导数有关的构造函数

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必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题2

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。

其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题

近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。

导数构造函数

导数构造函数题型一、出现导函数，结构明显，模式固定。

常用模型如下：(1)条件：f ′(x )>a (a ≠0)：构造函数：h (x )＝f (x )－ax .(2)条件：f ′(x )±g ′(x )>0：构造函数：h (x )＝f (x )±g (x )．(3)条件：f ′(x )＋f (x )>0：构造函数：h (x )＝e x f (x )．(4)条件：f ′(x )－f (x )>0：构造函数：h (x )＝f x e x .(5)条件：xf ′(x )＋f (x )>0：构造函数：h (x )＝xf (x )．(6)条件：xf ′(x )－f (x )>0：构造函数：h (x )＝f x x. 例1、已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（）A ．()4,1- B ．(1,4)- C ．(,4)(1,)-∞-+∞U D ．(,1)(4,)-∞-+∞U解：令()()x f x G x e =，则()()()23x f x f x G x x e'-'==+，可设2()3G x x x c =++(0)(0)1G f ==Q ，1c ∴= 所以2()()31x f x G x x x e ==++解不等式()5x f x e <，即()5x f x e <，解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1-例2、已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(],0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，()()ln2ln2b f =⋅，118822log log c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )。

2023届高考数学一轮复习导数中的构造函数

,c=
,因此设函数 f(x)=
,则
e
e
3
5

-ln
-ln
f'(x)= 2 ,当 x>1 时,f'(x)= 2 <0,所以函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,又因为

1<e<3<5,所以 f(e)>f(3)>f(5),即 a>b>c,故选 A.
1
ln3
ln4
对点训练 1(2021 重庆二十九中高三月考)已知实数 a= ,b= ,c= ,则 a,b,c
()
③对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)= cos ;
④对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)cos x.
π
例 6.(多选)(2021 广东惠州高三期中)已知定义在 0, 2 上的函数 f(x)的导函数
x>0 时,g'(x)<0,则函数
a>b,则必有
'()-()
g'(x)= 2 ,因为当
x>0 时,xf'(x)-f(x)<0,所以当
()
g(x)= 在(0,+∞)上单调递减,所以对任意正数
()
()
g(a)= <g(b)= ,即

bf(a)<af(b),故选 B.
a,b,若
A.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) B.(- 2, 2)
C.(-∞,- 2) D.( 2,+∞)
解析设F(x)=x2f(x),F'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x(xf'(x)+2f(x)),因为当x>0

专题一微重点导数中的函数构造问题

微重点3 导数中的函数构造问题导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．考点一导数型构造函数考向1 利用f (x )与x 构造例1 (2022·苏州质检)已知函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.6·f (20.6)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 218·f ⎝⎛⎭⎫log 218，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．c >a >b答案 B解析因为f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是偶函数，令g (x )＝x ·f (x )，则g (x )是奇函数，g ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，所以g (x )在x ∈(－∞，0]上单调递减，又g (x )在R 上是连续函数，且是奇函数，所以g (x )在R 上单调递减，则a ＝g (20.6)，b ＝g (ln 2)，c ＝g ⎝⎛⎭⎫log 218，因为20.6>1,0<ln 2<1，log 218＝－3<0，所以log 218<0<ln 2<1<20.6，所以c >b >a .规律方法 (1)出现nf (x )＋xf ′(x )的形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝ f (x )x n . 跟踪演练1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ′(x )－f (x )x －3>0，且f (1)＝0，则不等式f (e x )－3x e x >0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(e ，＋∞)答案 C解析设g (x )＝f (x )x－3ln x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2－3x＝xf ′(x )－f (x )－3x x 2. 因为f ′(x )－f (x )x－3>0，x >0，所以xf ′(x )－f (x )－3x >0，所以g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增．不等式f (e x )－3x e x >0可转化为f (e x )e x －3ln e x >0，又g (e x)＝f (e x )e x －3ln e x ，且g (1)＝f (1)1－3ln 1＝0，即g (e x )>g (1)，所以e x >1，解得x >0.考向2 利用f (x )与e x 构造例2 (2022·枣庄质检)已知f (x )为定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，且f (x )<f ′(x )恒成立，其中e 是自然对数的底数，则( )A ．f (2 022)<e f (2 023)B ．e f (2 022)<f (2 023)C ．e f (2 022)＝f (2 023)D ．e f (2 022)>f (2 023)答案 B解析设函数g (x )＝f (x )e x ，可得g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x，由f (x )<f ′(x )，可得f ′(x )－f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，则f (2 022)e 2 022< f (2 023)e 2 023，即e f (2 022)<f (2 023)．规律方法 (1)出现f ′(x )＋nf (x )的形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝f (x )e nx . 跟踪演练2 (2022·成都模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>0，且f (3)＝3，则f (x )>3e 3－x 的解集为________．答案 (3，＋∞)解析设F (x )＝f (x )·e x ，则F ′(x )＝f ′(x )·e x ＋f (x )·e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]>0，∴F (x )在R 上单调递增．又f (3)＝3，则F (3)＝f (3)·e 3＝3e 3.∵f (x )>3e 3－x 等价于f (x )·e x >3e 3，即F (x )>F (3)，∴x >3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．考向3 利用f (x )与sin x ，cos x 构造例3 偶函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，其导函数为f ′(x )，若对任意的x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2，有f ′(x )·cos x <f (x )sin x 成立，则关于x 的不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x的解集为__________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，－π3∪⎝⎛⎭⎫π3，π2 解析令g (x )＝f (x )cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴g (－x )＝f (－x )cos(－x )＝f (x )cos x ＝g (x )，∴g (x )为偶函数，又g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ，∴当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，g ′(x )<0，即g (x )在⎣⎡⎭⎫0，π2上单调递减，又g (x )为偶函数，∴g (x )在⎝⎛⎦⎤－π2，0上单调递增，不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x 可化为f (x )cos x <f ⎝⎛⎭⎫π3cos π3，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫π3，则⎩⎨⎧ |x |>π3，－π2<x <π2，解得－π2<x <－π3或π3<x <π2. 规律方法函数f (x )与sin x ，cos x 相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；(2)F (x )＝f (x )sin x， F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； (3)F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；(4)F (x )＝f (x )cos x， F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x. 跟踪演练3 已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π4B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6C.3f ⎝⎛⎭⎫－π4<2f ⎝⎛⎭⎫－π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π3<3f ⎝⎛⎭⎫π4 答案 B解析构造函数F (x )＝f (x )sin x，由f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立，即f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，∴F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x (sin x )2>0， ∴F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又F (－x )＝f (－x )sin (－x )＝－f (x )－sin x＝F (x )， ∴F (x )为偶函数，∵π6<π4， ∴F ⎝⎛⎭⎫π6<F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π6sin π6<f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4，故A 错误；∵偶函数F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递减， ∵－π3<－π6，∴F ⎝⎛⎭⎫－π3>F ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫－π6sin ⎝⎛⎭⎫－π6，∴－f ⎝⎛⎭⎫－π3>－3f ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6，故B 正确； F ⎝⎛⎭⎫－π4<F ⎝⎛⎭⎫－π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－π4sin ⎝⎛⎭⎫－π4<f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3，∴－3f ⎝⎛⎭⎫－π4<－2f ⎝⎛⎭⎫－π3， ∴3f ⎝⎛⎭⎫－π4>2f ⎝⎛⎭⎫－π3，故C 错误； ∵π3>π4，∴F ⎝⎛⎭⎫π3>F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π3sin π3>f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫π3>3f ⎝⎛⎭⎫π4，故D 错误．考点二同构法构造函数例4 已知a >0，若在(1，＋∞)上存在x 使得不等式e x －x ≤x a －a ln x 成立，则a 的最小值为________．答案 e解析 ∵x a ＝ln ln e e a x a x ＝，∴不等式即为e x －x ≤e a ln x －a ln x .由a >0且x >1得a ln x >0，设y ＝e x －x ，则y ′＝e x －1>0，故y ＝e x －x 在(1，＋∞)上单调递增，∴x ≤a ln x ，即a ≥x ln x，即存在x ∈(1，＋∞)，使a ≥x ln x， ∴a ≥⎝⎛⎭⎫x ln x min ，设f (x )＝x ln x(x >1)，则f ′(x )＝ln x －1ln 2x，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0；∴f (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (e)＝e ，∴a ≥e.故a 的最小值为e.规律方法指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x 变成ln e x ，然后构造函数；另一种是将x 变成e ln x ，然后构造函数．跟踪演练4 已知a >0，b >0，且(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，则( )A ．a >b ＋1B ．a b －1 答案 B解析因为(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，a >0，b >0，所以ln (a ＋1)a ＝ln (b ＋3)b ＋1>ln (b ＋2)b ＋1. 设f (x )＝ln (x ＋1)x(x >0)，则f ′(x )＝x x ＋1－ln (x ＋1)x 2. 设g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)(x >0)，则g ′(x )＝1(x ＋1)2－1x ＋1＝－x (x ＋1)2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．当x →0时，g (x )→0，所以g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (a )>f (b ＋1)，所以a <b ＋1. 专题强化练1．(2022·咸阳模拟)已知a ＝1e 2，b ＝ln 24，c ＝ln 39，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 B 解析设f (x )＝ln x x 2，则a ＝f (e)，b ＝f (2)， c ＝f (3)，又f ′(x )＝1－2ln x x 3，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )＝ln x x 2在(e ，＋∞)上单调递减，注意到e<4＝2<e<3，则有f (3)<f (e)<f (2)，即c <a 0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 B解析令g (x )＝f (x )－x 2，则g (－x )＝f (－x )－(－x )2＝g (x )，所以函数g (x )也是偶函数，g ′(x )＝f ′(x )－2x ，因为当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，所以当x ≥0时，g ′(x )＝f ′(x )－2x >0，所以函数g (x )在[0，＋∞)上单调递增，不等式f (x )>x 2＋2即为不等式g (x )>2，由f (1)＝3，得g (1)＝2，所以g (x )>g (1)，所以|x |>1，解得x <－1或x >1，所以f (x )>x 2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．(2022·南京质检)设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若a e a eB ．b >e aC ．ab <eD ．b <e a解析由已知a e a 0，∴e a >1，∵b >0，b ln b >a e a >0，∴b >1.当x >1时，f ′(x )＝ln x ＋1>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以e a 0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，则下列说法正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6 B ．－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6 C ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6 D ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6 答案 D解析令g (x )＝f (x )sin x ，因为f (x )为奇函数，则g (x )为偶函数，又当x >0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，即g ′(x )>0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有g ⎝⎛⎭⎫－π6＝g ⎝⎛⎭⎫π6<g ⎝⎛⎭⎫5π6<g ⎝⎛⎭⎫7π6，即－12 f ⎝⎛⎭⎫－π6<12 f ⎝⎛⎭⎫5π6<－12 f ⎝⎛⎭⎫7π6，即－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6. 5．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析构造函数g (x )＝e x f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x f (x )－e x 在R 上单调递增．又因为g (0)＝e 0f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为e x f (x )－e x >1，即g (x )>g (0)，解得x >0.所以原不等式的解集为{x |x >0}．6．(多选)(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x >1，不等式λe λx ≥ln x 恒成立，则λ的取值可能是( )A ．e B.12e C.1e D.2e答案 ACD解析由题设，e λx ·λx ≥x ln x ＝e ln x ·ln x ，令f (t )＝t ·e t (t >0)，则f ′(t )＝(t ＋1)·e t >0，所以f (t )单调递增，又f (λx )≥f (ln x )，即当x ∈(1，＋∞)时，λx ≥ln x ，即λ≥ln x x 恒成立，令g (x )＝ln x x，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝1－ln x x 2，所以在(1，e)上，g ′(x )>0，即g (x )单调递增；在(e ，＋∞)上，g ′(x )<0，即g (x )单调递减，则g (x )≤g (e)＝1e ，故λ≥1e. 7．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是________．答案 (2，＋∞)解析根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)的图象在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以0<x＋1<x2－1，解得x>2.所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．8．(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log2m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，则m2n＝________. 答案 1解析由题意得log2m＋2m＝2n＋1＋n，log2m＋2m＝2×2n＋n，令g(x)＝log2x＋2x(x>0)，则g′(x)＝1x ln 2＋2>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(m)＝g(2n)，所以m＝2n，所以m2n＝1.。

高考数学导数构造秒杀技巧

导数构造一、基础知识常见导数结构1. 对于不等式)0(,)(≠>'k k x f ，构造函数b kx x f x g +−=)()(2. 对于不等式,0)()(>+'x f x f x ，构造函数)()(x xf x g =3. 对于不等式,0)()(>−'x f x f x ，构造函数xx f x g )()(=4. 对于不等式,0)()(>+'x nf x f x ，构造函数)()(x f x x g n= 5. 对于不等式,0)()(>−'x nf x f x ，构造函数n)()(x x f x g =6. 对于不等式,0)()(>+'x f x f ，构造函数)()(x f e x g x= 7. 对于不等式,0)()(>−'x f x f ，构造函数xe xf xg )()(=8. 对于不等式,0)()(>+'x kf x f ，构造函数)()(x f e x g kx= 9. 对于不等式,0)(2)(>+'x xf x f ，构造函数)()(2x f ex g x =10. 对于不等式,0)(ln )(>⋅+'x f a x f ，构造函数)()(x f a x g x= 11. 对于不等式,0tan )()(>⋅'+x x f x f ，构造函数)(sin )(x f x x g ⋅= 12. 对于不等式,0)(tan )(>⋅−'x f x x f ，构造函数)(cos )(x f x x g ⋅=13. 对于不等式,0)()(>'x f x f ，构造函数)(ln )(x f x g = 14. 对于不等式,0)(ln )(>+'xx f x x f ，构造函数)(ln )(x f x x g ⋅=二、课堂练习 1. 加减构造法例1.已知函数21()2f x x alnx =+，若对任意两个不相等的正数1x ，2x ，都有1212()()4f x f x x x −>−恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．[4，)+∞B ．(4,)+∞C ．(−∞，4]D ．(,4)−∞变式1.已知函数()2x f x e ax =+−，其中a R ∈，若对于任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x −<−成立，则a 的取值范围是( ) A ．[1，)+∞ B ．[2，)+∞C ．(−∞，1]D ．(−∞，2]2．指数乘除法构造例1. 已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x >'，则以下判断正确的是（） A ．2019(2019)(0)f e f > B ．2019(2019)(0)f e f < C ．2019(2019)(0)f e f =D ．(2019)f 与2019(0)e f 大小无法确定变式1.函数()y f x =的导函数为()f x '，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且f （1）e =，则不等式()f lnx x >的解集为( )A ．(,)e +∞B ．(1,)+∞C ．(0,)eD ．(0,1)变式2.定义在[0，)+∞上的可导函数，且()()x f x f x '+<，则对任意正实数a ，下列式子恒成立的是( )A ．f （a ）(0)a e f C ．a e f （a ）(0)f <D ．a e f （a ）(0)f > 3.指数升级构造法例1.对定义在R 上的可导函数()f x 恒有(4)()()0x f x xf x −+'>，则()(f x ) A ．恒大于等于0 B ．恒小于0C ．恒大于0D ．和0的大小关系不能确定变式1.设()f x '是函数()f x 的导函数，且()2()()f x f x x R '>∈，1()(2f e e =为自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为( )A ．(0,)2eB ．C ．1(e ，)2eD ．(2e4.幂函数乘除法构造例题1．已知函数()y f x =对任意的(0,)x ∈+∞满足()()f x xf x >'（其中()f x '为函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是( )A ．1()22f f >（1）B ．1()22f f <（1）C ．12()(12f f <D ．12()2f f >（1）变式1．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()()1x f x f x '+>，且f （1）2018=．则不等式2017()1||f x x <+的解集是( ) A ．(1,1)−B ．(,1)−∞C ．(1−，0)(0⋃，1)D ．(−∞，1)(1−⋃，)+∞5．对数乘除法构造例1.已知定义在[e ，)+∞上的函数()f x 满足()()0f x xf x lnx '+<且f （4）0=，其中()f x '是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为( ) A ．[e ，4)B ．(4,)+∞C ．(,4)eD ．[e ，1)e +变式1.已知定义在[e ，)+∞上的函数()f x 满足()()0f x xf x lnx '+<且f （4）0=，其中()f x '是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为( )A ．[e ，4)B ．(4,)+∞C ．(,4)eD ．[e ，1)e +6.对数升级构造法例1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnxxf x f x x '+=，且f （e ）1e=，则不等式(1)(1)f x f e x e +−+>−的解集是( ) A ．(0,)e B ．(0,1)e + C ．(1,)e − D ．(1,1)e −+变式1．设()f x 是R 上的连续可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，则函数1()()g x f x x=+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．37.三角函数乘除构造法例1.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan 0f x f x x +'<成立，则下列结论一定正确的是( )A(1)()4f f π>B．()()63f ππ>C()()46f ππ>D()()34ππ>变式1.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<−成立，则( )A()()36f ππ>B()()36f ππ<Cf （1）cos1()4f π> D()()64ππ<例2定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x <'成立，则（）A()()43ππ>B ．f （1）2()sin16f π>C ()()64f ππ>D ()()63f ππ>变式1.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知()f x '是它的导函数，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<成立，则有( )A ．()()64f ππ>B ()()63f ππ>C ．()()63f ππ>D ．()()64f ππ>二、课后练习1．已知()f x '为函数()f x 的导函数，当0x >时，有()()0f x xf x '−>恒成立，则下列不等式成立的是( ) A ．1()2(1)2f f >B ．1()2(1)2f f <C ．12()(1)2f f <D ．12()(1)2f f >2．已知()f x '是函数()(f x x R ∈且0)x ≠的导函数，当0x >时，()()0xf x f x '−<，记0.2220.222(log 5)(2)(0.2),,20.2log 5f f f a b c ===，则( ) A ．a b c <时，()()0f x x f x +'>（其中()f x '是()f x 的导函数）恒成立．若2211()()a ln f ln e e =，2(2)b f =，5(5)c lg f lg =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>4．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为函数()f x 的导函数，当[0x ∈，)+∞时，2sin cos ()0x x f x −'>且x R ∀∈，()()cos21f x f x x −++=．则下列说法一定正确的是（） A ．1532()()4643f f ππ−−>−− B ．1534()()4643f f ππ−−>−− C ．313()()4324f f ππ−>− D ．133()()2443f f ππ−−>− 5．已知偶函数()f x 是定义在{|0}x R x ∈≠上的可导函数，其导函数为()f x '．当0x <时，()()f x f x x '<恒成立．设1m >，记4(1)1mf m a m +=+，b =，4(1)()1mc m f m =++，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <>C ．b a c <<D ．b a c >>6．已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x <时，()f x 满足2()()f x xf x x +'<，则()f x 在R 上的零点个数为( ) A ．1B ．3C ．5D ．1或37．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1()()lnx f x f x x'<−，则使得2(1)()0x f x −>成立的x 的取值范围是( )A ．(1−，0)(0⋃，1)B ．(−∞，1)(1−⋃，)+∞C ．(1−，0)(1⋃，)+∞D ．(−∞，1)(0−⋃，1)8．已知偶函数()f x 是定义在{|0}x R x ∈≠上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x <时，()()f x f x x '>恒成立，设1m >，记4(1)1m f m a m +=+，2(2)b m f m =，4(1)()1mc m f m =++，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <>C ．b a c <<D ．b a c >> 9．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，则关于的函数2()()g x f x x=+的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或 210．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()0f x xlnx f x '+<，则使得2(1)()0x f x −<成立的x 的取值范围是( )A ．(−∞，1)(1−⋃，)+∞B ．(−∞，1)(0−⋃，1)C ．(1−，0)(0⋃，1)D ．(1−，0)(1⋃，)+∞11．已知()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，2()()f x xf x >'，且f （1）1=，若存在x R +∈，使2()f x x =，则x 的值为．12．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()()3f x f x '=−，则6()()f x f x '>的解集为( ) A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,)e +∞D ．(,)3e+∞13．知函数()f x 的定义域为R ，(2)2021f −=，对任意(,)x ∈−∞+∞，都有()2f x x '>成立，则不等式2()2017f x x >+的解集为( ) A ．(2,)−+∞B ．(2,2)−C ．(,2)−∞−D ．(,)−∞+∞14．已知定义在R 上的函数()y f x =可导函数，满足当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，则关于x 的函数2()()g x f x x=−的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定15．定义在R 上的函数()f x ，()f x '是其导函数，且满足()()2f x f x +'>，f （1）42e=+，则不等式()42x x e f x e >+的解集为( ) A ．(,1)−∞B ．(1,)+∞C ．(,2)−∞D ．(2,)+∞16．已知函数()f x 在(0,)2π上单调递减，()f x '为其导函数，若对任意(0,)2x π∈都有()()tan f x f x x <'，则下列不等式一定成立的是( )A ．()()36f ππ>B ．()()46f f ππ>C ．()()326f f ππ>D ．()()46f ππ>16．已知函数()f x 是R 上的可导函数，且()f x 的图象是连续不断的，当0x ≠时，有()()0f x f x x '=>，则函数1()()F x xf x x=+的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．317．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()()3f x f x ='−，则4()()f x f x >'的解集为( )A ．4(3ln ，)+∞ B ．2(3ln ，)+∞ C ．(2，)+∞ D ．(3，)+∞ 18．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()()3f x f x ='−，则4()()f x f x >'的解集为( )A ．4(3ln ，)+∞ B ．2(3ln ，)+∞ C ．，)+∞ D ．，)+∞ 19．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()(23)()x f x e x f x '=++，(0)1f =，则不等式()5x f x e <的解集为( )A ．(4,1)−B ．(1,4)−C ．(−∞，4)(1−⋃，)+∞D ．(−∞，1)(4−⋃，)+∞20．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnx xf x f x x '+=，且1()f e e =，则不等式1()x x f e e e e>−+的解集为( ) A ．(,1)−∞ B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(,0)−∞21．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x >'，且(0)3f =，则不等式()3x f x e <的解集为( ) A ．(,0)−∞B ．(,2)−∞C ．(0,)+∞D ．(2,)+∞22．若对定义在R 上的可导函数()f x ，恒有(4)(2)2(2)0x f x xf x −+'>，（其中(2)f x '表示函数()f x 的导函数()f x '在2x 的值），则()(f x ) A ．恒大于等于0 B ．恒小于0C ．恒大于0D ．和0的大小关系不确定23．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得2(2)(13)(31)0xf x x f x +−−>成立的x 的取值范围是( ) A ．(1,)+∞ B ．1(1,)(1,)5−+∞C ．1(,1)5D ．(,1)−∞24．设函数()f x 满足()2()xe xf x f x x'+=，2(2)4e f =，则0x >时()(f x )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值25．定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<成立，则有( )A ()2()64f ππ>B ()()63f ππ>C ．()()63f ππ>D ()()64ππ>26．设()f x '是函数()f x 的导函数，且()2()()f x f x x R '>∈，1()(2f e e =为自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为．27．已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数．给出如下四个结论：①若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ②若()2()0xf x f x '+>，则14(2)(2)n n f f +<，*n N ∈；③若()()0f x f x '−>，则(2017)(2016)f ef >；④若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x f x e −<的解集为(0,)+∞．所有正确结论的序号是．28．已知函数()f x 的导函数为()f x '，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnxxf x f x x'+=，且f （e ）1e =，则不等式(1)(1)f x f e x e +−+>−的解集是．29．已知函数()f x 的导函数为()f x '，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnxxf x f x x'+=，且f （e ）1e =，则不等式1()f x x e e −>−的解集是．。

导数中的构造函数(最全精编)

导数中的构造函数(最全精编)导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想。

在导数题型中，构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。

下面我将分享导数小题中构造函数的技巧。

一）利用 $f(x)$ 进行抽象函数构造1、利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造；常用构造形式有 $xf(x)$ 和$\frac{f(x)}{x}$。

在数导数计算的推广及应用中，我们对 $u\cdot v$ 的导函数观察可得，$u\cdot v$ 型导函数中体现的是“加法”，$\frac{u}{v}$ 型导函数中体现的是“除法”。

由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“加法”形式时，优先考虑构造$u\cdot v$ 型；当导函数形式出现的是“除法”形式时，优先考虑构造 $\frac{u}{v}$ 型。

我们根据得出的“优先”原则，看一看例1和例2.例1】$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当$x0$ 的解集为？思路点拨：出现“加法”形式，优先构造 $F(x)=xf(x)$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=xf(x)$，则 $F'(x)=f(x)+xf'(x)$。

当$x0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup(0,4)$。

例2】设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且$f(1)=2$。

当 $x0$ 恒成立。

则不等式 $f(x)>0$ 的解集为？思路点拨：出现“除法”形式，优先构造$F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{(x-f(x))^2}$。

因为 $xf'(x)-f(x)>0$，所以 $F'(x)>0$，$F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。

利用求导法则构造函数

利用求导法则构造函数近年高考试卷中常出现一种客观题，考查导数运算法则的逆用、变形应用能力。

这种题目的背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)”等特征式，旨在考查学生对导数运算法则的掌握程度。

解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题。

本文结合实例介绍此类问题的几种常见形式及相应解法。

常用的构造函数有：1.和与积联系：如f(x)+xf'(x)，构造xf(x)；2xf(x)+x^2f'(x)，构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，同样构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，构造x^3f(x)；………；nf(x)+xf'(x)，构造x^n f(x)；f'(x)+f(x)，构造e^xf(x)等等。

2.减法与商联系：如xf'(x)-f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x；x^2f'(x)-2f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^2；xf'(x)-nf(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^n；f'(x)-f(x)，构造F(x)=f(x)/e^x；2xe^xf'(x)-2f(x)，构造F(x)=f(x)/(2xe^x)等等。

在构造函数时，有时候不唯一，关键是要合理构造函数。

给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。

一种常见形式是巧设“y=f(x)±g(x)”型可导函数。

当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f'(x)±g'(x)”时，不妨联想、逆用“f'(x)±g'(x)=[f(x)±g(x)]'”，构造可导函数y=f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题。

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导数有关的构造函数一、几种导数的常见构造1、对于)()(''x g x f >，构造)()()(x g x f x h -=；若遇到)0()('≠>a a x f ，则可构造ax x f x h -=)()( 2、对于0)()(''>+x g x f ，构造)()()(x g x f x h += 3、对于0)()('>+x f x f ，构造)()(x f e x h x⋅= 4、对于0)()('>-x f x f ，构造x ex f x h )()(=5、对于0)()('>+x f x xf ，构造)()(x xf x h =6、对于0)()('>-x f x xf ，构造xx f x h )()(=7、对于0)()('≥+x nf x xf ，构造)()(x f x x h n=（注意对x 的符号进行讨论）8、对于0)()('≥-x nf x xf ，构造nx x f x h )()(=（注意对x 的符号进行讨论） 9、对于0)()(ln '≥-x f x xf x ，构造xx f x h ln )()(=10、对于0)()('>x f x f ，构造|)(|ln )(x f x h = 二、典型例题例题1、定义在R 上的函数)(x f y =满足1)1(=f ，且对于任意R x ∈都有21)('<x f ，则不等式21)(22+>x x f 的解集是（）A. )2,1(B. )1,0(C. ),1(+∞D. )1,1(-练习1、已知函数))((R x x f y ∈=满足1)1(=f ，且满足21)('<x f ，则212)(+<x x f 的解集是（）A. }11|{<<-x x B . }1|{-<x x C. }11|{>-<x x x 或D. }1|{>x x例题2、已知函数)(x f y =为R 上的可导函数，满足)()('x f x f >，则有（）A. )0()2015(),0()2015(20152015f e f f f e><-B. )0()2015(),0()2015(20152015f e f f f e <<- C. )0()2015(),0()2015(20152015f e f f f e >>- D. )0()2015(),0()2015(20152015f e f f f e<>-练习2、定义在R 上的函数)(x f y =，若对于任意R x ∈都有)()('x f x f >，且1)(+x f 为奇函数，则不等式0)(<+xe xf 的解集为（）A. )0,(-∞B. ),0(+∞C. )1,(e -∞D. ),1(+∞e例题3、已知定义在R 上的函数)(x f y =，满足)1(+=x f y 的图像关于直线1-=x 对称，且当)0,(-∞∈x 时，0)()('<+x xf x f 成立。

若)21(sin )21(sin f a =，)2(ln )2(ln f b =，)41(log )41(log 2121f c =，则c b a ,,的大小关系是（）A. c b a >>B. c a b >>C. b a c >>D. b c a >>练习3、函数)(x f y =是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足0)()('≤-x f x xf ，对任意整数b a ,，若b a <，则必有（）A. )()(a bf b af ≤B. )()(b af a bf ≤C. )()(b f a af ≤D.)()(a f b bf ≤例题4、函数)(x f y =对任意)2,2(ππ-∈x 满足0sin )(cos )('>+x x f x x f ，则下列不等式成立的是（）A.)4()3(2ππ-<-f f B. )4()3(2ππf f <C.)3(2)0(πf f >D. )4(2)0(πf f >练习4、定义在)2,0(π上的函数)(x f y =，满足x x f x f tan )()('<成立，则（）A. )3(2)4(3ππf f >B. 1sin )6(2)1(πf f <C.)4()6(2ππf f >D. )3()6(3ππf f <例题5、函数)(x f 满足4)1(=f ,3)('<x f ，则不等式1ln 3)(ln +>x x f 的解集为（）A. ),1(+∞B. ),(+∞eC. )1,0(D. ),0(e练习5、已知函数)(x f y =满足)(1)('x f x f ->且2)0(=f ，则不等式1)(+>xxe xf e 的解集是（）A. ),1()0,(+∞⋃-∞B. ),1(+∞-C. ),0(+∞D. ),0()1,(+∞⋃--∞三、当堂检测1、已知函数)(x f y =在),0(+∞上非负，且满足0)()('≤-x f x xf ，对于任意正数n m ,，若n m <，则必有（）A. )()(n mf m nf ≤B. )()(n f m mf ≤C. )()(m f n nf ≤D. )()(m nf n mf ≤2、已知定义在R 上的函数)(x f y =，满足)()('x f x f <，且)2(+x f 为偶函数，1)4(=f ，则不等式xe xf <)(的解集为（）A. ),2(+∞-B. ),4(+∞C. ),1(+∞D. ),0(+∞四、课后巩固1、函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且0)1(=f ，当0>x 时，有)(')(x xf x f >恒成立，则不等式0)(>x xf 的解集是（）A. )1,0()0,(⋃-∞ B . )1,0()1,(⋃--∞ C. ),1()0,1(+∞⋃- D. )1,0()0,1(⋃- 2、函数)(x f y =是奇函数，且2)('x x f <，若])1[(31)()1(33m m m f m f --≥--，则实数m 的取值范围是（）A. ]21,21[-B. ],21[+∞C. ]21,(-∞D. ),21[]21,(+∞⋃--∞3、已知函数)(x f y =的定义域为),0(+∞，其导函数为)('x f ，满足)(2)('x f x xf <恒成立，设函数2)()(xx f x g =，则（）A. )2()1(4f f <B. )2()1(4f f >C. )2(4)1(f f <D. )2('4)1(f f <4、奇函数)(x f y =的定义域为),0()0,(ππ⋃-，其导函数为)('x f 。

当π<<x 0时，有0cos )(sin )('<-x x f x x f ，则关于x 的不等式x f x f sin )4(2)(π<的解集为（）A. ),4(ππB. ),4()4,(ππππ⋃-- C. )4,0()0,4(ππ⋃-D. ),4()0,4(πππ⋃-5、设函数)(x f y =是定义在)0,(-∞上的可导函数，且有2)(')(2x x xf x f >+，则不等式0)2(4)2016()2016(2>--++f x f x 的解集为（）A. )2016,(--∞B. )2018,(--∞C. )0,2018(-D. )0,2016(-6、设),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，e 是自然对数的底数，若xx f x x f )(ln )('>，则下列各式正确的是（）A. )()(2,2ln )()2(2e f e f e f f >< B. )()(2,2ln )()2(2e f e f e f f << C.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f <>D. )()(2,2ln )()2(2e f e f e f f >>7、设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，)('),('x g x f 为其导函数，当0<x 时，0)(')()()('>+x g x f x g x f 且0)3(=-g ，则不等式0)()(<x g x f 的解集为（）A. ),3()0,3(+∞⋃-B. )3,0()0,3(⋃-C. ),3()3,(+∞⋃--∞D. )3,0()3,(⋃--∞Welcome 欢迎您的下载，资料仅供参考！。