二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质3
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
课堂练习
完成课本P12练习 （1）（3）用公式法 （2）（4）用配方法
反思
求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴有两 种方法：
1.配方法
2.公式法
顶点：
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
对称轴： x b 2a
总结小结
顶点坐标
对称轴
y=ax2 y=ax2+c y=a(x-h)2
(0,0)
(0,c) (h,0)
y轴
y轴 直线x=h
y=a(x-h)2+k (h,k) 直线x=h
y=ax2+bx+c
(
b
4ac b2
,2a
最值
0 c 0
k
4ac b2 4a
能力训练
1.二次函数y=-2x2-x+1的顶点位于第 象限 2.已知二次函数y=2x2-8x+1，当x= ，函数有最 小值为 3.若函数y=-0.5x2+2x+m有最大值为5，则m___ 4.将抛物线y=2x2-4x+5向左平移2个单位长度，再 向下平移3个单位长度得
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 得到的。 x:左加右减
y:上加下减
课前练习
顶点坐标 对称轴
y=-2x2 y=-2x2-5
(0,0) y轴 (0,-5) y轴
y=-2(x+2)2 (-2,0) 直线x=-2
y=-2(x+2)2-4 (-2,-4) 直线x=-2
a( x b )2 4ac b2
九年级数学下册 5.6 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(3)课件 青岛版
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:
1 .y = 2 x + 3
y ax bx c
2
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
观察图象,回答问题
y 3x
2
y 3 x 1
2
(1)函数y=3(x-1)2 的 图 象 与 y=3x2 的 图 象有什么关系?它 是轴对称图形吗? 它的对称轴和顶点 坐标分别是什么?
2 2
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x
2
y 3 x 1 2
2
二次函数y=-3(x+1)2+2与 y=-3(x+1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
x=1 开口向下, 当x=-1时y有 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值:且 (x=-1);增减性与y= -3x2类似. 最大值= 2 (或最大值= - 2).
在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x² 和 y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x² ,y=-3(x1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口 方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时， y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x 值的增大而减小?
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
◆本节课内容一、二次函数y=ax2+bx+c1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。
它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。
方法二：平移法利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；（2）作出二次函数y=ax2的图像；（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数y=ax2+bx+c的图像。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。
三、二次函数解析式的求法求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
◆课堂练习题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。
题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。
设t=a+b+1，则t 的取值范围是（）A、0＜t＜1B、0＜t＜2C、1＜t＜2D、－1＜t＜1题型三、二次函数图像平移规律的直接应用3、抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到抛物线y=－2x2，平移的方法是（）A、向左平移1个单位，再向下平移3个单位B、向左平移1个单位，再向上平移3个单位C、向右平移1个单位，再向下平移3个单位D、向右平移1个单位，再向上平移3个单位题型四、根据抛物线的平移求字母的值4、已知抛物线y=x2+4x+1向上平移m（m＞0）个单位得到的新抛物线过点（1,8），求m的值1题型五、利用二次函数y=ax2+bx+c的图像判断各项系数的符号5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么abc，2a+b，a+b+c这3个代数式中，值为正数的有（ c ）A、3个B、2个C、1个D、0个题型六、利用二次函数的性质比较函数值得大小6、若A（－4，y1），B（－3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x－5的图像上的三点，则y1，y 2，y3的大小关系是（）题型七、利用二次函数的增减性求字母的取值范围7、已知二次函数y=x2-（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，求m的取值范围。
抛物线y=ax2 bx c图像与性质
抛物线 顶点坐标 对称 轴
y ax2 c（0,c）y轴
开口方向
增减性
最点，最值
a>0时,向上
a>0时, x<0,y随着x 的增大而减小. x>0,
y随着x的增大而增大.
a>0时, x<0,y随着x
a<0时,向下 的增大而增大. x>0, y随着x的增大而减小.
a>0时,x=0时 y最小值＝c. a<0时,x=0时
③
①②
2
1
二次函数① y 3x2 、② y 3(x 1)2与
③ y 3(x 1)2 2 图象的关系
x -1
②
-2
y
①
③
y=3(x-1)2+2 h=1,k=2
y=-3(x+1)2-2
h=-1,k=-2
-1
-2
1
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向
增减性
最点，最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y最大值＝c.
说出的函数
① y 3x2
② y 3x 12
③ y 3x 12
图象及性质
说出的函数
① y 3x2
② y 3(x 1)2
③ y 3(x 1)2
图象及性质
y=3(x+1)2
h=-1,h<0,向 左平移(左加）
y=3x2
y=3(x-1)2
抛物线 顶点坐标
对称轴
y=a(x-h)2 (a>0) （h，0） 直线x=h
（h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
当x<h,y随着x的增大而减小. 当x>h, y随着x的增大而增大.
二次函数y=ax2bxc的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质一、教材分析二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是高中学习函数的重要基础。
本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步经历探索二次函数图象特征和性质的过程。
教学时应注意引导学生找出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的联系，然后通过观察图像，结合解析式特点，思考和归纳函数图像的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，去理解二次函数顶点式中a,h,k对函数图象的影响；并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，让学生对二次函数y=a(x-h)2+k有一个形象和直观的认识。
二、学生情况分析目前的学生课堂学习不够专注，缺乏数学思维，因而导致他们的数学基础较差、学习信心不足、兴趣不大，有的学生感到学习数学很困难。
三、教学目标分析知识目标：1能够正确作出二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象；2理解二次函数关系式中系数a,h,k对函数图象的影响；3能够正确指出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标。
能力目标：1、在精心设计的问题引领下，通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；2、通过观察图象，发现函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力；3、通过小组合作，进一步培养学生的数学探究能力。
情感价值观目标：让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的自信心，感受数学的美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重难点：能够正确作出y=a(x-h)2+k的图象，并抽象出它的图象特征和性质。
四、教法学法分析采用“问题引领，小组学习”的教学模式实施教学。
让学生在正确作出二次函数图象之后，抽象出二次函数y=a(x-h)2+k中系数与图象之间的关系。
先鼓励学生在问题引领下，独立思考，解决问题；然后把出现的问题带到小组学习中去，经过学习小组或全班集中展示交流，师生合作点评，推导出结论并达成共识。
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数，又称之为平方函数，它是最基本的解析函数之一。
它的标准形式是y=ax2＋bx＋c，其中a,b, c是实数，a≠0。
二次函数的图像是根据函数表达式的特性来推断的，只要我们把函数上的点代入进函数的表达式，并确定函数的拐点，就可以找出图形的形状。
一般来说，当a>0时，二次函数的图像是一条“U”形(有可能是拱状或者凹状)，当a<0时，二次函数的图像是一条蛇形抛物线(有可能是凸状或者凹状)，沿X轴的对称轴是当x=－b/2a时，它的最高点或者最低点是（－b/2a,f (－b/2a))。
二次函数不仅表示物理现象，也可以表示天文现象，甚至于在经济学中也有运用。
从数学上来讲，它具有众多的特性和性质，如：
A、二次函数有且只有两个极值，可能是极大值或极小值；
B、当a > 0时，函数有一个唯一的最小值点，沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
C、当a < 0时，函数有一个唯一的最大值点，同样沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
D、当x→±∞时，函数值→±∞，即它是一个可以到达正负无穷远处的无限延伸曲线。
以上就是二次函数的图像与性质，只要我们掌握了它的一般形式与特性，就可以很容易的根据题设的条件把它画出来，用它来描述和解决各种实际问题，它是一种有效的数学工具。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
-5
顶点坐标：（2，1）
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 ，
与x轴的交点坐标是
(。1,0)或（3，0）
抛物线与y轴的交 点有什么特征？
(0,3)
抛物线与x轴的交 点有什么特征？
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
(1) y 3x2 2x (2) y x2 2x
(3) y 2x2 8x 8
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
y
1 2
x2
-
2
x
3
（1） y 2x2 - 12x13
解：a
1 2
0
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通 过上下和左右平移得到.
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k
的图象和性质，能否利用这些知识
来讨论二次函数 y 1 x2 6x 21图象和
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(3)
2.4二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象和性质(3)课型 新授学习目标：1、体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．2、能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题．3、通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力．学习重点：运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题．学习难点：把数学问题与实际问题相联系的过程．学习过程：一、学前准备(学生独立完成)1、抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______.2、将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.3、抛物线y =－41x 2+1，y =－41(x +1)2与抛物线y =－41(x 2+1)的___相同，__不同.二、探究活动 (一)独立思考并合作探究探索二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标例：求二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标．1、二次函数y ＝a(x-h)2+k 的对称轴和顶点坐标分别是什么？2、交流怎样求二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标．点拨：用配方法将ax 2+bx+c 转化成a(x-h)2+k 的形式即可。
3、学生独立完成后交流答案，并找一人板演展示。
解：把y ＝ax 2+bx+c 的右边配方，得y ＝ax 2+bx+c=a(x 2+ac x a b +) =a[x 2+2·a b 2x+(a b 2)2+2)2(ab ac -]=a(x+a b 2)2+a b ac 442-.对称轴为x=-a b 2,顶点燃坐标为（-a b 2，ab ac 442-） 巩固练习：P60随堂(二)实际应用：P58做一做，有关桥梁问题学生独立思考后教师点拨，分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左右两条抛物线关于y 轴对称，所以它们的顶点也关于y 轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y ＝a(x-h)2+k 的形式，即顶点式．解：y=0．0225x 2+0．9x+10=0．0225(x 2+40x+94000) 二0．0225(x 2+40x+400-400+94000) ＝0．0225(x+20)2+1．∴对称轴为x=-20．顶点坐标为(-20，1)．(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1米．(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20＝40米．三．学习体会1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑问？2．你认为老师上课过程中还有哪些须改进的地方？四．自我测试1、 确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
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3.8二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质（第三课时）
学习目标
1、经历用描点法画形如y=a(x-h)²+k 二次函数的图像的过程；
2、掌握形如y=a(x-h)²+k 二次的函数的性质。
3、能根据二次函数图像的对称性迅速的画出二次函数的图像。
学习重点:
会画形如
的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、
对称轴及顶点坐标。
学习难点:
确定形如
的二次函数的顶点坐标和对称轴。
第一模块：自学设计
自学任务：
(一)思考：
二次函数112
12
-+-=）（x y 的图象是什么形状？你能说出它有哪些性质吗
（二）自学课本，完成下列问题
1、在同一坐标系，分别作出二次函数221x y -= 12
1
2--=x y
11212
-+-=）（x y 的图像
（2）描点 （3）连线
填写下表
例 求二次函数
5
12-+-=x x y 的顶点坐标和对称轴，并作出函数图像
解：2
5212-+-=x x y
=
所以它的顶点坐标是 ，对称轴是 。
根据函数的对称性列表
第二模块：训练设计
巩固练习：
课本P86随堂练习及习题3.8第1题中的（1）（3）（5）
达标测试（10分）
1、抛物线y=（x—l）2 +2的对称轴是（）
A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=2 2、、已知抛物线的解析式为y=－（x—2）2＋l，则抛物线的顶点坐标是（）
A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）
3、将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为___ ___．
4、要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须 [ ]
A ．向上平移1个单位；
B ．向下平移1个单位；
C ．向左平移1个单位；
D ．向右平移1个单位．
5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ]
A ．y=-3(x-1)2-2；
B ．y=-3(x-1)2+2；
C ．y=-3(x+1)2-2；
D ．y=-3(x+1)2+2．
6、要从抛物线y=2x 2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x 2必须 [ ] A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
7、抛物线23
2y x =-向左平移1个单位得到抛物线（ ）
A ．2312y x =--Ｂ．2312y x =-+Ｃ．23
(1)2
y x =-+Ｄ．
8、把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522
+--=x y B. ()522
++-=x y
C. ()522
---=x y D. ()522
-+-=x y。