知识梳理圆的方程(基础)
241圆的标准方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2.4.1圆的标准方程（基础知识+基本题型）知识点一 确定圆的几何要素确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.从集合的角度理解圆（1）圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径.（2）确定一个圆的条件在平面直角坐标系中，圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆上的点M 的集合就是集合{|||}P M MA r ==.知识点二 圆的标准方程1．圆的标准方程的推导如图所示，设圆上任意一点(,)M x y ，圆心A 的坐标为(,)a b ，由||MA r =r =，等式两边平方得222()()x a y b r -+-=.①若点(,)M x y 在圆上，易知点M 的坐标满足方程①；反之，若点(,)M x y 的坐标适合方程①，则点M 在圆上，我们把方程222()()x a y b r -+-=称为圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆的标准方程.确定圆的标准方程的条件（1）圆的标准方程中有三个参数a ，b ，r ，其中实数对(,)a b 是圆心的坐标，能确定圆的位置；正数r 表示圆的半径，能确定圆的大小.（2）已知圆的圆心坐标和圆的半径，即可写出圆的标准方程，反之，已知圆的标准方程，即可写出圆的圆心坐标和圆的半径.2．几种常见的特殊位置的圆的方程1．圆的标准方程的推导圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=，圆心为(,)A a b，半径长为r.设所给点为00(,)M x y，则点M与圆的位置关系及判断方法如下：（系来判断.（2）判断点与圆的位置关系时，还可将点的坐标代入圆的标准方程的左边，与半径的平方比较大小.考点一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上；(3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()228325x y -++= 【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点()8,3C - ∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22283x y r -++= 又∵点()5,1P 在圆上，∴()()2225813r -++=，∴225r = ∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.例2 已知圆过两点(3,1)A ，(1,3)B -，且它的圆心在直线320x y --=上，求此圆的标准方程.解：方法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.依题意，有222222(3)(1)(1)(3)320a b r a b r a b ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪--=⎩，即22222262102610320a b a b r a b a b r a b ⎧+--=-⎪++-=-⎨⎪--=⎩，解得22410a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法2：直线AB 的斜率311132k -==---， 所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为2.线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为3112x -==，1322y +==. 因此直线m 的方程为22(1)y x -=-即20x y -=.又因为圆心在直线320x y --=上，所以圆心是这两条直线的交点.联立方程，得20320x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩.设圆心为C ，所以圆心坐标为(2,4)，又因为半径长||r CA ==所以所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法3：设圆心为C .因为圆心C 在直线320x y --=上，所以可设圆心C 的坐标为(,32)a a -.又因为||||CA CB =2a =.所以圆心为(2,4)，半径长||r CA ==.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2；（2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．考点二：点与圆的位置关系例3．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系．【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内【解析】 ∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10，分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得(6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上；(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内⇔|PQ|＜r ；点P 在圆上⇔|PQ|=r ；点P 在圆外⇔|PO|＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＜r 2．例4 已知点(1,2)A 在圆C ：222()()2x a y a a -++=的内部，求实数a 的取值范围. 解：因为点A 在圆的内部，所以222(1)(2)2a a a -++<.所以250a +<，52a <-.所以a 的取值范围是5|2a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭. 总结：利用已知点与圆的位置关系确定圆中的参数的值或取值范围时，可直接将点的坐标代入圆的标准方程，依据点与圆的位置关系，得出方程或不等式，求解即可.例5 已知两点1(3,8)P 和2(5,4)P ，求以线段12P P 为直径的圆的标准方程，并判断点(5,3)M ，(3,4)N ，(3,5)P 是在圆上、在圆内、还是在圆外.解：设圆心(,)C a b ，半径长为r .因为点C 为线段12P P 的中点，所以3542a +==，8462b +==，即圆心坐标为(4,6)C .又由两点间的距离公式，得1||r CP =所求圆的标准方程为22(4)(6)5x y -+-=.分别计算点M ，N ，P 到圆心C 的距离：||CM =>||CN =，||CP =所以点点M 在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.。
圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理.doc
的方程与专题复习(直线与圆.圆与圆的位置关系.轨迹问题)知识梳理浙江省诸暨市学勉屮学(311811)郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳1.圆的定义：平而内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心，定长为半径.2.圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x-r/)2+(y-/7)2 =r2(r>0), 其屮圆心坐标为(％),半径为r；当a = O,h = O时，即圆心在原点时圆的标准方程为x2 + y2 =厂2 ；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。
3.圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，x2 + y2 + Dx + + F = 0(D2 + E2 - 4F >0)；②圆的一般方程的特点：(1) x2,y2项系数相等且不为()；(2)没有小这样的二次项③二元二次方程Ax2+Bxy + Cy2 +Dx + £y + F = 0表示圆的必要条件是4=C H 0 且B = Q；二元二次方程+ Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是A = C^0且3 = 0 且D2 +E2-4AF>04.圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量0将变量x, y联系起来的一个方程.[x = r cos e①鬪心在原点，半径为厂的圆的参数方程是：｛.八(0为参数);[y = rsin^/ 、\x = a + r cos 0②圆心在(a,b),半径为旷的圆的参数方程是：｛(〃为参数);[y = b + rsin05.圆方程之间的互化x2 +y2 +Dx + Ey + F =0(D2 +E2-4F>0)配方(E、2D2 + E2 -4F< D<=>X + —+x + —即圆心< 2丿L 2丿4 1 22厂=丄S +E： -4F o 利用(rcos0)2 +(rsin^)2 = r2得j“ °十'°°"矽为参数)2 \y = b + rsind6.确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一燉方程及参数方程都冇三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。
圆的方程_基础 知识讲解
圆的方程编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 要点四：几种特殊位置的圆的方程要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组. (3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答．【典型例题】类型一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点C （3，4（3）经过点P （5，1），圆心在点C （8，―3）上．【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决． 【答案】（1）x 2+y 2=9 （2）(x ―3)2+(y ―4)2=5（3）(x ―8)2+(y+3)2=25 【解析】 （1）x 2+y 2=9；（2）(x ―3)2+(y ―4)2=5；（3）解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点C （8，―3）．∴圆的方程是(x ―8)2+(y+3)2=25． 解法二：∵圆心为C （8，―3），故设圆的方程为(x ―8)2+(y+3)2=r 2． 又∵点P （5，1）在圆上，∴(5―8)2+(1+3)2=r 2，∴r 2=25， ∴所求圆的方程是(x ―8)2+(y+3)2=25．【总结升华】 确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2； （2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 举一反三：【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ） A ．(x ―4)2+(y+1)2=10 B ．(x+4)2+(y ―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=【答案】A例2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径． （1）x 2+y 2=2；（2）(x ―3)2+y 2=a 2（a ≠0）； （3）(x+2)2+(y+1)2=b 2（b ≠0）．【答案】（1）（0，0）（2）（3，0），|a|（3）（―2，―1），|b|【解析】 （1）圆心（0，0）；（2）圆心（3，0），半径为|a|； （3）圆心（―2，―1），半径为|b|． 【总结升华】（2）、（3）两题中a 2、b 2仅为半径的平方，没有给定a ＞0，b ＞0，∴半径r=|a|、|b|． 例3．求圆心在直线y=―x 上，且过两点A （2，0），B （0，―4）的圆的方程． 【思路点拨】先写出线段AB 的中垂线方程，然后求出中垂线与直线y=―x 的交点，这个点就是圆心，进一步求出圆的方程。
圆 的 方 程
2 2
C．30°
D．120°
解析：⊙C：(x－1) ＋(y－1) ＝1，∵PA、PB 是⊙C 的 两条切线， ∴△PAC≌△PBC， ∴四边形 PACB 面积最小， 即△PAC 面积最小，∵AC 为⊙C 的半径，∴只要 PA 取 最小值，从而 PC 取最小值，∴PC 与已知直线垂直， ∴|PC|＝2，∴∠APB＝2∠APC＝60°.
2 2
2 与 x 轴相切的圆方程： x a y b b r b ；
2 与 y 轴相切的圆方程： x a y b a r a ； 2 2
(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
把 x ＋y ＋Dx＋Ey＋F=0
二元二次方程表示圆当且仅当 2 2 A=C≠0，B=0 ，D +E -4AF>0。
3、点与圆的位置关系： 2 2 2 若圆(x-a) +(y-b) =r ，那么点(x0,y0)在
圆上 x0 a 2 y 0 b 2 r 2 2 2 2 圆内 x0 a y 0 b r 圆外 x a 2 y b 2 r 2 0 0
二、典例讨论： 1.圆的基本概念
例1、（1）一束光线从A（－1，1）出发经x轴反射 到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是____.
（2）圆x2＋y2＋2x＋4y－3=0上到直线l：x＋y＋b=0之
距离为
2
的点有2 个,则b 的范围为
.
2、求圆方程
例2、根据下列条件，求圆的方程。 （1）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于 点（2，-1）. (2)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴 上截得的线段长为4 3 ，求圆的方程。
圆的方程
圆的方程一、知识梳理(一)圆中有关定理和性质：1. 圆心在过切点且与 的直线上；2. 圆心在任一弦的 上；3. 两圆内切或外切时 与 三点共线.(二)圆的方程：（1）标准式：以(a ，b )为圆心、r (r>0)为半径的圆的标准方程为 .（2）一般式：圆的方程的一般形式是x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)，其中圆心为 ，半径为 .当D 2+E 2-4F=0时，方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示： .当D 2+E 2-4F 0时，方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0不表示 .【理科】3.参数式：以(a ，b )为圆心、r (r>0)为半径的圆的参数方程为 .【理科】4.极坐标式：圆的极坐标式与直角坐标方程之间的转化公式： ， ， .【理科】5.复数式：以0(R)Z a bi a b r =+∈、、为半径圆的方程为：.（三）圆的方程的求法：(1) ；(2) .(四)点与圆的关系：1、设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r.若点P 在圆上，则点P 在圆上，则 ；若P 在圆外，则 ；若点P 在圆内，则 .2、设点P (m ，n )，圆C ：f (x ，y )=(x-a )2+(y-b )2-r 2=x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(r>0，D 2+E 2-4F>0)，则点P 在圆C 外⇔ ；点P 在圆C 上⇔ ；点P 在圆C 内⇔ .二、基础训练：*1.已知某圆的内接正方形ABCD 相对的两个顶点的坐标分别为(5,6),(3,4)A C ，那么这个圆的方程为 .*2.若圆024222=++++b by x y x 经过原点，则=b ；若该圆与x 轴相切，则b= .*3.已知点P (1，1)在圆04222=-+-+ay ax y x 的内部，那么实数a 的取值范围是 .**4.若直线03=+-y x 平分圆012222=+-++ay ax y x 的周长，则实数=a .**5.若某圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 .**6.已知点),(y x M 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为21，那么点M 的轨迹方程为 . **7.若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为 .**8.已知三点),3,2(),3,0(),0,1(C B A 那么ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为 .***9．已知半径为2，圆心在直线2+-=x y 上的圆C.若圆C 经过点A (2，2)且与y 轴相切，则圆C 的方程为 .***10.已知某圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线02:=-y x l 的距离为55.那么该圆的方程为 . 三、例题选讲：*例1：根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；(2)圆心在直线y=-4x 上，且与直线l ：x+y-1=0相切于点P (3，-2).*例2：如图，圆O 1与圆O 2的半径都为1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (点M ，N 分别为切点)，使得PM=2PN.试建立适当的平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程.**例3：已知圆M经过A(1，-2)，B(-1，0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，求圆M的方程.**例4：求半径为2，圆心在直线l1：y=2x上，且被直线l2：x-y-1=0所截弦的长为22的圆的方程.***例5：已知O为坐标原点，定直线l：x=2，定点F(1，0)，M是l上的点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点.(1)若PQ=6，求圆D的方程；(2)若M是l上的动点，证明点P在定圆上，并求该定圆的方程.四、课后总结：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程；了解圆的一般方程的代数特征，能实现一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F。
《圆的方程》知识梳理
1 《圆的方程》知识梳理1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2.说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆.（2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*）将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E ），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：a.x 2、y 2项系数相等且不为零.b.没有xy 项.（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.（3）圆的参数方程①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0， 仅当（A D ）2+（A E ）2－4·AF ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0.（θ为参数）. ① （θ为参数）. ②。
专题06 圆的方程(知识梳理+专题过关)(原卷版)
专题06圆的方程【知识梳理】1、圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中(),a b 为圆心，r 为半径．2、点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为(),C a b ，半径为r ，则有（1）若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=（2）若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->（3）若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<3、圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-．它表示一个点(,)22D E--．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆．4、用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组．（3）解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．5、轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．（3）求轨迹方程的步骤：①建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标；②列出关于,x y 的方程；③把方程化为最简形式；④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答．【专题过关】【考点目录】考点1：圆的标准方程考点2：圆的一般方程考点3：点与圆的位置关系考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系考点5：定点问题考点6：轨迹问题【典型例题】考点1：圆的标准方程1．（2021·广东·深圳市南山区华侨城中学高二期中）已知以点()2,,0C t t R t t ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ､B ，其中O 为坐标原点.(1)试写出圆C 的标准方程；(2)求证：OAB 的面积为定值；(3)设直线24y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，若=OM ON ，求圆C 的标准方程.2．（2020·内蒙古·包头市第四中学高二期中）已知点(4,2)A 和(0,2)B -(1)求直线AB 的方程；(2)若圆C 经过,A B 两点，且圆心在直线23x y -=上，求圆C 的方程3．（2021·河北唐山·高二期中）圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A （1，0）、B （3，0）两点，则圆的方程为________．4．（2022·上海金山·高二期中）过直线2x y +=与直线0x y -=的交点，圆心为(1,1)C -的圆的标准方程是_____.5．（2022·全国·高二期中）已知点()6,8C ，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程是______．6．（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆224670x y x y +-++=同圆心且过点(1,1)P -的圆的方程是_____________．7．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））圆22(1)(2)4x y -++=关于直线y x =对称的圆的方程为______________.8．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知ABC 顶点的坐标为43(5,2),()1,(,0)A B C ，，则其外接圆的标准方程为_________．9．（2021·福建宁德·高二期中）某圆经过()()010610A B ，，，两点，圆心在直线21x y -=上，则该圆的标准方程为（）A ．()()223534x y +++=B ．()()223534x y -++=C ．()()223534x y ++-=D ．()()223534x y -+-=考点2：圆的一般方程10．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）已知ABC 的三个顶点分别为()()()4,0,0,2,2,2A B C --，求：(1)AB 边中线所在的直线方程(2)ABC 的外接圆的方程11．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））一圆经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．12．（2021·四川成都·高二期中（理））在平面直角坐标系中，有()0,1A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,D a -四点，若它们在同一个圆周上，则=a ________．13．（2020·上海·华师大二附中高二期中）已知三角形的三边所在直线为1x y +=-，21x y -=，23x y +=，则三角形的外接圆方程为________14．（2021·江苏无锡·高二期中）直线142xy+=与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A ．22420x y x y +--=B ．224210x y x y +---=C ．224210x y x y +--+=D ．22240x y x y +--=15．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆22620x y x y ++-=，则该圆的圆心和半径分别是（）．A ．()3,1--B ．()3,1-，10C ．()3,1-D ．()3,1-，1016．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点(2,1)M -，且经过圆224440x y x y +--+=与圆2240x y +-=的交点的圆的方程为（）A ．2260x y x y +++-=B ．2280x y x y ++--=C ．2220x y x y +-+-=D ．2240x y x y +---=考点3：点与圆的位置关系17．（2021·湖北宜昌·高二期中）若点()1,1A -在圆2220x y x y a +---=外，则实数a 的取值范围为（）A ．3a <B ．3a <-C ．534a <<D ．534a -<<考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系18．（2021·全国·高二期中）已知关于x ，y 的二元二次方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=．（1）当t 在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当t 为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．19．（2021·四川巴中·高二期中）已知方程[)()2222cos 4sin 4sin sin 100,2x y x y αααααπ+-⋅-⋅+-+=∈表示圆.(1)求α的取值范围.(2)求该圆半径的最大值.20．（2021·福建宁德·高二期中）已知方程222450x y mx y +-++=表示圆，则m 的取值范围是____________.21．（2021·山东省实验中学高二期中）若曲线222:245160C x y ax ay a +-++-=上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围是______．22．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（）A ．()()3,22,--+∞B ．()()3,23,--⋃+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞23．（2021·广东·湛江市第四中学高二期中）已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．3(,)2-+∞24．（2020·四川巴中·高二期中（文））若方程2222210x y ax a a +++-+=表示圆，则a 的取值范围为（）A ．0a ≠B ．0a >C ．1a >D ．12a >25．（2021·湖南·高二期中）若方程22210x y y m +-+-=表示圆，则实数m 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),0∞-D ．()0,∞+26．（2021·重庆·高二期中）若方程2220x y kx k ++-+=表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(1,7)B ．[1,7]C ．(,1)(7,)-∞+∞D ．(,1][7,)-∞⋃+∞考点5：定点问题27．（2021·全国·高二期中）已知动圆C 经过坐标原点O ，且圆心C 在直线:24l x y +=上.（1）求半径最小时的圆C 的方程；（2）求证：动圆C 恒过一个异于点O 的定点.28．（2020·湖南娄底·高二期中）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．（1）当a 取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．29．（2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（）A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1考点6：轨迹问题30．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点A 在圆C 上运动，求线段OA 的中点M 的轨迹方程.31．（2020·四川巴中·高二期中（文））已知圆C 经过点A （3，1）、B （－1，3），且它的圆心在直线320x y --=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若点D 为圆C 上任意一点，且点E （3，0），求线段ED 中点M 的轨迹方程.32．（2021·四川巴中·高二期中）已知圆C 经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点158,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，且点M 满足2AM MB =，求点M 的轨迹方程.33．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知圆22:4O x y +=上的一定点()2,0A ，点()1,1B 为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若90PBQ ∠=︒，求线段PQ 中点的轨迹方程．34．（2021·四川省江油市第一中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两条坐标轴的三个交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)若过点T （2，0）的直线l 与圆C 交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，求M 的轨迹方程.35．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）1.已知圆C 过点(2,3)-，(0,3)-，(0,1)-.(1)求圆C 的标准方程；(2)已知点P 是直线210x y +-=与直线210x y ++=的交点，过点P 作直线与圆C 交于点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.36．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC 的顶点(3,0)B -，(3,0)C ，且||2||AB AC =，(1)设ABC 的外接圆为M ，请写出M 周长最小时的M 标准方程．(2)设顶点(,)A x y ，求顶点A 的轨迹方程及ABC 面积的最大值．37．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高二期中）已知等腰三角形ABC 的一个顶点为()4,2A ，底边的一个端点为()3,5B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形．38．（2021·山西·侯马市第一中学校高二期中）已知圆C :()()22119x y -+-=，过点A (2，3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________________.39．（2021·四川·树德中学高二期中（文））若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π40．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）已知点A 的坐标是（-1，0），点M 满足|MA |=2，那么M 点的轨迹方程是（）A ．x 2+y 2+2x -3=0B ．x 2+y 2-2x -3=0C ．x 2+y 2+2y -3=0D ．x 2+y 2-2y -3=0。
圆的方程 知识点+例题+练习
教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．课堂巩固一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．教学效果分析。
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圆的方程【考纲要求】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：圆的方程405440 知识要点】 考点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.考点二：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 圆的方程圆的一般方程简单应用圆的标准方程点与圆的关系要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.考点三：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程展开配方一般方程.【典型例题】类型一：圆的标准方程例1. 已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A(6，1)，求该圆的方程.【思路点拨】已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解决问题.解析：设圆心为||3a a r a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，，()2226133111a a a a a ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭∴==或 ∴圆心为(3，1)(111，37)∴圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112. 总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程. 举一反三：【变式1】若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）A. 22(2)(1)1x y -+-=B.22(2)(1)1x y -++=C. 22(2)(1)1x y ++-=D. 22(3)(1)1x y -+-= 解析：依题意，设圆心坐标为(,1)a ，其中0a >，则有|43|15a -=，由此解得2a =，因此所求圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=，选A.类型二：圆的一般方程例2.求过三点A(1，12)，B(7，10)，C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形. 【思路点拨】因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程. 解:设所求的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++++=++++.029481,010710049,0121441F E D F E D F E D解得D=-2，E=-4，F=-95.于是所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是，圆的圆心D 的坐标为(1，2)，半径为10，图形如图所示.总结升华：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是解题的捷径.对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半径等)时，常可用配方法或公式法加以求解.如由公式可得10r ==. 举一反三：【变式1】圆与y 轴相切，圆心P 在直线30x y -=上，且直线y x =截圆所得弦长为的方程。
【答案】：设圆方程为：222()()x a y b r -+-=∵且圆心(,)a b 在直线30x y -=上，∴3a b = ∵圆与y 轴相切，∴||3||r a b ==故圆方程为222(3)()9x b y b b -+-=，又因为直线y x =截圆得弦长为则有2229b +=，解得1b =± 故所求圆方程为：22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=。
【变式2】求经过点(1,2)M 、(3,4)N 且在x 轴上截得的弦长为6的圆C 的方程。
【答案】：方法一：设圆心(,)a b ，半径长r ，由垂径定理可以得到圆C 与x 轴两交点为(3,0)P a -、(3,0)Q a +, 由(1,2)M 、(3,4)N 得1MN k =且MN 的中点坐标(2,3)，则MN 的垂直平分线方程为3(2)y x -=--，PQ 的垂直平分线方程为x a =。
解方程组：⎩⎨⎧--=-=)2(3x y ax 得圆心(,5)C a a -.由||||CP CM =得22)5(3a -+=2-+-)3()1(2a a ，解出16a =-,24a =.当16a =-时，圆心1(6,11)C -,21130r =, 圆C 的方程为：22(6)(11)130x y ++-= 当24a =时，圆心2(4,1)C ,2210r =，圆C 的方程为22(4)(1)10x y -+-= 故所求圆的方程为：22(6)(11)130x y ++-= 或22(4)(1)10x y -+-=. 方法二：设所求圆为220x y Dx Ey F ++++=. 令0y =得20x Dx F ++=, 在x 轴上截得弦长为：12||6x x -==.将(1,2)M 、(3,4)N 代入圆方程可得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+++=+++0364025430522F D F E D F E D ，解出⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=728111F E D 或⎪⎩⎪⎨⎧=-==272212222F E D所求圆方程为228270x y x y +--+=或221222270x y x y ++-+=. 【变式3】根据下列条件分别写出圆的方程： (1)圆过三个点(2，2)，(5，3)，(6，0)； (2)圆过三个点)2,4(),1,1(),0,0(N M O .思路点拨：已知圆过三个点，且圆心、半径不明确，故可用一般方程来求解.解析：(1)设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴ 所求圆方程为：2282120x y x y +--+=； (2)设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x∵)2,4(),1,1(),0,0(N M O 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组，即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D . ∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x .542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-FD .得圆心坐标为(4，-3).总结升华：(1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开； (2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单. 类型三：点与圆的位置关系例3.写出以点A(2，-3)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5，-7)，N(2，-1)与该圆的位置关系.【思路点拨】求点与圆之间的距离是关键.解析：圆的标准方程为()()222325x y -++=||5MA r ===，∴点M 在圆上； (||2NA r ==<，∴点N 在圆内.总结升华：判断点与圆的位置关系就是判断点到圆心的距离与半径的大小关系. 举一反三：【变式1】已知圆的方程为()()225610x y -+-=，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上、圆内还是圆外？解析：分别计算点到圆心的距离：||||||3CM CN CQ ====>==< 所以，点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内. 类型四：与圆有关的轨迹问题【高清课堂：圆的方程405440 典型例题六】例4.已知点(10,0)Q ，点P 是圆2216x y +=上的动点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 【思路点拨】本题关键是找出点M 与点P 之间的联系（实际是坐标间的关系）． 解析：设11(,)P x y ，(,)M x y ，则111022x x y y +=⎧⎨=⎩，所以112102x x y y =-⎧⎨=⎩又因为点11(,)P x y 在圆上，所以221116x y += 即22(210)(2)16x y -+=，整理得22(5)4x y -+= 所以线段PQ 中点M 的轨迹方程为22(5)4x y -+=.例5.设定点M(-3，4)，动点N 在圆224x y +=运动，以OM 、ON 为两边作MONP ，求点P 的轨迹．【思路点拨】本题关键是找出点P 与定点M 及已知动点N 之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可．解析：如图所示，设(,)P x y ，00(,)N x y ，则线段OP 的中点坐标为(,)22x y ，线段MN 的中点坐标为0034(,)22x y -+.因为平行四边形的对角线互相平分，故0322x x -=，0422y y +=， 则有0034x x y y =+⎧⎨=-⎩，即(3,4)N x y +-.又点N 在圆224x y +=上， 故22(3)(4)4x y ++-=.因此，所求轨迹为圆：22(3)(4)4x y ++-=，但应除去两点912(,)55-和2128(,)55-. 总结升华：(1)如果动点(,)P x y 的轨迹依赖于另一动点(,)Q a b 的轨迹，而(,)Q a b 又在已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为相关点法(亦称代入法或转移法或中间量法)． (2)本题容易出现忽视两点912(,)55-和2128(,)55-，其原因是求出轨迹方程后没有验证，这两点与点M 、N 共线，不能构成平行四边形．避免出现此类错误的方法是验证满足轨迹方程的点是否都符合条件．举一反三：【变式1】已知圆O 的方程是2220x y +-=，圆'O 的方程是228100x y x +-+=，由动点P 向圆O 和圆'O 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是____________。