用Mathematica计算氢原子二级斯塔克效应
§10 用Mathematica进行级数运算
1371§10 用Mathematica 进行级数运算Mathematica 能把函数展成级数的形式，还能对级数及级数间进行四则运算及能对级数开方或取log 值等。
10.1 级数的展开在Mathematica 系统中，用Series 将一个函数)(x f 展开成为幂级数。
其调用形式有以下两种：（1）Series[f,{x,x 0,n}] 把函数f 在点0x 处展开到x 的n 次幂。
（2）Series[f,{x,x0,n1},{y,y0,n2}] 把二元函数f 在点),(00y x 处展开到x 的1n 次幂,y 的2n 次幂1 幂级数的展开例10.1 将函数x x f arctan )(=在00=x 处展开到x 的10次幂。
解 In[1]:=Series[ArcTan[x],{x,0,10}] Out[1]=119753][9753x O x x x x x ++−+− 要去掉误差可使用命令Normal.In[2]:= Normal.[%] Out[2]= 97539753x x x x x +−+− 2 Taylor 级数的展开例10.2 将函数)1log()(z z f +=在00=z 处展开到z 的7次幂. 解 In[3]:=Series[Log[1+z],{z,0,7}] Out[3]=876532][7654324z O z z z z z z z ++−+−+− 10.2 级数的运算1 Mathematica 对级数的四则运算和微、积分 例10.3 分别将x x x cos ,sin 在点00=x 处展开到x 的5次幂a 和b ，并求其1372和、差、积及a 的微积分。
解 In[1]:=Clear[a,b,x]In[2]:=a=Series[Sin[x],{x,0,5}] Out[2]=653][1206x o x x x ++− In[3]:=b=Series[x*Cos[x],{x,0,5}] Out[3]=653][242x o x x x ++− In[4]:=a+b Out[4]=653][20322x O x x x ++− In[5]:=a-b Out[5]= 653][303x O x x +− In[6]:=a*b Out[6]=7642][15232x O x x x ++− In[7]:=D[a,x] Out[7]=542][2421x O x x ++− In[8]:=Integrate[a,x] Out[8]=7642][720242x O x x x ++− 2 用Mathematica 还有其它一些与级数有关的命令如InverseSeries,ComposeSeries 等。
Mathematica的常用函数
Mathematica的内部常数Pi , 或π(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“p”+“Esc”）圆周率πE (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ee”+“Esc”）自然对数的底数eI (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ii”+“Esc”）虚数单位iInfinity, 或∞(从基本输入工具栏输入 , 或“Esc”+“inf”+“Esc”）无穷大∞Degree 或°(从基本输入工具栏输入,或“Esc”+“deg”+“Esc”）度Mathematica的常用内部数学函数指数函数Exp[x]以e为底数对数函数Log[x]自然对数，即以e为底数的对数Log[a，x]以a为底数的x的对数开方函数Sqrt[x]表示x的算术平方根绝对值函数Abs[x]表示x的绝对值三角函数（自变量的单位为弧度）Sin[x]正弦函数Cos[x]余弦函数Tan[x]正切函数Cot[x]余切函数Sec[x]正割函数Csc[x]余割函数反三角函数ArcSin[x]反正弦函数ArcCos[x]反余弦函数ArcTan[x]反正切函数ArcCot[x]反余切函数ArcSec[x]反正割函数ArcCsc[x]反余割函数双曲函数Sinh[x]双曲正弦函数Cosh[x]双曲余弦函数Tanh[x]双曲正切函数Coth[x]双曲余切函数Sech[x]双曲正割函数Csch[x]双曲余割函数反双曲函数ArcSinh[x]反双曲正弦函数ArcCosh[x]反双曲余弦函数ArcTanh[x]反双曲正切函数ArcCoth[x]反双曲余切函数ArcSech[x]反双曲正割函数ArcCsch[x]反双曲余割函数求角度函数ArcTan[x，y]以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度数论函数GCD[a,b,c,．．．]最大公约数函数LCM[a,b,c,．．．]最小公倍数函数Mod[m,n]求余函数(表示m除以n的余数)Quotient[m，n]求商函数（表示m除以n的商）Divisors[n]求所有可以整除n的整数FactorInteger[n]因数分解，即把整数分解成质数的乘积Prime[n]求第n个质数PrimeQ[n]判断整数n是否为质数，若是，则结果为True，否则结果为FalseRandom[Integer，{m，n}]随机产生m到n之间的整数排列组合函数Factorial[n]或n！阶乘函数，表示n的阶乘复数函数Re[z]实部函数Im[z]虚部函数Arg(z)辐角函数Abs[z]求复数的模Conjugate[z]求复数的共轭复数Exp[z]复数指数函数求整函数与截尾函数Ceiling[x]表示大于或等于实数x的最小整数Floor[x]表示小于或等于实数x的最大整数Round[x]表示最接近x的整数IntegerPart[x]表示实数x的整数部分FractionalPart[x]表示实数x的小数部分分数与浮点数运算函数N[num]或num->a表达式/.{x->a, y->b,…}如何用mathematica进行复数运算a+b*I表示复数a+bIConjugate[z]求复数z的共轭复数Exp[z]复数的指数函数，表示e^zRe[z]求复数z的实部Im[z]求复数z的虚部Abs[z]求复数z的模Arg[z]求复数z的辐角，如何在mathematica中表示集合与数学中表示集合的方法相同，格式如下：{a, b, c,…}表示由a, b, c,…组成的集合（注意：必须用大括号）下列命令可以生成特殊的集合：Table[f,{n}]生成包含n个元素f的集合Table[f[n],{n，nmax}]n从1到nmax，间隔为1，生成集合{f[1], f[2], f[3],…, f[nmax]} Table[f[n],{n，nmin, nmax}]n从nmin到nmax，间隔为1，生成集合{f[nmin], f[nmin+1], f[nmin+2],…, f[nmax]}Table[f[n],{n，nmin, nmax, dn}]n从nmin到nmax，间隔为dn，生成集合{f[nmin],f[nmin+dn], f[nmin+2*dn],…, f[nmax]}Range[n]生成集合{1, 2, 3 ,…, n}Range[imin, imax]生成集合{imin,imin+1,imin+2,…,imax}Range[imin, imax, di]生成集合{imin,imin+di,imin+2*di,… } (最大不超过imax)如何用Mathematica求集合的交集、并集、差集和补集Union[A,B,C,…] 求集合A,B,C,…的并集A~Union~B~U nion~C~Union~… 求集合A,B,C,…的并集A∪B∪C∪… 求集合A,B,C,…的并集Intersection[A,B,C,…] 求集合A,B,C,…的交集A~ Intersection ~B~ Intersection ~C~ Intersection ~… 求集合A,B,C,…的交集A∩B∩C∩… 求集合A,B,C,…的交集Complement [A,B,C,…] 求差集A~ Complement ~B~ Complement ~C~ Complement ~… 求差集Complement [全集I，A] 求集合A关于全集I的补集全集I ~ Complement ~A 求集合A关于全集I的补集如何mathematica用排序Sort[v]将数组或向量v的元素从小到大排列（升序排列）Reverse[v]将数组或向量v的元素按照与原来相反的顺序重新排列（续排列）RotateLeft[v]将数组或向量v中的每一个元素向左移一个位置RotateRight[v]将数组或向量v中的每一个元素向右移一个位置RotateLeft[v，n]将数组或向量v中的每一个元素向左移n个位置RotateRight[v，n]将数组或向量v中的每一个元素向右移n个位置如何在Mathematica中解方程Solve[方程，变元]注：方程的等号必须用： = =如何在Mathematica中解方程组Solve[{方程组}，{变元组}]注：方程的等号必须用： = =如何在Mathematica中解不等式先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载方法为：<<Algebra`InequalitySolve` 然后执行解不等式的命令InequalitySolve，此命令的使用格式如下：<--mstheme--><--mstheme-->InequalitySolve[不等式，变元]<--mstheme-->如何在Mathematica中解不等式组先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载方法为：<<Algebra`InequalitySolve` 然后执行解不等式组的命令InequalitySolve，此命令的使用格式如下：<--mstheme--><--mstheme-->InequalitySolve[{不等式组}，{变元组}] (我的研究成果)InequalitySolve[And[不等式组]，{变元组}]InequalitySolve[不等式1&&不等式2&&…&&不等式n，{变元组}]<--mstheme-->如何在Mathematica中解不等式组先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载方法为：<<Algebra`InequalitySolve`然后执行解不等式组的命令InequalitySolve，此命令的使用格式如下：<--mstheme--><--mstheme-->InequalitySolve[{不等式组}，{变元组}] (我的研究成果)InequalitySolve[And[不等式组]，{变元组}]InequalitySolve[不等式1&&不等式2&&…&&不等式n，{变元组}]如何用mathematica表示分段函数lhs:=rhs/;condition当condition成立时，lhs才会被定义成rhsIf[test，then，else]如果test为True，则执行then，否则执行 elseIf[test，then，else，unknown]如果test为True，则执行then，为False时，则执行else，无法判断test是True或False时则执行unknownWhich[test1，value1，test2，value2，．．．]如果test1为True，则执行value1，test2为True，则执行value2，依次类推。
用mathematica计算氢原子光谱的相对强度
用mathematica计算氢原子光谱的相对强度使用Mathematica计算氢原子光谱的相对强度氢原子光谱是物理学中的重要研究对象之一。
通过对氢原子的光谱进行分析，可以深入了解原子的能级结构以及光与物质的相互作用等基本物理过程。
在本文中，我们将使用Mathematica软件来计算氢原子光谱的相对强度。
首先，我们需要导入Mathematica中的相关库函数。
在Mathematica中，有一个内置的函数"HydrogenWavefunctions"可以用来计算氢原子的波函数。
这个函数可以根据氢原子的主量子数、角量子数和磁量子数等参数来计算氢原子的波函数。
接下来，我们需要定义一些常数和变量。
氢原子的质量可以近似为质子的质量，即1.6710^-27千克。
而氢原子的电荷量则为电子的电荷量，即1.610^-19库伦。
我们还需要定义氢原子的玻尔半径，可以通过玻尔模型的公式计算得到：a = 0.529 * 10^-10; (* 玻尔半径 *)m = 1.67 * 10^-27; (* 质量 *)e = 1.6 * 10^-19; (* 电荷 *)接下来，我们需要定义计算相对强度的函数。
在氢原子光谱中，相对强度可以通过波函数的平方来计算。
根据量子力学的基本原理，波函数的平方可以表示为电子在某个能级上的概率密度。
因此，我们可以通过计算不同能级上的波函数的平方来计算相对强度。
RelativeIntensity[n_Integer, l_Integer, m_Integer] := Module[{wf}, wf = HydrogenWavefunctions[{n, l, m}, {r, %[Theta], %[Phi]}];Integrate[Abs[wf]^2, {r, 0, Infinity}, {%[Theta], 0, Pi}, {%[Phi], 0, 2 Pi}]]在这个函数中，我们使用了"HydrogenWavefunctions"函数来计算氢原子的波函数，并使用"Integrate"函数来计算波函数的平方的积分。
mathematica 物理学中的应用
mathematica 物理学中的应用Mathematica在物理学中的应用引言：Mathematica是一种功能强大的数学软件，广泛应用于各个领域，其中包括物理学。
它提供了丰富的数学计算和可视化工具，能够帮助物理学家解决各种复杂的问题。
本文将介绍Mathematica在物理学中的应用，涵盖了力学、电磁学、量子力学、热力学等多个领域。
力学：在力学中，Mathematica能够帮助我们解决各种运动方程。
例如，我们可以使用Mathematica求解物体在重力作用下的运动方程，并得到其运动轨迹。
我们可以通过输入物体的初始位置和速度，以及重力加速度的数值，来计算物体的运动轨迹。
此外，Mathematica还可以绘制出物体的速度-时间图和位置-时间图，帮助我们更好地理解物体的运动规律。
电磁学：在电磁学中，Mathematica可以帮助我们解决电场和磁场的分布问题。
例如，我们可以使用Mathematica计算电荷在给定电场中的受力情况。
通过输入电荷的位置和电场的分布，Mathematica可以计算出电荷所受的力大小和方向。
同样地，Mathematica也可以帮助我们计算磁场在给定磁场中的受力情况。
这些计算可以帮助我们更好地理解电磁场的性质和行为。
量子力学：在量子力学中，Mathematica可以帮助我们计算量子力学系统的波函数和能级。
例如，我们可以使用Mathematica计算一维无限深势阱中的粒子的波函数。
通过输入势能函数和边界条件，Mathematica可以帮助我们求解定态薛定谔方程，并得到粒子的波函数。
同时，Mathematica还可以帮助我们计算量子力学系统的能级。
通过输入系统的势能函数，Mathematica可以帮助我们求解定态薛定谔方程，并得到系统的能级。
热力学：在热力学中，Mathematica可以帮助我们计算物体的热力学性质和热力学过程。
例如，我们可以使用Mathematica计算理想气体的状态方程和热力学过程。
用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应.
学号：14081601101毕业论文题目：用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应作者届别2012学院物理与电子学院专业物理学指导老师职称教授完成时间2012年5月摘要本文主要在氢原子的一级斯塔克效应的基础上计算其二级斯塔克效应，在氢原子的一级斯塔克效应中，当n=2时能级有分裂，简并有消除，但是并没有完全消除，对氢原子进行二次斯塔克效应的研究，发现简并没有消除只是能级发生了移动。
这很好的解释了氢原子的赖曼线系第一条谱线在电场作用下分裂为三条的原因。
关键词：氢原子；简并；斯塔克效应AbstractThis thesis mainly account the second order Stark effect of hydrogen atom based on its first order Stark effect. When n = 2, there is fission in energy level and elimination in degeneracy in the first order Stark effect of hydrogen atom. But the degeneracy does not absolutely disappear. While researching on the second order Stark effect of hydrogen atom, the author of this thesis finds that there is only shift in energy level and no elimination of the degeneracy, which well explains the reason why the first line in the Lai Man line of hydrogen atom is divided into three spectrum lines.Keyword: Hydrogen atom；Degeneracy；Stark effect目录摘要...............................................................................................I I Abstract............................................................................................I II 目录 (IV)第一章绪论 (1)1.1引言 (1)1.2选题的意义 (1)1.3本文主要研究内容 (1)第二章氢原子n=2的一级斯塔克效应的介绍 (2)第三章氢原子n=2的二级斯塔克效应的计算 (4)第四章氢原子n=3的二级斯塔克效应的计算 (7)第五章结果分析 (12)参考文献 (13)致谢 (14)第一章绪论1.1引言对于能量本征值E有多个能量本征函数称为简并，只有一个独立的解称为不简并。
文献综述用Mathematica计算氢原子二级斯塔克效应
在量子力学中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，利用薛定谔方程严格求解的情况屈指可数，对于实际遇到的绝大多数问题来说，往往采用近似方法求得近似解。微扰论就是重要的近似方法之一。由于氢原子只有一个电子，属于最简单的量子体系，在受到外加弱相互作用后，其微扰算符相对简单，所以学者们经常将它做为在这一领域中的研究对象。本课题所要计算的氢原子处于均匀弱电场中的斯塔克效应就是一很经典的实例。在氢原子的斯塔克效应的研究中，现目前在简并微扰理论基础上只能计算到能量的一级修正，没有计算出波函数的一级近似和能量的二级修正。而在能量一级修正下发现能级分裂为三条，与理论上应分裂为四条不符，这说明能级简并没有消除，也为我们进一步研究氢原子的量子结构产生了阻碍，所以计算出氢原子能量的二级修正是必要的。然而由于要根据一般的简并微扰论进行所需的计算是相当复杂的，所以本课题采用数学软件Mathematica来计算氢原子的二级斯塔克效应，以节约计算的时间和提高计算结果的精确度，并对氢原子的二级斯塔克效应和Mathematica应用在本课题中的一些问题展开讨论。
CQWU/JL/JWB/ZY012-13
重庆文理学院本科生文献综述情况表
毕业论文
（设计）题目
用Mathematica计算氢原子二级斯塔克效应
学生姓名
向科
学号
2002466027
系（院）、专业
物理与信息工程系物理学专业
年级
2002级
研究方向
物理学
指导教师
程正富
参考文献情况
国内14篇，国外1篇，共计15篇
2.3氢原子斯塔克效应
氢原子斯塔克效应物理意义
大部分教科书[1~2]都对氢原子斯塔克效应做过介绍。其基本概念为：简并情况下的请原子受到均匀弱电场的作用时，其产生的谱线发生了分裂现象，由于这种现象首先是由德国物理学家斯塔克（Johnnes Stark,1874-1957）首先观测到，所以人们就称之为斯塔克效应。
氢原子二级斯塔克效应的理论研究
ｋ ｎ ≠
． ｍ
｛ｎ”ｍ ／ ６， ”） ≥ （ｍ （， ［ 竺 ， ） ｍ＾
６， ・／ ｒ （ 一 ＿ ）
［ 翌 √ ｝
６， ・ √ — ｝ ｃ 一 ＋ ｛ ， ｛
ｃ 十】 ） ， ）．
由此 可 以看 出 ， 当满 足 ＝ ±１ 或者 ＝ －２ 且 ｍ ＝ｍ 时 ， 才不 为零． 仅 （ ｉ） － Ｈ 其次 ， Ｈ 的厄 由 米性 有 Ｈ ＝ＨｉＮＮ Ｐ５ ＇ ． ，￣＋ｇ ＝ ±１ 或者 ＝ ±２ （ ）的非零 微扰 矩 阵元．
再者， 由式（ ） ４ 可知， 在非零微扰矩阵元 中， 一ｍ对应的微扰矩阵元 （ ） ｉ 一 ） ｍ与 ｍ 和Ｈ （ ｍ 间
有 如下关 系 ： （ ｍ）＝ （ 一ｍ） ． 综合 以上性 质 ， 以将 １×１阶 的微 扰 矩阵按 照 ｍ值 分解 ２ 可 １ ７ ， ， ｎ一１ 个低 阶（ １阶到 ｎ阶 ） 阵 ， 矩 从而 使 得计 算过 程得 到简 化 ， 与 文献 ［ ］的分析类 似 ． 这 ８ 例如 ， ｎ＝３时 ， 当 将原来 的 ９阶矩 阵 ， 为 一个 ３阶 分解 （ ：０ 、 ｍ ） 两个 ２阶 （ ＝±１ ｍ ）和两个 １阶（ ＝±２ ｍ ）的矩 阵． ｍ与 一ｍ所对应 的矩阵是 相 同的 ， 而 因此
级 的分 裂 图． 为 应用 ， ｎ ＝２ ３， 作 以 ， ４为例 ， 出程 序运行 的结 果． 给 （ ） 当 ｎ ：２ 微 扰矩 阵简化 一个 ２阶 （ ＝０ １ ， ｍ ）和一个 １ （ ＝ １） 阶 ｍ 的低 阶矩 阵 ：
ｌ ４２ Ｉ ８ ・ ｅ
一
３ ｓ ａｅ
一 １ ． ２ 。 Ｉ ０３ ２ ５ａ ｅ ｓ
鲁东大学学报（自然科学版 ）
较强磁场中氢原子的能级（n ＝2~7）及其波函数
较强磁场中氢原子的能级（n ＝2~7）及其波函数江俊勤【摘要】基于简并微扰论和Mathematica软件平台，发展了一种简单可靠、全自动的计算方法研究磁场中的原子能级结构。
考虑自旋磁矩和感生磁矩，计算了处在较强磁场中氢原子 n ＝2~7的能级和波函数。
讨论了简并微扰论的适用条件和能级分裂，绘制了概率角分布图和电子云图。
数值结果表明：对于较强磁场，本方法是可靠和快捷的；一般情况下，磁场对能级的一级修正可以使简并完全解除(n ＝2~7)，但在一定条件下，会出现新的简并---偶然简并。
%A simple and reliable method for investigating the behavior of atomic system in the magnetic field has been developed based on the perturbation theory and MATHEMATICA.Considering the spin magnetic moment and the induced magnetic moment,the energy levels (n =2 ~7)and wave functions of the hydrogen atom in the intermediate strong magnetic field were automatically calculated.The applicable condition of perturbation method and the energy level splitting are discussed.The probability angle distribution and the electron cloud are plotted.The numerical results show that for the intermediate strong magnetic field,the present method is reliable and fast.In general,the degeneracy of energy levels (n =2~7)can be completely removed;but under certain conditions,there is new degeneracy-accidental degeneracy.【期刊名称】《广东第二师范学院学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】7页(P43-49)【关键词】氢原子;较强磁场;微扰理论;能级与波函数;偶然简并;电子云【作者】江俊勤【作者单位】广东第二师范学院物理系，广东广州 510303【正文语种】中文【中图分类】O562.1氢原子和类氢原子处于外磁场时能级结构的变化,是物理学的基本问题.特别是,发现白矮星和中子星内部存在着超强磁场,激发了人们对强磁场中氢原子和类氢原子的能级和波函数的研究热情[1－12].为了计算强磁场中类氢原子的能级和波函数,人们发展了各种方法,例如绝热近似法[5],变分法[6],B－条样法[7],等等.但是变分法和B－条样等方法的计算是十分复杂的,而且变分法结果的可靠性严重依赖于试探波函数.在微扰法适应的条件下(磁场不太强,称之为“较强磁场”),用微扰法既经典又简单,因此近年来微扰法被多位作者用于计算氢原子的能级[8－12].其中,文献[8]把微扰法和变分法相结合计算了氢原子较低能态的能级,虽然在实际计算中没有把整个B2项作为微扰,但在叙述其方法时多次强调当B＜106T时B2项可以作为微扰,这给后来的文献造成不良影响;文献[9－11]在文献[8]的影响下,完全没有考虑微扰法的适用条件,在强磁场B≤106T时用微扰法计算了氢原子的能级,而且在未做具体数值检验的情况下就断定一级修正可使简并完全解除;文献[12]用微扰法对氢原子能级进行了具体的数值计算,并注意到了微扰法的适用条件(B≤1.88×104T),但仅仅计算到n＝2的能级.分析这些文献,可发现有三个问题尚须做进一步的改进或澄清:(a)现有文献中,微扰法的实施过程仍需要人工或半人工操作,不容易对高激发态(较大n)的能级和波函数进行具体的数值计算,这可能是最近文献[12]只给出n＝2能级数值结果的原因.(b)对于高激发态,适合用微扰法计算的磁场有怎样的要求?当B≥104T时微扰法仍然适用吗?(c)强磁场一定使能级简并完全解除吗?当磁场强度达到一定程度时,会不会因上下能级发生交错而出现新的简并——偶然简并?为此,本文发展了一种基于简并微扰论和Mathematica软件平台的全自动数值计算方法,对氢原子n＝2～7的能级和波函数进行定量研究,用具体的数值回答上述三个问题.当外磁场的强度到达一定范围时,B2项的贡献不能忽略,设该项可作为微扰项(具体条件见后面)在通常实验室中,磁场B＜105Gs(即B＜10 T),B2项(感生磁矩与外磁场的作用项,也称为抗磁项)可以略去.在均匀磁场中,当考虑自旋磁矩和感生磁矩时,则氢原子的哈密顿量为对氢原子,除去微扰项后,哈密顿量为其中μB＝eћ/(2μc)＝0.578 838×10－4e V/T,称为玻尔磁子;Rnl(r)为径向波函数,Ylm(θ,φ)为球谐函数, χms(sz)为二分量自旋波函数.根据径向波函数和球谐函数的定义式,给定一组量子数(n,l,m,ms)就可以求得相应的量子态ψnlmms(r,θ,φ),借助通用软件Mathematica可快速完成.若记φk＝ψnlmms(r,θ,φ),则对于给定的φk′和φk,两态间的微扰矩阵元为式中a＝0.529×10－8cm,为玻尔半径;λ＝eBa2/(4cћ),是为了便于与B项的贡献做比较而引入的.这样,只要给定B值和两组量子数((n,l′,m′,m′s))和(n,l,m,ms),由Mathematica可以快捷地得到相应的一个微扰矩阵元(这是实现自动化的第一步). 由于电子自旋磁矩的作用只是将能级分成独立的两组ms＝－1/2或ms＝＋1/2,所以本文只考虑ms＝－1/2态(ms＝＋1/2态的计算和讨论方法相同).对于ms＝－1/2态,在没有外磁场时,简并度为n2.计入磁场B项(即H∧0的第三、四项)对能级的贡献之后,简并度减少为n－m,原来的n2维态空间在磁场B项的作用下分解为2n－1个不变子空间(以下简称为“子空间”),各子空间的维数分别为;相应地,我们把原来的n2维态空间称为“全空间”.按照传统的简并微扰理论,微扰计算是在各个子空间里进行的,但数学的理论和本文的实际计算都表明:在各子空间里独立计算得到的本征值和本征矢量之全体(共n2组)与在全空间里一次性计算得到的n2组本征值和本征矢量,是完全相同(等价)的,它们分别是B2项对能量的一级修正和零级近似波函数.在人工计算的条件下,在各子空间里独立计算可以减少计算量,但对于较高能态的计算仍然是十分繁杂的,而且欠缺整体观,容易顾此失彼.本文,我们把微扰计算建立在大众化的软件平台Mathematica之上,并且直接在n2维全空间里计算B2项对能量的一级修正和零级近似波函数.与在各子空间里独立计算的方法[9－10]相比,本方法有十分明显的优势,在全空间里统一处理n2个能级不但显得简单清晰,而且有利于实现过程自动化,因为ψnlm(r,θ,φ)中角量子数和磁量子数的排列有很强的规律性:l ＝0,1,…,n－1;m＝－l,－(l－1),…,－1,0,1,…,(l－1),l;用循环命令容易实现这种排列,所以根据式(5)和式(6)容易全自动化快速地获得n2阶微扰矩阵H′(这是实现自动化的第二步,也是最重要的环节).对于较高阶(例如100阶)方阵的特征值和特征矢量的计算,只需使用Mathematica 一个内设命令就可以自动快速地求得高精度的数值结果.有了特征值和特征矢量(即一级修正能量和零级波函数)就可以绘制能级图、电子云和概率角分布图.从而实现了全过程的自动化快速计算.1.1 较低激发态(n＝2,3,4)对于n＝3态,微扰矩阵H′比较简单(只是9阶),适合用来说明本文的方法.零级近似波函数为9个本征态的线性组合先考虑B＝1000 T,此时BμB＝0.057 883 8 e V.由式(5)和式(6),可自动快速地获得微扰矩阵H′(矩阵元和本征值均以BμB为单位): 乘以BμB后得到以eV为单位(下同)的能量一级修正值,分别为E′＝0.009 630 97,0.008 854 48,0.008 854 48,0.006 640 86,0.006 640 86, 0.004 427 24,0.004 427 24,0.004 427 24和0.002 543 93.而能量的零级近似值为E(0)nmms＝－1.684 75,－1.626 87,－1.568 99,－1.511 11,－1.453 23.合并E′与E(0)nmms(也由Mathematica自动完成,这对于较高能态是很重要的),得到了一级修正后的总能级E＝－1.678 12,－1.622 45,－1.618 02,－1.446 59,－1.566 45,－1.564 57,－1.559 36,－1.502 26,－1.506 68.将它们绘制成能级图,如图1所示.为了便于对比,也将能量的零级近似值绘制在图1里.由图1可见,一级修正后总能级(9个)是彼此分开的,简并完全解除.H′有9个9维的本征矢量,可写成一个9阶方阵V:V的第j行就是式(7)中的v1(j),v2(j),…,v9(j).由式(9)可知,虽然微扰计算是在n2维全空间里进行的,但是实际起作用的本征态(vk(j)≠0才起作用)只是来自各自的n－m维子空间;对于n＝3,大多数零级波函数仅由单个本征态构成,只有两个是由不同本征态线性叠加而成的:Ψ5＝0.402 024φ1＋0.915 629φ7＝0.402 024ψ300＋0.915 629ψ320,应于能级E＝－1.566 45 e V;Ψ7＝0.915 629φ1－0.402 024φ7＝0.915 629ψ300－0.402 024ψ320,应于能级E＝－1.559 36 e V.Ψ5和Ψ7是同一个子空间里的态矢(子空间维数n－m ＝3－0＝3),而且在ψ310上的投影都为零.有了波函数就可绘制相应的电子云和概率角分布图.电子云(概率密度分布)仅以E＝－1.566 45 eV(即Ψ5态)为例, Ψ52与φ无关,只需绘制xoz平面上(φ＝0)的电子云,如图2所示.概率角分布则仅以E＝－1.559 36 eV(即Ψ7态)为例,将|Ψ7|2r2sinθd r dθdφ对r 从0到＋∞积分,得电子在(θ,φ)方向附近立体角dΩ＝sinθdθdφ内的概率角分布,如图3所示.微扰法是有较苛刻的前提条件的,那就是:作为微扰项的H′对能级的贡献应该远小于H0对能级的贡献,可以用下式描述:“＜＜1”(远小于1)是一个定性的概念,一般可认为:当δ＜5%时微扰法有很好的计算结果,当δ＜15%时微扰法仍有比较准确的计算结果.δ越大,准确性越差.如果磁场很强,H′对能级的贡献接近于(甚至超过)H0对能级的贡献,即式(10)不成立,微扰法就不适用了.图1所示结果当然满足式(10):δ≤0.61%.现在考虑B＝5 000 T,此时δ≤14.6%,因此可认为n＝3时微扰法适用条件是B≤5 000 T.值得再次强调:上述从计算微扰矩阵元到绘制能级图和概率角分布图的全过程都由Mathematica自动快速完成,一气呵成,而且适合于不同激发态(只需改变n的值). 对于n＝2能态,在同样的磁场下,H′对能级的贡献没有n＝3能态那么大,当B＝1.8×104T,仍可用微扰法计算(δ≤14.1%),能级简并也完全解除(略去能级图).对于n＝4态,在同样的磁场下,H′对能级的贡献明显增大,取B≤2 000 T,微扰法适用(略去能级图):δ≤14.5%.1.2 较高激发态(n＝5,6,7)对于n＝5态,当B＝887.439 T时,能级分裂情况如图4所示.对于n＝6态,当B＝400 T时,能级的分裂情况如图5所示.由图4和图5可见,当磁场到达一定强度时,B2项的贡献会使原来上下分明的能级(属于不同的子空间,简并度为n－|m|)进一步分裂而发生交错,如果磁场强度合适,就会出现新的简并——偶然简并.图4中较粗的线实际上是两条重叠线加一条靠得很近的线:－0.584 394、－0.584 389和－0.582 101.前两个数在误差范围内可以认为完全相同(精确到小数点后五位,两个数就完全一样:－0.584 39),即可以认为能级简并.所对应的两个量子态分别为Ψ18＝－0.941 965ψ51－1＋0.335 711ψ53－1,应于能级E＝－0.584 394 eV; Ψ19＝0.328 915ψ500＋0.647 32ψ520＋0.687 598ψ540,应于能级E＝－0.584 389 eV.Ψ18与Ψ19来自两个不同的子空间,Ψ18属于m＝－1子空间(由4维子空间里的两个本征态线性叠加而成),而Ψ19属于m＝0子空间(由5维子空间里的三个本征态线性叠加而成).所以,在各个子空间里孤立地讨论能级分裂是不全面的,子空间里能级完全分裂不一定能保证全空间能级也完全分裂.要特别说明的是:在图4和图5中,虽然上下能级发生交错(B2项的贡献超过了BμB),但微扰法仍然是有效的,因为(10)式仍成立.对于n＝5和6,如果磁场强度低一些,例如B＝200 T,能级就不会发生交错,限于篇幅,不再给出相应的能级图.对于n＝7态,当B＝100 T时分裂情况如图6所示,由于磁场强度不太高,分裂后能级仍然上下级分明(没有发生交错),简并也完全解除,但由于能级较多,没法大幅度拉开距离.本文发展了一种基于Mathematica软件平台的全自动微扰计算方法,在考虑自旋磁矩和感生磁矩与外在考虑自旋磁矩和感生磁矩与外磁场相互作用情况下,对处在较强磁场中氢原子n＝2～7的能级结构进行了全面的研究.现总结如下:(1)只需输入n和B,从计算微扰矩阵元到求出能级和波函数、绘制整体能级图、电子云图以及概率角分布图,都是全自动化进行的.(2)感生磁矩与外磁场相互作用项(即B2项)贡献的大小,不但取决于磁场的强度,还与量子态密切相关.所以微扰法适用的条件与量子态有关,n越大B越小,如表1所示.由表1可见,对于n＝2态,用本文的式(10)定义的δ＜15%作为微扰法适用的条件,与文献[12]是一致的(文献[12]只计算n＝2的能级).本文把微扰计算建立在Mathematica软件平台之上,而且直接在n2维全空间里处理问题,实现了全过程自动化,省去了大量的人工操作,使得对高激发态(较大n)的能级结构的研究变得简单快捷,是高效可靠的微扰方法.本方法不但适合于研究较强磁场(例如实验室里研究半导体材料的磁场或白矮星的磁场)中原子的能级结构,还可推广到其他外场(例如电场或电场磁场并存)时原子能级结构的研究.(3)在微扰论适用的条件下,较强磁场的一级修正一般来说可以使氢原子能级简并完全解除(n＝2～7),但在一定条件下,出现了新的简并——偶然简并.能级分裂不宜只在子空间里讨论,还应该考虑可能出现的偶然简并.【相关文献】[1]PRADDAUDE H C.Energy levels of hydrogen-like atom in a magnetic field[J].Phys Rev,1972,A6: 1321.[2]KASCHIEV M S.Hydrogen atom H and H＋2molecule in strong magnetic field[J].Phys Rev,1980, A22:557.[3]CHEN Y,GIL B,MATHIEU H.Expansion-variational studies of hydrogen-like systems in arbirary magnetic field[J].Phys Rev,1986,B346:912.[4]LIU C R,STARACE A F.Atomic hydrogen in uniform magnetic field:low-lying energy levels for fields above 109G[J].Phys Rev,1987,A35:647.[5]SHI Yu-zhu,LI Li-ping.An alternative of adiabatic variational calculation of hydrogen energy in a strong magnetic field[J].Acta Physica Sinica,1998,A47:1241.[6]HE Xing-hong,ZHOU Feng-qing,LI Bai-wen.Spectrum characteristic of an atom in a strong magnetic field[J].Acta Physica Sinica,1992,A41:1244.[7]JIN Hua-xi.Energy levels of the hydrogen atom in arbirary magnetic field obtained by using B-spline basis set[J].Phys Rev,1992,A46:5806.[8]胡先权,郑瑞伦.高强度均匀静磁场中氢原子能级的计算[J].原子与分子物理学报,1996,13(1):9－16.[9]郑立贤,陈浩.均匀磁场中氢原子低能级简并的解除[J].大学物理,2002,21(12):17.[10]钟鸣,陈浩,郑立贤.均匀磁场中氢原子微扰矩阵元的普遍表达式及较高能级简并的解除[J].华南师范大学学报:自然科学版,2004(3):76－81.[11]张昌莘.在均匀强磁场中氢原子塞曼效应久期方程的简化公式[J].原子与分子物理学报,2006,23(1): 157－162.[12]张昌莘,黄时中,席伟,等.微扰法计算较强度磁场中氢原子的能级[J].原子与分子物理学报,2012,29 (5):867－871.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
I
2002 级物理学专业毕业论文
英文摘要
Abstract
In Quantum Mechanics, the energy-levels of Hydrogen atom are usually degeneration. The degeneration energy-levels of Hydrogen atom which is put into lower uniform electric field are split. Such these systems were dealt with the degeneration perturbation theory. Because of degeneration energy-levels of Hydrogen atom wasn’t completely removed in the first order Stark-effect. In the paper, we have calculated the second order Stark-effect with Mathematica.It was found that the degeneration energy-levels were fully removed, but not completely.
通过实验观察发现，处于均匀弱电场中的第一激发态氢原子所产生的谱线发生了分裂现象，由 于这种现象最初是由德国物理学家斯塔克（Johnnes Stark,1874-1957）观测到，所以被人们称为氢原 子的斯塔克效应[2]。利用简并微扰论计算氢原子的一级斯塔克效应[3~4]发现，原来简并的能级在外电 场作用下分裂为三个能级，一个在原来的上面，另一个在原来的下面，而且能量差是相等的。这样， 没有外电场时的一条谱线，在外电场中就分裂成三条；它们的频率一条比原来稍小，一条比原来稍 大，另一条与原来相等，且上下两条谱线关于中间那条谱线对称。由于第一激发态氢原子的简并度 为 4，根据目前的理论推断，能级最终应该分裂成四条，所以能级简并没有完全消除。
Candidate: Xiang Ke Supervisor: Cheng Zheng-fu Major: Physics
Department of Physics & Information Engineering Chongqing University of Arts and Sciences June 2006
中国•重庆 2006 年 06 月
Graduate Thesis of Chongqing University of Arts and sciences
Calculated to the Second Order Stark Effect of Hydrogen Atom Using Mathematica
分类号 UDC 密 级 公开
单位代码 10642 学 号 2002466040
重庆文理学院
学士学位论文
论文题目：用 Mathematica 计算氢原子二级斯塔克效应
论文作者： 科 指导教师：程正富 副教授 专 业：物理学 提交论文日期：2006 年 05 月 25 日 论文答辩日期：2006 年 06 月 03 日 学位授予单位：重庆文理学院
2.1 简并微扰论 ............................................................................................................ 1 2.1.1 基本假设 ......................................................................................................... 1 2.1.2 一级简并 ......................................................................................................... 2 2.1.3 二级简并 ......................................................................................................... 3
2.2 基本方法 ................................................................................................................ 3 2.2.1 关于 Mathematica ........................................................................................... 3 2.2.2 基本思路及方法 ............................................................................................. 3
6.1 二级修正结论 ........................................................................................................ 8 6.2Mathematica 的优缺点 ........................................................................................... 8 参考文献 .......................................................................................................................... 8 致 谢 ............................................................................................................................ 10 附件 1：计算氢原子二级斯塔克效应 Mathematica 程序 ............................................. i
4. 二级斯塔克效应 ......................................................................................................... 6 5. 结果与讨论 ................................................................................................................. 7 6. 结论 ............................................................................................................................. 8
Keywords: hydrogen atom; stark-effect; the second order correction; perturbation theory; mathematica
II
2002 级物理学专业毕业论文
1.引言
大多数量子体系都是简并的，即体系中对应于一个能量本征值有一个以上的本征波函数。当这 样的简并体系处于某种外加弱相互作用后，原子能级将会发生分裂。研究这样的量子体系通常采用 简并微扰论[1]对能级进行修正处理，计算出各分裂能级及其相对应的波函数。由于氢原子只有一个 电子，在受到外加弱相互作用后，其微扰算符相对简单，所以本文选定氢原子作为研究对象。
2002 级物理学专业毕业论文
中文摘要
用 Mathematica 计算氢原子二级斯塔克效应
物理学专业一班 向科 指导教师 程正富
摘要
在量子力学中，氢原子的能级通常是简并的，当把它放到均匀弱电场中，简并能级将发生分裂。 处理这样的量子体系通常采用的是简并微扰论，但在用简并微扰论处理均匀弱电场中氢原子的一级 斯塔克效应时，发现能级的简并并没有消除。在本文中，我们利用 Mathematica 计算了氢原子的 二级斯塔克效应，研究发现能级简并进一步消除，但并未完全消除。
3. 氢原子的一级斯塔克效应 ......................................................................................... 4 3.1 处于均匀外电场中的氢原子 ................................................................................ 4 3.2 第一激发态各简并波函数 .................................................................................... 4 3.3 能级一级修正 ........................................................................................................ 5 3.3.1 微扰矩阵元 ..................................................................................................... 5 3.3.2 久期方程和能量一级修正 ............................................................................. 5 3.4 零级近似波函数 .................................................................................................... 6