第四章圆与方程知识点归纳

高中数学必修2

第四章圆与方程知识点两圆的位置关系.

设两圆的连心线长为I，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:

4.1.1圆的标准方程

2 2 2

1、圆的标准方程：(x a) (y b) r

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

2 2 2

2、点M(x),y0)与圆(x a) (y b) r的关系的判断方法:

(1)

当

J I r1r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当1r1r2时，圆C1与圆C2外切；

(3)

当

i 1A

r

：

2I I r1r2时，圆C1与圆C2相交；

(4)

当i 1 Iq r21时，圆C1与圆C2内切；(5)当1| r, r2| 时，圆C1与圆C2内含;

4.2.3直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关

系;

2

(1)(X。a) (y°b)2>r2，点在圆外

2 2 2

(2)(X。a) (y o b) =r2，点在圆上

2

(3)(X。a) (y o b)2

4.1.2 圆的一般方程

1、圆的一般方程：x2y2 Dx Ey F0

2、圆的一般方程的特点：

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤:

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

(1) ①x2和y2的系数相同，不等于0. ②没有xy这样的二次项.

(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.

4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x, y, z)，x、y、

z轴上的坐标

J I

R

丿M71

1

J_

z分别是P、Q、R在x、y、

O八

2

x

P M'

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了

圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

2 2 D 设直线I : ax by c 0，圆C : x y Dx Ey F 0，圆的半径为r，圆心(，

2

直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

(1 )当d r时，直线I与圆C相离；(2)当d r时，直线I与圆C相切；

(3)当d r时，直线I与圆C相交；

2、有序实数组(x, y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x, y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的

―)到

2

坐标，记M (x, y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做

(3)解出a , b , r 或D , E , F ,代入标准方程或一般方程.

圆与圆的位置关系

圆的一般方程也含有三个待定的系数 D , E , F ,因此必须具备三个独立条件，才能确

③ 当|R — r|

3、方程的大致步骤是:

空间直角坐标系

(1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程;

空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长.常用对称点坐标:

(2)根据条件列出关于a , b , r 或D , E , F 的方程组;

、知识概述 1、圆的标准方程

圆心为(a , b)，半径为r 的圆的标准方程为(x — a)2+ (y — b)2=r 2.

由于圆的标准方程中含有三个参数 a, b , r ，因此必须具备三个独立条件才能确定一个 圆.

2、圆的一般方程

对于方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F=0.

二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导. 2、注意

圆的一般方程成立的条件.3、利用待定系数法求圆的方程.

例 4、已知曲线 C : X 2+ y 2 + 2kx + (4k + 10)y + 10k + 20=0,其中 k= — 1. (1) 求证：曲线C 都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2) 证明：曲线C 过定点；

⑶若曲线C 与x 轴相切，求k 的值.

判断直线I 与圆C 位置关系的两种方法：

-4F

(1)当D 2 + E 2— 4F>0时，方程表示以 二 ：

为圆心、；

为半径的

圆.此时方程就叫做圆的一般方程.

⑵当D 2 + E 2— 4F=0时，方程表示一个点

① 判断直线I 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线 I 与圆C 有公共

点.有两组实数解时，直线I 与圆相交；有一组实数解时，直线I 与圆相切； 无实数解时，直线I 与圆C 相离.

② 判断圆C 的圆心到直线I 的距离d 与圆的半径长r 的关系.如果d

相交；如果d=r ,直线I 与圆相切；如果d>r ,直线I 与圆C 相离.

(3)当D 2 + E 2— 4F<0时，方程不表示任何图形.

即圆的一般方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F=0 (D 2+ E 2 —

4F>0)

设圆C 1的半径为R ,圆C 2的半径是r ,圆心距为d ,则

①当d>R + r 时，两圆相离；②当d=R + r 时，两圆外切;

定一个圆.

点P (x , y, z)关于x 轴对称：点P i (x, - y, - z);

点P (x ,y, z)关于y 轴对称：点P2 (- x, y, - z);

点P (x ,y, z)关于z 轴对称：点P3 (- x, - y, z);

点P (x , y, z)关于平面xOy对称：点P4 (x, y, - z);

点P (x ,y , z)关于平面yOz对称：点P5 (- x , y , z);

点P (x ,y , z)关于平面xOz对称：点P6 (x, —y , z);

点P (x , y , z)关于原点成中心对称：点P7 (-x, —y, —z) 空间两点间的距离公式

空间点厂〔一」「一、：上二-■间的距离是

I祸I二Jg-勺尸十5 十（孔-习『