高一数学 高中数学圆的方程专题(四个课时)
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高一数学 高中数学圆的方程专题(四个课时)
类型一:圆的方程
例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.
解法一:(待定系数法)
设圆的标准方程为2
2
2
)()(r b y a x =-+-.∵圆心在0=y 上,故0=b .∴圆的方程为2
2
2
)(r y a x =+-.
又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2
22
24)3(16)1(r
a r
a
解之得:1-=a ,202
=r .所以所求圆的方程为20)1(2
2
=++y x .
解法二:(直接求出圆心坐标和半径)
因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为13
12
4-=--=
AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x .
又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2
2=++==AC r .
故所求圆的方程为20)1(2
2
=++y x .又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为
r PC d >=++==254)12(22.∴点P 在圆外.
例2 求半径为4,与圆04242
2
=---+y x y x 相切,且和直线0=y 相切的圆的方程.
分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解.
解:则题意,设所求圆的方程为圆2
22)()(r b y a x C =-+-:
. 圆C 与直线0=y 相切,且半径为4,则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C . 又已知圆04242
2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(,半径为3. 若两圆相切,则734=+=CA 或134=-=CA .
(1)当)4,(1a C 时,2227)14()2(=-+-a ,或2
221)14()2(=-+-a (无解),故可得1022±=a . ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2
224)4()1022(=-++-y x .
(2)当)4,(2-a C 时,2227)14()2(=--+-a ,或2
221)14()2(=--+-a (无解),故622±=a . ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ,或2
224)4()622(=+++-y x .
例3 求经过点)5,0(A ,且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.
分析:欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A ,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上.
解:∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切,∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上,
又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等.∴
5
25
2y x y x +=
-.
∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x .又∵圆过点)5,0(A ,
∴圆心C 只能在直线03=-y x 上.设圆心)3,(t t C ∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ,
∴
22)53(5
32-+=+t t t t .化简整理得0562=+-t t .解得:1=t 或5=t
∴圆心是)3,1(,半径为5或圆心是)15,5(,半径为55. ∴所求圆的方程为5)3()1(2
2
=-+-y x 或125)15()5(2
2
=-+-y x .
例4、 设圆满足:(1)截y 轴所得弦长为2;(2)被x 轴分成两段弧,其弧长的比为1:3,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线02=-y x l :的距离最小的圆的方程.
分析:要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程.满足两个条件的圆有无数个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方程.
解法一:设圆心为),(b a P ,半径为r .则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a .
由题设知:圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90,故圆截x 轴所得弦长为r 2.∴2
22b r =
又圆截y 轴所得弦长为2.∴12
2+=a r .又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为5
2b a d -=
∴2
2
25b a d -=ab b a 4422-+=)(242
222b a b a +-+≥1222=-=a b
当且仅当b a =时取“=”号,此时55
min
=d .这时有⎩⎨⎧=-=122
2a b b a ∴⎩
⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又222
2==b r ,故所求圆的方程为2)1()1(2
2
=-+-y x 或2)1()1(2
2
=+++y x
解法二:同解法一,得5
2b a d -=
.∴d b a 52±=-.∴2
225544d bd b a +±=.
将122
2-=b a 代入上式得:0155422
2
=++±d bd b .上述方程有实根,故0)15(82≥-=∆d ,
∴55≥
d .将5
5=d 代入方程得1±=b .又1222+=a b ∴1±=a . 由12=-b a 知a 、b 同号.故所求圆的方程为2)1()1(2
2
=-+-y x 或2)1()1(2
2
=+++y x .