圆的方程_基础 知识讲解

圆的方程编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 要点四：几种特殊位置的圆的方程要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组. (3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答．【典型例题】类型一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点C （3，4（3）经过点P （5，1），圆心在点C （8，―3）上．【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决． 【答案】（1）x 2+y 2=9 （2）(x ―3)2+(y ―4)2=5（3）(x ―8)2+(y+3)2=25 【解析】 （1）x 2+y 2=9；（2）(x ―3)2+(y ―4)2=5；（3）解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点C （8，―3）．∴圆的方程是(x ―8)2+(y+3)2=25． 解法二：∵圆心为C （8，―3），故设圆的方程为(x ―8)2+(y+3)2=r 2． 又∵点P （5，1）在圆上，∴(5―8)2+(1+3)2=r 2，∴r 2=25， ∴所求圆的方程是(x ―8)2+(y+3)2=25．【总结升华】 确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2； （2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 举一反三：【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ） A ．(x ―4)2+(y+1)2=10 B ．(x+4)2+(y ―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=【答案】A例2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径． （1）x 2+y 2=2；（2）(x ―3)2+y 2=a 2（a ≠0）； （3）(x+2)2+(y+1)2=b 2（b ≠0）．【答案】（1）（0，0）（2）（3，0），|a|（3）（―2，―1），|b|【解析】 （1）圆心（0，0）；（2）圆心（3，0），半径为|a|； （3）圆心（―2，―1），半径为|b|． 【总结升华】（2）、（3）两题中a 2、b 2仅为半径的平方，没有给定a ＞0，b ＞0，∴半径r=|a|、|b|． 例3．求圆心在直线y=―x 上，且过两点A （2，0），B （0，―4）的圆的方程． 【思路点拨】先写出线段AB 的中垂线方程，然后求出中垂线与直线y=―x 的交点，这个点就是圆心，进一步求出圆的方程。

【答案】(x ―3)2+(y+3)2=10【解析】 由于圆过A 、B 两点，所以圆心在AB 的中垂线12(1)2y x +=--上，即1322y x =--，又圆心在直线y=―x 上，故圆心为（3，―3）．于是半径r ==．故所求的圆的方程为(x ―3)2+(y+3)2=10．【总结升华】 求圆的标准方程的关键是求圆的坐标和圆的半径，这就需要充分挖掘题目中所给的几何条件，并充分利用平面几何中的有关知识求解，如“若圆经过某两点，则圆心必在这两点连线的中垂线上”等．举一反三：【变式1】求圆心在直线x ―2y ―3=0上，且过点A （2，―3），B （―2，―5）的圆的标准方程． 【答案】 (x+1)2+(y+2)2=10【解析】设圆的标准方程为()222()x a y b r -+-=，则()()2222222302(3)2(5)a b a b r a b r ⎧--=⎪⎪-+--=⎨⎪--+--=⎪⎩解得：21,2,10a b r =-=-= 所以所求圆的标准方程是：(x+1)2+(y+2)2=10． 类型二：圆的一般方程例4．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． （1）2x 2+y 2―7y+5=0； （2）x 2―xy+y 2+6x+7y=0； （3）x 2+y 2―2x ―4y+10=0； （4）2x 2+2y 2―5x=0．【答案】（1）不能表示圆（2）不能表示圆（3）不能表示圆（4）表示圆 5,04⎛⎫⎪⎝⎭54【解析】 （1）∵方程2x 2+y 2―7y+5=0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆．（2）∵方程x 2―xy+y 2+6x+7y=0中含有xy 这样的项，∴它不能表示圆． （3）方程x 2+y 2―2x ―4y+10=0化为(x ―1)2+(y ―2)2=―5，∴它不能表示圆．（4）方程2x 2+2y 2－5x=0化为2225544x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴它表示以5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，54为半径长的圆．【总结升华】（1）判断一个二元二次方程是否表示圆的方法：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即：①x 2与y 2的系数相等；②不含xy 的项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D 2+E 2―4F 是否大于零；二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数．（2）圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．举一反三： 【变式1】（1）下列方程各表示什么图形；①x 2+y 2―4x ―2y+5=0；②x 2+y 2―2x+4y ―4=0；③220x y ax ++-=．（2）圆C ：x 2+y 2―2x ―4y+4=0的圆心到直线l ：3x+4y+4=0的距离d=________． 【答案】（1）①方程表示点（2，1）；②方程表示以（1，―2）为圆心，3为半径长的圆；③当a=0时，该方程表示的图形为一个点（0，0）；当a ≠0时，该方程表示的图形为圆，圆心为2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，半径长为|a|． （2）3 【解析】（1）略；（2）圆的方程可化为：()()22121x y -+-=，圆心坐标为（1，2），所以到直线l 的距离1535d ===． 例5．已知直线x 2+y 2―2(t+3)x+2(1―4t 2)y+16t 4+9=0表示一个圆． （1）求t 的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D 2+E 2―4F ＞0，解题时，应充分利用这一隐含条件．【答案】（1）117t -<<（2）（t+3，4t 2-1） （3）7222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）已知方程表示一个圆⇔D 2+E 2―4F ＞0，即4(t+3)2+4(1―4t 2)2―4(16t 4+9)＞0，整理得7t 2―6t ―1＜0117t ⇔-<<． （2）圆的方程化为[x ―(t+3)]2+[y+(1―4t 2)]2=1+6t ―7t 2．∴它的圆心坐标为（t+3， 4t 2-1）．（3）由r ===．∴r ，此时圆的标准方程为 222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】在本例中，当t 在1,17⎛⎫-⎪⎝⎭中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由2341x t y t =+⎧⎨=-⎩得y=4(x ―3)2―1，再由117t -<<，知2047x <<，因此它是一个圆心在抛物线2204(3)147y x x ⎛⎫=--<<⎪⎝⎭的圆系方程． 举一反三：【高清课堂：圆的方程370891 典型例题2】【变式1】（1）求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径； （2）求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程． 【答案】 【解析】（1）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以所求圆的方程为：2282120x y x y +--+=，即()224(1)5x y -+-=，所以圆心为（4，1），法二：线段AB 的中点为为75,22⎛⎫⎪⎝⎭，321523AB k -==-线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=联立2603130x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩所以所求圆的方程为（4，1），半径r ==所以()224(1)5x y -+-=．（2）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则2024062382100860D E F ED DEF --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩，解得：11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以圆的方程为22113300x y x y +-+-=．法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=， 线段AB 的中垂线为40x y +-=，由318040x yx y--=⎧⎨+-=⎩得：圆心坐标为113,22⎛⎫-⎪⎝⎭，由两点间距离公式得半径21252r=，所以圆的方程为22113125222x y⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【变式2】判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长．【答案】2(1)2,aa a-⎛⎫-⎪⎝⎭，2222a ar-+=类型三：点与圆的位置关系例6．判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x―5)2+(y―6)2=10的位置关系．【答案】M在圆上N在圆外Q在圆内【解析】∵圆的方程为(x―5)2+(y―6)2=10，分别将M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得(6―5)2+(9―6)2=10，∴M在圆上；(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N在圆外；(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O，半径为r，则点P在圆内⇔|PQ|＜r；点P在圆上⇔|PQ|=r；点P在点圆外⇔|PO|＞r．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2，圆心为A（a，b），半径为r，则点M（x0，y0）在圆上⇔(x0―a)2+(y0―b)2=r2；点M（x0，y0）在圆外⇔(x0―a)2+(y0―b)2＞r2；点M（x0，y0）在圆内⇔(x0―a)2+(y0―b)2＜r2．举一反三：【变式1】已知两点P1（3，8）和P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3）、N（3，4）、P（3，5）是在此圆上、在圆内、还是在圆外？【答案】点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内类型四：轨迹问题例7．已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为12的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线．【思路点拨】先设出要求点的坐标，然后列出点满足的几何条件，化简整理即可。