定义新运算
奥数第四讲定义新运算
奥数第四讲定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。
它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+ -、x、卞、>、V”等。
表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如b=3a-3b,新运算使用的符号是☆, 而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。
如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。
值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。
、例题与方法指导例1、设ab都表示数，规定a^ b表示a的4倍减去b的3倍，即a A b=4X a-3 >b, 试计算5A6，6A5。
解5A6=5X4-6 X=20-18=26A 5=6X4-5 X=24-15=9说明例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。
例2、对于两个数a、b,规定a^b表示3X a+2X b,试计算(5^6)^7,5^( 6^7)。
思路导航：先做括号内的运算。
解：(5^6) ☆ 7= (5X3+6X2) ☆ 7=27^ 7=27X3+7X2=955^ (6^7) =5^ (6X3+7X2) =5^32=5X3+32X2=79说明本题定义的运算不满足结合律。
这是与常规的运算有区别的。
例3、已知2A3=2X3X4，4A2=4X5, 一般地，对自然数a、b，a A b表示a X (a+1) X (a+b-1).计算(6A3) - (5A2)。
思路导航:原式=6X7--5 6=336-30规定：a A =a+(a+1)+(a+2)+ …+ (a+b-1),其中a,b表示自然数。
例4、已知3=1+2+3=6，求100 的值。
已知x△ 10=75，求x.思路导航：(1)原式=1+2+3+…+100= (1+100) 600吃=5050(2)原式即x+(x+1)+(x+2)+ •••+(X+9) =75,所以：10X+(1+2+3■…+9)=7510x+45=7510x=30x=3例5、定义运算：a© b=3a+5ab+kb,其中a, b为任意两个数，k为常数。
定义新运算
定义新运算新运算是一种数学运算方式，通过对数字进行特定的计算规则和操作，得到一个新的数字结果。
下面将介绍新运算以及它的特点和应用。
新运算的定义：新运算是一种基于数字的运算方式，其计算规则和操作不同于传统的四则运算。
它通过对数字的排列、组合和变换，产生出一个全新的数字结果。
新运算的特点：1. 创新性：新运算采用了全新的计算规则和操作方式，与传统的四则运算不同，具有很高的创新性和独特性。
2. 多样性：新运算具有多种不同的运算规则和操作方式，可以根据需要进行选择和应用，适用于各种不同的计算问题。
3. 灵活性：新运算的计算规则和操作可以根据具体需求进行调整和扩展，具有很高的灵活性和可定制性。
4. 应用广泛：新运算可以在各个领域和行业中应用，如科学研究、工程设计、数据分析等，能够解决各种复杂的计算问题。
新运算的应用：1. 科学研究：新运算可以应用于物理学、化学、生物学等领域的科学研究中，可以处理大量的实验数据，分析数据间的关联和规律。
2. 工程设计：新运算可以用于工程设计中的优化问题，通过对不同参数的组合和变换，找到最优解决方案。
3. 数据分析：新运算可以应用于大数据分析中，通过对庞大的数据集进行排列和组合，发现数据中的隐藏规律和趋势。
4. 金融领域：新运算可以应用于金融领域中的风险管理和投资决策，通过对市场数据的分析和计算，提供决策支持和风险评估。
总之，新运算是一种具有创新性和独特性的数学运算方式，通过对数字的排列、组合和变换，产生出一个全新的数字结果。
它具有多样性、灵活性和广泛的应用领域，在科学研究、工程设计、数据分析和金融领域等方面都具有重要的应用价值。
定义新运算
（1）5☆6 （2）6☆5 （3）2☆（3☆5） （4）（2☆3）☆5
3、规定3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，…按此规定计算：11*5
4、如果1=1！，1×2=2！，1×2×3=3！，…1×2×3×4×…×99×100=100！那么1！+2！+3！+4！+…+100！的个位数字是几？
【易错点总结】
新定义运算注意的问题:
(1)新定义运算一般不满足运算定律
如:a△b≠b△a a△(b△c) ≠(a△b) △c
(a*b) △c≠(a△c)*(b△c)
(2)“+”“-”“×”“÷”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序.
【四、课堂练习】
1、规定a*b=4a-3b，计算：（1.5*0.8）*0.5
【例3】设A⊕B=2×（A+B）-2×（A÷B），计算：（1）（12⊕4）⊕13； （2）70⊕（18⊕4）。
【练ห้องสมุดไป่ตู้】
1、规定a⊙b=(a+b)÷(a-b)，按此规定计算:(1)21⊙5 (2)(18⊙9) ⊙2
2、设a#b=5a-2b，计算：（12.5#8）#19.72
【例4】小辉用电脑设计了A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置A:将输入的数加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置A后面连接装置B，就写成A·B，输入1后，经过A·B输出了3.那么，输入9，经过A·B·C·D输出几?
例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。
定义新运算
【知识梳理】定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二、定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合【分类型例题分析】一、直接运算型例 1若表示，求的值例 2 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。
6△（3△4）例 3 已知a，b是任意自然数，我们规定：a⊕b= a+b-1，，那么例 4 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。
那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。
第一讲 定义新运算
第一讲定义新运算定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、 等，掌握规则，转化为四则运算中的“+、—、×、÷”。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
导学启思例1 假设a*b=(a＋b)＋(a－b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这里的*运算规则是“两个数的和加上两个数的差”。
1、13*5=（13＋5）＋（13－5）=18＋8=262、5*4=（5＋4）＋（5－4）=1013*（5*4）=13*10=（13＋10）＋（13－10）=26试一试1：1、将新运算“*”定义为：a*b=(a＋b)×(a－b)。
求27*9。
2、设a*b=a2＋2b，那么求10*6和5*（2*8）。
例2 设p、q是两个数，规定：p△q=4×q－(p＋q)÷2。
求3△(4△6).【思路导航】这里的△运算规则是“后一个数的4倍减两个数和的一半。
这里要两次运用运算规则，先算括号里面的，再算括号外面的。
3△(4△6).＝3△【4×6－（4＋6）÷2】＝3△19＝4×19－（3+19）÷2＝76－11＝65试一试2：1、设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p＋q）÷2，求5△（6△4）。
2、设p、q是两个数，规定p△q＝p2＋（p－q）×2。
求30△（5△3）。
例3 如果1*5=1＋11＋111＋1111＋11111，2*4=2＋22＋222＋2222，3*3=3＋33＋333，4*2=4＋44。
那么7*4=？，210*2=？【思路导航】仔细审题，判断这里的*表示的意义。
定义新运算讲义
定义新运算定义1、定义新运算是指：用一个符号把字母连接在一起，表示一种新的运算。
注意：(1)做题的关键是要正确理解式子含义，按照式子的计算顺序，将数值代入式子中，转化为一般的四则运算，然后进行计算。
(2) 它通常使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、龟、△、♦、■等来表示的一种运算。
(3) 新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例1、对丁任意数a, b有a*b=axb-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12X4 -12-4=48-12-4=32练习一1,设a、b都表示数，规定：aOb=6x a— 2X b。
试计算3。
4。
例2、假设 a ★ b = ( a + b 士b。
求8 ★ 5。
分析与解：该题的运算顺序为：a ★ b等丁两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8, b代表数字5。
8 ★ 5 = (8 + 5) 士5 = 2.6练习二对丁两个数a与b,规定：a® b=ax b— ( a+ b)。
计算3® 5。
例3、如果aAb=aXb-(a+b。
求6A (9A2)。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。
括号里的部分已经构成了新运算，其运算结果乂与括号外的部分构成新运算。
本题要运用新运算的关系，计算两次。
6A (9A 2)=6A [9 X 2- (9+2)] =6A 7=42-13=29练习三1、规定aAb=axb- (a+ b)。
求(10^5) + ( 28A5)的值例4、已知〔◎ 4=1+2+3+4 405=4+5+6+7+8 按此规定，200105=?分析与解：通过观察可以发现，这个特殊的符号在这道题中所规定的定义是求几个连续的自然数的和。
〔◎#表示从1开始连续4个自然数的和，40 5表示从4开始5个连续自然数的和，2001^5是表示从2001开始连续5个自然数的和。
2001 ◎ 5=2001+2002+2003+2004+2005=2003X 5=10015练习四如果2口3=2+ 3 + 4=9, 6口5=6+ 7+ 8+ 9+ 10=40。
定义新运算
定义新运算新运算是一种数学运算，旨在拓展数学领域的计算方法，以应用于更广泛的场景。
本文将探讨新运算的定义及其应用领域，包括数值运算、集合运算和符号运算等方面。
首先，我们从数值运算方面来定义新运算。
传统数学运算包括加法、减法、乘法和除法等，而新运算将进一步扩展这些运算符号，并引入更多的数学概念。
例如，我们可以定义一种新的运算符号，表示取余数。
在传统运算中，我们使用“%”表示取余数，而在新运算中，我们可以引入符号“|”来表示取余数。
这将使得我们在处理实际问题时更加灵活和方便。
在集合运算方面，新运算也有着独特的定义和应用。
传统的集合运算包括并集、交集和差集等，而新运算将引入更多的集合操作符号。
例如，我们可以定义一种新的符号，表示集合的对称差。
在传统集合运算中，对称差需要通过交集和差集来计算，而在新运算中，我们可以引入符号“△”来直接表示集合的对称差。
这将大大简化集合运算的复杂度。
除了数值运算和集合运算，新运算还可以应用于符号运算。
传统的符号运算包括代数运算和逻辑运算等，而新运算将引入更多的符号概念和运算规则。
例如，我们可以定义一种新的符号，表示求导操作。
在传统的符号运算中，求导需要通过极限的概念来进行计算，而在新运算中，我们可以引入符号“′”来直接表示求导操作。
这将极大地简化符号运算的复杂性，并提高计算效率。
另外，新运算还可以应用于图论、代数几何和数论等多个数学分支。
例如，在图论中，我们可以定义一种新的运算符号，表示图的连通。
在传统的图论中，判断图的连通性需要通过图的遍历算法来计算，而在新运算中，我们可以引入符号“∼”来表示图的连通性。
这将使得图论的研究更加简洁和高效。
综上所述，新运算是一种通过引入新的运算符号和运算规则来拓展数学领域的计算方法。
它可以应用于数值运算、集合运算和符号运算等多个方面，并在计算效率和简洁性上提供更好的解决方案。
虽然新运算还处于初级阶段，但随着数学的发展和需求的增加，它有望得到更广泛的应用。
每日十分钟定义新运算
每日十分钟“定义新运算”1、定义新运算：规定运算：1++-=*b a ab b a ，则4*)3(-=举一反三：（1）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 、b ，都有a ☆b=ab+ a 2, 则（－3）☆2 =（2）规定一种新运算：a * b =22a b b ab--，则5 *（-2）= （3）、现规定一种新运算“*”：a *b =b a ，如3*2=23=9，则（21）*3= 2、定义计算“∆”，对于两个有理数a ,b ，有a ∆b=a +b-a b ，例如：-3∆2=5，则(-2∆3) ∆0= 举一反三：（1）定义一种新运算：x*y=，如2*1==2，则（4*2）*（﹣1）= ．（2）定义新运算“※”：对于任意有理数a 、b ，都有a ※b=2a 2＋b.例如3※4=2×32＋4=22，那么当m 为有理数时，m ※（m ※2）=（3）用“⌦”定义新运算: 对于任意的有理数a 、b , 都有 a ⌦b = b 2 +1.如7⌦4 = 42 +1 = 17. 那么 5⌦3 = ，当m 为有理数时, 则m ⌦(m ⌦2) =（4）、如果规定符号“﹡”的意义是a ﹡b =aba b +，求2﹡（-3）﹡4的值 3、设一种运算程序是x ⊗y =a (a 为常数)，如果（x +1）⊗y =a +1；x ⊗（y +1）=a -2.已知1⊗1=2，那么2012⊗2012=解：由x ⊕y=a ，（x+1）⊕y=a+1，x ⊕（y+1）=a-2，及1⊕1=2，得2⊕1=2+1=3，2⊕2=3-2=1，3⊕2=2，3⊕3=0，4⊕3=1，4⊕4=-1，5⊕4=0，5⊕5=-2，6⊕5=-1，6⊕6=-3，…∴2012⊕2012=-2009．故答案为-20094、用“«”“»”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a «b =a ，和a »b =b ，例如：3«2=3，3»2=2，则（2012 »2011）«（2010»2009）=5、,,,a b c d 为有理数，现规定一种运算：a c b d =ad bc -，那么当2(1)x - 45=18时， x 的值是多少？6、 “！”是一种数学运算符号，1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24， 5！= ……则!98!100=继续巩固：1、把(－12)－(－13)+(－14)－(+15)+(+16)统一成加法的形式是,写成省略加号的形式是 ,读作．2、已知有理数a，b，c在数轴上的位置如下图所示，(1) 用 < ，>，= 填空： a+c 0， c-b 0, b+a 0 abc 0(2) 化简：a c c b b a++--+。
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定义新运算
专题简析：
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“∆、#、*、·”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
例题1。
假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。
练习1
.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。
例题2。
设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6).
练习2
设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。
那么7*4=？，210*2=？
练习3
如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，…..那么，4*4=？，18*3=？
例题4。
规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1⑥ －1⑦ =1⑦
×A ，那么A 是几？
练习4
规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……..如果1⑧ －1⑨ ＝1⑨
×A ，那么A=？。
例题5
设a ⊙b=4a-2b+12
ab,求x ⊙（4⊙1）＝34中的未知数x 。
练习5
设a ⊙b=3a-2b,已知x ⊙（4⊙1）＝7求x 。
1、设a*b=a 2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。
2、设a*b=3a －12 ×b ，求（25*12）*（10*5）。
3、设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p 2+（p －q ）×2。
求30△（5△3）。
4、设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M N +N M ，求10*20－14 。
5、规定a*b=a+aa+aaa+aaa+aaaa ……..a,那么8*5=？
（b-1）个a
6、如果2*1=1
2 ，3*2=13
3 ，4*3=1
444 ，那么（6*3）÷（2*6）=？。
7、规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，…..如果1
⑩
+
1
（11）
＝
1
（11）
×□，那么□＝？。
8、如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，….5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝？
9、、对两个整数a和b定义新运算“▽”：a▽b=2a-b
(a+b)×(a-b)
，求6▽4+9▽8。
10、对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝
4xy
mx+3y
（其中m是一个确定的整数）。
如果1*2＝1，那么3*12＝？。