微分方程构造函数(1)
高中数学知识点微分方程
高中数学知识点微分方程高中数学知识点——微分方程微分方程（Differential Equation）是高中数学中的一个重要内容，也是数学与自然科学交叉研究时最为常用的工具之一。
微分方程在电子工程、物理学、化学等领域有广泛的应用。
概念及基本要素微分方程指的是关于一个或多个未知函数的导数与该函数自身的表达式，一般形式为$F(y,y',y'',...,y^{(n)})=0$。
其中，$y$是未知函数，$y',y'',...,y^{(n)}$是它的各阶导数。
微分方程的解数就是函数$y$在特定条件下的解集。
微分方程的基本要素是：微分方程的阶数与次数。
微分方程的阶数指方程中最高导数的阶数；微分方程的次数指方程中最高导数的幂次。
常见微分方程一阶微分方程：${\rm d}y/{\rm d}x=f(x,y)$其中，$y$为未知函数，$x$为自变量，$f(x,y)$为已知函数。
它的解可以用分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等方法求出。
二阶微分方程：$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$其中，$p(x)$、$q(x)$、$f(x)$为已知函数，$y$为未知函数，它的解可以用齐次方程法和非齐次方程法求解。
齐次方程法是指将非齐次方程化为对应的齐次方程，而非齐次方程法是指先找到齐次方程的通解，再根据非齐次项的特殊形式，找到一个可以使齐次通解中包含非齐次项的特解。
高阶微分方程：可以用多种方法求解，如常系数高阶微分方程可以用特征方程法求解，非齐次线性方程可以用未定系数法和待定系数法求解，变系数非齐次线性方程可以用变换求解。
微分方程在自然科学中的应用微分方程在自然科学中的应用非常广泛，它的主要作用是将问题转化为一个数学问题，通过求解微分方程得到某些物理量的函数关系式。
以牛顿第二定律为例，如果一个物体受到的力为$F(t)$，质量为$m$，则它的加速度$a(t)$与受力之间的关系可以用微分方程来表示：$m{\rm d}^2x/{\rm d}t^2=F(t)$。
罗尔定理构造辅助函数微分方程法
构造辅助函数时(这种情况适用于所有一阶齐次微分方程的情况→即f(x)与f~(x)只差一阶导时)，先把方程写成一阶齐次微分方程的形式:f~(∮)+g(∮)f(∮)=0，再把∮改成x，最后两端同乘e~(∫g(x)dx)，即可得到辅助函数。
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：
（1）在闭区间 [a,b] 上连续。
（2）在开区间 (a,b) 内可导。
（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
证明：
因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在ξ处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
微分方程基本概念介绍
微分方程基本概念介绍微分方程（Differential equation）是数学中研究函数与其导数（或称微商）之间的关系的方程。
它在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
本文将就微分方程的基本概念进行介绍。
一、微分方程的定义微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''分别表示一阶、二阶导数。
二、微分方程的类型1.第一阶微分方程：形式为dy/dx = f(x)的微分方程，它包含一阶导数，最高阶数为1；2.第二阶微分方程：形式为d²y/dx² = f(x)的微分方程，它包含二阶导数，最高阶数为2；3.常系数微分方程：系数与自变量无关的微分方程，如dy/dx + ay = 0；4.线性微分方程：未知函数及其导数只有一次项且可相加，如y''+ p(x)y' + q(x)y = f(x)；5.非线性微分方程：未知函数及其导数有非线性项的微分方程，如y' = y²。
三、解微分方程的方法1.可分离变量法：将方程重写成形式dy/f(y) = g(x)dx，然后分别对x和y积分；2.齐次微分方程法：将微分方程转化为全微分形式dz = P(x, y)dx + Q(x, y)dy，其中P和Q为关于x和y的函数，然后求z的通解；3.一阶线性微分方程法：利用一阶线性微分方程的特性，找到形如y = u(x)v(x)的通解；4.常系数线性微分方程法：对于常系数微分方程，可通过特征方程求得特解；5.变量代换法：通过变量代换将微分方程转化为更简单的形式，再进行求解；6.数值解法：对于无法解析求得的微分方程，可以通过数值计算方法求得近似解。
四、微分方程的应用微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
它可用于描述动力学系统、电路网络、人口变化、物质传输等各类问题。
微分学中构造函数的新方法
２１ ０ ２年 ２月
大 学 数 学
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微 分 学 中构造 函数 的新 方法
张群 力
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引理 １ 。 若 （ ３ ，２ … ，ｎ 为 （ ） ＇ 。 ； ｌＹ ， ｙ ） １ 的在 域 Ｇ 内 的一个 首 次 积分 ， （ １ Ｙ ， ， ＋Ｃ， ， 则 ； ，２ … Ｙ ） 忌 （ ， ｚ … ， 也 为 （ ） ； Ｙ ， Ｙ ） １ 在域 Ｇ 内的一个 首次 积分 ， 中 Ｃ为任 意常数 ， ∈ ． 其 ｋ 为书 写方便 ， 我们 只探 讨 （ ） １ 中含 有两 个未 知 函数 的情形 ， 即
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高考数学构造函数知识点
高考数学构造函数知识点高考数学中，构造函数是一个重要的知识点，并且在解决实际问题时有着广泛的应用。
构造函数是指通过给定的条件、方法和规则，将一组数值映射到另一组数值的数学表达式。
在学习构造函数这一知识点时，我们需要了解它的定义、特征以及具体应用。
首先，构造函数可以通过给定的条件和方法，将自变量（输入）映射到因变量（输出）。
考虑一个简单的例子，如果我们想要构造一个可以计算x的平方的函数，我们可以定义一个函数f(x) = x^2。
这里，x 是自变量，f(x)是因变量。
通过这个函数，我们可以将任意一个实数x映射到f(x)。
其次，构造函数还具有一些特征，例如定义域、值域和可逆性。
定义域是指构造函数能够接受的自变量的取值范围，而值域则是构造函数能够得到的因变量的取值范围。
在上述例子中，定义域是所有实数，值域是所有非负实数。
另外，构造函数还可能具有可逆性，即给定一个因变量，我们可以通过构造函数的逆映射求得对应的自变量。
在这个例子中，函数f(x) = x^2是不可逆的，因为给定一个非负实数y，我们无法唯一地确定一个实数x使得f(x) = y。
构造函数在解决实际问题时也有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以利用构造函数来描述供求关系或者生产函数。
在物理学中，构造函数可以用来描述物体的运动轨迹或者力学关系。
通过利用构造函数的定义和特征，我们可以对这些实际问题进行数学建模，并通过构造函数来求解。
这不仅能够帮助我们理解实际问题，还能够提高我们的数学能力和解决问题的能力。
此外，构造函数还可以通过一些变换来进行组合。
例如，我们可以通过平移、缩放和倒置等变换，将已知的函数进行组合形成新的构造函数。
这使得我们能够构造出更加复杂的函数，并且应用于不同的实际问题中。
同时，构造函数也可以通过求导、积分等运算进行操作，从而得到函数的导数、积分和微分方程等相关信息。
这些操作为我们解决实际问题提供了更多的途径和工具。
总结起来，高考数学中的构造函数是一个重要的知识点，它不仅具有理论价值，还有着广泛的应用。
微分方程公式总结
微分方程公式总结微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述变量之间的关系以及其随时间或空间的变化规律。
微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，在实际问题的建模与求解中起到重要的作用。
本文将对微分方程的基本概念、常见的分类、常见的解法以及应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''...y^(n)代表y对x的一阶、二阶...n阶导数。
常见的微分方程类型有：常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中只含有一变量的导数，常见的类型有一阶、二阶和高阶常微分方程；偏微分方程中含有多个变量的偏导数，常见的类型有泊松方程、热方程和波动方程等。
二、常见的微分方程分类及解法1.一阶常微分方程一阶常微分方程形式为：dy/dx = f(x, y)解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
2.高阶常微分方程高阶常微分方程形式为：y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)解法：齐次线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
3.一阶偏微分方程一阶偏微分方程形式为：F(x,y,u,p,q)=0其中u=u(x,y)是未知函数，p=∂u/∂x，q=∂u/∂y为一阶偏导数。
解法：变量分离法、特征线法、线性方程法等。
4.二阶偏微分方程二阶偏微分方程形式为：Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = 0其中A、B、C、D、E、F为已知函数，A、B、C不同时为零。
解法：分离变量法、特征线法、变换法等。
三、微分方程的应用微分方程是物理学、工程学、经济学等实际问题的重要工具，应用领域广泛。
1.物理学应用微分方程可以描述物体的运动、电磁场的分布等物理现象。
微分中值定理(怎样构造辅助函数)
怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。
先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε)证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y,所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即⎰⎰=dx dy y11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x ey ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -⋅，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。
再给大家举几个例子。
二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证：在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的，xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。
三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.证：02=+y x dx dy ，移项就是dx x dy y 121-=，所以x y ln 2ln -=，所以就是21x y =，移项就是12=⋅x y ，所以构造的函数就是2)(x x f ⋅，再用罗尔定理就可以了。
注：这种方法不是万能的，结合下面例题尝试做下。
微分中值定理的证明题1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ∀∈，(,)a b ξ∃∈使得：()()0f f ξλξ'+=。
微分方程的公式
微分方程的基本公式和应用微分方程是数学中一个重要且广泛应用的分支，它在物理、工程、经济和其他科学领域中都有着广泛的应用。
在微分方程中，我们经常会遇到一些基本公式，这些公式不仅在理论上有着非常重要的意义，同时在实际应用中也有着广泛的价值。
一、一阶常微分方程的基本公式一阶常微分方程的一般形式为：y' = f(x,y)，其中 y' 表示 y关于 x 的导数，f(x,y) 是一个已知的函数。
1. 可分离变量的一阶常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = g(x)h(y)其中 g(x) 和 h(y) 都是已知函数，则这个方程可以通过分离变量的方法来求解。
2. 齐次一阶常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = F(y/x)其中 F(z) 是关于 z 的已知函数，则这个方程可以通过齐次化的方法来解决。
3. 一阶线性常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 都是关于 x 的已知函数，则这个方程可以通过积分因子的方法来解决。
4. 其他一阶常微分方程还有一些一阶常微分方程没有特殊的形式，这些方程可以通过变量代换、替换或其他方法来求解。
二、高阶常微分方程的基本公式除了一阶常微分方程，还有二阶甚至更高阶的微分方程需要求解。
1. 二阶常微分方程的基本公式二阶常微分方程的一般形式为：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中 y'' 表示 y 对 x 的二阶导数。
2. 高阶常微分方程的基本公式高阶常微分方程的一般形式为：y^(n) + p1(x)y^(n-1) + ... + pn(x)y = f(x)，其中 y^(k) 表示 y 对 x 的第 k 阶导数。
三、微分方程的应用微分方程不仅在理论上有着非常重要的意义，同时在实际应用中也有着广泛的价值，主要体现在以下几个方面：1. 物理问题的模拟微分方程可以用来模拟物理问题，如弹性碰撞问题、自由落体问题等。
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专题:微分方程构造函数
总括:
①我们把这类方程称为一阶线性齐次微分方程.
②我们把这类方程称为一阶线性非齐次微分方程
在高中数学以及大学考研中,用微分方程构造题目函数不等式是非常凑效的方法.
注意
例题一:定义在上的可导函数满足恒成立,问与的大
小关系.(选择题)
方法一:令满足恒成立,故
方法二:解微分方程
构造
例题二(某市模拟题):定义在上的函数是它的导函数且恒有成立,则( )
方法一:从B选项看出和比较关系,从A选项看出和比较关系.然后猜
测需要构造
方法二:解微分方程
构造函数
注意到故
,选项A错误
,选项B错误
,选项C错误
,选项D正确
例题三:定义在上的可导函数的图像连续,当时,则函数
的零点的个数为
方法一:考察零点个数转化为
的解的个数
构造
故无解,即零点个数为零
方法二:解微分方程
构造函数
有
注意到中故无零点
评价:虽然看上去方法一较方法二简便,但这样做是不是太靠运气了呢?毕竟不一定构造
函数那么简单就可以看出来的.总的来说,解微分方程是最佳的最保险最万能的方法.
例题四(自编题):定义在上的可导连续函数满足时,恒有
且已知函数.则函数
的零点个数为
解:先解微分方程
构造函数
故当时,当时
有无零点
例题五(坏坏悦子寒假做过滴):定义在上的可导连续函数满足
恒成立.请问与零的大小关系
解:
解微分方程
构造
而恒成立
故
特别地,当时代入得
综上有
例题六(高中数学吧):定义在上的可导函数满足:对任意有,且在
有.若求实数范围.
解:陷阱是看到转化为
于是构造,之后就会解题失败….
坏坏悦子只需记住一点,这类函数题,出现函数与导数的不等式,那么就是要解这个微分方程.其他条件先不管它,我们先把构造函数求出来
先解微分方程
构造函数
当时有
[注意到题目有个条件]
从而为奇函数,故在上单调递增
由于即
评价:这题出题人挺阴险的…
接下来是一阶线性非齐次微分方程的题目
首先坏坏悦子要记住一个很长很长的公式((>_<),加油!坏坏悦子最聪明啦)
的解为
……..其中表示对积分…例如
后面的题目坏坏悦子有兴趣的话就看看哇…四川可能不会考,但说不准,毕竟新课改什么情况都有可能发生….
例题七(某地区模拟):定义在上的可导连续奇函数满足当时恒成
立.试比较与大小关系.
方法一:注意到和
方法二:解微分方程
代入公式得到
构造函数
注意分子大于零
那么再注意到
比较与大小关系即比较与
大小关系
显然由单调性知即
例题八(自编题):设为可导连续函数且对
都有则下列说法中一定正确的是________
①
②
③
④
解:先解微分方程
代入公式得
注意到分子小于零,分母大于零,有
逐一验证可知①③④正确
对于②仅由这些条件是不足以推出②的。