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方
程为 .
15、 已知实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y-20=0，则x 2+y 2的最小值是 。
三、解答题
16. 已知直线l ：kx-y-3k=0；圆M ：x 2+y 2-8x-2y+9=0，
(1)求证：直线l 与圆M 必相交；
(2)当圆M 截l 所得弦最长时，求k 的值。
17、过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA。
(1)求弦OA中点M的轨迹方程；
(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.
18.已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A（6，1），求该圆
的方程.
19、求与圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程
20、若x,y 满足(x-1)2+(y+2)2=4,求S=2x+y 的最大值和最小值
参考答案:
1、B;2.C;3.A;4.B;5.D;6.D;7.A;8.C;9.C;10.C
11.(x-2)2+(y-1)2=10; 12.2
225+; 13.x=-1或3x-4y+27=0;
14.(x+1)2+(y-1)2=13;
15、51030-
16、解：
(1)证明：直线l 可化为：y=k(x-3)，过定点A(3,0)，又圆M ：(x-4)2+(y-1)2=8
而
，所以点A 在圆M 内，于是直线l 与圆M 必相交。
(2)要使圆M 截l 所得弦最长，则l 过圆心M ，把点(4,1)代入直线方程得k=1。
17.(1)x 2+y 2-4x=0;(2)x 2+y 2-16x=0
18.(x-3)2+(y-1)2=9或(x-101)2+(y-37)2=1012
19、2)2()3(22=-++y x
20. 解: (x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)为圆心,半径等于2的圆,由S=2x+y 得y=-2x+S
当直线和圆相切时,S 取得最大值和最小值 由21221222=+--⨯S
,得52±=S
,52max =∴S ,52min -=S。