专题复习圆与方程与平面向量(教师用)
圆系方程 高三数学复习圆系方程及教案 高三数学复习圆系方程及教案
圆系方程在平面解析几何直线与圆的教学中，向学生介绍圆系方程可为解题提供便利。
这里主研究常用的一类圆系方程。
定理1 过直线L:y=kx+b及圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(kx-y+b)=0 ①（其中λ为待定常数）。
首先证明方程①表示圆。
由于直线l与圆C交，故方程组：；有两组不同的实数解，消去y整理得：(k2+1)x2+(D+kE+2kb)x+b2+bE+F=0 ；Δ＝(D+kE+2kb)2-4(k2+1)(b2+bE+F)＞0 ；整理得： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F) ②将方程①变形为：x2+y2+(D+kλ)x+(E-λ)y+λb+F=0.要证此方程表示圆，即证：(D+kλ)2+(E-λ)2-4(λb+F)＞0,即：(k2+1)λ2+(2kD-2E-4b)λ+D2+E2-4F＞0.将它看作是关于λ的一元二次不等式，要证其成立，只需证明：Δ＝(2kD-2E-4b)2-4(k2+1)(D2+E2-4F)＜0 ③而此式等价变形为： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F).它与②完全一致，由于原方程组有两组不同的实数解，所以②式成立，故③式恒成立，方程①表示圆。
其次，证明圆①一定经过直线L与圆C的两个交点。
设两交点分别为A(x1,y1) ，B(x2,y2)，∵点A既在直线L上又在圆C上，∴kx1-y1+b=0, x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,∴x12+y12+Dx1+Ey1+F+λ(kx1-y1+b)=0,即点A在圆①上，同理点B亦在此圆上。
故圆①经过A、B两点。
综上，定理1得证。
定理2 经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0,的交点的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(包括圆C1，不包括圆C2，其中λ为常数且λ≠-1）特别地，当λ＝-1时，即（D1-D2）x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示两圆公共弦所在直线方程。
高三一轮复习圆与方程复习课课件
垂径定理的推论
不在同一直线上的三点可以确定一个圆。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的弧也相等。
圆周角定理的推论
弦心距定理的推论
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的圆周角也相等。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦的中 垂线必经过圆心。
03
圆的综合问题
圆的方程
圆的标准方程
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中 $(a,b)$为圆心，$r$为半径。
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的 半径。
切线长定理
经过圆外一点引圆的两条 切线，则这一点到切点的 距离等于从这点向圆所作 的两条切线的长度相等。
圆的综合问题
弦长问题
利用弦长公式计算弦长。
最值问题
利用几何意义求最值。
轨迹问题
利用轨迹方程求解。
THANKS
顶点。
垂径定理
02
过圆心且垂直于该圆的直径的直线平分该直径，且平分该直径
所对的弧。
切线性质
03
圆的切线垂直于过切点的半径。
圆与直线的位置关系
相交
直线与圆Байду номын сангаас两个不同的交点。
相切
直线与圆有一个或两个相同的交点。
相离
直线与圆没有交点。
圆的几何意义
圆心角
同弧或等弧所对的圆心角相等。
弦长
过圆心的弦为直径，长度为直径的弦长度为最短。
圆的性质
1 2
圆上三点确定一个圆的定理
不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，且只 有一个。
圆内接四边形的性质
对角互补，即相对的两个角的角度和为 $180^circ$。
3
专题复习圆与方程与平面向量(教师用)
专题复习――圆与方程知识点一 圆的方程1.圆的标准方程:222()()x a y b r -+-= ((,)C a b 为圆心,r 为半径) 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是:222x y r += 2.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）其中圆心(,)22D EC --，半径2242D E Fr +-=知识点二 点和圆的位置关系3.点和圆的位置关系给定点00(,)M x y 及圆C :222()()x a y b r -+-=①M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-< ②M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-= ③M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->知识点三 直线和圆的位置关系4.设圆C :222()()x a y b r -+-=； 直线:0l Ax By C ++= 22(0)A B +≠ 圆心(,)C a b 到直线l 的距离22||Aa Bb C d A B++=+教材梳理求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法定义法：是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法：即列出关于,,D E F 的方程组，求,,D E F 而得到圆的一般方程，步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为022=++++F Ey Dx y x(2)根据已知条件，建立关于,,D E F 的方程组；(3)解方程组。
求出,,D E F 的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．知识点四 圆和圆的位置关系1.(2009重庆) 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 ( )A.22(2)1x y ＋－＝B .22(2)1x y ＋＋＝ C .22(1)(3)1x y －＋－＝ D .22(3)1x y ＋－＝ 解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2.(2009辽宁)已知圆C 与直线040x y x y －＝及－－＝都相切，圆心在直线0x y ＋＝ 上，则圆C 的方程为 ( )A.22(1)(1)2x y ＋＋－＝ B.22(1)(1)2x y －＋＋＝ C.22(1)(1)2?x y －＋－＝ D.22(1)(1)2x y ＋＋＋＝ 题组一 圆的方程的求法直线与圆的位置关系判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d 和圆r 的半径的大小关系来判断①d r =时，l 与C 相切；②d r <时，l 与C 相交；③d r >时，l 与C 相离.(2)代数法:由直线与圆的方程联立成方程组222()()0x a y b r Ax By C ⎧-+-=⎨++=⎩消元得到关于x （或y ）的一元二次方程, 然后由判别式∆来判断 ①相交⇔0∆> ②相切⇔0∆= ③相离⇔0∆<圆与圆的位置关系判断方法(1) 几何法：两圆的连心线长为l ，圆1C 的半径1r 与圆2C 的半径2r ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当12l r r >+时，圆1C 与圆2C 相离；②当12l r r =+时，圆1C 与圆2C 外切； ③当12l r r <+时，圆1C 与圆2C 相交；④当21l r r =-时，圆1C 与圆2C 内切； ⑤当210l r r ≤<-时，圆1C 与圆2C 内含.(2)代数法：由两圆的方程联立消元得到关于x （或y ）的一元二次方程, 然后由判别式∆来判断①=0∆⇔为外切或内切 ②0∆>⇔为相交 ③0∆<⇔为相离或内含解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，解得a ＝1，r ＝ 2. ∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3.若圆222(1)20x y a x ay a ＋＋－＋－＝关于直线10x y －＋＝对称，则实数a 的值为________．解析：依题意知直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0的圆心(－a 2－12，－a )，所以－a 2－12＋a ＋1＝0，解得a ＝3或a ＝－1，当a ＝－1时，方程x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0不能表示圆，所以只能取a ＝3.题组二与圆有关的最值问题4. 若实数x y 、满足22(2)3x y －＋＝，则yx的最大值为________.，23x y -的最大值为________. 23x y -的最大值为________.解析：y x ＝y －0x －0，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y x的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．设y x ＝k ，则kx －y ＝0.由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，结合图形可得(y x )max ＝3，(yx )min ＝－ 3.题组三与圆有关的轨迹问题5.点(4,2)P -与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点轨迹方程是 ( )A.22(2)(1)1x y －＋＋＝ B.22(2)(1)4x y －＋＋＝ C.22(4)(2)4x y ＋＋－＝ D.22(2)(1)1x y ＋＋－＝ 解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则20x ＋20y ＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入20x ＋20y ＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 6.从原点O 引圆222()(3)4x m y m －＋－＝＋的切线y kx ＝，当m 变化时,切点P 的轨迹方程是 ( )A.224(0)x y x ≠＋＝ B.()2234(0)x y x ≠－＋＝C.()()22135(0)x y x ≠－＋－＝ D.225(0)x y x ≠＋＝解析：圆心为C (m,3)，设点P (x ，y )(x ≠0)，则|OP |2＋|PC |2＝|OC |2，∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，故所求方程为x 2＋y 2＝5(x ≠0)．题组四圆的方程的综合问题7.已知以点2(,),(,0)C t t R t t∈≠为圆心的圆与x 轴交于点O A 、，与y 轴交于点O B 、，其中O 为原点． (1)求证: OAB ∆的面积为定值；(2)设直线24y x ＝-＋与圆C 交于点M N 、，若OM ON ＝，求圆C 的方程．解：(1)证明：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，由于圆心C (t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t，令y ＝0得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A (2t,0)，令x ＝0得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B (0，4t )，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4t|＝4(定值)．(2)∵OM ＝ON ，∴O 在MN 的垂直平分线上，而MN 的垂直平分线过圆心C ，∴k OC ＝12，∴2t t ＝12，解得t ＝2或t ＝－2，而当t ＝－2时，直线与圆C 不相交，∴t ＝2，∴D ＝－4，E ＝－2，∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.8.(2010青岛)已知圆M 过两点(1,1)(1,1)A B －，－,且圆心M 在20x y ＋－＝上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3480x y ＋＋＝上的动点，PA PB 、是圆M 的两条切线,A B 、为切点,求四边形PAMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r2a ＋b －2＝0解得：a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM ||P A |＋12|BM ||PB |.又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.专题复习――平面向量考点一：向量的概念、向量的基本定理例1、（2007上海）直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i AC j i AB+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4解：如图，将A 放在坐标原点，则B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以C 点在直线x=3上，由图知，只可能A 、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。
圆与方程复习课 ppt课件
5、求圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线 x-y-5=0所得弦长？
6、求过点Ｐ(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1 所引的切线方程？来自知识扫描：圆与圆的位置关系
1、位置关系的判断——几何方法：比较圆心 距与R+r以及R-r的关系（R＞r）
２、最值问题——转化为几何元素，数形结合
３、圆系的问题，利用一些条件求圆的方程
3、求经过两点A（-1，4）、B（3，2） 且圆心在y轴上的圆的方程。
点拨：方法待定系数法，可从几何或代数角度考虑。
知识扫描：直线与圆的位置关系
1、位置关系的判定——r与d的 比较或者方程组的解的个数 2、弦长的有关计算——弦心距 3、切线方程的求法——点在圆外 或者圆上
题型点击：
4、直线x+y=1与圆x2+y2-2ay=0(a>0)没 有公共点，求a的取值范围
圆与方程复习课
几何关系与代数式 之间的相互转化
一、知识扫描：
1、圆的标准方程和一般方程 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、直线与圆的方程应用 5、空间直角坐标系
题型点击：求圆的方程
1、已知点A（-4，-5）、B（6，-1）求以线 段AB为直径的圆的方程。
2、已知圆过O（0，0）、A（2，0） B（0，-4）三点，求圆的方程。
点拨：抓住圆的特征，注意垂直关系等的应用。
题型点击：
７、圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0 的位置关系是（ ）
Ａ 相离 B 外切 C 内切 D 相交
8、求圆心在直线4x+y=0且与直线 x+y-1=0切于点Ｐ(3,-2)的圆的方程。
圆的方程复习教案
圆的方程复习教案 知识梳理 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.3、点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r ：(1）点在圆上 ； (2）点在圆外 d ＞ｒ； (3)点在圆内 d ＜r ．２.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ﻫ3.涉及最值：(１)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+(2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+4、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .MM当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ,半径2422F E D r -+=． 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：(１）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.圆的直径或方程:已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A５、直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种（1)相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>(２)相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=(3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔< ﻫ相离 相切 相交(其中:22B A C Bb Aa d +++=)还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断:（１）当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点）,直线与圆相交；(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点）,直线与圆相切；（３）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；ﻫ即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心Ｃ到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：(1) 相切⇔⇔Δ＝0（2)相交⇔d<r ⇔Δ>0； （3)相离⇔d>r ⇔Δ<0。
高三一轮复习圆与方程复习课 ppt课件
o
x
21
2021/3/30
圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
22
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
Q
28
2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
Q
29
2021/3/30
练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
2021/3/30
圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
23
题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
高考数学一轮复习第十章平面解析几何第三节圆的方程课件文北师大版
x+y-2=0得C合适.
3.(必修2P82例4改编)△ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),则其
外接圆的方程为________.
【解析】方法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由题意有
D5EF260, D4, 2D2EF80,解得E2, 5D5EF500, F20.
4
的最大距离为
+3 1,故△ABP面积的最大值为Smax=
1 2
×(
+31)×3=
3 3 3. 2
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
标 准
平面内到_定__点__的距离等于_定__长__的点的轨迹叫做圆
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心C _(_a_,_b_)_ 半径为r
方 程 一 x2+y2+Dx+Ey+F=0
般 (D2+E2-4F>0)
充要条件: _D_2+_E_2_-_4_F_>_0_
圆心坐标:_（__D2_，__E2_）__
复习课件
高考数学一轮复习第十章平面解析几何第三节圆的方程课件文北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习第十章平面解析几何第三节圆的方程课件文北
1
师大版
第三节 圆 的 方 程
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.圆和圆的方程
定义
高三数学复习课件：圆与方程(共12张PPT)
作业：
学业水平考试试题选编（8）
一个交点 无交点
相切 相离
直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
通法
小结：
本节课你学到了什么？
圆心坐标（- , - ）, 半径 r=
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r
代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2
圆与方程
复习课
默写：
1、圆的标准方程，并写出圆心坐标和半径 2、圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径 3、点与圆的位置关系性质 4、直线与圆 的位置关系及性质
学习目标：
1、掌握圆的标准方程和一般方程的特征和应用 2、掌握直线与圆的位置关系和性质，并能应用性质解决 相关问题 3、掌握空间坐标和空间中两点间距离公式
2.直线与圆的位置关系
1、直线和圆相离
•C2
2、直线和圆相切
•C2
3、直线和圆相交
•C2
判定方法
d r 0
d r 0
d r
几何法
0
代数法
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专题复习――圆与方程教材梳理❖知识点一圆的方程1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(C(a,b)为圆心,r为半径)特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是:x2+y2=r22.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）D E其中圆心C(-,-)，半径r=22D2+E2-4F2求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法定义法：是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法：即列出关于D,E,F的方程组，求D,E,F而得到圆的一般方程，步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(2)根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；(3)解方程组。
求出D,E,F的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．❖知识点二点和圆的位置关系3.点和圆的位置关系给定点M(x,y)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r200①M在圆C内⇔(x-a)2+(y-b)2<r200②M在圆C上⇔(x-a)2+(y-b)2=r200③M在圆C外⇔(x-a)2+(y-b)2>r200❖知识点三直线和圆的位置关系4.设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2；直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)圆心C(a,b)到直线l的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2直线与圆的位置关系判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d和圆r的半径的大小关系来判断①d=r时，l与C相切；②d<r时，l与C相交；③d>r时，l与C相离.⎧(x-a)2+(y-b)2=r2(2)代数法:由直线与圆的方程联立成方程组⎨⎩Ax+By+C=0消元得到关于x（或y）的一元二次方程,然后由判别式∆来判断①相交⇔∆>0②相切⇔∆=0③相离⇔∆<0知识点四圆和圆的位置关系圆与圆的位置关系判断方法(1)几何法：两圆的连心线长为l，圆C的半径r与圆C的半径r，则判别圆与圆的1122位置关系的依据有以下几点：①当l>r+r时，圆C与圆C相离；②当l=r+r时，圆C与圆C外切；12121212③当l<r+r时，圆C与圆C相交；④当l=r-r时，圆C与圆C内切；12122112⑤当0≤l<r-r时，圆C与圆C内含.2112(2)代数法：由两圆的方程联立消元得到关于x（或y）的一元二次方程,然后由判别式∆来判断①∆=0⇔为外切或内切②∆>0⇔为相交③∆<0⇔为相离或内含题组一圆的方程的求法1.(2009重庆)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2＋(y－2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.2.(2009辽宁)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2C.(x－1)2＋(y－1)2＝2?D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2圆心(－ ，－a)，所以－ ＋a ＋1＝0，解得 a ＝3 或 a ＝－1，x x －0 x直线的斜率．设 ＝k ，则 kx －y ＝0.由＝ 3，得 k ＝± 3， 1＋k x22 则⎨ ⎨ 0⎪ ⎪ ⎩ ⎩|a －(－a)| |a －(－a)－4|解析：由圆心在直线 x ＋y ＝0 上．不妨设为 C(a ，－a)．∴r ＝ ＝ ，2 2解得 a ＝1，r ＝ 2. ∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3.若圆 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 关于直线 x －y ＋1＝0 对称，则实数 a 的值为________．解析：依题意知直线 x －y ＋1＝0 经过圆 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 的a 2－1 a 2－12 2当 a ＝－1 时，方程 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 不能表示圆，所以只能取 a ＝3.题组二4. 若实数 x 、y 满足 ( x －2)2＋y 2＝3 ，则yx与圆有关的最值问题的最大值为________.， 2 x - 3 y 的最大值为________.2 x -3 y 的最大值为________.y y －0 y解析： ＝ ，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此 的最值即为过原点的直线与圆相切时该y |2k|2y y结合图形可得(x )max ＝ 3，(x )min ＝－ 3.题组三与圆有关的轨迹问题5.点 P(4, -2) 与圆 x 2＋y 2＝4 上任一点连线的中点轨迹方程是 ()A. ( x －2)2＋( y ＋1)2＝1B. ( x －2)2＋( y ＋1)2＝4C. ( x ＋4)2＋( y －2)2＝4D. ( x ＋2)2＋( y －1)2＝1解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则 x 0 ＋ y 0 ＝4，连线中点坐标为(x ，y)，⎧2x ＝x ＋4， ⎧x ＝2x －4， 0 ⎪2y ＝y 0－2⎪y 0＝2y ＋2，代入 x 2 ＋ y 2 ＝4 中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.0 06.从原点 O 引圆 ( x －m )2＋( y －3)2＝m 2＋4 的切线 y ＝kx ，当 m 变化时,切点 P 的轨迹方程是 ()A. x 2＋y 2＝4( x ≠ 0)B. (x －3)2 ＋y 2＝4( x ≠ 0)7.已知以点 C (t, ),( t ∈ R, t ≠ 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O 、A ，与 y 轴交于点 O 、B ，其中 O 为原点．解：(1)证明：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，由于圆心 C(t ， )，∴D ＝－2t ，E ＝－ ，令 y ＝0 得 x ＝0 或 x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)，令 x ＝0 得 y ＝0 或 y ＝－E ＝ ，∴B(0， )， ⎧⎪(1－a) ＋(－1－b ) ＝rC. (x －1)2 ＋( y －3)2 ＝5( x ≠ 0)D. x 2＋y 2＝5( x ≠ 0)解析：圆心为 C(m,3)，设点 P(x ，y)(x ≠0)，则|OP|2＋|PC|2＝|OC|2，∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，故所求方程为 x 2＋y 2＝5(x ≠0)．题组四圆的方程的综合问题2t(1)求证: ∆OAB 的面积为定值；(2)设直线 y ＝-2x ＋4 与圆 C 交于点 M 、N ，若 OM ＝ON ，求圆 C 的方程．2 4t t4 4t t1 1 4∴△S OAB ＝2|OA |·|OB|＝2·|2t |·| t |＝4(定值)．(2)∵OM ＝ON ，∴O 在 MN 的垂直平分线上，而 MN 的垂直平分线过圆心 C ，21t 1 ∴k OC ＝2，∴ t ＝2，解得 t ＝2 或 t ＝－2，而当 t ＝－2 时，直线与圆 C 不相交，∴t ＝2，∴D ＝－4，E ＝－2，∴圆的方程为 x 2＋y 2－4x －2y ＝0.8.(2010 青岛)已知圆 M 过两点 A(1,－1)，B(－1,1),且圆心 M 在 x ＋y －2＝0 上．(1)求圆 M 的方程；(2)设 P 是直线 3x ＋4y ＋8＝0 上的动点， P A 、PB 是圆 M 的两条切线, A 、B 为切点,求四边形 P AMB面积的最小值．222 解：(1)设圆 M 的方程为：(x －a)2＋(y －b )2＝r 2(r>0)， 根据题意得：⎨(－1－a)2＋(1－b )2＝r 2⎪⎩a ＋b －2＝0解得：a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆 M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4.1 1(2)由题知，四边形 P AMB 的面积为 S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝2|AM ||P A|＋2|BM||PB|.又|AM |＝|BM|＝2，|P A|＝|PB|，所以 S ＝2|P A|，而|P A|＝ |PM|2－|AM |2＝ |PM|2－4，即 S ＝2 |PM|2－4. 因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线 3x ＋4y ＋8＝0 上找一点 P ，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|＝3，所以四边形P AMB面积的最小值为32＋42S＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.专题复习――平面向量考点一：向量的概念、向量的基本定理例1、（2007上海）直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若AB=2i+j,AC=3i+k j，则k的可能值个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以k的可能值个数是2，选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。
例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与O A与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为.解：过C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，OC=23得平行四边形的边长为2和4，λ+μ=2+4=6点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。
考点二：向量的运算例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11解：(a+2b)(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6)，(a+2b)·c=(-5,6)⋅(3,2)=-3，选C点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，() = 25a 解： 5a - b = 5a - b- 10a • b + b 2 = 25 ⨯12 - 10 ⨯1⨯ 3 ⨯ - ⎪ + 32 = 49 ， 5a - b = 7(1)求 f ( x ) 的最小正周期;(2)当 x ∈[ π 6 ) .(2) 由 f ( x) = 1,得 sin 2 x + = ，6 ⎭ 2 例 7、（2007 湖北）将 y = 2cos + ⎪ 的图象按向量 a = - ，- 2 ⎪ 平移，则平移后所得图象的解析式Ａ． y = 2cos + ⎪- 2Ｂ． y = 2cos - ⎪ + 2还考查了向量的数量积，结果是一个数字。