微分方程模型1(基础知识)

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（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现 象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其
复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的
现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后 从数学上求解或分析所建方程及其解的性质， 再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、 模拟某些实际现象。
1
( t t 0 )
N0 t t0 ln N
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N0 t t0 ln N 1 半衰期 T ln 2 1

碳-14 铀-238
T 5568 年 T 45亿年
镭-226
铅-210
Байду номын сангаас
T 1600 年 T 22年
, N (t ) 能测出或算出，只要知道 N 0 就可算出
的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造
Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作快完成时，又 获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下
罪证。
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为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理
学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最 先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行 分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝 的痕迹。 这样，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。 1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。 但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都 不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆
2010年全国大学生数学建模竞赛暑期强化培训
微分方程模型
主讲人：徐世英
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的 过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制 手段时。通常要建立对象的动态模型。 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为 困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时， 可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导 数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。
由：x(t ) 可得： 即：
x0 e
t
1 ＝ ln2 T
ln 2 t T
x(t ) x0 e
x0 T t ln ln 2 x(t )
由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把上式作如下修改.
x(t ) x0 e t x(t )
x(0) x(0) x0

H
h
dh B 2 g dt A h 0
t
B 2 h 2 H 2gt A B h H 2gt 2 B 2A h H 2gt 2A
水面高度与时间的函数关系
B h H 2gt 2A
水流空所需时间为（令 h=0 ）
2
A 2H t B g
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马王堆一号墓年代确定的第二种方法
马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的 木炭标本的C14平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木 头烧成的木炭中C14平均原子蜕变数为38.37/s,又知C14 的半衰期为5568年，这样，我们可以把
x(0) 38.37 / s
大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。
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原理
著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：
物质的放射性正比于现存物质的原子数。
设 t 时刻的原子数为N (t ) ，则有
dN N dt 初始条件 N t t N 0
0
为物质的衰变常数。
N (t ) N 0 e

为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量
变化的数学模型为：
dy y r dt y (t 0 ) y0
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求解
y (t )
r
( t t ) ( t t ) y0 y(t )e r[e 1]
x( t ) x 0 e
t
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x x0 e
t 8000
当x 0.0624 x0 时
求得 t 8000 ln 0.0624 22400 yr
此即所求死亡年数。 1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其
棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的 量约为大气中的0.7757倍，采用该方法计算得该墓距 离今天有2130年左右。通过历史文献考证，该古墓 的年代为西汉早期，约在2100年前，两者符合得很
Ah Bs
h s A lim B lim t t dh ds A B dt dt dh B 2 gh dt A
初始条件
h(0) H
可分离变量的方程。
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第二步解方程：
dh B 2 gh dt A
dh B 2 g dt A h
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x0 x(0) x(t ) x(t )
将上式代入，可得：
T x(0) t ln ln 2 x(t )
这样由上式可知，只要知道生物体在死亡时体 内C14的衰变速度 x(0)和现在时刻t的衰变速度 x(t ),就 可以求得生物体的死亡时间了，在实际计算上，都 假定现代生物体中C14的衰变常数与生物体死亡时代 生物体中C14的衰变常数相同。
刻的水面高度和将水放空所需的时间。
通过解决此问题想到什么？
第一步列方程 A 设时刻 t 的水面高度为 h
水面1
t t 时的水面高度为 h h
等量关系：
h
h h
水面2
B
t 时间由水面1 降到水面2所失去的水量等于从
小孔流出的水量。
Ah Bs
s是水在 t 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。
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铀238
T 45亿年
镭226
T 1600 年
（无放射性）
铅206
钋210
铅210
T 22年
T 138天
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假设
（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪
的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少
还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟
（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代的 重要手段之一。
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基本原理
从星际空间射到地球的射线
宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反 应而生成具有放射性的 c 。从古至今，碳 大气中
14
c
14
不断产
生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。
c
14
处于动态平衡状态， c
代入
T x(0) t ln ln 2 x(t )
x(t ) 29.78 / s
得
5568 38.37 t ln 2036 年 ln 2 29.78
这样就估算出马王堆一号墓大约是在2000多年前的西汉时代。
任何生物体内都含有一定量的碳14。当生物活着的时候， 它不断和外界进行物质交换，所以生物体内碳14的含量和自然 界中碳14的含量是相平衡的。可是，一旦生物死亡，就不再与 外界进行物质交换，他们体内的碳14就不断减少，并且得不到 任何补充。由于碳14是放射性碳，它的半衰期为5730年，所以 每过5730年放射性碳原子数目就减少一半。自然界没有任何力 量可以使这个过程减慢或加快，于是测定它在有机体残骸中的 含量，就可以准确地确定生物体死亡的年龄。美国化学家李比， 根据碳14的这一特性，创立了一种崭新的化学分析法——放射 性碳14断代法。由于这种方法应用广泛，准确无误，具有重大 的科学价值，因此，他于1960年获得了诺贝尔化学奖。
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常微分方程建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程 求解常微分方程有三种方法： 1）求精确解； 2）求数值解（近似解）；
3）定性理论方法。
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例1 流水问题
一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水， 由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从 小孔流出的速度为 ，求在任一时 v 2 gh
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裂变速率与剩余量成正比。 λc14=1/8000
设在时刻t（年），生物体中C14的存量为x(t), 生物体的死亡时间记为t0=0,此时C14含量为x0, 由假设，初值问题的数学模型为：
dx x dt x( 0 ) x 0
解为
规律： 裂变速率与剩余量成正比。 已知：λc14=1/8000
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思考：如何求半衰期？
x0 x(T ) 2
代入
x(t ) x0 e kt
得
T
1

ln 2
由λc14=1/8000 可得碳14的半衰期为 5568年
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思考：假设已知C14的半衰期，不知道物质中C14的数量，可 以测出单位时间衰变放射出的C14分子数，如何确定生物体 的年龄？
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得 到直接关系，就得求解微分方程。
微分方程的实质： 实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过 程，是一个动态模型。 作用： 1、分析它的变化规律； 2、预测它的未来形态；
3、研究它的控制手段。
与统计方法的区别：