概率方法

1.3 组 合
超图H = (V, E ): V 为有限集, V 中的元素称为点, E 是V 的子集族, E 中的元素称为边. H 是n-一致的: 若E 中的任意一条边恰好含有n 个点. H 有特性B 或是2-可染的: 若存在V 的一个2-染色, 使得没有边是单色的. m(n): 不含特性B 的n-一致的超图的最少可能边数. 命题1.3.1 少于2n−1 条边的n-一致超图都有特性B . 因此m(n) ≥ 2n−1 .
k +l k
.
证明: 设X = ∪i=1,...,h (Ai ∪ Bi ), Π 为X 的任意一个排序. 对任意i, 1 ≤ i ≤ h, 设Xi 表示事件: 在π 中, Ai 的所有元素先于Bi 的所有元素.
1 +l . (kk ) 下证Xi, Xj 是不能同时发生的,即Xi, Xj 不交, 1 ≤ i, j ≤ h.
δ2
d( ) < m2− 2 . (1.1) 证明: 假设(1.1)不真. 随机独立地从 中选出t 个元素A1 , A2 , . . . , At .
n 2
n
我们将证明|A1 ∪ · · · ∪ At | > 盾.
有正的概率且A1 ∪ · · · ∪ At 与X 中超过2 2 个不同子集不交, 则矛
K ⊆V,|K |=k n k
P r[AK ] =
· (1 − 2−k )n−k < 1,
∴ 事件∪K ⊆V,|K |=k AK 不发生的概率为正. 即存在一场含有性质Sk 的n 阶竞赛图. 一个无向图G = (V, E ) 的一个控制集U :一个集合U ⊆ V , 使得任意的v ∈ V − U , v 至少有一个邻 点在U 中. 命题1.2.2 设G = (V, E ), |V | = n, 最小度δ > 1, 则G 存在至多含有n ·
则P r[Xi] =
假设Xi, Xj 有交集, 即存在π 使得Ai 先于Bi , Aj 先于Bj . 设πt 为Ai ∪ Aj 的最后一位, 假设πt ∈ Ai , 则Bi 中的元素必从≥ t + 1 位开始, 而Aj 中的元素都处 于≤ t 处,这就与Ai ∩ Bj = ∅ 矛盾. ∴ Xi, Xj 是不交的. 1 ≥ P r[∪i=1,...,h Xi = ∴h≤
|C | p−1
=
k+1 3k+1
>1 3.
设1 ≤ x ≤ p, di = xbi (modp), 0 ≤ di < p, i = 1, 2, . . . , n. 4
固定i, 1 ≤ i ≤ n. 将x 从1取到p − 1, 则di 包括了Zp 中的所有非零元素. ∴ P r[di ∈ C ] =
证明:设H = (V, E ) 是一个少于2n−1 条边的n-一致超图. 用两种颜色随机地对V 进行染色. 对任意e ∈ E ,设Ae 表示事件: e 是单色. 则P r[Ae ] = 21−n . ∴ P r[∪e∈E Ae ] ≤ ∴ m(n) ≥ 2n−1 . 现在我们要找m(n) 的一个上界. 设V 是含有v 个点的集合, χ 是V 的一个2-染色, 使得a 个点染一种色, b = v − a 个点染另一种色. 设S ⊆ V , |S | = n. 则P r[S 在χ 下是单色的] = 为方便起见, 假设v 是偶数. 在a = b = v 2 时达到最小. v 2 ·( 2 ) ∴ P r[S 在χ 下是单色的] ≥ p, p = vn . (n) 设S1 , S2 , . . . , Sm 是m 个大小为n 的集合, 即|Si | = n, i = 1, 2, . . . , m. ∵ 是凸函数, ∴ + 对每一个染色χ, 设Aχ 表示事件: 没有Si 是单色, i = 1, 2, . . . , m. 由Si 的独立性, P r[Aχ ] ≤ (1 − p)m , P r[∪χ Aχ ] ≤ 2v (1 − p)m . 现令m =
n k
· (1 − 2−k )n−k < 1, 则存在一场含有性质Sk 的n 阶竞赛图.
n k
证明: 设V = 1, 2, · · ·, n. 取K ⊆ V , |K | = k , 则在V 中取出K 有
种可能.
设AK 表示事件: 在V − K 中不存在一个选手能打败K 中所有选手, 对于任意v ∈ V − K , v 不能打败K 中所有选手的概率为1 − 2−k , 即P r[AK ] = (1 − 2−k )n−k . ∴ P r[∪K ⊆V,|K |=k AK ] ≤
1+ln(δ +1) (δ +1)
个点的控制集.
证明: 设p ∈ {0, 1}. X : 在V 中独立随机地选出的一些点组成的集合, 被选出的概率为p. Y = YX : 在V − X 中,满足没有邻点在X 中的点所组成的集合. 对任意v ∈ V , P r[v ∈ Y ] = P r[v 和v 的邻点都不在X 中] = (1 − p)d(v)+1 ≤ (1 − p)δ+1 . 令U = X ∪ Y , 则U 是明显的控制集. |U | ≤ |X | + |Y | ≤ n · p + n · (1 − p)δ+1 ≤ n · p + n · eδ+1 ≤ n · G = (V, E ) 的一个剖分：即将V 分成两个非空不交的集合. 若v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 , 则称这个剖分分离了v1 和v2 . 一个剖分的大小: G 中满足一个端点在V1 另一个端点在V2 中的边的条数. G 的边连通度: 即为G 中剖分的大小的最小值. 命 题 1.2.3 设G = (V, E ) 是最小度为δ 的图, V = V1 ∪ V2 是大小小于δ 的一个剖分，则G 的每个控
k +l k i=1,...,h P r [Xi ] 1
=h×
+l ) (kk
.
.
1.4 组 合数 理论
阿贝尔群G 的子集A 被称为sum-free 的: 若(A + A) ∩ A = ∅. 即不存在a1 , a2 , a3 , 使得a1 + a2 = a3 . 定 理1.4.1
1 且|A| > 3 n.
下面,我们用2阶近似. v 2) 2 ·( n p = v = 21−n i=0,1,...,n−1 (2) 这就得到了如下定理. 定理1.3.2 设
v − 2i v −i
∼ 21−n e
−n2 2v
,m∼
e ln 2 4
· n2 2n .
2 2 n m(n) < (1 + o(1)) e ln 4 ·n 2 .
1+ln(δ +1) (δ +1) .
制集在V1 和V2 中都有点. 证明:假设不成立. 设U ⊆ V1 . 对任意v ∈ V2 , 设vi , i = 1, 2, . . . , δ 为v 的δ 个邻点. 我们作剖分如下: 将i 从1取到δ , 若vi ∈ V1 , 则取ei = {v, vi }, 若vi ∈ V2 , 由控制集的定义, 至少存在一点u ∈ U , ei = {u, vi }. ∴ 此剖分至少含有e1 , e2 , . . . , eδ 这δ 条不同的边. 从而矛盾. 2
n(1−δt) , (1.2) P r[|A1 ∪ · · · ∪ At | ≤ n 2] ≤ 2
= {(Ai , Bi )}i=1,...,h 是任意集合的子集对族, 称 为(k, l) 系 统: 对1 ≤ i ≤ h, 有|Ai | = k, |Bi | = l, Ai ∩ Bi = ∅; 对 不 同 的i, j, 1 ≤ i, j ≤
h, Ai ∩ Bj = ∅. 定理1.3.3 若 = {(Ai , Bi )}i = 1, . . . , h 是一个(k, l) 系统, 则h ≤
1.5 不 交对
设 是X = {1, 2, . . . , n} 中m 个不同子集所构成的族. 中不交对的数目, d( ) = |{{F, F } : F, F ∈
1
d( ) 表示 定理1.5.1 设
, F ∩ F = ∅}|.
是X = {1, 2, . . . , n} 的m = 2( 2 +δ)n 个子集多构成的族, δ > 0, 则
|C | p−1
>1 3.
先考虑i 有n 个选择, ∴ 使得di ∈ C 的bi 的可能数≥ n 3. ∴ 存在一个x, 1 ≤ x ≤ p, 使得对任意的a ∈ A, xa(modp) ∈ C . 若A 不是sum-free的, 则存在ai , aj , ak , 使得ai + aj = ak , ∵ di = xai , dj = xaj , dk = xak , ∴ di + dj = dk , 这与C 是sum-free矛盾. ∴ A 是|A| > 1 3 n 且sum-free的.
v ln 2 p y n a n b n
a b )+(n ) (n . v (n)
e∈E
P r[Ae ] < 2n−1 · 21−n = 1.
∴ 存在V 的一个2-染色, 使得没有边是单色.
.
2 −p· v ln p
∵ 1 − p ≤ e−p , ∴ P r[∪χ Aχ ] ≤ 2v (1 − p)m < 2v e−pm ≤ 2v e
≤ 1. ∴ 此时有m(n) ≤ m.
现在要求的是m 的最小值,即求v 为何值时, v p 最小. v 2·( 2 ) v ∵ p = vn , ∴ 可将p 等价的看成从有 v 2 个白球, 2 个黑球的v 个球中取n 个球,使得n 个球都是白 (2) 球的概率的两倍. 则p 可用21−n 来等价估计. 此时m ∼ v · 2n−1 (ln 2). 3
第一章
基本方法
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