高中数学竞赛教材讲义-第十章-直线与圆的方程讲义
圆的方程 高中数学讲义
圆的方程讲义一、圆的标准方程：1.以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 特别的，圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为 注：特殊位置的圆的方程（1）圆心在原点（2）圆心在x 轴上（3）圆心在y 轴上（4）圆过原点（5）与x 轴相切的圆（6）与y 轴相切的圆2.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x ，点M 到圆心C 的距离为d ，则（1）点M 在圆上⇔ ⇔（2）点M 在圆内⇔ ⇔（3）点M 在圆外⇔ ⇔3.典型例题例1.ABC ∆的三个顶点)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程例2.已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线 l ：01=+-y x 上，求圆心为C 的圆的标准方程例 3.已知两点),(),,(2211y x B y x A ，求证：以AB 为直径的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x二、圆的一般方程1.对于方程022=++++F Ey Dx y x（1）当0422>-+F E D 时，方程表示（2）当0422=-+F E D 时，方程表示（3）当0422<-+F E D 时，方程表示2.圆的一般方程：方程 叫做圆的一般方程，其圆心为 ，半径为注圆的一般方程的系数特点：（1）22,y x 项的系数（2）无xy 的项（3）3.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）点M 在圆上⇔（2）点M 在圆内⇔（3）点M 在圆外⇔例1.若方程01222222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，求a 的取值范围变式：若原点在圆01222222=-+++++a a ay ax y x 外，求a 的取值范围例2.求过三点)2,4(),1,1(),0,,0(B A O 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.三、直线与圆的位置关系1.平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有 个公共点；（2）直线与圆相切，有 个公共点；（3）直线与圆相离，有 个公共点．2.直线与圆的位置关系的判定：已知直线l ：0=++C By Ax ，圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x（1）方法1：（几何法）设圆心C 到直线l 的距离（弦心距）为22b a C bB aA d +++=，则 ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离（2）方法2：（代数法）联立直线l 与圆C 的方程0)()(02222=++⇒⎩⎨⎧=-+-=++t qx px r b y a x C By Ax ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离例1.如图，已知直线l ：063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆C 的位置关系例2.直线m x y +-=33与圆122=+y x 在第一象限内有两个交点，求实数m 的取值范围3.弦长公式：设直线l ：b kx y +=与圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x 相交于B A ,两点，则弦长AB 的求法有：（1）几何法：由弦心距d ，半弦长2L ，圆的半径r 满足勾股定理222)2(r L d =+=⇒L （2）代数法：（弦长公式）=AB == =例3.已知直线l ：012=--y x 与圆C ：01222=--+y y x 交于B A ,，求弦长AB例4.过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为54，求直线l 的方程变式1：过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为8，求直线l 的方程变式2：过点)0,3(P 直线l 被圆C ：0122822=+--+y x y x 截得的弦长为4，求直线l 的方程4.弦的中点（中点弦）问题：例5.过点)0,4(P 的直线l 与圆C ：422=+y x 交于B A ,两点，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程例6.直线kx y =与圆0104622=+--+y x y x 相交于B A ,，求弦AB 的中点P 的轨迹方程5.以弦为直径的圆过定点问题例7.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值四、圆的切线问题1.求过圆上一点的圆的切线方程例8.求过点)3,1(P 的圆O ：422=+y x 的切线l 的方程例9.证明：过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为：200r y y x x =+注：常见的与圆的切线有关的结论（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（3）过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（4）过二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）022=++++F Ey Dx Cy Ax 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为2.求过圆外一点的圆的切线方程例10.求过点)3,4(-A 的圆1)1()3(22=-+-y x 的切线l 的方程练习：求过点)4,3(A 的圆1)1()2(22=-+-y x 的切线l 方程3.求切线长例11.过圆C ：1)2()2(22=-+-y x 外一点)2,0(P 作圆C 的切线PT ，T 为切点，求切线PT 的长注：圆的切线长公式：（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT例12.已知圆C ：1)1()2(22=-+-y x ，在直线l ：01243=--y x 上求一点P ，过点P 作圆C 的切线，使得切线段最短4.切点弦例13.设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为注：圆的切点弦所在直线方程（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为五、圆和圆的位置关系1.圆和圆的位置关系：（1）圆和圆相离，有 个公共点（2）圆和圆外切，有 个公共点（3）圆和圆相交，有 个公共点（4）圆和圆内切，有 个公共点（5）圆和圆内含，有 个公共点2.圆和圆的五种位置关系的判定（1）几何法：设两圆21,C C 的半径分别为21,r r ，圆心距为d ，则①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔④圆和圆内切⇔⑤圆和圆内含⇔（2）代数法：联立两圆的方程①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔注：用代数法判断出两圆相切后，若要进一步区分是外切还是内切，则还要判断小圆圆心是在大圆内还是在大圆外，若在大圆内，则两圆 ，若在大圆外，则两圆 ， 类似可以区分外离与内含例14.已知圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x ，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系例15.设圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x 相交于B A ,两点，求（1）两圆的公共弦AB 所在的直线方程（2）求两圆的公共弦AB 的长3.两圆的公切线条数（1）当两圆外离时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（2）当两圆外切时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（3）当两圆相交时，有 条公切线（4）当两圆内切时，有 条公切线（5）当两圆内含时，有 条公切线例16.（1）圆1C ：122=+y x 与圆1C ：1)3(22=-+y x 有 条公切线（2）点)1,0(A 和)5,4(B 到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线l 有 条4.两圆公切线的求法例17.已知圆1O ：096222=++++y x y x ，2O ：012622=++-+y x y x ，求两圆的公切线方程。
数学竞赛教案讲义立体几何
数学竞赛教案讲义-立体几何第一章：立体几何基础1.1 空间点、线、面的位置关系点、直线、平面的基本性质点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系1.2 立体几何的基本概念棱柱、棱锥、棱台、球的定义与性质底面、侧面、顶点的概念空间角、二面角的概念与计算第二章：空间几何图形2.1 棱柱直棱柱、斜棱柱的性质棱柱的面积、体积计算2.2 棱锥直棱锥、斜棱锥的性质棱锥的面积、体积计算2.3 棱台棱台的性质棱台的面积、体积计算2.4 球球的性质球的面积、体积计算第三章：立体几何中的线面关系3.1 直线与平面的关系直线与平面平行、直线在平面内的判定与性质直线与平面相交的性质3.2 直线与直线的关系平行线、相交线的性质异面直线、共面直线的性质3.3 平面与平面的关系平面与平面平行的判定与性质平面与平面相交的性质第四章：立体几何中的角与距离4.1 空间角线线角、线面角、面面角的定义与计算空间角的性质与计算方法4.2 距离点与点、点与直线、点与平面的距离计算直线与直线、直线与平面的距离计算第五章：立体几何的综合应用5.1 立体几何图形的放缩与旋转放缩与旋转的性质与方法放缩与旋转在立体几何中的应用5.2 立体几何中的定理与性质欧拉公式、施瓦茨公式等定理的应用立体几何中的重要性质与定理5.3 立体几何与解析几何的综合应用利用解析几何的知识解决立体几何问题立体几何与解析几何的相互转化第六章：立体几何中的立体角与对角线6.1 立体角立体角的定义与性质立体角的计算方法6.2 对角线多面体的对角线长度计算对角线与几何体的性质关系第七章：立体几何中的不等式与最值7.1 立体几何中的不等式利用立体几何图形性质证明不等式利用不等式解决立体几何问题7.2 立体几何中的最值问题利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第八章：立体几何中的视图与投影8.1 视图正视图、侧视图、俯视图的定义与性质利用视图研究几何体的性质8.2 投影平行投影、中心投影的性质利用投影解决立体几何问题第九章：立体几何中的定理与性质（续）9.1 立体几何中的定理与性质布雷特施奈德定理、莫恩定理等定理的应用立体几何中的其他重要性质与定理9.2 立体几何中的特殊几何体圆柱、圆锥、球台的性质与应用利用特殊几何体解决立体几何问题第十章：立体几何与实际应用10.1 立体几何在实际应用中的案例分析利用立体几何解决工程、物理、艺术等领域的问题立体几何在现实生活中的应用举例10.2 立体几何竞赛题解析分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法，提高解题能力10.3 立体几何练习题与答案解析提供立体几何练习题，巩固所学知识分析练习题答案，讲解解题过程与思路第十一章：立体几何中的坐标计算11.1 空间点的坐标空间直角坐标系的建立点的坐标表示与运算11.2 空间向量向量的定义与运算向量与立体几何的关系11.3 空间几何体的坐标表示棱柱、棱锥、棱台、球的坐标表示利用坐标解决立体几何问题第十二章：立体几何中的向量计算12.1 向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算向量共线与垂直的判定与性质12.2 向量的数量积与向量积向量的数量积定义与性质向量的向量积定义与性质12.3 空间向量在立体几何中的应用利用向量计算空间角与距离利用向量解决立体几何中的线面关系问题第十三章：立体几何中的解析几何方法13.1 解析几何与立体几何的关系利用解析几何方法解决立体几何问题解析几何在立体几何中的应用举例13.2 参数方程与极坐标方程立体几何图形的参数方程表示利用参数方程与极坐标方程解决立体几何问题第十四章：立体几何中的不等式与最值（续）14.1 立体几何中的不等式问题利用不等式性质解决立体几何问题不等式在立体几何中的应用举例14.2 立体几何中的最值问题（续）利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第十五章：立体几何的综合与应用15.1 立体几何与其他数学学科的综合立体几何与代数、分析、概率等学科的关系立体几何在交叉学科中的应用15.2 立体几何在实际应用中的案例分析（续）立体几何在工程、物理、艺术等领域中的应用案例立体几何在其他领域中的应用举例15.3 立体几何竞赛题解析与练习题答案解析（续）分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法，提高解题能力提供立体几何练习题，巩固所学知识分析练习题答案，讲解解题过程与思路重点和难点解析重点：理解并掌握立体几何的基本概念、立体几何图形、空间几何图形、立体几何中的线面关系、立体几何中的角与距离、立体几何中的立体角与对角线、立体几何中的不等式与最值、立体几何中的视图与投影、立体几何中的定理与性质、立体几何中的坐标计算、立体几何中的向量计算、立体几何中的解析几何方法、立体几何中的不等式与最值（续）、立体几何的综合与应用。
《直线和圆的方程》课件
圆的参数方程
圆的参数方程
01
$x=a+rcostheta, y=b+rsintheta$，其中$(a,b)$是圆心，$r$
是半径，$theta$是参数。
参数方程的应用
02
参数方程常用于圆的极坐标表示，方便计算圆的轨迹和运动。
参数方程与直角坐标系的关系
圆的一般方程
圆的一般方程
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$， 其中$D,E,F$是常数。
圆心坐标
圆心的坐标为$(-frac{D}{2}, frac{E}{2})$，通过圆心可以确 定圆的位置。
半径
半径的平方为 $frac{D^2+E^2-4F}{4}$，通 过半径可以确定圆的大小。
参数$D,E,F$
02
圆的方程的介绍
圆的标准方程
圆的标准方程
圆心坐标
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是 圆心，$r$是半径。
圆心的坐标为$(a,b)$，通过圆心可以确定 圆的位置。
半径
圆上任一点坐标
半径是圆上任一点到圆心的距离，用$r$表 示。
根据圆的标准方程，圆上任一点的坐标可 以表示为$(a+rcostheta, b+rsintheta)$， 其中$theta$是参数。
《直线和圆的方程》 ppt课件
目 录
• 直线方程的介绍 • 圆的方程的介绍 • 直线与圆的位置关系 • 直线与圆的实际应用
01
直线方程的介绍
直线的斜率与截距式
总结词
斜率截距式是直线方程的基本形式，它描述了直线在直角坐标系中的位置关系 。
高二数学最新教案-直线和圆的方程讲义 精品
直线和圆的方程一、关于直线：1．有向线段：以A 为起点，B 为终点的有向线段为AB ，数量有AB ＝－BA ；且AB ＝x B －x A ，其中x A ，x B 分别表示点A ，B 在数轴上相对应的数．在直角坐标平面上的有两点间的距离公式|AB |＝221221)()(y y x x -+-；2．定比分点．P （x ，y ）分线段AB （其中A （x 1 ，y 1），B （x 2 ，y 2））的比为λ ，λ ＝PB AP ，那么有λ ＝x x x x --21，写出x ＝λλ++121x x 同理有y ＝λλ++121y y 其中λ ≠－1．其特例为P 为线段AB 的中点时，λ ＝1，点P 的坐标为（221x x +，221y y +），推广之就有 △ABC 三顶点A （x 1 ，y 1），B （x 2 ，y 2），C （x 3 ，y 3）的重心坐标为G （3321x x x ++，3321y y y ++）．3．直线的倾斜角α ，其中0≤α ＜π 与斜率的概念及截距．当α ＝2π时，斜率k ＝tan α ，k ＝1212x x y y --；当α ＝2π时斜率不存在；所谓截距就是直线与两坐标轴交点的纵横坐标．4．直线方程的五种形式： 点斜式：y －y 0 ＝k （x －x 0）； 斜截式：y ＝kx ＋b ； 两点式：121y y y y --＝121x x x x --；截距式：a x ＋by＝1； 一般式：Ax ＋By ＋C ＝0．直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线．5．两条直线的位置关系：（1）若存在斜率的两直线方程为l 1 ：y ＝k 1x ＋b 1 ，l 2 ：y ＝k 2x ＋b 2 ，那么 ①l 1 ∥l 2 ⇔k 1 ＝k 2 且b 1 ≠b 2 ； ②l 1 与l 2 重合⇔k 1 ＝k 2 且b 1 ＝b 2 ；③l 1 与l 2 相交⇔k 1 ≠k 2 ，其特例为l 1 ⊥l 2 ⇔k 1·k 2 ＝－1．（2）若两直线方程分别为l 1 ：A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0与l 2 ；A 2x ＋B 2y ＋C 2 ＝0（A 22 ＋B 22 ≠0），那么①l 1 ∥l 2 ⇔⎩⎨⎧≠=12211221C A C A B A B A 或B 1C 2 ≠C 1B 2 ；②l 1 与l 2 重合⇔⎩⎨⎧==12211221C A C A B A B A 且B 1C 2 ＝B 2C 1 ；③l 1 与l 2 相交⇔A 1B 2 ≠A 2B 1 ，其特例为l 1 ⊥l 2 ⇔A 1A 2 ＋B 1B 2 ＝0； （3）当k 1·k 2 ≠－1时，①l 1 与l 2 的夹角θ（规定为锐角），则tan θ ＝|21121k k k k +-|；②l 1 到l 2 的角（规定为以l 1 为始边绕l 1 与l 2 的交点逆时针旋转与l 2 重合的最小正角，此时0°≤θ ＜180°，则tan θ ＝21121k k k k +-．其特例为k 1·k 2 ＝－1此时θ ＝90°．）6．点到直线的距离：（1）点P （x 0 ，y 0）到直线l ；Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝2200||BA C By Ax +++，特例是当l ：x ＝a 时d ＝|x 0 －a |；当l ：y ＝b 时，d ＝|y 0 －b |；（2）设l 1 ：Ax ＋By ＋C 1 ＝0，l 2 ：Ax ＋By ＋C 2 ＝0，则这两平行线间的距离是 d ＝2221||BA C C +-．7．利用平行、垂直、相交确定直线方程时常用到三个直线系：①与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线：Ax ＋By ＋λ ＝0（λ 为待定系数）； ②与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线：Bx －Ay ＋λ ＝0；③过A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2 ＝0的交点的直线方程为：A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ ∈R 且只包含A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0）．8．关于直线对称问题：（1）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求P （x 0 ，y 0）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点Q （x 1 ，y 1）．有1010x x y y --＝－B A （1）与A ·210x x +＋B ·210y y +＋C ＝0．（2）解出x 1 与y 1 ；若求C 1 ：曲线f （x ，y ）＝0（包括直线）关于l ：Ax ＋By ＋C 1 ＝0对称的曲线C 2 ，由上面的（1）、（2）中求出x 0 ＝g 1（x 1 ，y 1）与y 0 ＝g 2（x 1 ，y 1），然后代入C 1 ：f [g 1（x 1 ，y 1），g 2（x 2 ，y 2）]＝0，就得到关于l 对称的曲线C 2 方程：f [g 1（x ，y ），g 2（x ，y ）]＝0．（3）若l ：Ax ＋By ＋C ＝0中的x ，y 项系数|A |＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之．尤其是选择填空题．如曲线C 1 ：y 2 ＝4 x －2关于l ：x －y －4＝0对称的曲线l 2 的方程为：(x －4) 2 ＝4（y ＋4）－2．即y 用x －4代，x 用y ＋4代，这样就比较简单了．（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决．．二、关于曲线轨迹方程：直角坐标平面上的动点满足某条件的轨迹方程求法主要有三种常用方法：1．直接法：动点P （x ，y ）满足定义，某等量关系可直接得出f （x ，y ）＝0即为所求轨迹方程．如，到定点A （2，3）的距离比到直线x －7＝0的距离多1．很明显的等量关系已给出了即设动点P （x ，y ），有22)3()2(-+-y x －1＝|x －7|．2．代入法：点Q 在曲线C 1 ：f （x ，y ）＝0上移动，动点P 与Q 满足某种关系，设Q （x 1 ，y 1），P （x ，y ）由所满足的关系式得x 1 ＝g 1（x ，y ）与y 1 ＝g 2（x ，y ），代入C 1 ：f （x 1 ，y 1）＝0中即可．如，已知定点A （3，0），P 为单位圆x 2 ＋y 2 ＝1的动点． ∠AOP 的平分线交P A 于M ，求点M 的轨迹方程．就是M （x ，y ）与P （x 0 ，y 0）满足三角形内角平分线比例性质得出x 0 ＝34x －1，y 0 ＝34y 代入单位圆方程2)134(-x ＋2)34(y ＝1即2)43(-x ＋y 2 ＝169． （3）参数法：动点P （x ，y ）的纵、横坐标分别是某变量的函数如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 消参数t 即可得出F （x ，y ）＝0为所求的动点轨迹方程．如求两动直线kx －y ＋2（k ＋1）＝0与x ＋ky ＋2（k －1）＝0的交点P 的轨迹方程．联立方程组求出x ＝f 1（k ）、y ＝f 2（k ）消k 得F （x ，y ）＝0，但实际上主要目的是消参数k ，因此不求出x 、y 能消k 更简捷．即得（x ＋2）k ＝y －2与（y ＋2）k ＝2－x ．两式相除消k 即可．三、关于圆：1．圆的方程：（1）圆心半径式：(x －a ) 2 ＋(y －b ) 2 ＝r 2（r ＞0）．特例：x 2 ＋y 2 ＝r 2 ． （2）圆的一般式：x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．圆心（－2D ，－2E ），半径r ＝F E D 422-+（D 2 ＋E 2 －4 F ＞0）． 两种形式的圆方程中都有三个待定参数，因此求圆方程必须三个条件才可． 2．点与圆位置关系：P （x 0 ，y 0）和圆C ：(x －a ) 2 ＋(y －b ) 2 ＝r 2 ． ①点P 在圆C 外有(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＞r 2 ， ②点P 在圆上：(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＝r 2 ， ③点P 在圆内：(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＜r 2 ．3．直线与圆的位置关系：l ：f 1（x ，y ）＝0．圆C ：f 2（x ，y ）＝0消y 得F （x 2）＝0．（1）直线与圆相交：F （x ，y ）＝0中∆ ＞0；或圆心到直线距离d ＜r ．直线与圆相交的相关问题：①弦长|AB |＝21k +·|x 1 －x 2|＝21k +·212214)(x x x x -+，或|AB |＝222d r -；②弦中点坐标（221x x +，221y y +）；③弦中点轨迹方程． （2）直线与圆相切：F （x ）＝0中∆ ＝0，或d ＝r ．其相关问题是切线方程．如P （x 0 ，y 0）是圆x 2 ＋y 2 ＝r 2 上的点，过P 的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 ，其二是圆外点P （x 0 ，y 0）向圆到两条切线的切线长为22020)()(r b y a x --+-或22020r y x -+；其三是P （x 0 ，y 0）为圆x 2 ＋y 2 ＝r 2 外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 ．（3）直线与圆相离：F （x ）＝0中∆ ＜0；或d ＜r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x －a ) 2 ＋(y －b ) 2 ＝r 2 上任一点，|PQ |max ＝|PC |＋r ；|PQ |min ＝|PQ |－r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值．4．圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O 1O 2|与两半径r 1 ，r 2 的和差关系判定． （1）设⊙O 1 圆心O 1 ，半径r 1 ，⊙O 2 圆心O 2 ，半径r 2 则：①当r 1 ＋r 2 ＝|O 1O 2|时⊙O 1 与⊙O 2 外切；②当|r 1 －r 2|＝|O 1O 2|时，两圆相切；③当|r 1 －r 2|＜|O 1O 2|＜r 1 ＋r 2 时两圆相交；④当|r 1 －r 2|＞|O 1O 2|时两圆内含；⑤当r 1 ＋r 2 ＜|O 1O 2|时两圆外离．（2）设⊙O 1 ：x 2 ＋y 2 ＋D 1x ＋E 1y ＋F 1 ＝0，⊙O 2 ：x 2 ＋y 2 ＋D 2x ＋E 2y ＋F 2 ＝0．①两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D 1 －D 2）x ＋（E 1 －E 2）y ＋F 1 －F 2 ＝0．②经过两圆的交点的圆系方程为x 2 ＋y 2 ＋D 1x ＋E 1y ＋F 1 ＋λ（x 2 ＋y 2 ＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（不包括⊙O 2 方程）．直线和圆的综合练习一、选择题（1）已知A （3，4），B （6，10），点C 在直线上，且AC ∶AB ＝1∶3，则C 点坐标为（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛211,415 B ．（4，6） C ．⎪⎭⎫⎝⎛211,415和⎪⎭⎫⎝⎛1,23 D ．（4，6）或（2，2） （2）过点P (1，2)引一条直线，使它与A (2，3)和B (4，－5)的距离相等，那么这条直线方程为 （ ） A ．4x ＋y －6＝0 B ．x ＋4y －6＝0 C ． x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0 D ．2x ＋3y －7＝0或x ＋4y －6＝0（3）两条直线l 1，l 2的斜率是方程6x 2＋x －1＝0的两个根，则l 1，l 2的夹角为（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°（4）直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M（1，－1），则直线l 的斜率为 （ ）A ．－32 B ．32 C ．－23 D ．23（5）若三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0; l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠1B ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠－10C ．k ∈R 且k ±≠1且k ≠0D ． k ∈R 且k ±≠ 5（6）已知两定点A (－3，5)，B (2，15)，动点P 在直线3x －4y ＋4＝0上，当PA ＋PB取最小值时，这个最小值为 （ ）A ．513B ．362C ．155D ．5＋102（7）方程x 2＋(m －1)y 2－3my ＋2m ＝0表示两条相交直线，则m 的值为 （ ） A ．0 B ．－8 C ．0或－8 D ．m 值有无穷多个 （8）在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点是：A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是 （ ） A ．3 B ．1＋22 C ．1＋23 D ．2－22 （9）如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3,则xy的最大值是 （ ） A ．21 B ．33 C ．23 D ．3 （10）点P 在⊙C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上运动，点Q 在⊙C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上运动，则PQ 的最小值是 （ ）A ．35－5B ．35－3C ．35－2D ．35二、填空题（11）已知A (－2，5)，B (6，1)，则线段AB 的垂直平分线方程为 ． （12）过直线l 1:3x －y －5＝0,l 2:x ＋2y －4＝0的交点，且与直线x ＋5y ＝1平行的直线方程是 ．（13）直线l 过点A （－4，2），倾斜角是直线4x ＋3y －7＝0倾斜角的一半，则直线l的方程是 ．（14）已知△ABC ，A (0，5)，B (2，1)，△ABC 的面积为5，则点C 的轨迹方程是 ．（15）点M 在圆x 2＋y 2＝1上运动，N （3，0），若P 分MN 为3∶1，则P 点的轨迹方程是 ．（16）过A （4，－1）且与⊙C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于B （1，2）的圆的方程是．三、解答题（17）一条直线过P (1，1)，与直线l 1:x ＋2y ＝0,l 2:x －3y －3＝0分别交于A ，B 两点，若P 分线段AB 为2∶1，求直线l 的方程．(18) △ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程为2x ＋y －3＝0,求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．（19）过P (2，1)作直线l 交x ，y 轴正向于A ，B 两点，当l 在x ，y 轴上截距之和最小时，求直线l 的方程．（20）一束光线l 自A （－3，3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到⊙C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上．(Ⅰ) 求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； (Ⅱ) 求在x 轴上，反射点M 的范围．（21）已知⊙C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，直线l 与⊙C 相切且分别交x 轴、y 轴正向于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ＝a ，OB ＝b （a ＞2，b ＞2）． (Ⅰ) 求线段AB 中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求△ABC 面积的极小值．直线和圆综合练习一、（1）D （2）C （3）C （4）A （5）B （6）A （7）C （8）A （9）C （10）A二、（11）012=--y x （12）075=-+y x （13）0102=+-y x（14）0102=-+y x 或02=+y x（15）1614922=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x （16）(x －3)2＋(y －1)2＝5三、（17）设),33(),,2(b b B a a A +-则3)33(221++-=b a ①，321ba +=②，由①②得512=a ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-512,524A ，过A ，P 的直线036297=-+y x 为所求． （18）直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为012=+-y x ，直线AB 与AC边中线的方程交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21B设AC 边中点D (x 1，3－2x 1)，C(4－2y 1，y 1)，∵D 为AC 的中点，由中点坐标公式得BC C y y x y x ∴∴=⇒⎩⎨⎧+=--=),1,2(,11)23(224211111边所在的直线方程为0732=-+y x ；AC 边所在的直线方程为y ＝1．（19）设直线l 的方程为112)0,0(1=+⇒=+b a b a b y a x ，则22 a a ab ∴-= 322322)2(2212+≥+-+-=-++=-+=+a a a a a a a b a当22222+=⇒-=-a a a 时等号成立，此时12+=b ∴直线l 的方程为0)22(2=+-+y x（20）⊙C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1（Ⅰ）C 关于x 轴的对称点C ′(2，－2)，过A ，C ′的方程：x ＋y ＝0为光线l 的方程．（Ⅱ）A 关于x 轴的对称点A ′(－3，－3)，设过A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)，当该直线与⊙C 相切时，有341133222=⇒=+-+-k k k k 或43=k∴过A ′，⊙C 的两条切线为)3(433),3(343+=++=+x y x y 令y ＝0，得1,4321=-=x x∴反射点M 在x 轴上的活动范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,43 （21）⊙C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，A (a ，O)，B (O ，b ) ．设直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，∵直线AB 与⊙C 相切，∴02)(2122=++-⇒=+-+b a ab ba ab a b ①（Ⅰ）设AB 中点P (x ，y )，则y b x a by a x 2,22,2==⇒==代入①得P 点的轨迹方程：2xy －2x －2y ＋1＝0，∵a ＞2，∴x ＞1 ∴P 点的轨迹方程为(x -1)(y -1)＝21(x ＞1) （Ⅱ）由①得22024242)(2+≥⇒≥+-⇒-≥-+=ab ab ab ab b a ab ，当且仅当22+==b a 时等号成立． S △AOB ＝21ab ≥3＋22。
高中数学第十节讲解教案
高中数学第十节讲解教案
主题：直线与圆的位置关系
一、教学目标：
1. 理解直线和圆的位置关系的基本概念。
2. 掌握直线与圆的位置关系的判定方法。
3. 能够应用直线与圆的位置关系解决相关问题。
二、教学重点：
1. 直线与圆的位置关系的基本概念。
2. 直线与圆的位置关系的判定方法。
三、教学难点：
1. 圆的切线与切点的概念。
2. 如何判断一条直线与圆的位置关系。
四、教学过程：
1. 复习：回顾上节课所学的直线和圆的相关知识。
2. 引入：通过一个实际问题引入直线与圆的位置关系的概念，激发学生的学习兴趣。
3. 学习：讲解直线与圆的位置关系的基本概念，并介绍判定直线与圆位置关系的方法。
4. 实践：让学生通过练习题巩固所学知识，提出问题并引导学生解决。
5. 总结：对本节课所学知识进行总结，强调重点和难点，帮助学生理清思路。
六、作业布置：
1. 完成课堂练习题。
2. 自主学习相关知识，做好预习。
七、教学反思：
通过本节课的教学，学生对直线与圆的位置关系有了更深入的理解，掌握了相关判定方法，并能够运用所学知识解决相关问题。
在教学过程中，要充分引导学生思考，灵活运用知识，培养学生的解决问题能力和创新意识。
直线方程与圆的方程 课件
(1)当直线不垂直于x轴时,直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系;
(2)当直线l的倾斜角α∈
0,
π 2
时,α越大,直线l的斜率越大;当α∈
π 2
, π 时,α越大,直线l的斜率也
越大;
(3)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率;
(4)已知倾斜角α的范围,求斜率k的范围,实质是求k=tan α的值域;已知斜率k的范围,求倾斜角α
解题导引
解析 (1)原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心, 3 为半径的圆.
设 y =k,则y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最值,此时有| 2k 0 | = 3 ,
x
k2 1
解得k=± 3,故 y的最大值为 3,最小值为-
x
3.
(2)设y-x=b,则y=x+b,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最值,此时
涉及与圆有关的最值问题,一般要借助图形性质,利用数形结合和函数 思想求解,一般地: (1)最小圆(圆的面积最小)问题,转化为求半径最小值问题; (2)圆上的点到圆外的点(直线)的距离的最值,应先求圆心到圆外的点 (直线)的距离,再加上半径或减去半径求得最值; (3)u= y b 型的,转化为直线斜率的最值问题求解;
则圆心(a,b)到直线x-y-3=0的距离d=| a b 3 | ,
2
∴r2= (a b 3)2 + 3 ,即2r2=(a-b-3)2+3.①
2
2
由于所求圆与直线x-y=0相切,| a b | =r,
2
∴(a-b)2=2r2.②
又∵圆心在直线x+y=0上,∴a+b=0.③
高考数学复习《直线和圆的方程》知识点
直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。
理解圆的参数方程．§07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+by a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =2. 定比分点坐标分式。
2019-2020年高考数学竞赛 直线与圆的方程教案讲义(10)
2019-2020年高考数学竞赛 直线与圆的方程教案讲义（10）一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2 求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p （其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 0P 方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=,tan α=.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。
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第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p （其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 0P 方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-. 6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1⊥l 2的充要条件是k 1k 2=-1。
7．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。
8．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200||B A C By Ax d +++=。
9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l 1：A 1x+B 1y+C 1=0与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则过l 1, l 2交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2=0；由l 1与l 2组成的二次曲线方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0；与l 2平行的直线方程为A 1x+B 1y+C=0(1C C ≠).10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l 方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l 上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l 下方的部分。
11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x 和y 表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。
12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，其参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）。
13．圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)。
其圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D 42122-+。
若点P(x 0, y 0)为圆上一点，则过点P 的切线方程为 .0220000=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++F y y E x x D y y x x ①14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。
给定如下三个不同的圆：x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(F 1-F 2)=0; (D 2-D 3)x+(E 2-E 3)y+(F 2-F 3)=0; (D 3-D 1)x+(E 3-E 1)y+(F 3-F 1)=0。
不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。
二、方法与例题1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。
例1 在ΔABC 中，AB=AC ，∠A=900，过A 引中线BD 的垂线与BC 交于点E ，求证：∠ADB=∠CDE 。
[证明] 见图10-1，以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系。
设点B ，C 坐标分别为（0,2a ）,(2a,0)，则点D 坐标为（a, 0）。
直线BD 方程为12=+ay a x ， ①直线BC 方程为x+y=2a ， ②设直线BD 和AE 的斜率分别为k 1, k 2，则k 1=-2。
因为BD ⊥AE ，所以k 1k 2=-1.所以212=k ，所以直线AE 方程为x y 21=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=a y x x y 2,21解得点E 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 32,34。
所以直线DE 斜率为.234323=-=a a a k 因为k 1+k 3=0. 所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC 。
例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。
证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。
[证明] 以A 为原点，平行于正三角形ABC 的边BC 的直线为x 轴，建立直角坐标系见图10-2，设⊙D 的半径等于BC 边上的高，并且在B 能上能下滚动到某位置时与AB ，AC 的交点分别为E ，F ，设半径为r ，则直线AB ，AC 的方程分别为x y 3=,x y 3-=.设⊙D 的方程为(x-m)2+y 2=r 2.①设点E ，F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，则,311x y =223x y -=，分别代入①并消去y 得.03).(03)(2222222121=-+-=-+-r x m x r x m x所以x 1, x 2是方程4x 2-2mx+m 2-r 2=0的两根。
由韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+4,2222121&rm x x m x x ，所以 |EF|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(x 1-x 2)2+3(x 1-x 2)2=4(x 1+x 2)2-4x 1x 2=m 2-(m 2-r 2)=r 2.所以|EF|=r 。
所以∠EDF=600。
2．到角公式的使用。
例3 设双曲线xy=1的两支为C 1，C 2，正ΔPQR 三顶点在此双曲线上，求证：P ，Q ，R 不可能在双曲线的同一支上。
[证明] 假设P ，Q ，R 在同一支上，不妨设在右侧一支C 1上，并设P ，Q ，R 三点的坐标分别为,1,,1,,1,332211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x 且0<x 1<x 2<x 3. 记∠RQP=θ，它是直线QR 到PQ 的角，由假设知直线QR ，PQ 的斜率分别为3223231111x x x x x x k -=--=，.1112121212x x x x x x k -=--= 由到角公式.01)(11111tan 3221312322132212112<+-=++-=+-=x x x x x x x x x x x x x k k k k θ 所以θ为钝角，与ΔPQR 为等边三角形矛盾。
所以命题成立。
3．代数形式的几何意义。
例4 求函数11363)(2424+--+--=x x x x x x f 的最大值。
[解] 因为222222)0()1()3()2()(-------=x x x x x f 表示动点P(x, x 2)到两定点A(3, 2), B(0, 1)的距离之差，见图10-3，当AB 延长线与抛物线y=x 2的交点C 与点P 重合时，f(x)取最大值|AB|=.104．最值问题。
例5 已知三条直线l 1: mx-y+m=0, l 2: x+my-m(m+1)=0, l 3: (m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC ，求m 为何值时，ΔABC 的面积有最大值、最小值。
[解]记l 1, l 2, l 3的方程分别为①，②，③。
在①，③中取x=-1, y=0，知等式成立，所以A(-1, 0)为l 1与l 3的交点；在②，③中取x=0, y=m+1，等式也成立，所以B(0, m+1)为l 2与l 3的交点。
设l 1, l 2斜率分别为k 1, k 2, 若m ≠0，则k 1•k 2=11-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m , S ΔABC =||||21BC AC ⨯，由点到直线距离公式|AC|=1|1|1|1|2222+++=+---m m m m m m ，|BC|=22111|1|m m m m +=++--。
所以S ΔABC =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++⨯11211121222m m m m m 。
因为2m ≤m 2+1，所以S ΔABC ≤43。
又因为-m 2-1≤2m ，所以1212+≤-m m ，所以S ΔABC ≥.41 当m=1时，（S ΔABC ）max =43；当m=-1时，（S ΔABC ）min =41. 5．线性规划。
例6 设x, y 满足不等式组⎩⎨⎧-≥+≤+≤.|32|2,41x y y x（1）求点(x, y)所在的平面区域；（2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。
[解] （1）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+≤+≤,032,322,41x x y y x 或⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+≤+≤.032,232,41x x y y x解得点(x, y)所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。
AB ：y=2x-5；CD ：y=-2x+1；AD ：x+y=1；BC ：x+y=4.(2) f(x, y)是直线l: y-ax=k 在y 轴上的截距，直线l 与阴影相交，因为a>-1，所以它过顶点C 时，f(x, y)最大，C 点坐标为（-3，7），于是f(x, y)的最大值为3a+7. 如果-1<a ≤2，则l 通过点A （2，-1）时，f(x, y)最小，此时值为-2a-1；如果a>2，则l 通过B （3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1.6．参数方程的应用。