第3章 Z变换
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离散时间信号z变换
3.2.4 Z变换旳性质和定理
1.线性
假如 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
Z[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z), max(Rx , Ry ) z min(Rx , Ry )
*即满足均匀性与叠加性； *收敛域为两者重叠部分。
z b
z b
z a z a , z b; zb zb zb
Y (z) X (z)H (z) z z a z za zb zb
X (z)的极点与H (z)的零点相消，Y (z)
的收敛域扩大，为 z b .
y(n) x(n) h(n) Z 1[Y ( z)] bnu(n)
12.帕塞瓦定理(parseval)
6. 翻褶序列
假如 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
1
1
1
Z[x(n)] X ( ) ;
z
z
Rx
Rx
证明： Z[x(n)] x(n)zn x(n)zn
n
n
x(n)(z1)n
n
X
(
1 z
)
，Rx
z 1
Rx ，
即 1 z 1
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X (z)。 z
0.5z 1)
(z
z2 2)(z
0.5)
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X (z) z ]z2
4 3
X (z)
1
A2 [( z 0.5)
第3章-离散时间序列与Z变换1
第3章 离散时间序列及Z变换
3.1 离散时间信号--序列 序列 经典序列 序列旳运算 序列旳周期性
一、序列
1. 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量旳信号称作离散时间信号； 而时间和幅值都离散化旳信号称作为数字信号。
x(n)
x(0)
x(-1) x(1)
x(-2)
x(2)
n -2 -1 0 1 2
3.斜变序列n u(n)
Z[n u(n)]=z1 +2z2 + +nzn +
可利用u(n)旳z变换
zn n=0
=
1 1z1
等式两边分别对z1求导，得
n(z1)n1 n=0
=
1 (1z1)2
= z2 (z 1)2
等式两边各乘z1 ，得到
n(z1)n =
z
n=0
(z 1)2
|z| >1
|z| >1
②旳收敛域 RX <|z|
0
n
RX < RX+ ①、 ②旳公共收敛域 RX < |z|< RX+
RX > RX+双边序列z变换不存在
例已知x(n) =c|n|， c为实数，求X(z) 。
cn 解：x(n)= c|n| =
cn
n<0 n0
1
X(z) = c|n| zn = cnzn + cnzn =X1(z) +X2(z)
n=
n=1
n=0
=1
lim
n
1(a1z)n 1a1z
|a1z| <1
=1
1 1a1z
=
z za
|a| > |z|
3.1 离散时间信号--序列 序列 经典序列 序列旳运算 序列旳周期性
一、序列
1. 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量旳信号称作离散时间信号； 而时间和幅值都离散化旳信号称作为数字信号。
x(n)
x(0)
x(-1) x(1)
x(-2)
x(2)
n -2 -1 0 1 2
3.斜变序列n u(n)
Z[n u(n)]=z1 +2z2 + +nzn +
可利用u(n)旳z变换
zn n=0
=
1 1z1
等式两边分别对z1求导，得
n(z1)n1 n=0
=
1 (1z1)2
= z2 (z 1)2
等式两边各乘z1 ，得到
n(z1)n =
z
n=0
(z 1)2
|z| >1
|z| >1
②旳收敛域 RX <|z|
0
n
RX < RX+ ①、 ②旳公共收敛域 RX < |z|< RX+
RX > RX+双边序列z变换不存在
例已知x(n) =c|n|， c为实数，求X(z) 。
cn 解：x(n)= c|n| =
cn
n<0 n0
1
X(z) = c|n| zn = cnzn + cnzn =X1(z) +X2(z)
n=
n=1
n=0
=1
lim
n
1(a1z)n 1a1z
|a1z| <1
=1
1 1a1z
=
z za
|a| > |z|
Z变换及其收敛域
n0
z
1
)
n
1 1 e
sT
z
1
F (z)
1 2 j
j 1
ds
j
F (s) e
sT
z
ds 1
j 2 j
1
j
zF ( s ) z e
sT
(z e
sT
)
29
这个积分可用留数来计算，即
F (z)
i
z F (s) Re s , si z e sT
2、若x(n)是单边序列，其单边Z变换为：
右移
（二）位移性质
7
)z( X
z ) n ( u ) m n ( x Z
（二）位移性质
例 4.3-2 求周期序列 x(n)的Z变换
解：若周期序列x(n) 的周期为N，即
x(n ) x(n N )
n 0
令x1(n)表示x(n）的第一个周期，因为x1(n)是有 限长序列，所以其Z变换为
N 1
X 1( z)
x1 ( n ) z
n
z 0
8
n0
（二）位移性质
周期序列x(n)用x1(n)表示，为
x ( n ) x1 ( n ) x1 ( n N ) x1 ( n 2 N )
x(n)的Z变换为
X ( z) X 1( z) 1 z
X 1( z) z z
0 S平面平行于虚轴的直线
z e
0T
Z平面的圆，半径为 e
0T
22
S平面与Z平面的映射关系
j
j Im z
z
1
)
n
1 1 e
sT
z
1
F (z)
1 2 j
j 1
ds
j
F (s) e
sT
z
ds 1
j 2 j
1
j
zF ( s ) z e
sT
(z e
sT
)
29
这个积分可用留数来计算，即
F (z)
i
z F (s) Re s , si z e sT
2、若x(n)是单边序列，其单边Z变换为：
右移
（二）位移性质
7
)z( X
z ) n ( u ) m n ( x Z
（二）位移性质
例 4.3-2 求周期序列 x(n)的Z变换
解：若周期序列x(n) 的周期为N，即
x(n ) x(n N )
n 0
令x1(n)表示x(n）的第一个周期，因为x1(n)是有 限长序列，所以其Z变换为
N 1
X 1( z)
x1 ( n ) z
n
z 0
8
n0
（二）位移性质
周期序列x(n)用x1(n)表示，为
x ( n ) x1 ( n ) x1 ( n N ) x1 ( n 2 N )
x(n)的Z变换为
X ( z) X 1( z) 1 z
X 1( z) z z
0 S平面平行于虚轴的直线
z e
0T
Z平面的圆，半径为 e
0T
22
S平面与Z平面的映射关系
j
j Im z
数字信号处理第三章
FS：~x (t)
X (k0 )e jk0t
k
（周期为T0
，Ω0
2
T0
）
对上式进行抽样，得：
（抽样间隔为T，s
2π ） T
~x(nT )
X~(k0 )e jk0nT
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
---
时域抽样间隔为T ,
频域的周期为 s
2
T
注：DTFT反变换原式为 x(n) 1 X (e j )e jnd
2
根据关系
T 将变量换为
，并利用s
2
T
即得
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
jnk0T
s k0
又 0T
2
T0
T
0
2
s
2
N
这里 T Ω0 1 ，因此 T0 Ωs N
j 2 k
N 1
j 2 nk
X (e N ) x(nT)e N
n0
1 N 1
j 2 k
j 2 nk
x(nT)
X (e N )e N
N k0
x(nT ) 视作 n 的函数， x(nT ) x(n)
0 -0.5
-1 0
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
§ 3-3 周期序列的离散傅里叶级数 Discrete Fourier Series （DFS）
z变换信号流 -回复
z变换信号流-回复什么是z变换信号流？在数字信号处理中，z变换（Z-transform）是一种将离散时间信号转换为连续频域表示的数学工具。
z变换可以看作是拉普拉斯变换在离散时间中的对应物。
与傅里叶变换不同，z变换允许对非周期序列进行分析。
信号流是一个由离散时间的信号序列组成的流，其中每个时间点都有一个对应的采样值。
z变换信号流是在离散时间下对信号流进行z变换的过程。
通过对信号流进行z变换，我们可以在频域中对信号进行分析和处理。
下面，我将一步一步回答关于z变换信号流的问题，以帮助您更好地理解这个概念。
第一步：理解z变换的定义和基本概念在进行z变换之前，我们需要了解一些关于z变换的基本概念。
z变换将离散时间序列映射到连续复平面上的函数。
它的定义如下：X(z) = Σ[x(n) * z^(-n)]其中，x(n)是离散时间信号的序列，X(z)是z变换后的函数，n是时间索引。
这个公式表示了在离散时间序列x(n)的所有时刻n上对z的幂乘法之和。
第二步：了解z域和频域之间的关系在进行z变换时，我们将信号从时间域转换为z域。
z域是一个复平面，其中z从原点出发沿着虚轴旋转。
z的位置和幅度表示了信号的频率和幅度。
根据z变换的定义，我们可以将z域中的运算转换为频域中的运算。
第三步：计算信号流的z变换对于一个信号流，我们可以通过将其每个时间点的采样值带入到z变换的定义中，来计算其z变换。
即对于信号流x(n)，计算其z变换X(z)的过程如下：1. 对于每个时间点n，将该点的采样值x(n)与z的幂乘法相乘。
2. 对所有时间点n上的乘积求和，得到z变换X(z)。
例如，对于信号流x(n) = {1, 2, 3, 4, 5}，它的z变换可以计算如下：X(z) = 1*z^(-0) + 2*z^(-1) + 3*z^(-2) + 4*z^(-3) + 5*z^(-4)第四步：应用z变换信号流z变换信号流具有广泛的应用，特别是在数字信号处理中。
信号分析与处理第3章离散时间信号的分析_1-44
X (z) x(n)zn x(n)(re j )n [x(n)r n ]e j n
x
x
x
只有当 x(n)rn 符合绝对可和的收敛条件，即
x(n)r n
x=
时，x(n) 的 z 变换才有意义。对序列 x(n) ，其 z 变换 X (z)收
敛的所有 z 的集合称为 X (z)的收敛域，简记为 ROC
X (z) x(n)zn x(0) x(1)z1 x(2)z2 x0
上式是序列 x(n) 的单边 z 变换。
n<0 时样点均为零的序列称为因果序列，对因果序 列，其双边 z 变换与单边 z 变换相同。
单边 z 变换定义式表明，序列的单边 z 变换是复变 量 z 的负幂级数，该级数的系数即是序列 x(n) 本身。
1、 周期单位冲激串的傅里叶变换
周期单位冲激串，如图（a）所示。该函数在研
究信号的采样问题中经常用到，称为狄拉克梳状函数
或理想采样函数，用数学公式表示为
p(t) (t nT ) n
在 2.3 节中已得到，其傅里叶级数为 p(t) 1 ejkt
T k
上式表明，周期单位冲激串的傅里叶级数中，只包 含位于 0，0 ，20 ，…，k0 ，…处的频率分量， 每个频率分量的大小相等且都等于 1 。
两者进行相乘，如图(c) 所示，相乘结果 xS (t) x(t) p(t) 称为 x(t) 的采样信号（sampled signal），如 图（d）所示。xS (t) 中各分量的冲激强度构成的序列为 x(t) 的样本 x(n) 。
设采样间隔为TS ，采样角频率S
2
f
2 TS
。由采
样过程，有
xS (t) x(t) p(t)
为书写方便，对序列 x(n) 取 z 变换和对 X (z)取逆 z 变换常常记为
第三章 Z变换
n
x[n] re
j n
可见，x[n]的z变换：指数序列r-n乘以x[n]后的傅立叶变换。 当︱z︱=1，即 r = 1时，z变换就是傅立叶变换。 z变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是z变换的特例；
z平面： z 1 称为单位圆 傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换 傅立叶变换的周期性解释
1 x [ n ] u[n] 通过比较可直接得到其反变换： 2
n
特点：简单求解
3.3.2 部分分式展开法 对于任意有理函数形式的X(z) -------- 主要方法 通常的X(z)表示形式： （z-1多项式之比）
或： M个零点（分子z的M次多项式） N个极点（分母z的N次多项式） z =0 的多重极点或零点 相同的有限值零点和极点数（包括z = 0，不包括z = ∞）
n
jn x [ n ] e
ejωz，傅立叶变换X (ejω)z变换X(z) 将复变量z表示成极坐标形式：z = rejω z变换可以写成：
X ( z ) X ( re ) 或 X ( re )
j n n -jn x [ n ] r e j
为方便部分分式展开，可将X(z)表示为：
ck -------- M个非零零点； dk -------- N个非零极点； 若M ＜ N，且极点都是一阶的，则可以进行部分分式展开：
式中系数Ak求法：
例子：
1 1 极点：z ， z 2 4
（一阶）
零点：z =0 （二阶） 右边序列 部分分式展开：
z变换的收敛域： （region of convergence, ROC） 对给定的序列x[n]， 所有满足下列不等式的z值
n
MATLAB 第3章 Z变换
数字信号处理
第三章 Z变换
例3-2 x(n)=anu(n), 求其z变换及收敛域。
解 这是一个因果序列，其z变换为
X ( z) a z
n 0
n n
1 z (az ) 1 1 az za n 0
1 n
|z|>|a|
这是一个无穷项的等比级数求和，只有在 |az-1|<1 即 |z|>|a|处收敛如图3-4所示。
1. 设zk是X(z)zn-1的单（一阶）极点，则有
Re s[ X ( z) z ]z zk [( z zk ) X ( z) z ]z zk (3-1)
2. 如果zk是X(z)zn-1的多重极点，如N阶极点，则有
n1
n1
Re s[ X ( z ) z
n 1
]z zk
1 k n 1 [( z z ) X ( z ) z ] z zk k N 1 ( N 1)! dz
1 z 由于 ， 故在z=a处有一极点(用“×” 1 1 az za
表示)，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。
数字信号处理
第三章 Z变换
收敛域上函数必须是解析 的，因此收敛域内不允许有极 点存在。所以，注意：右边序 列的z变换如果有N个有限极点 z1, z2 ,zN 存 在 ， 那 么 收 敛 域一定在模值最大的有限极点 所在圆以外，也即
X ( z)
n
x ( n) z
n
x ( n) z
n 0
n
n
n x ( n ) z
1
|z|>Rx-
|z|<Rx+
Rx-<|z|<Rx+
第三章 Z变换
例3-2 x(n)=anu(n), 求其z变换及收敛域。
解 这是一个因果序列，其z变换为
X ( z) a z
n 0
n n
1 z (az ) 1 1 az za n 0
1 n
|z|>|a|
这是一个无穷项的等比级数求和，只有在 |az-1|<1 即 |z|>|a|处收敛如图3-4所示。
1. 设zk是X(z)zn-1的单（一阶）极点，则有
Re s[ X ( z) z ]z zk [( z zk ) X ( z) z ]z zk (3-1)
2. 如果zk是X(z)zn-1的多重极点，如N阶极点，则有
n1
n1
Re s[ X ( z ) z
n 1
]z zk
1 k n 1 [( z z ) X ( z ) z ] z zk k N 1 ( N 1)! dz
1 z 由于 ， 故在z=a处有一极点(用“×” 1 1 az za
表示)，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。
数字信号处理
第三章 Z变换
收敛域上函数必须是解析 的，因此收敛域内不允许有极 点存在。所以，注意：右边序 列的z变换如果有N个有限极点 z1, z2 ,zN 存 在 ， 那 么 收 敛 域一定在模值最大的有限极点 所在圆以外，也即
X ( z)
n
x ( n) z
n
x ( n) z
n 0
n
n
n x ( n ) z
1
|z|>Rx-
|z|<Rx+
Rx-<|z|<Rx+
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N 1
N
a
z a
例题3-5
的z值来决定。 ROC由满足 |a|<和z0。 ROC除坐标原点外包括整个平面。 设N=10，a为实数且位于0和1之间，这时的零极 点见图3-10所示。即 Zk=aej(2 k/N)，k=0，1，2，3，…，N1 k=0时的零点，抵消了z=a的极点。
e
1
2a
z
2
11
an
1 (e 1 2 (e
a
cos 0 ) z
1
cos 0 ) z
e
2a
z
2
z e
a
几种序列的Z变换
12 rⁿsinn0u(n)
( r sin 0 ) z 1 2 ( r cos 0 ) z
1 1
|z|>|r|
2 2
r z
N
| az
1
|
n
n0
例题3-5
图3-10 aⁿRN(n) 的Z变换收敛域 (z0)和相应的 零极点分布（注： N=10，0<a<1）
表3-1 几种序列的Z变换
1 2 3 4 序列 δ(n) u(n) 变换 1
z z 1 z za 1 1 z 1 1 az
1
收敛域 全部Z
1
例题3-5
求有限长序列x(n)=aⁿRN(n)的Z变换及其ROC。 解：x(n)=aⁿRN(n)的Z变换为
X ( z ) Z [ x ( n )] z
n
a R N (n) z
1
n
n
N 1
( az z
1
)
n
1 ( az
)
N
n0
1 az
N
1
1
X (z)
n
x(n) z
n
（3-1）
Z[x(n)]＝X(z) 称为Z变换算子。
(3-2)
3.1 Z 变换
Z变换算子就是将序列x(n)转换为函数X(z)，
x(n) X ( z )
根据式(3-1)，只有当幂级数收敛时，X(z)才有
z
意义。
3.1 Z 变换
任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所
第三章
Z变换
Chapter 3 The Z-Transform
§ 3.1 z 变换 § 3.2 z 反变换 § 3.3 z 变换的性质
本章的主要内容 1、掌握z变换及其收敛域
2、会运用任意方法求z反变换
3、理解z变换的主要性质
第三章作业 习题3-1
（1）（2）（4）
习题3-2 （1） 采用长除法、围线积分法与部分分式法 求取 习题3-4
sin z 1 2z
1
1
sin( 0 )
2
|z|>1
cos 0 z
z
2 2
(z a)
1 (1 az
1
|z|>|a|
)
2
几种序列的Z变换
16 17
( n 1)( n 2 ) 2! ( n 1)( n 2 ) ...( n m ) m! a u (n)
3.1.4 左边序列的Z变换
图3-3 左边序列及其收敛域(n2>0 ，z=0除外)
3.1.5 双边序列的Z变换
当n为任意(正、负、零)值时，x(n)都有非零的 值，即为双边序列，可将其看成一个右边序列和 一个左边序列之和，即
X (z)
n
x(n) z
n
n
1
n
Z [ ( n )] ( n ) z
n
1 ；
ROC ： 0 | z |
故收敛域应是整个闭平面，即 ROC：0|z| 。 如图3-5。
例题3-1
图3-5 δ(n)的Z 变换收 敛域
例题3-2
求左边指数序列x(n)＝b ⁿu(n1)的Z变换X(z) 及其ROC。 解：左边序列的Z变换X(z)为
例题3-4
X ( z) x(n )z
n n
( b z
n n
1
n
) a z
n n0
n
1 1 bz
1
1 1 az
1
z zb
z z a
z(2 z a b) ( z a )( z b )
ROC: |a| < |z|< |b| 见图3-8。若令a = 1/3， b=1/2，则
n0
x(n) z
n
（3-6）
有限长序列的Z变换的收敛域为“有限Z平面”， 而 z的负幂级数存在一个收敛半径Rx，级数在以坐 标原点为中心，以Rx为半径的圆之外区域内任 何一点均绝对收敛。
3.1.2 右边序列的Z变换
Rx是收敛域的最小半径，X(z)的收敛域为ROC： Rx <|z|< ，如图3-2“灰色”所示。
x(n) z
n
n0
x(n ) z
n
（3-9）
3.1.5 双边序列的Z变换
双边序列的Z变换收敛域
ROC：Rx<|z|<Rx+， 这是一个简单的环状区域，如图3-4所示。
3.1.5 双边序列的Z变换
图3-4 双边序列及其收敛域
例题3-1
求序列x(n)＝(n)的Z变换X(z)及其ROC。 解：这是n1＝n2=0时的有限长序列，且
X (z) z ( z 1 / 12 ) ( z 1 / 3 )( z 1 / 2 )
例题3-4
ROC是环形域 1/3<|z|< 1/2， 如图3-9所示。 其中“○”表示 零点。
图3-8 aⁿu(n)bⁿu(n1)的收敛域
例题3-4
图3-9 a = 1/3，b=1/2时的双边序列与X(z)的收 敛域和相应的零极点分布
为什么要进行Z变换？
1、傅立叶变换并不是对所有信号序列都能 收敛
2、同拉氏变换在连续时间系统中的作用一 样，Z变换能把描述离散时间系统的差分 方程转化为简单的代数方程，极大地简化 了求解过程。
§ 3.1 Z 变换
Section 3.1 The Z-Transform
一个序列x(n)的Z变换定义为
X (z)
1 1 z
1
；
ROC ： | z | 1
例题3-3
图3-7 x(n)=aⁿu(n) 的收敛域
例题3-4
求x(n)=aⁿu(n) bⁿu(n1)的Z变换X(z)及其ROC。
解：这是一个双边序列，
b n， n 1 x(n) n a ， n 0
1 2
13 rⁿcosn0u(n)
1 ( r cos 0 ) z 1 2 ( r cos 0 ) z
1
|z|>|r|
2
r z
14 sin(n0+θ)u(n)
15 (n+1)aⁿu(n)
z sin z sin( 0 )
2
z
2
2 z cos 0 1
1
|z|>1 |z|>1
z e
a
z 2 z cos 0 1
2
1 z 1 2z
1
cos 0
2
cos 0 z
e e
an
cos n 0 u( n) cos n 0 u( n)
(e 1 2(e
a
a
sin 0 ) z
1
1
cos 0 ) z
a
另外，零、极点也可能出现在 z =0 或 z =。
3.1.1有限长序列的Z变换
有限长序列，是指在有限区间n1nn2内，序
列具有非零的有限值，在此区间外，序列值都为 零。 n2 n X ( z ) x(n) z （3-5）
n n1
若X(z)的每一项是有界的，级数就收敛，即 |x(n)z−n|< ，n1nn2，若x(n)是有界的， 即要求|z −n|< ，n1nn2。
X ( z ) Z [ x ( n )]
a u (n) z
n n
n
a z
n n0
n
( az )
n0
1 n
这也是一个无穷项的等比级数求和，为了使X(z) 收敛，必须要求|az1|<1，由此得到X(z)闭合
例题3-3
（接上）表达式
X (z)
( az
z
1
(1 az )
1 1 e
jn 0
1
jn 0
z ze
jn 0
8 9 10
sinn0u(n) cosn0u(n)
z sin 0 z 2 z cos 0 1
z z cos 0
2
z 1 2z
sin 0
2
1
cos 0 z
X (z) 1 1 1 b z
1
b z 1 b z
1
1
z zb
1 1 bz
1
例题3-2
图3-6 x(n) ＝b ⁿu(n1) 的收敛域
例题3-3
求右边指数序列x(n)=a ⁿu(n)的Z变换X(z)及其 ROC。 解：x(n)实际上为因果序列， Z变换X(z)为
N
a
z a
例题3-5
的z值来决定。 ROC由满足 |a|<和z0。 ROC除坐标原点外包括整个平面。 设N=10，a为实数且位于0和1之间，这时的零极 点见图3-10所示。即 Zk=aej(2 k/N)，k=0，1，2，3，…，N1 k=0时的零点，抵消了z=a的极点。
e
1
2a
z
2
11
an
1 (e 1 2 (e
a
cos 0 ) z
1
cos 0 ) z
e
2a
z
2
z e
a
几种序列的Z变换
12 rⁿsinn0u(n)
( r sin 0 ) z 1 2 ( r cos 0 ) z
1 1
|z|>|r|
2 2
r z
N
| az
1
|
n
n0
例题3-5
图3-10 aⁿRN(n) 的Z变换收敛域 (z0)和相应的 零极点分布（注： N=10，0<a<1）
表3-1 几种序列的Z变换
1 2 3 4 序列 δ(n) u(n) 变换 1
z z 1 z za 1 1 z 1 1 az
1
收敛域 全部Z
1
例题3-5
求有限长序列x(n)=aⁿRN(n)的Z变换及其ROC。 解：x(n)=aⁿRN(n)的Z变换为
X ( z ) Z [ x ( n )] z
n
a R N (n) z
1
n
n
N 1
( az z
1
)
n
1 ( az
)
N
n0
1 az
N
1
1
X (z)
n
x(n) z
n
（3-1）
Z[x(n)]＝X(z) 称为Z变换算子。
(3-2)
3.1 Z 变换
Z变换算子就是将序列x(n)转换为函数X(z)，
x(n) X ( z )
根据式(3-1)，只有当幂级数收敛时，X(z)才有
z
意义。
3.1 Z 变换
任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所
第三章
Z变换
Chapter 3 The Z-Transform
§ 3.1 z 变换 § 3.2 z 反变换 § 3.3 z 变换的性质
本章的主要内容 1、掌握z变换及其收敛域
2、会运用任意方法求z反变换
3、理解z变换的主要性质
第三章作业 习题3-1
（1）（2）（4）
习题3-2 （1） 采用长除法、围线积分法与部分分式法 求取 习题3-4
sin z 1 2z
1
1
sin( 0 )
2
|z|>1
cos 0 z
z
2 2
(z a)
1 (1 az
1
|z|>|a|
)
2
几种序列的Z变换
16 17
( n 1)( n 2 ) 2! ( n 1)( n 2 ) ...( n m ) m! a u (n)
3.1.4 左边序列的Z变换
图3-3 左边序列及其收敛域(n2>0 ，z=0除外)
3.1.5 双边序列的Z变换
当n为任意(正、负、零)值时，x(n)都有非零的 值，即为双边序列，可将其看成一个右边序列和 一个左边序列之和，即
X (z)
n
x(n) z
n
n
1
n
Z [ ( n )] ( n ) z
n
1 ；
ROC ： 0 | z |
故收敛域应是整个闭平面，即 ROC：0|z| 。 如图3-5。
例题3-1
图3-5 δ(n)的Z 变换收 敛域
例题3-2
求左边指数序列x(n)＝b ⁿu(n1)的Z变换X(z) 及其ROC。 解：左边序列的Z变换X(z)为
例题3-4
X ( z) x(n )z
n n
( b z
n n
1
n
) a z
n n0
n
1 1 bz
1
1 1 az
1
z zb
z z a
z(2 z a b) ( z a )( z b )
ROC: |a| < |z|< |b| 见图3-8。若令a = 1/3， b=1/2，则
n0
x(n) z
n
（3-6）
有限长序列的Z变换的收敛域为“有限Z平面”， 而 z的负幂级数存在一个收敛半径Rx，级数在以坐 标原点为中心，以Rx为半径的圆之外区域内任 何一点均绝对收敛。
3.1.2 右边序列的Z变换
Rx是收敛域的最小半径，X(z)的收敛域为ROC： Rx <|z|< ，如图3-2“灰色”所示。
x(n) z
n
n0
x(n ) z
n
（3-9）
3.1.5 双边序列的Z变换
双边序列的Z变换收敛域
ROC：Rx<|z|<Rx+， 这是一个简单的环状区域，如图3-4所示。
3.1.5 双边序列的Z变换
图3-4 双边序列及其收敛域
例题3-1
求序列x(n)＝(n)的Z变换X(z)及其ROC。 解：这是n1＝n2=0时的有限长序列，且
X (z) z ( z 1 / 12 ) ( z 1 / 3 )( z 1 / 2 )
例题3-4
ROC是环形域 1/3<|z|< 1/2， 如图3-9所示。 其中“○”表示 零点。
图3-8 aⁿu(n)bⁿu(n1)的收敛域
例题3-4
图3-9 a = 1/3，b=1/2时的双边序列与X(z)的收 敛域和相应的零极点分布
为什么要进行Z变换？
1、傅立叶变换并不是对所有信号序列都能 收敛
2、同拉氏变换在连续时间系统中的作用一 样，Z变换能把描述离散时间系统的差分 方程转化为简单的代数方程，极大地简化 了求解过程。
§ 3.1 Z 变换
Section 3.1 The Z-Transform
一个序列x(n)的Z变换定义为
X (z)
1 1 z
1
；
ROC ： | z | 1
例题3-3
图3-7 x(n)=aⁿu(n) 的收敛域
例题3-4
求x(n)=aⁿu(n) bⁿu(n1)的Z变换X(z)及其ROC。
解：这是一个双边序列，
b n， n 1 x(n) n a ， n 0
1 2
13 rⁿcosn0u(n)
1 ( r cos 0 ) z 1 2 ( r cos 0 ) z
1
|z|>|r|
2
r z
14 sin(n0+θ)u(n)
15 (n+1)aⁿu(n)
z sin z sin( 0 )
2
z
2
2 z cos 0 1
1
|z|>1 |z|>1
z e
a
z 2 z cos 0 1
2
1 z 1 2z
1
cos 0
2
cos 0 z
e e
an
cos n 0 u( n) cos n 0 u( n)
(e 1 2(e
a
a
sin 0 ) z
1
1
cos 0 ) z
a
另外，零、极点也可能出现在 z =0 或 z =。
3.1.1有限长序列的Z变换
有限长序列，是指在有限区间n1nn2内，序
列具有非零的有限值，在此区间外，序列值都为 零。 n2 n X ( z ) x(n) z （3-5）
n n1
若X(z)的每一项是有界的，级数就收敛，即 |x(n)z−n|< ，n1nn2，若x(n)是有界的， 即要求|z −n|< ，n1nn2。
X ( z ) Z [ x ( n )]
a u (n) z
n n
n
a z
n n0
n
( az )
n0
1 n
这也是一个无穷项的等比级数求和，为了使X(z) 收敛，必须要求|az1|<1，由此得到X(z)闭合
例题3-3
（接上）表达式
X (z)
( az
z
1
(1 az )
1 1 e
jn 0
1
jn 0
z ze
jn 0
8 9 10
sinn0u(n) cosn0u(n)
z sin 0 z 2 z cos 0 1
z z cos 0
2
z 1 2z
sin 0
2
1
cos 0 z
X (z) 1 1 1 b z
1
b z 1 b z
1
1
z zb
1 1 bz
1
例题3-2
图3-6 x(n) ＝b ⁿu(n1) 的收敛域
例题3-3
求右边指数序列x(n)=a ⁿu(n)的Z变换X(z)及其 ROC。 解：x(n)实际上为因果序列， Z变换X(z)为