高中数学圆的方程综合训练试题
高中数学圆的方程综合训练试题
圆的方程综合训练试题一、选择题1.直线0643y x 与圆4)3()2(22y x的位置关系是( )A.过圆心Ｂ.相切.相离.相交但不过圆心2.若直线0ay x 与圆a yx22相切，则a 为( )A.0或2Ｂ.2.2.无解3.两圆094622y x yx和01912622y xyx的位置关系是( )A.外切Ｂ.内切Ｃ.相交Ｄ.外离4.以M (-4,3)为圆心的圆与直线052y x 相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( )A.0＜r ＜2 Ｂ.0＜r ＜5Ｃ.0＜r ＜25Ｄ.0＜r ＜105.两圆222r yx与r r y x ()1()3(222＞0)外切，则x 的值是( )A.10Ｂ.5.5.2106.已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A.25)7()5(22y x Ｂ. 17)7()5(22y x 或15)7()5(22y x . 9)7()5(22y x .25)7()5(22yx 或9)7()5(22y x 7.以点(-3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( ) A. 16)4()3(22y x. 16)4()3(22y x .9)4()3(22yx .9)4()3(22yx二、填空题8.圆02410222y x yx与圆082222y x yx的交点坐标是9.斜率为3，且与圆1022y x相切的直线的方程是10.过点(5，12)且与圆16922yx相切的直线的方程是11.两圆a y x 22与0118622y xyx 内切，则a 的值为12.圆9)1()2(22y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是13.圆1)1()3(22yx关于直线032yx对称的圆的方程是三、解答题14.自点A (－３，３)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆c ：074422y x yx 相切，求光线l 与m 所在直线的方程15.设y x t 63，式中变量y x,满足下列条件221yxy x 求t 的最大值和最小值16.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石11t、B种矿石5t、煤4t;生产乙种产品1t需耗A种矿石3t、B种矿石4t、煤9t每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过350t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t甲、乙两种产品应各生产多少(精确到1t),能使利润总额达到最大?17.直线022k y x 与02kxy x 的交点在曲线22y x＝25上，求k 的值18.已知圆C ：4)1()3(22y x和直线l :05y x，在C 上求两点，使它们与l 的距离分别是最近和最远19.求过A(1，2)与B(3，4)两点，且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程20.设圆满足①y 轴截圆所得弦长为2；②被x 轴分成两段弧，其弧长之比为３：1，在满足①、②的所有圆中，求圆心到直线l :02yx 的距离最小的圆的方程圆的方程综合训练参考答案：1.Ａ2.Ｃ3.A4.Ｃ5.Ｄ6.Ｄ7.Ｂ8.(-4,0)和(0，2)9.103y x 10.169125y x 11.1或12112.8)1()2(22y x13.1)53()519(22y x14.l的方程为343y x或0334y x ,m的方程为343y x 或334yx 15. 7maxt ．7mint 16 甲产品约12t ,乙产品34t17±118.点(21,23)在圆C 上，且到直线l的距离最近，点)21,23(在圆C 上，且到直线l的距离最远19027221222yx yx或072822y xyx 202)1()1(22y x 或2)1()1(22y x。
高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)
高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。
以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。
一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
专题：圆的方程综合专题训练及参考答案
专题：圆的方程综合专题训练一、选择题1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为( )A．5B．5 C．25 D．102．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )．A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( ) A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19 4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )A．0或2 B．2 C．2D．无解5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是( )．A．8 B．6 C．62D．436．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x －2y＋1＝0的位置关系为( )．A．内切B．相交C．外切D．相离7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )．A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝08．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有( )．A．4条B．3条C．2条D．1条9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：①点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；②点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；③点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)；④点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述的个数是( )．A．3 B．2 C．1 D．0 10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( )．A．243B．221、C．9 D．86二、填空题11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y ＋8＝0距离的最小值为．12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为．13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是．14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值．15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为．16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是．三、解答题17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．19．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．20．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．参考答案 一、选择题1．B 圆心C 与点M 的距离即为圆的半径，227＋3－＋5－2)()(＝5．2．C 解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A ，C 满足条件，再把A 点坐标(1，－1)代入圆方程．A 不满足条件．∴选C ． 解析二：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a ．由|CA |＝|CB |，得(a －1)2＋(b ＋1)2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝1，b ＝1．因此圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．3．B 解析：∵与x 轴相切，∴r ＝4．又圆心(－3，4)，∴圆方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝16．4．B 解析：∵x ＋y ＋m ＝0与x 2＋y 2＝m 相切，∴(0，0)到直线距离等于m ．∴2m ＝m ，∴m ＝2．5．A 解析：令y ＝0，∴(x －1)2＝16．∴ x －1＝±4，∴x 1＝5，x 2＝－3．∴弦长＝|5－(－3)|＝8．6．B 解析：由两个圆的方程C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4可求得圆心距d ＝13∈(0，4)，r 1＝r 2＝2，且r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2故两圆相交，选B ． 7．A 解析：对已知圆的方程x 2＋y 2－2x －5＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0，经配方，得(x －1)2＋y 2＝6，(x ＋1)2＋(y －2)2＝9．圆心分别为 C 1(1，0)，C 2(－1，2)．直线C 1C 2的方程为x ＋y －1＝0．8．C 解析：将两圆方程分别配方得(x －1)2＋y 2＝1和x 2＋(y ＋2)2＝4，两圆圆心分别为O 1(1，0)，O 2(0，－2)，r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝222＋1＝5，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选C ． 9．C 解：①②③错，④对．选C ．10．D 解析：利用空间两点间的距离公式． 二、填空题11．2．解析：圆心到直线的距离d ＝58＋4＋3＝3，∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2．12．(x －1)2＋(y －1)2＝1．解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1．故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝1．13．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．14．0或±25．解析：当两圆相外切时，由|O 1O 2|＝r 1＋r 2知22＋4a ＝6，即a ＝±25．当两圆相内切时，由|O 1O 2|＝r 1－r 2(r 1＞r 2)知22＋4a ＝4，即a ＝0．∴a 的值为0或±25． 15．(x －3)2＋(y ＋5)2＝32．解析：圆的半径即为圆心到直线x －7y ＋2＝0的距离；16．x ＋y －4＝0．解析：圆x 2＋y 2－4x －5＝0的圆心为C (2，0)，P (3，1)为弦AB 的中点，所以直线AB 与直线CP 垂直，即k AB ·k CP ＝－1，解得k AB ＝－1，又直线AB 过P (3，1)，则直线方程为x ＋y －4＝0． 三、解答题17．x 2＋y 2＝36．解析：设直线与圆交于A ，B 两点，则∠AOB ＝120°，设所求圆方程为：x 2＋y 2＝r 2，则圆心到直线距离为5152=r ，所以r ＝6，所求圆方程为x 2＋y 2＝36．18．x 2＋y 2－ax －by ＝0．解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0．∵圆过(a ，0)和(0，b )， ∴a 2＋Da ＝0，b 2＋bE ＝0．又∵a ≠0，b ≠0，∴D ＝－a ，E ＝－b ．故所求圆方程为x 2＋y 2－ax －by ＝0． 19．x 2＋y 2－2x －12＝0．解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0． ∵A ，B 两点在圆上，代入方程整理得： D －3E －F ＝10①4D ＋2E ＋F ＝－20②设纵截距为b 1，b 2，横截距为a 1，a 2．在圆的方程中， 令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，∴b 1＋b 2＝－E ； 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，∴a 1＋a 2＝－D ．由已知有－D －E ＝2．③①②③联立方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12．所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．20．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 根据题意：r ＝2610-＝2，圆心的横坐标a ＝6＋2＝8， 所以圆的方程可化为：(x －8)2＋(y －b )2＝4． 又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b )2＝4， 解得b ＝5或b ＝1，所求圆的方程为(x－8)2＋(y－5)2＝4或(x－8)2＋(y－1)2＝4．。
高中数学-圆与方程试题含答案
圆与方程[基础训练A 组]一、选择题１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）A ．37-或B ．2-或8C ．0或10D ．1或115．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B距离为2的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x二、填空题1．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________.2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。
3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .４．已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q则OQ OP ⋅的值为________________。
5．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________。
高中数学 圆的方程测试题及答案
圆的方程专项测试题一、选择题1.若直线4x-3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y -3)2=9上到直线3x+4y -11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y +3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y =r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B .1C.2D.25．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ B ）A ．21± B ．22± C ．2221-或 D ．2221或-6.直线x-y +4=0被圆x 2+y 2+4x-4y +6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.427．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8.圆(x-3)2+(y +4)2=2关于直线x+y =0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y -4)2=2 B.(x-4)2+(y +3)2=2 C.(x+4)2+(y -3)=2 D.(x-3)2+(y -4)2=29.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜131 10.关于x,y 的方程Ax 2+Bx y +C y 2+Dx+E y +F=0表示一个圆的充要条件是( ) A.B=0，且A=C≠0 B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0 C.B=0且A=C≠0，D 2+E 2-4AF≥0 D.B=0且A=C≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 11.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1)12.若两直线y =x+2k 与y =2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( ) A.-51＜k ＜-1B.-51＜k ＜1C.-31＜k ＜1 D.-2＜k ＜2二、填空题13.圆x 2+y 2+ax=0(a≠0)的圆心坐标和半径分别是 .14.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y =0，则x-2y 的最大值是 .15.若集合A={(x 、y )｜y =-｜x ｜-2}，B={(x,y )｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A∩B=ϕ，则实数a 的取值范围是 .16.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题17.求圆心在直线2x-y -3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.18. 过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程.19. 已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB . 求m 的值．20.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21. 自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2 + y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．22. 已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．参考答案：1.B2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.B9.D 10.D 11.D 12.B 13.(-2a ,0), 2a 14.10 15.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)16.θ=arccot22 或π-arccot22, 817.(x-2)2+(y -1)2=10 10.3x+4y +1=0或4x+3y -1=0 ；18. 解：设圆(－1)2+(y －1)2=1的圆心为1O ，由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程5)20()23(22=-+-y x △已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1 △ △△作差得x+2y -41=0， 即为所求直线l 的方程。
高三总复习数学检测题 圆的方程
圆的方程A级——基础达标1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5解析：A圆心为(2,1)且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A．2．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆，则有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A．3．(2022·黄冈模拟)若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．5解析：C设2x＋y＝t，则y＝t－2x，当直线y＝t－2x与x2＋y2＝8相切时，t取到最值，所以|t|5≤22，解得－210≤t≤210，所以2x＋y的最大值为210，故选C．4．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]解析：D圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心C(3，1)，半径为1，因为圆心C到O(0,0)的距离为2，所以圆C上的点到O(0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB＝90°，则以AB为直径的圆和圆C有交点，可得|PO|＝12|AB|＝t，所以有1≤t≤3，故选D．5．(2022·青岛质检)点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为( )A ．2 3B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有( ) A ．关于点(2,0)对称 B ．关于直线y ＝0对称 C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称 D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABC x 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A 项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －332＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB 由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43． 8．(2022·东莞模拟)已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，20＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－6，F ＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h ＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又直径|CD |＝410， 所以|P A |＝210． 所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．B 级——综合应用11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x －y ＋2＝0上，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 的重心⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43，y ＋43在欧拉线上，即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联立⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＋(y －1)2＝10，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，x 2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ．因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故直线l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0．又易得|OM |＝|OP |＝22，点O 到直线l 的距离为812＋32＝4105，|PM |＝ 2(22)2－⎝⎛⎭⎫41052＝4105，所以△POM 的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M (x ，y )，由|OM |＝|OP |＝22得x 2＋y 2＝8，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8， ①(x －1)2＋(y －3)2＝2， ②①－②得直线l 方程为x ＋3y －8＝0，将x ＝8－3y 代入①得5y 2－24y ＋28＝0，解得y 1＝145，y 2＝2．从而x 1＝－25，x 2＝2．所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－25，145，|PM |＝⎝⎛⎭⎫2＋252＋⎝⎛⎭⎫2－1452＝4105． 又点O 到l 距离d ＝812＋32＝4105， 所以△POM 的面积S ＝12|PM |·d＝12×4105×4105＝165． C 级——迁移创新15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是( ) A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上 B ．所有圆C k 均不经过点(3,0) C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D ．所有圆的面积均为4π解析：ABD 圆心坐标为(k ，k )，在直线y ＝x 上，A 正确；令(3－k )2＋(0－k )2＝4，化简得2k 2－6k ＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k 2－6k ＋5＝0无实数根，B 正确；由(2－k )2＋(2－k )2＝4，化简得k 2－4k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k 有两个，C 错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D 正确．故选A 、B 、D ．16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5) 4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l 斜率存在，设方程为y ＝kx ，则F (x ，y )＝kx －y ＝0， 因为A (－1,1)，B (2,3)，线段AB 上所有点都在直线l 同侧， 则F [A ]·F [B ]＝(－k －1)(2k －3)>0， 解得－1<k <32．(2)因为F [O ]<0，所以F [P ]＝(3x ＋4y －5)·4－x 2－y 2<0，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5<0，x 2＋y 2<4，点集S 为圆x 2＋y 2＝4在直线3x ＋4y －5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A ，B ，则O 到AB 的距离为1， 故∠AOB ＝2π3，因此，所求面积为S ＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。
高二圆的方程练习题
高二圆的方程练习题在高二数学中，圆是一个重要的几何形状。
了解圆的方程和性质是解决与圆相关问题的基础。
下面是一些高二圆的方程练习题，帮助你巩固和应用这方面的知识。
1. 已知圆C的半径为r，圆心坐标为(h, k)。
写出圆C的标准方程和一般方程。
解答：圆C的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²圆C的一般方程为：x² + y² - 2hx -2ky + h² + k² - r² = 02. 试写出过坐标原点的圆，半径为r的标准方程和一般方程。
解答：过坐标原点的圆的圆心坐标为(0, 0)。
标准方程为：x² + y² = r²一般方程为：x² + y² - r² = 03. 已知圆C过点A(2, 3)和B(4, 1)，且圆心在y轴上。
写出圆C的方程。
解答：设圆C的圆心坐标为(0, k)。
由于圆心在y轴上，所以圆C的方程为x² + (y - k)² = r²。
将点A(2, 3)代入方程得：2² + (3 - k)² = r²。
将点B(4, 1)代入方程得：4² + (1 - k)² = r²。
由此可求得圆C的方程。
4. 已知圆C的直径的两个端点分别为A(3, 5)和B(-1, -2)，写出圆C的方程。
解答：直径的中点坐标为[(3 + (-1))/2, (5 + (-2))/2] = (1, 1)。
由于直径的中点即为圆心，所以圆C的圆心坐标为(1, 1)。
圆C的半径为AB的一半，即√[(3 - (-1))² + (5 - (-2))²] / 2。
将圆心坐标和半径代入圆的标准方程可求得圆C的方程。
5. 已知圆C的方程为2x² + 2y² + 4x - 6y + 9 = 0，写出圆C的圆心坐标和半径。
高三关于圆的试题及答案
高三关于圆的试题及答案试题：1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2 + (y-3)^2 = 9\)，求圆心坐标和半径。
2. 圆 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 与直线 \(y = 2x + 3\)相交，求交点坐标。
3. 已知圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 和圆 \(x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24= 0\)，求两圆的公共弦所在的直线方程。
4. 已知圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 上一点 \(P(3,4)\)，求过点 \(P\)且与圆相切的切线方程。
5. 已知圆 \(x^2 + y^2 = 4\)，求圆内接矩形的最大面积。
答案：1. 圆心坐标为 \((2,3)\)，半径为 \(3\)。
2. 将直线 \(y = 2x + 3\) 代入圆的方程 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 得到 \(x^2 + (2x + 3)^2 - 4x - 6(2x + 3) + 9 = 0\)，化简后解得交点坐标。
3. 两圆方程相减得到公共弦所在的直线方程 \(8x + 6y - 24 = 0\)。
4. 切线斜率为 \(-\frac{1}{k_{OP}}\)，其中 \(k_{OP} = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}\)，所以切线斜率为 \(-\frac{3}{4}\)，切线方程为 \(y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)\)。
5. 圆内接矩形的对角线即为圆的直径，所以最大面积为\(\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin(90^\circ) = 2\)。
高二数学圆的标准方程试题(有详细解答)
高二数学圆的标准方程试题一．选择题（共16小题）1．（2011重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程；两点间的距离公式．811365专题：数形结合．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E 最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2 ，MB= ，ME= = ，所以BD=2BE=2 =2 ，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S= ACoBD= ×2 ×2 =10 ．故选B点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．2．（2009辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．811365分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．3．（2001江西）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4考点：圆的标准方程．811365分析：先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．解答：解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选C．点评：本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．4．（2012吉安县模拟）若方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）的任意一组解（x，y）都满足不等式x≤y，则θ的取值范围是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域．811365专题：综合题．分析：方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），由此可建立不等式，利用三角函数知识，即可求得θ的取值范围．解答：解：由题意，方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），则，∴sin（θ﹣）≥∵0≤θ≤2π，∴∴∴∴θ的取值范围是故选B．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数知识的运用，解题的关键是将问题转化为方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切）．5．（2010宁德模拟）已知A（3，3），点B是圆x2+y2=1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．811365分析：通过定比分点坐标公式，把M的坐标转移到B上，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程．解答：解：设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a=3x﹣6，b=3y﹣6，又点B是圆x2+y2=1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即故选A．点评：本题考查线段的定比分点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，是中档题．6．圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=2考点：圆的标准方程．811365专题：计算题；数形结合；分类讨论．分析：根据题意画出圆的方程，使圆A满足题意中的条件，分两种情况考虑，当点A在第一象限时，根据垂径定理即可得到OC的长度，根据直线y=x上点的横纵坐标相等，得到圆心A的坐标，根据勾股定理求出OA的长度即为圆A的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的标准方程；当点A′在第三象限时，同理可得圆心坐标和半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为（1，1），且半径|OA|= ，则圆A的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；当圆心A′在第三象限时，过A′作A′C′⊥x轴，又|OB′|=2，根据垂径定理得到点C′为弦OB′的中点，则|OC′|=1，由点A′在直线y=x上，得到圆心A′的坐标为（﹣1，﹣1），且半径|OA′|= ，则圆A′的标准方程为：（x+1）2+（y+1）2=2，综上，满足题意的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2．故选C点评：此题考查学生灵活运用垂径定理化简求值，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道中档题．需注意的事项是应注意此题有两解，不要遗漏．7．如果圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1的圆心在第三象限，那么直线ax+by﹣1=0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：圆的标准方程；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．811365专题：计算题．分析：根据圆的标准方程找出圆心坐标，由圆心在第三象限，得到a与b都小于0，然后把所求直线的方程化为点斜式方程y=kx+m，由a与b都小于0判断得到k与m的正负，即可得出直线一定不经过的象限，得出正确的选项．解答：解：由圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，得到圆心坐标为（a，b），∵圆心在第三象限，∴a＜0，b＜0，∵直线方程可化为y=﹣x+ ，∴﹣＜0，＜0，则直线一定不经过第一象限．故选A点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，要求学生掌握象限点坐标的特点，其中直线y=kx+b的斜率，截距与图象的关系为：当k＞0，b＞0时，直线不经过第四象限；当k＞0，b＜0时，直线不经过第二象限；当k＜0，b＞0时，直线不经过第三象限；当k＜0，b＜0时，图象不经过第一象限，掌握此规律是解本题的关键．8．圆M的圆心在直线y=﹣2x上，经过点A（2，﹣1），且与直线x+y=1相切，则圆M的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y+2）2=2 C．（x﹣1）2+（y+2）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=2考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：根据圆心在一条直线上，设出圆心的坐标，根据圆心的坐标看出只有A，C两个选项符合题意，根据圆过一个点，把这个点代入圆的方程，A不合题意，得到结果．解答：解：∵圆M的圆心在直线y=﹣2x上，∴圆心的坐标设成（a，﹣2a）∴在所给的四个选项中只有A，C符合题意，∵经过点A（2，﹣1），∴把（2，﹣1）代入圆的方程方程能够成立，代入A中，32+32≠2，∴A选项不合题意，故选C．点评：本题考查圆的标准方程，本题解题的关键是根据所给的条件设出圆的方程，可以是一般式方程也可以是标准方程，在根据其他的条件解出方程．9．已知圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0）与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：圆的标准方程；两条直线的交点坐标．811365专题：计算题．分析：由圆C的方程表示出圆心的坐标和半径r，由圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，可得出b大于a，a大于c，a，b及c都大于0，进而确定出b﹣a 与a﹣c都大于0，然后将两方程联立组成方程组，消去x后得到关于y的一元一次方程，求出方程的解表示出y，根据b﹣a与a﹣c都大于0及两数相除同号得正的取符号法则可得y大于0，由y大于0判断出x小于0，可得出交点在第二象限．解答：解：由圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0），得到圆心坐标为（b，c），半径r=a，∵圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，∴b＞a＞0，0＜c＜a，即b﹣a＞0，a﹣c＞0，联立两直线方程得：，由②得：x=﹣y﹣1，代入①得：a（﹣y﹣1）+by+c=0，整理得：（b﹣a）y=a﹣c，解得：y= ，∵﹣a＞0，a﹣c＞0，∴＞0，即y＞0，∴x=﹣y﹣1＜0，则两直线的交点在第二象限．故选B点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：直线与圆的位置关系，点的坐标，两数相除的取符号法则，以及两直线的交点坐标，其中根据圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限得到b﹣a＞0，a﹣c＞0是解本题的关键．10．（2012泉州模拟）圆心在曲线上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：= |3a+ +3|=r，|3a+ +3|=5r，由a＞0，知3a+ +3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，由此能求出面积最小的圆的方程．解答：解：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：= |3a+ +3|=r，（圆半径）∴|3a+ +3|=5r，∵a＞0，∴3a+ +3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，∵5r=3a+ +3≥2 +3=15，∴r≥3，当3a= ，即a=2时，取等号，∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，）所以面积最小的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣）2=9．故选A．点评：本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线的距离公式和圆的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．11．（2009山东模拟）已知实数x，y满足x2+y2=9（y≥0），则的取值范围是（）A． m≤或m≥ B．≤m≤ C． m≤﹣3或m≥D．﹣3≤m≤考点：圆的标准方程；直线的斜率．811365专题：计算题；数形结合．分析：考查题意，可知的几何意义是：圆上的点与（﹣1，﹣3）连线的斜率，作出图形，求出直线的斜率即可．解答：解：由题意可知的几何意义是：圆上的点与（﹣1，﹣3）连线的斜率，作出图形，所以m的范围是：m = ．或m =﹣．故所求m的范围是：m≤或m≥．故选A．点评：本题是中档题，考查圆的方程与直线的斜率的关系，考查数形结合，注意圆的方程的范围，考查计算能力．12．（2008深圳二模）过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别A，B，O是坐标原点，则△AOB外接圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x+4）2+（y+2）2=20 D．（x+2）2+（y+1）2=5考点：圆的标准方程．811365专题：计算题；转化思想．分析：由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．解答：解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为（2，1），OP=2 ，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的求法，把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想．13．已知P（x，y）为圆（x﹣2）2+y2=1上任意一点，则的最小值为（）A． . B． .﹣ C．）D．）﹣考点：圆的标准方程；斜率的计算公式．811365专题：计算题；数形结合．分析：根据题意画出图形，所求的式子刚好为直线OP的斜率，由P为圆A上任一点，根据图形得出直线OP斜率的取值范围，即可得到斜率的最小值，即为所求式子的最小值．解答：解：根据题意画出图形，连接AP，如图所示：由圆A的方程（x﹣2）2+y2=1，得到A（2，0），半径r=1，∵直线OP为圆A的切线，∴AP⊥OP，即∠APO=90°，又|AP|=1，|OA|=2，∴∠AOP=30°，∵P（x，y）为圆A上任一点，且表示直线OP的斜率，∴﹣≤≤，则的最小值为﹣．故选D点评：此题考查了圆的标准方程，直线斜率的计算，以及直角三角形的性质，利用了转化及数形结合的数学思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．14．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A． x2+（y﹣1）2=2 B． x2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=1考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：根据切线的性质可知PA垂直于CA，PB垂直于CB，所以过A、B、C三点的圆即为四边形PACB的外接圆，且线段AC为外接圆的直径，所以根据中点坐标公式求出外接圆的圆心，根据两点间的距离公式即可求出圆的半径，根据求出的圆心坐标与圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，得到圆心C（1，2），又P（﹣1，0）则所求圆的圆心坐标为（，）即为（0，1），圆的半径r= = ，所以过A、B、C的圆方程为：x2+（y﹣1）2=2．故选A点评：此题考查学生掌握直线与圆相切的性质，掌握90°的圆周角所对的弦为直径，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．15．（2007上海）圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线2x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．B．C．（x+3）2+（y﹣2）2=2 D．（x﹣3）2+（y+2）2=2考点：关于点、直线对称的圆的方程．811365分析：先求圆心和半径，再去求对称点坐标，可得到圆的标准方程．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣1=0?（x﹣1）2+y2=2，圆心（1，0），半径，关于直线2x﹣y+3=0对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线2x﹣y+3=0上，C中圆（x+3）2+（y﹣2）2=2的圆心为（﹣3，2），验证适合，故选C点评：本题是选择题，采用计算、排除、验证相结合的方法解答，起到事半功倍的效果．16．（理）若圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0关于直线ax+2by﹣4=0对称，则ab的最大值是（）A． 1 B．C． 2 D． 4考点：关于点、直线对称的圆的方程；基本不等式．811365专题：计算题．分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线ax+2by﹣4=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由b表示出a，将表示出的b代入ab中，得到m关于b的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．解答：解：圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0 即（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，表示以C（2，1）为圆心，以3为半径的圆．再由此圆关于直线ax+2by﹣4=0对称，可得直线过圆心，即2a+2b﹣4=0，即a+b=2．故a=2﹣b，则ab=（2﹣b）b，故函数ab 是关于b的二次函数，故当b=1时，函数ab 取得最大值等于1．故选A．点评：本题主要考查直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质，根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键，属于中档题．二．填空题（共7小题）17．（2010宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：压轴题．分析：设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．解答：解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．点评：命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．18．（2010天津）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为（x+1）2+y2=2．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．解答：解：令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1，0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．19．（2013江门二模）已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．811365专题：直线与圆．分析：设圆心坐标为C（a，a），则由题意可得半径r= = ，解得a的值，即可求得圆C 的方程．解答：解：设圆心坐标为C（a，a），则由题意可得半径r= = ，解得a=1，故圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程，属于中档题．20．（2012许昌县一模）圆心在直线x+2y﹣3=0上且与直线x﹣y﹣1=0切于点B（2，3）的圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．考点：圆的标准方程；点到直线的距离公式．811365专题：计算题；直线与圆．分析：设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线x+2y﹣3=0上得出一个方程；再由圆心到直线x+y﹣1=0的距离即半径得出另一个方程．解答：解：设圆心坐标为（a，b），则，解得a=3，b=0，所以r= ，所以要求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．点评：本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，圆的方程的求法，考查计算能力．21．设，，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是[2，4]．考点：圆的标准方程；交集及其运算．811365专题：直线与圆．分析：根据A∩B≠?，可得当圆B和圆A从内切到外切时，a有最大值、最小值，由此可得结论．解答：解：由题意，A为以原点O为圆心，a为半径，在x轴上方的半圆，B为以O′（2，）为圆心，以1半径的圆．∵A∩B≠?，∴当圆B和圆A从内切到外切时，a有最大值、最小值当A、B内切时，即|OO'|=a﹣1=3，∴a=4当A、B外切时，即|OO'|=a+1=3，∴a=2所以2≤a≤4故答案为：[2，4]．点评：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．22．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．考点：圆的标准方程；二元一次不等式（组）与平面区域．811365专题：数形结合；转化思想．分析：根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．解答：解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．23．设a＞0，b＞0，4a+b=ab，则在以（a，b）为圆心，a+b为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：要求面积最小的圆的即要半径最小，就要a+b最小，求出a+b的最小值即可得到圆的半径及a、b的值，写出圆的标准方程即可．解答：解：因为4a+b=ab，当a＞1时得：b= ，所以a+b=a+ =a﹣1+ +5≥4+5=9，当且仅当a﹣1= 即a=3时取等号，所以半径最小值为9，此时a=3，b=6，所以面积最小的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．故答案为（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．点评：考查学生会利用基本不等式求最小值的能力，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．三．解答题（共7小题）24．（2007嘉定区一模）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．考点：圆的标准方程；等比数列的性质；圆方程的综合应用．811365专题：计算题；压轴题．分析：首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．解答：解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，即x2﹣y2=2. =x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．点评：此题主要考查圆的标准方程的求法，以及圆与直线交点问题，属于综合性试题，有一定的计算量，难易中等．25．（2012北京模拟）如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交y轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系．811365专题：综合题；直线与圆．分析：（1）先求l1的方程，进而可求l2的方程，即可得到点C的坐标；（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径，分类讨论，确定A、C的坐标，表示出AC，即可求得结论．解答：解：（1）由直线l1经过两点A（0，1），B（1，2），得l1的方程为x﹣y+1=0．由直线l2⊥l1，且直线l2经过点B，得l2的方程为x+y﹣3=0．所以，点C的坐标为（3，0）．（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径．①若l1⊥y轴，则l2∥y轴，此时四边形OABC为矩形，．②若l1与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为．所以直线l1的方程为y﹣2=k（x﹣1），从而A（0，2﹣k）；直线l2的方程为，从而C（2k+1，0）．令解得，注意到k≠0，所以．此时|AC|2=（2﹣k）2+（2k+1）2=5k2+5＞5，，所以半径的最小值为．此时圆的方程为．点评：本题考查确定直线位置的几何要素，直线的倾斜角和斜率，过两点的直线斜率的计算公式，直线方程的点斜式，两条直线平行或垂直的判定，圆的标准方程，属于中档题．26．已知圆心在直线y=2x上的圆C经过点M（﹣1，1），且该圆被x轴截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）是否存在过圆心C的两条互相垂直的直线，使得点M到这两条直线的距离之积为，若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：直线与圆．分析：（1）由圆心在直线y=2x上，设圆心坐标为（a，2a），半径为r，表示出圆的方程，将M坐标代入得到关于a与r的关系式，再有弦长为2，利用垂径定理及勾股定理列出关系式，联立求出a与r的值，即可确定出圆C的方程；（2）由（1）得到圆C的圆心坐标与半径，假设存在互相垂直的两条直线满足条件，当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，经检验不合题意；故两直线斜率都存在，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，设一个斜率为k，另一个为﹣，由C坐标表示出直线方程，利用点到直线的距离公式求出M到两直线的距离，根据距离之积列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出满足条件的直线方程．解答：解：（1）∵圆心在直线y=2x上，∴设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2，…①又∵圆C经过点（﹣1，1），∴（﹣1﹣a）2+（1﹣2a）2=r2，…②又∵圆C被x轴截得的弦长为2，∴1+（2a）2=r2，…③由①②③解得a=1，r2=5，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；（2）由（1）知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，圆心C（1，2），假设存在互相垂直的两条直线满足条件，当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，点（﹣1，1）到两条垂直直线的距离之积为2≠，不符合题意；当它们的斜率均存在时，分别设为y﹣2=k（x﹣1），y﹣2=﹣（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，x+ky﹣2k﹣1=0，∴o = ，即= ，当= 时，即k2+6k﹣7=0，解得：k=1或k=﹣7；当=﹣时，即7k2+6k﹣1=0，解得：k=﹣1或k= ，则存在互相垂直的两条直线方程分别为x﹣y+1=0，x+y﹣3=0或x﹣7y+13=0，7x+y﹣9=0．点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．27．设直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx，圆P是圆心在x轴的正半轴上，半径为3的圆．（Ⅰ）当k= 时，圆P恰与两直线l1、l2相切，试求圆P的方程；（Ⅱ）设直线l1与圆P交于A、B，l2与圆P交于C、D．（1）当k= 时，求四边形ABDC的面积；（2）当k∈（0，）时，求证四边形ABDC的对角线交点位置与k的取值无关．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质．811365专题：综合题．分析：直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx 关于x轴对称．（Ⅰ）设圆心P（a，0），a＞0．利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，列方程求a．（Ⅱ）设A（x1，y1）B（x2，y2），（1）等腰梯形ABDC的面积= （AC+BD）×h，AC，BD，h用x1，y1，x2，y2，表示．代入求解．（2）根据图形的对称性，四边形ABDC的对角线交点在x轴上．能证明此点是定点即可．解答：解：直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx 关于x轴对称（Ⅰ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=9，利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，∴=3，解得a=5∴圆的标准方程为（x﹣5）2+y2=9（Ⅱ）（1）设A （x1，y1）B（x2，y2），则C（x1，﹣y1）D（x2，﹣y2），直线l1：y= x 与圆P方程联立，消去x得5y2﹣20y+16=0，得A（，），B（，）．等腰梯形ABDC的面积= （AC+BD）×h= （2y1+2y2）（x2﹣x1）= ×8×= ．（2）当k∈（0，）时，y=kx与圆P方程联立，并整理得：（1+k2）x2﹣10x+16=0，△=﹣64k2+36＞0．x1= ，x2=y1= ，y2= ，AC的斜率为k= = ．AC的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），将x1，y1，k代入并化简整理得：y= ．与x 轴交与定点（，0）与k的值无关．点评：本题考查直线与圆的位置关系：相切，相交．联立方程组是最基本的解题方法，考查圆心到直线的距离公式，考查题目的理解能力计算能力．28．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设出圆的一般式方程，利用曲线y=x2﹣6x+1与方程的对应关系，根据同一性求出参数，即可得到圆C的方程；（II）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a=0，圆C与直线x﹣y+a=0的交点于A（x1，y1）、B （x2，y2）．将直线与圆C方程消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合OA⊥OB建立关于x1、x2、a的方程组，解出a=﹣1即可得到存在斜率为1的直线满足题中的条件．解答：解：（I）设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．在曲线y=x2﹣6x+1中令x=0，得y=1，则点（0，1）在圆C上，可得1+E+F=0（*）再令y=0，可得方程x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，得D=﹣6，F=1，代入（*）解出E=﹣2，∴圆C方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=9（Ⅱ）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a=0设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组由消去y，得方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，∴△=56﹣16a﹣4a2＞0．利用根与系数的关系，得到x1+x2=4﹣a，x1x2= （a2﹣2a+1）①，若OA⊥OB，则可得x1x2+y1y2=0，结合y1=x1+a，y2=x2+a，代入可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②联解可得a=﹣1，此时△=56﹣16a﹣4a268＞0．∴a=﹣1，得存在斜率为1的直线x﹣y﹣1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法和函数方程思想，以及直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查解析几何中垂直问题的一般解题思路，属于中档题．29．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．（1）求直线BC的斜率及点C的坐标；（2）求BC边所在直线方程；（3）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线的一般式方程．811365专题：计算题；直线与圆．分析：（1）由经过两点的斜率公式，可算出直线Ab的斜率，从而得出与AB垂直的直线BC的斜率为．由两点间距离公式算出AB= ，进而在Rt△ABC利用相似三角形算出且OC=4，由此可得点C的坐标；（2）根据B、C两点的坐标，运用直线方程的点斜式列式，再化简即可得到直线BC方程为y= x﹣2 ；（3）根据A、C两点的坐标算出AC中点M坐标为（1，0），而圆M的半径R= |AC|=3，利用圆方程的标准形式即可写出圆M的方程为（x﹣1）2+y2=9．解答：解：（1）∵A（﹣2，0），B（0，），∴直线Ab的斜率为，又∵AB⊥BC，∴（3分）由两点间距离公式，得，∵△OAB∽△OBC，得，∴，可得，∴Rt△OBC中，BC2=AC×OC，。
高中圆方程练习题
高中圆方程练习题题一：求圆的标准方程已知圆心坐标为（3，-4），半径为2，求圆的标准方程。
解：设圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心坐标为(a, b)，半径为r。
代入已知条件：(x-3)² + (y+4)² = 2²化简得到圆的标准方程为(x-3)² + (y+4)² = 4。
题二：圆的切线方程已知圆的方程为(x-2)² + (y+1)² = 9，求过点（3，-2）的圆的切线方程。
解：首先，计算圆心坐标：圆心坐标为(a, b)，其中a = 2，b = -1。
其次，计算圆的半径：半径r = √9 = 3。
然后，通过已知点（3，-2）和圆心坐标计算切线斜率：切线斜率k = (b - (-2))/(a - 3) = (-1 - (-2))/(2 - 3) = -1/1 = -1。
最后，带入切点坐标和切线斜率，得到切线方程：y - (-2) = -1(x - 3)y + 2 = -x + 3x + y - 1 = 0所以过点（3，-2）的圆的切线方程为x + y - 1 = 0。
题三：两圆的交点坐标已知圆A的方程为(x-1)² + (y-2)² = 4，圆B的方程为(x+2)² + (y-3)² = 9，求两圆的交点坐标。
解：将两个圆的方程相减：(x+2)² + (y-3)² - [(x-1)² + (y-2)²] = 9 - 4化简得到：4x - 4 = 54x = 9x = 9/4带入x的值，得到y的值：(9/4 + 2)² + (y-3)² - [(9/4 - 1)² + (y-2)²] = 9 - 4化简得到：(y-3)² - (y-2)² = 9 - 4 - (25/16 - 2/4)²(y-3)² - (y-2)² = 5 - (25/16 - 8/16)(y-3)² - (y-2)² = 5 - 17/16化简得到：4(y-3)² - 4(y-2)² = 5*16 - 174(y² - 6y + 9) - 4(y² - 4y + 4) = 80 - 174y² - 24y + 36 - 4y² + 16y - 16 = 63-8y + 20 = 63-8y = 63 - 20-8y = 43y = 43/-8y = -43/8所以两圆的交点坐标为(x, y) = (9/4, -43/8)。
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圆的方程综合训练试题
一、选择题
1.直线0643=+-y x 与圆4)3()2(2
2=-+-y x 的位置关系是( ) A.过圆心 Ｂ.相切 Ｃ.相离 Ｄ.相交但不过圆心
2.若直线0=++a y x 与圆a y x =+2
2相切，则a 为( ) A.0或2
Ｂ.2 Ｃ.2 Ｄ.无解
3.两圆094622
=+-++y x y x 和0191262
2=-+--+y x y x 的位置关系是( ) A.外切 Ｂ.内切 Ｃ.相交 Ｄ.外离
4.以M (-4,3)为圆心的圆与直线052=-+y x 相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( )
A.0＜r ＜2 Ｂ.0＜r ＜5 Ｃ.0＜r ＜25 Ｄ.0＜r ＜10 5.两圆2
2
2
r y x =+与r r y x ()1()3(2
2
2
=++-＞0)外切，则x 的值是( )
A.10 Ｂ. 5 Ｃ.5 Ｄ.
2
10
6.已知半径为1的动圆与圆16)7()5(2
2
=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.25)7()5(2
2=++-y x
Ｂ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(2
2=++-y x Ｃ. 9)7()5(2
2=++-y x
Ｄ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(2
2=++-y x
7.以点(-3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )
A. 16)4()3(22=++-y x Ｂ. 16)4()3(2
2=-++y x Ｃ. 9)4()3(22=++-y x Ｄ. 9)4()3(2
2=-++y x
二、填空题
8.圆02410222=-+-+y x y x 与圆08222
2=-+++y x y x 的交点坐标是
9.斜率为3，且与圆102
2=+y x 相切的直线的方程是
10.过点(5，12)且与圆1692
2=+y x 相切的直线的方程是
11.两圆a y x =+22与011862
2=--++y x y x 内切，则a 的值为
12.圆9)1()2(2
2=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是 13.圆1)1()3(2
2=++-y x 关于直线032=-+y x 对称的圆的方程是
三、解答题
14.自点A (－３，３)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆c ： 07442
2=+--+y x y x 相切，求光线l 与m 所在直线的方程
15.设y x t 63-=，式中变量y x ,满足下列条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≤-221
y x y x 求t 的最大值和最小值
16.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石11t、B种矿石5t、煤4t;生产乙种产品1t需耗A种矿石3t、B种矿石4t、煤9t每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过350t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t甲、乙两种产品应各生产多少(精确到1t),能使利润总额达到最大?
17.直线022=--k y x 与02=--k xy x 的交点在曲线2
2y x +＝25上，求k 的值
18.已知圆C ：4)1()3(2
2=-+-y x 和直线l :05=--y x ，在C 上求两点，使它
们与l 的距离分别是最近和最远
19.求过A(1，2)与B(3，4)两点，且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程
20.设圆满足①y 轴截圆所得弦长为2；②被x 轴分成两段弧，其弧长之比为３：1，在满足①、②的所有圆中，求圆心到直线l :02=-y x 的距离最小的圆的方程
圆的方程综合训练参考答案：
1.Ａ
2.Ｃ
3.A
4.Ｃ
5.Ｄ
6.Ｄ
7.Ｂ
8.(-4,0)和(0，2)
9.
103=±-y x
10.
169125=-+y x 11.1或121
12.8)1()2(22
=++-y x
13.1)5
3
()519(22=-+-
y x 14.l 的方程为
343=-+y x 或
334=++y x ,m 的方程为
343=--y x 或
0334=+-y x
15. 7max
=t ．7min -=t
16 甲产品约12t ,乙产品34t
17 ±1
18.点(
21,23-+)在圆C 上，且到直线l 的距离最近，点)21,23(+-在圆C 上，
且到直线l 的距离最远
19 027221222
=+-++y x y x
或072822=+--+y x y x
20 2)1()
1(22
=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x。