数学建模第五章微分和微分方程模型
数学建模实验答案微分方程模型
实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt =-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。
参考程序：提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
第5章 微分方程模型(投影版)
“改变 改变”、“变化” 变化 、“增加” 增加 、“减少”等关键词 减少 等关键词 提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” ,常涉及 到导数. 运用已知物理定律 机理分 利用平衡与增长式 析法 建立方法 常用微分方程 运用微元法 应用分析法
数学建模
第五章 微分方程模型
运用已知物理定律利用平衡与增长式机理分利用平衡与增长式运用微元法运用微元法应用分析法数学建模第五章微分方程模型描述对象特征随时间空间的演变过程动态模型分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态模型预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段微分根据函数及其变化率之间的关系确定函数本身微分方程模型根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程数学建模第五章微分方程模型数学建模第五章微分方程模型随着科学技术的发展常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础理论
数学建模
问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段
第五章 微分方程模型
按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 模型 l 设时刻t 的病人人数x ( t )是连续、可微函数，并且每天每个病 是连续 可微函数 并且每天每个病 人有效接触的人数为常数λ t 到t +△t 病人人数的增加 x ( t + △t ) – x ( t ) =λx ( t ) △t
dx x , x(0) x0 dt 随着t的增加，病人人数 的增加 病人人数x ( t )无限增长，这显然是不符合实际的。 无限增长 这显然是不符合实际的 失败的原因：有效接触的人群中，有健康人也有病人，而只有健 康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。
“数学建模”课程简介及教学大纲
“数学建模”课程简介及教学大纲课程代码：112010131课程名称：数学建模课程类别：专业基础课总学时/学分：72/4开课学期：第五学期适用对象：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业先修课程：数学分析、高等代数、概率统计内容简介：本课程主要通过各个领域中的实例介绍各种数学方法建模，主要包括：初等数学方法与实验；Matlab、Lingo的使用；微分法建模与实验；微分方程建模与实验；差分法建模与实验；优化方法建模与实验；离散方法建模与实验；随机方法建模与实验。
一、课程性质、目的和任务1．性质：数学与应用数学、信息与计算科学专业必修课。
数学建模是将实际问题依其自身的特点和规律，经过去粗取精、去伪存真、抓住主要矛盾，进行抽象简化和合理假设，用数学的语言和方法转化为数学问题，然后选择适当的数学方法和工具，给予数学的分析与解答，再将所给出的结果返回到所论的实际问题中去进行检验，符合实际则数学建模成功，否则再从头开始，如此反复多次，直至通过实践检验为止。
数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁,•数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
本课程通过大量实例介绍数学建模的全过程。
2．目的：通过向学生展示各种不同实际领域中的数学问题和数学建模方法，通过对一系列来自不同领域的实际问题的提出、分析、建模和求解的学习与训练，激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，开拓知识面，培养创新精神，提高学生分析问题、解决问题和计算机应用的能力。
3. 任务：本课程旨在通过建模训练培养：（1）学生用数学工具分析解决实际问题的意识并逐步提高其洞察能力。
（2）学生用数学思想和方法综合分析实际问题的能力。
（3）学生的联想能力。
（4）学生熟练地使用计算机和数学软件包的能力。
即培养学生的建模能力和解决实际问题的能力。
二、课程教学内容及要求第一章绪论：1、数学建模的意义；2、数学建模的方法和步骤；数学模型的分类。
数学建模微分方程模型
忽略i0 s s0 i0 s ln 0 s0
1
ln s0 ln s s0 s
< >
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s 1 x 1 s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
<
>
§2 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
< >
模型1 假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
病人可以治愈！
< >
(日接触率) tm
模型3 传染病无免疫性——病人治愈成
SIS 模型 为健康人，健康人可再次被感染
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率 建模
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
0
消去dt /
SIR模型
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1} 在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
D 0
<
1
s
>
模型4
相轨线 i ( s) 及其分析
SIR模型
i ( s ) ( s 0 i0 ) s 1
数学建模微分方程模型
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
数学建模---微分方程模型简介
Malthus模型特点: 在有限的时间内, 在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的; 但是, 由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害, 以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况.
11
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Logistic阻滞增长模型
hR £ ¹
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N c xR 2 2p
比较：
è ò ¾ £ Ì ªÎ ¬ Ø ¬ï ¬ï §æ à î Á ¬ Ò ² À Ã Ï Ç ¼ £ Ó «Æ é ´ Ï Ñ µ Ó Ó Î £ ¶ Ë ¾ Ç ©Õ ð ò ¾ ñ Ï ñ î × ¬ ð æ ¡ ß ¾ æ È ª ² ¿ Æ ¶ » ³ Ï ² À ½ Ò Ê » È £ ¶ Ò ³ Ò À Ê ³ ½ c à ï Ò ð ï Ò ¬ «Î µ É ° ï £ µ Ó » ¶ Ó » £ ñ ¹ É » Æ ¾ ¡
x
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§2 、人口模型
设 t 时刻人口数为 x(t ) ，经过 t 时间后，人数变为
x 则从 t 时刻到 t t 时刻的平均增长速度为 ， x( t ) x ， t x x( t )。 相对增长率为 t
t ªË Ã Ó ï ¤É ¹ É ¾ µ Î ¶ Ó ³ Á £
数学建模~~微分方程模型
求实
创新
团结
奉献
例5 求
du dt
1 u
2
的通解.
输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结果：u = tg(t-c)
例 6 求微分方程的特解.
d 2 y dy 4 29 y 0 2 dx dx y ( 0 ) 0 , y ' ( 0 ) 15
建立模型：
A, 0 t 设 t 时刻的广告费用为： A ( t ) 0, t
模型如下：
dS dt pA ( t )(1 S (t ) M ) S (t )
求实
创新
团结
奉献
二、微分方程（组）的Matlab求解 微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
实际应用时，与欧拉公式结合使用：
0 y i(1) y i hf ( x i , y i ) h ( k 1) (k ) y i 1 y i [ f ( x i , y i ) f ( x i 1 , y i 1 )] k 0 ,1, 2 , 2
求实
创新
团结
奉献
解 输入命令 ：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z)
结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
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在解决实际问题时，弄清问题中的变量之间的函数关系或其转变趋势是相当重要的，而在一些较为复杂的转变进程中，变量之间的函数关系无法直接取得。
可是，在许多情形下，咱们往往能够在理论或体会的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系。
也确实是找出一个或几个含有未知函数及其导数所知足的方程，那个（些）方程就称为微分方程（组）。
然后通过求解微分方程（组）取得变量之间的函数关系，或在微分方程（组）的基础上进行数值计算和渐进性态研究，从而了解整个系统的进展转变规律。
为了研究一些实际问题的转变规律，往往需要对所研究的问题进行适当的简化和假设，再成立数学模型，当问题中涉及变量的转变率时，就能够够通过微分方程来建模。
微分方程模型主若是解决与导数，也即转变率相关的问题，可是；实际问题中一样并非会直接显现“导数”或“转变率”等词语，这时，就需要咱们认真分析，从中找出这些信息，一样来讲，若是问题中涉及到“速度”、“增加”、“改变”、“转变”、“增加”、“减少”、“衰变”（在放射性问题中）、“扩散”、“边际的”（在经济学中）等问题时，往往就能够够用微分方程（组）来建模。
微分方程模型的类型很多，在解决实际问题时，要依照具体情形选择不同的模型，成立模型时，应第一将实际问题概念化为文字方程，许多问题都遵循下面的模式：总讯宗勋净转变率=净增加率━净减少率若是变量之间的关系能够用这种形式来描述，咱们就不难给出相应的微分方程（组）了。
在成立了微分方程模型以后，咱们固然希望能取得微分方程的解，可是，关于大多数微分方程而言，要想直接求解往往是困难的，乃至是不可能的，现在咱们能够通过对方程的定性分析取得有关的一些有效信息。
§1 确信性存贮模型为了使生产和销售有条不紊地进行，一样的工商企业总需要存贮必然数量的原料或商品，但是大量的库存不但积存了资金，而且会使仓库的保管费用增加。
因此，寻求合理的库存量乃是现代企业治理的一个重要课题。
需要注意的是，存贮问题的原型能够是真正的仓库存货，水库存水，也能够是运算机的存贮器的设计问题，乃至是大脑的存贮问题。
衡量一个存贮策略好坏的直接标准是该策略所消耗的平均费用的多寡。
那个地址的费用通常要紧包括：存贮费、定货费（定购费和本钱费）、缺货损失费和生产费（指本单位生产，假设是外购，那么无此费用）。
由此可知，存贮问题的一样模型为min（定货费（生产费）+存贮费+缺货损失费）模型一 不许诺缺货，定货销售模型 为了使问题简化，咱们作如下假设：（1）由于不许诺缺货，因此规定缺货损失费为无穷大； （2）当库存量为零时，可当即取得补充；（3）需求是持续均匀的，且需求速度（单位时刻的需求量）为常数； （4）每次定货量不变，定货费不变； （5）单位存贮费不变。
假定每隔时刻t 补充一次存贮，货物单价为k ，定购费为C 3,单位存贮费为C 1,需求速度为R 。
由于不许诺缺货，因此定货量应为Rt ，从而本钱费为kRt ，总的定货费为C 3+kRt ，平均定货费为kR tC +3又因为t 时刻内的平均存贮量为Rt d R Rt t t 21)(10=-⎰ττ因此平均存贮费为Rt C 121于是，在时刻t 内，总的平均费用C(t)为 Rt C kR t C t C 1321)(++=如此，问题就变成t 取何值时，C （t ）最小？即存贮模型为 min Rt C kR t C t C 1321)(++=这时一个简单的无条件极值问题，很容易求得它的最优解为 132RC C t =* 即每隔t*时刻定货一次，可使平均费用C （t ）最小，每次定货批量为 132C RC Rt Q ==** 这确实是存贮论中闻名的经济定购批量公式（Economic Ordering Quantity ），简称EOQ 公式，存贮量转变情形，如下图。
例1 某商店出售某种商品，每次采购该种商品的定购费为2040元，其存贮费为每一年170元/吨。
顾客对该种商品的年需求量为1040吨，使求商店对该种商品的最正确定货批量、每一年定货次数及全年的费用。
解：取时刻单位为年，那么有R=1040,C 3=2040,C 1=170于是定货批量应为158********104020402*≈=⨯⨯=Q定货距离为152.0023.0104017020402*≈=⨯⨯=t全年的费用为22858152.0104017021152.02040)(*≈⨯⨯⨯+=t C 于是每一年的定货次数应为58.6152.011*≈=t由于定货的次数应为正整数,故能够比较定货次数别离为6次和7次的费用。
假设定货次数为6，可得每一年的总费用为22973)61(≈C 。
假设定货次数为7，可得每一年的总费用为22908)71(≈C 。
因此每一年应定货7次，每次定货批量为1040／7吨，每一年的总费用为22908元。
模型二 不许诺缺货，生产销售模型模型一中的货物是通过从其它单位定购而取得的，然后再进行销售。
此刻讨论货物不是由于生产需一按时刻，因此除保留 模型一的假设外，再设生产批量为Q ，所 需生产时刻为T,故生产速度为P=Q/T ，而 且需求速度R<P 。
假设t=0时Q=0，那么在时刻区间[0,T] 内，存贮量以速度P-R 增加；在[T,t]内存 贮量以速度R 减少（如图），其中T 与 t 皆为待定数。
由图可知（P-R ）T=R （t-T ） 即PT=Rt这说明以速度P 生产T 时刻的产品恰好等于t 时刻内的需求。
由此能够求出 PRt T =由于t 时刻内的存贮量等于图中三角形的面积，故t 时刻内的存贮量为Tt R P )(21- 从而存贮费为Tt R P C )(211-若是再设t 时刻内的生产费为C 3,那么t 时刻内的平均总费用C （t ）为tC t R P R C P C PRt R P C t C Tt R P C t t C 3132131)(21])(21[1])(21[1)(+-=+-=+-= 于是所求的数学模型为tC t R P R C P t C 31)(21)(min +-=利用微积分方式，可求得生产的最正确周期为 )(213R P R C PC t -=*由此即可求出最正确生产批量Q *,最正确费用C(t *)及最正确生产时刻T *别离为)(22)()(2133113R P P C R C PRt T PRP RC C t C R P C RP C Rt Q -=-=-==***** 那个地址取得的t *、Q *与模型一中的t *、Q *相较较，即知它们只差一个因子RP P-。
可见，当P 相当大（即生产速度相当大，从而生产时刻就很短）时，RP P-趋近于1，这时两个模型就近似相同了。
例2 假设某厂每一个月需某种产品100件，生产率为500件/月，每生产一批产品需预备费5元，每一个月每件产品的存贮费为元，试求最正确生产周期，最正确生产批量和最正确费用，最正确生产时刻。
由题意知C 1=,.C 3=5,P=500,R=100,利用公式得56.0*≈t （月），月）（元），件）0.12(T 14.8)C(t ,(56***=≈≈Q 模型三 许诺缺货，定货销售模型所谓许诺缺货，确实是企业能够在存贮降到零时，还能够再等一段时刻定货。
本模型的假设条件除许诺缺货外，其余条件皆与模型一相同。
记缺货费（即单位缺货损失费）为C 2.假设时刻t=0时，存贮量为S ，能够知足t 1时刻的需求，那么在t 1这段时刻内的存贮量应为121St 。
在t-t 1到t 这段时刻内，存贮为零，缺货量为21)(21t t R -，如下图。
由于S 只能知足t 1时刻的需求，故 S=Rt 1 即RSt =1，从而在t 时刻内的存贮费及 缺货费别离为RS Rt C t t R C RS C St C 222122111)(21)(212121-=-⋅=⋅ 于是平均总费用为])(22[1),(32221C S Rt RC S R C t S t C +-+= 所论问题的数学模型min ])(22[1),(32221C S Rt RC S R C t S t C +-+= 这时二元函数的极值问题。
利用微积分方式，即可得最正确周期为 21213)(2RC C C C C t +=*最初的存贮量为)(221132C C C RC C S +=*最正确定货量21213)(2C C C C RC Rt Q +==**最正确费用213212),(C C RC C C S t C +=**若是C 2专门大（这意味着不许诺缺货）时，1212≈+C C C ，因此13132,2C RC Q R C C t ≈≈** 这与模型一的结论相同例3若是例1中能够考虑缺货，并设缺货损失费为每一年每吨500元，试问每次最正确定货量为多少？每一年应定货几回？每一年存贮总费用为多少?依照公式得23202500170104020405001702),(183176.01040137)500170(17010405002176.05001040170)500170(20402*****=+⨯⨯⨯⨯==⨯=≈+⨯⨯⨯=≈⨯⨯+⨯⨯=S t C Q S t那么，每一年定货次数应为68.5176.011*==t 一样，由于定货次数应为正整数，故可别离比较次数为5次和6次的费用。
假设每一年定货6次，那么定货周期和定货批量别离为61040,61==Q t 相应的,12961040500170500212≈⋅+=+=Q C C C S 从而23235),(=S t C假设每一年定货5次，那么定货周期和定货批量别离为51040,51==Q t 一样可得23394),(15551040500170500=≈⋅+=S t C S 因此每一年应定货6次，每次定货批量为1040／6吨，每一年的总存贮费用为23235元。
§2 丛林救火模型丛林失火了！消防站接到报案后派多少消防队员前去救火呢？派的队员越多，丛林的损失越小，可是救援的开支会越大，因此需要综合考虑丛林损失费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的人数。
）问题分析 损失费通常正比于丛林烧毁的面积，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时刻有关，灭火时刻又取决于消防队员数量，队员越多灭火越快。
救援费除与消防队员有关外，也与灭火时刻长短有关。
记失火时刻为t ＝0,开始救火时刻为t=t 1，灭火时刻为t=t 2.设在时刻t 丛林烧毁面积为B(t)，那么造成损失的丛林烧毁面积为B(t 2)。
建模要对函数B(t)的形式作出合理的简单假设。
研究dt dB 比B （t ）更为直接和方便。
dtdB 是单位时刻烧毁面积，表示火势蔓延的程度。
在消防队员抵达之前，即10t t ≤≤，或是愈来愈大，即dtdB随t 的增加而增加；开始救火以后，即21t t t ≤≤，若是消防队员救火能力足够强，火势会愈来愈小，即dtdB应减小，而且当t=t 2时dtdB＝0。