南京师大附中2013届高三模拟考试

绝密★启用前南京师大附中2013届高三模拟考试数 学 2013.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：球体的体积公式为V ＝43πR 3，其中R 是球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．已知集合A ={x |x 2－2x ≥0}，B ={－1, 0, 1, 2, 3}，则A ∩B = ▲ ．2．设a ，b 是实数，若21－i＝a ＋b i （i 是虚数单位），则a ＋b 的值是 ▲ ．3．“|x |≤3”是“x ≥－3且x ≤3”的 ▲ 条件． （从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填）4．一只口袋装有形状、大小都相同的5只小球，其中2只白球，3只红球. 从中一次随机摸出2只球，则2只球不同色的概率是 ▲ ．5．为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ ．6．如图所示的流程图，最后输出的n 的值是 ▲ ． 7．已知向量a ，b ，满足|a |＝1，| b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，则该双曲线的离心率的 值是 ▲ ．9．已知正方体的外接球的体积是323π，则此正方体的棱长为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中， 抛物线方程为x 2＝2py （p ＞0）. 若直线x －y －2＝0与该抛物线相切，则实数p 的值是 ▲ ．11．已知锐角A ，B 满足tan(A ＋B )＝2tan A ，则tan B 的最大值是 ▲ ．12．设等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N*)．若S 3，S 9，S 6成等差数列，则 a 8a 2＋a 5的值是 ▲ ．13．设函数f (x )的定义域为D ，如果∀x ∈D ，∃y ∈D ，使f (x )＋f (y )2＝C （C 为常数）成立，（第5题）（ 第6题 ）则称函数f (x )在D 上的“均值”为C . 已知四个函数：①y ＝x 3 (x ∈R)；②y ＝(12)x (x ∈R)；③y ＝ln x (x ∈(0,＋∞))；④y ＝2sin x ＋1 (x ∈R).上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是 ▲ ．（填满足要求的所有的函数的序号）14．设实数a ，x ，y ，满足⎩⎨⎧x ＋y ＝2a －1，x 2＋y 2＝a 2＋2a －3，则xy 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知C ＝π3，a cos A =b cos B ．（1）求角A 的大小；（2）如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使得PC ＝2．过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线PM 、PN ，垂足分别是M 、N ．设∠PCA ＝α，求PM ＋PN 的最大值及此时α的取值．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，BA ⊥平面P AD ，AP ＝AD ，DC //AB ，DC ＝2AB ，E 是棱 PD 的中点.（1）求证：AE //平面PBC ；（2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.17.（本小题满分14分）车道. 据交管部门收集的大量数据分析发现，该车道上行驶着的前、后两辆公共汽车间的安全距离d （m ）与车速v （km/h ）之间满足二次函数关系d ＝f (v ). 现已知车速为15 km/h 时，安全距离为8 m ；车速为45 km/h 时，安全距离为38 m ；出现堵车状况时，两车安全距离为2 m. （1）试确定d 关于v 的函数关系d ＝f (v )；（2）车速v （km/h ）为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多，最多是多少辆？（第15题）A B D C M N P α18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： x 2a 2＋ y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为32． （1）求a ，b 的值．（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点．（ⅰ）若k ＝1，求△OAB 面积的最大值；（ⅱ）若P A 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，求k 的值．19. （本小题满分16分）（1）已知一条直线l 与函数y ＝sin x （x ∈R ）的图象相切，且有无穷多个切点. 试写出这条直线的方程，并说明理由．（2）是否存在函数y ＝f (x )满足它的图象上任意两点处的切线都不相同？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．（3）设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ， x ＞0，12x 2＋2x －12，x ≤0的图象上存在k （k ≥2，k ∈N*）个不同的点，使得函数y ＝g (x )的图象在这k 个点处的切线是同一条直线l ，求这k 个点的坐标和直线l 的方程．0. （本小题满分16分）设k 为正整数，若数列{a n }满足a 1＝1，且 (a n ＋1－a n )2＝(n ＋1)k （n ∈N*），称数列{a n }为“k 次方数列”.（1）设数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”，且数列{a n n}为等差数列，求a 4的值；（2）设数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”，且存在正整数m 满足a m ＝15，求m 的最小值； （3）对于任意正整数c ，是否存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ，满足a p ＝c .南京师大附中2013届高三模拟考试数 学（附加题） 2013.0521、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区．．．．．．域内．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. B 、（矩阵与变换选做题）在平面直角坐标系xOy 中，设圆x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 00 2 对应的变换作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程． C 、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，设M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，A (a ，0)和B (0，b ) 是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB 的面积的最大值. 22、【必做题】如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BA ⊥AC ，AB ＝AC ＝A 1B ＝2，顶点A 1在底面ABC 上的射影恰为点B ．（1）求异面直线AA 1与BC 所成角的大小；（2）在棱B 1C 1上确定一点P ，使AP ＝14，并求出二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值．23、【必做题】设a 为实数，若数列{a n }的首项为a ，且满足a n ＋1＝a n 2＋a 1（n ∈N*），称数列{a n }为理想数列. 若首项为a 的理想数列满足：对于任意的正整数n ≥2，都有|a n |≤2，称实数a 为伴侣数．记M 是所有伴侣数构成的集合．（1）若a ∈(－∞，－2)，求证：a ∈∕M ；（2）若a ∈(0，14］，求证：a ∈M .B数学参考答案一、填空题1．{－1,0,2,3} 2．2 3．充要 4．35 5．40 6．47．23π 8．2 9．43 3 10．4 11． 24 12．1213．（1）（3）（4） 14．[114－322，114＋322]二、解答题 15. 解：（1）由a cos A =b cos B 及正弦定理可得sin A cos A =sin B cos B ,即sin2A =sin2B ，又A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，所以有A =B 或A +B ＝π2． …………… 2分又因为C ＝π3，得A +B ＝2π3，与A +B ＝π2矛盾，所以A =B ，因此A=π3。

.……………4分（2）由题设，得在Rt △PMC 中，PM =PC ·sin ∠PCM =2sin α；在Rt △PNC 中，PN =PC ·sin ∠PCN = PC ·sin(π－∠PCB ) = 2sin[π－(α+π3)]=2sin (α+π3),α∈(0,2π3) ……………… 6分所以，PM +PN =2sin α+2sin (α+π3)=3sin α+3cos α=23sin(α+π6) ……………… 10分因为α∈(0,2π3)，所以α+π6∈(π6,5π6)，从而有sin(α＋π6)∈(12, 1]，即23sin(α＋π6)∈(3,23]．于是，当α＋π6＝π2，即α＝π3时，PM ＋PN 取得最大值23．…… 14分16. （1）证明：取PC 中点F ，连结BF ，EF ． 因为点E 、F 分别为棱PD 、PC 的中点，所以EF //DC ，且EF ＝12DC ． ………2分又AB // DC ，且AB ＝12DC ，所以EF //AB ，且EF ＝AB ．于是，四边形ABEF 为平行四边形，故有AE //BF .……………4分又由AE ⊂/平面BCE ，BF ⊂平面BCE ，所以AF //平面BCE . ……………7分（2）在△P AD 中，因为AP ＝AD ，且E 为PD 的中点，所以AE ⊥PD .因为AB ⊥平面P AD ，DC //AB ，所以DC ⊥平面P AD ．又EA ⊂平面P AD ，所以DC ⊥EA . …9分所以，由EA ⊥PD ，DC ⊥AE ，DC ∩DP ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以EA ⊥平面PCD . 又FB //EA ，所以FB ⊥平面PCD . …………12分 又因为FB ⊂平面PBC ，所以，平面PBC ⊥平面PDC. …………………………14分F ABCDEP（第16题）17. 解：（1）设所求函数关系式f (v )＝av 2＋bv ＋c ，由题意有v ＝0时，d ＝2； v ＝15时，d ＝8； v ＝45时，d ＝38. ………….… 2分则 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ×152＋15b ＋c ＝8a ×452＋45b ＋c ＝38解得：a ＝175，b ＝15 ，c ＝2. ………………4分所以d 关于v 的函数关系式为d ＝175v 2＋15v ＋2. ………………6分（2）两车间的距离为d (m )，则一辆车占去的道路长为d ＋10 (m ) .设１小时内通过该车道的公共汽车数量为y 辆，则y ＝1000vv 275＋v5＋12 ………………9分由y’＝ 1000(－v 275＋12)(v 275＋v 5＋12)2＝0解得v ＝30. ………………11分 当0＜v ＜30时，y’＞0；当v ＞30时，y’＜0.于是函数y ＝1000vv 275＋v5＋12在(0，30)上递增，在(30，+∞)上递减，∴v ＝30时，函数取最大值 y =1000． ………………13分 答：汽车车速定为30 km/h 时，单位时段内通过这条专用车道的公共汽车数量最多，能通过1000辆． ………………14分18.解：（1）由题设可知a =2，e ＝c a ＝32，所以c =3，故b =1．因此，a =2，b =1． ………………… 2分 （2）由（1）可得，椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1．设点P （m ,0）（－2≤m ≤2），点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2）． (ⅰ)若k =1，则直线l 的方程为y =x －m ．联立直线l 与椭圆C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧y =x －m x 24＋y 2＝1．将y 消去，化简得 54x 2－2mx +m 2－1=0．解之得x 1=2（2m －1－m 2）5, x 2=2（2m +1－m 2）5, 从而，x 1+ x 2=8m5, x 1· x 2=4(m 2－1)5又∣AB ∣= (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2= 2(x 1－x 2)2=2 (x 1+x 2)2－4 x 1·x 2=452· 5－m 2， 点O 到直线l 的距离d ＝∣m ∣2，所以，S △OAB ＝12×|AB |×d ＝255－m 2×|m |，因此，S △OAB 2=425( 5－m 2)×m 2＝425( 5－m 2)×m 2≤425·(5－m 2＋m 22)2＝1． ……… 6分又－2≤m ≤2，即m 2∈[0,4]．所以，当m 2＝52，即m =±102时，S △OAB 取得最大值1． …… 8分(ⅱ)设直线l 的方程为y =k (x －m ).将直线l 与椭圆C 的方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x －m ) x 24＋y 2＝1． 将y 消去，化简得（1＋4k 2）x 2－8mk 2x ＋4(k 2m 2－1)=0，解此方程，可得， x 1＋x 2＝8mk 21＋4k 2，x 1·x 2＝4(k 2m 2－1) 1＋4k 2 ． …… 10分所以，P A 2＋PB 2＝(x 1－m )2＋y 12＋(x 2－m )2＋y 22＝34(x 12＋ x 22)－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋2＝m 2·(－8k 4－6k 2＋2)＋(1＋4k 2)·(8k 2＋8) (1＋4k 2)2（*）. …………………14分因为P A 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，即（*）式取值与m 无关， 故有－8k 4－6k 2＋2＝0，解得k ＝±12． …………………16分20. 解：（1）{}n a 是等差数列，∴20132)(2013=+⋅b a ，即2=+b a .………2分所以2222≥=+= b a c ，c 的最小值为2；……………………………4分（2）设,,a b c 的公差为()d d Z ∈，则222()(2)a a d a d ++=+3a d ∴=……5分 设三角形的三边长为3,4,5d d d ，面积21346()2d S d d d d Z =⨯⨯=∈，26n S n =，])2(4321[62222223212n S S S S T n n +-+-+-=++-+-= n n n 612)24321(62+=++++++= .………………………………7分（3）证明：因为,,a b c 成等比数列，ac b =2. 由于,,a b c 为直角三角形的三边长，知22c ac a =+，251+=a c ，………9分()nnn c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得nnn X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2512515， 于是11125125125125155+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n nnn n X X2225251251+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n X .…………12分12+n n n X X X ++∴=，则有)222+∴=.故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.……………14分因为111=1X ⎫⎪=-⎬⎪⎭，222=1X ⎫⎪=-⎬⎪⎭*∈=+=⇒N X X X 2213，……………………………………………………15分由21++=+n n n X X X ，同理可得*+*+*∈⇒∈∈N X N X N X n n n 21,，故对于任意的n N *∈都有n X 是正整数.………………………………………16分南京师大附中2013届高三模拟考试数学附加卷参考答案B 、（矩阵与变换选做题）解 设P (x 0，y 0)是圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0) 则有⎣⎡⎦⎤x ′0 y ′0 ＝⎣⎡⎦⎤1 00 2 ⎣⎡⎦⎤x 0 y 0 ，即⎩⎨⎧x ′0＝x 0y ′0＝2y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′0y 0＝12y ′0. …………………… 4分又因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，故x 02＋y 02＝1，从而(x ′0)2＋(12y ′0)2＝1.…………………… 8分 所以，曲线F 的方程是x 2＋y 24＝1. …………………… 10分C 、（坐标系与参数方程选做题）解 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ.由题设可令M (a cos φ，b sin φ)，其中0＜φ＜π2. …………………… 2分所以，S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB ＝12OA ·y M ＋12OB ·x M＝12ab (sin φ＋cos φ)＝22ab sin(φ＋π4). …………………… 7分所以，当φ＝π4时，四边形MAOB 的面积的最大值为22ab .…………………… 10分22、【必做题】解（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0, 2, 0)，B (2, 0 , 0)，A 1(0,－2, 2)，B 1(4, 0 , 2)．从而，AA 1→＝(0,－2, 2)，BC →＝B 1C 1→＝(－2, 2, 0)．……………………2分记AA 1→与BC →的夹角为θ，则有cos θ＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|＝－48·8＝－12.又由异面直线AA 1与BC 所成角的范围为（0，π），可得异面直线AA 1与BC 所成的角为60º. ……………………4分（2）记平面P AB 和平面ABA 1的法向量分别为m 和n ，则由题设可令m ＝(x , y , z )，且有平面ABA 1的法向量为n ＝(0,2,0).设B 1P →＝λB 1C 1→＝(－2λ, 2λ, 0)，则P (4－2λ, 2λ, 2)．于是AP ＝(4－2λ)2＋(2λ)2＋22＝14，解得λ＝12或λ＝32．又题设可知λ∈(0, 1)，则λ＝32舍去，故有λ＝12．B南京师大附中2013届高三模拟考试数学卷 第 页 共4页 11 从而，P 为棱B 1C 1的中点，则坐标为P (3, 1, 2)． ……………6分由平面P AB 的法向量为m ，故m ⊥AP →且m ⊥PB →.由m ·AP →＝0，即(x , y , z )·(3, 1 ,2)＝0，解得3x ＋y ＋2z ＝0； ①由m ·PB →＝0，即(x , y , z )·(－1,－1,－2)＝0，解得－x －y －2z ＝0，②解方程①、②可得，x ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，z ＝1，则有m ＝(0,－2, 1) . ……………8分 记平面P AB 和平面ABA 1所成的角为β，则cos β＝m ·n |m |·|n |＝(0,－2, 1)·(0, 2, 0) 5·2＝－425＝－255. 故二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值是255． ……………10分23、【必做题】证明（1）假设a ∈M ，则由M 的定义知对于任意正整数n ≥2，都有|a n |≤2，从而知|a 2|≤2. ………………1分 由a 1＝a ，a 2＝a 12＋a 1＝a (a ＋1)，又a ∈(－∞，－2)，得a ＜－2，a ＋1＜－1，所以| a 2|＝| a (a ＋1)|＝| a |·| a ＋1|＞| a |·1＞2，即| a 2|＞2，这与|a 2|≤2矛盾.………………3分故当a ∈(－∞，－2)时，a ∈∕M . ………………4分（2）由a 2＝a 2＋a ＝(a ＋12)2－14，又a ∈(0, 14]，所以a 2∈(0, 516]． 同理可得，a 3∈(0, 1332]≤12．猜想0＜a n ≤12. ………………6分 下面用数学归纳法证明．①当1n 时，|a 1|＝|a |≤12成立． ②假设n ＝k （k ≥1）时|a k |≤12成立， 所以，当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝a k 2＋a 1≤(12)2＋14＝12. 故，对任意n ∈N *，|a n |≤12＜2，所以a ∈M ． ………………10分。