第三节空间点线面的位置关系ppt课件
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第三节空间点线面的位置关系ppt课件
C．不可能平行 是异面直线相矛盾．
答案：C
D．不可能
相交
2．(2013· 东北三校联考)下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；
(
)
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 C．2 B．1 D．3
解析：①④错误，②③正确． 答案：C
第三节空间点 线面的位置关 系
考纲要求： 点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义， 并了解如下可以作为推理 依据的公理和定理。 ◆公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点在此平面内。 ◆公理 2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 ◆公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一个过该点的公共直线。 ◆公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ◆定理： 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那 么这两个角相等或互补。 ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
P∈α，
且P∈β⇒
_____
α∩ β ＝ l
该点的公共直线
___________ 且P∈l
二、空间直线的位置关系 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内， 没有 公共点； 1．位置关系的分类 异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有 公共点.
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设
两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，
由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，
从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直
空间点线面的位置关系PPT课件
β
α
a
//或 平面α与平面β重合
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1练1 习
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
直尺落在桌面上（直线AB在平面α内）
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3.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，
则这条直线在此平面内.
①图形语言：
Al
B
②符号语言：A l,B l且 A ,B l
作： //或
注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合. （当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)
公理2
β
a
α
α
β
β
α
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小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
a B
A
Aa
Ba
B
α
A
A
B
b
a
aA
α
α
a a b A 或 a //
β
a
α
α
β
(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念，即为不加定义的原始概念.
(2)平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）； 平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的 平面概念是现实平面加以抽象的结果.
长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有 些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直 线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线 等等.
点线面ppt课件
点的应用
在设计中，点可以用来表 示位置、大小、形状等， 也可以用来构成图案、装 饰元素等。
线的的设计应用
线的定义
线是连接两个或多个点的路径，是构成图形的基 本元素之一。
线的类型
线可以分为直线、曲线、虚线等类型，每种类型 的线都有其独特的视觉效果和用途。
线的应用
在设计中，线可以用来表示方向、位置、大小等 ，也可以用来构成图案、装饰元素等。
线的艺术表现
1 2 3
线的类型
线可以分为直线、曲线和折线等类型。直线给人 一种刚毅、有力、静态的感觉，曲线则显得更加 柔软、流畅、动态。
线的粗细
线的粗细可以影响其视觉效果。粗线具有强烈的 存在感，能够突出主题，细线则更加精致、细腻 。
线的方向
线的方向可以传达出不同的情感和意象。水平线 给人一种平静、稳定的感觉，垂直线则显得更加 高大、威严。
表示力量、权威或尊严。
线的粗细
线的粗细可以用来传达不同的含 义。例如，较粗的线可以表示强 调或突出，而较细的线则可以表
示次要或辅助信息。
线的颜色
线的颜色可以用来传达不同的情 感或含义。例如，绿色可以表示 生机、希望或和平，而黑色则可
以表示严肃、神秘或死亡。
面的视觉表达
面的形状
面的形状可以用来传达不同的含 义。例如，圆形可以表示完美、 团结或和谐，而方形则可以表示 稳定、可靠或权威。
面的设计应用
面的定义
面是由一组点或线构成的封闭区域，是构成图形的基本元素之一 。
面的类型
面可以分为平面、曲面等类型，每种类型的面都有其独特的视觉效 果和用途。
面的应用
在设计中，面可以用来表示形状、大小、位置等，也可以用来构成 图案、装饰元素等。
高中数学第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系ppt课件
2019/11/21
19
(2016·淄博模拟)在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M，N 分别
为 A1B1，BB1 的中点，则异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为( )
1
2
1
2
A.3
B.3
C.5
D.5
解析：如图，取 AB 的中点 E，连接 B1E，则 AM∥B1E，
2019/11/21
B．②③
C．③④
D．①②
解析：对于①，当 a∥M，b∥M 时，则 a 与 b 平行、相交或异
面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则 a∥M 或 a⊂M，②为假
命题．命题③中，a 与 b 相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂
直的性质，命题④为真命题，所以①、④为真命题．
答案：A
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3 故直线 B1D1 与 CD1 所成角为 60°，其正弦值为 2 . 答案：A
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1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三 种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中 点)作平行线平移；补形平移．
2．求异面直线所成角的三个步骤： (1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角． (2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角． (3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角， 则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
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(1)(2016·济南模拟)a，b，c 是两两不同的三条直线，下 面四个命题中，真命题是( )
A．若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面 B．若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交 C．若 a∥b，则 a，b 与 c 所成的角相等 D．若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c
空间点、线、面之间的位置关系 经典课件(最新)
解析：(1)当四个点中有三个点共线时，这四个点确定 1 个平面；当四点不共面时， 每三个点可确定 1 个平面，共 4 个平面．
(2)a，b 不能确定平面，a，c 确定一个平面，b，c 确定一个平面，共两个平面． 答案：(1)1 或 4 (2)2
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6．判断点共线，线共点问题——直接法(直接运用公理或定理) 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O，AC 与 BD 交于 点 M，则点 O 与直线 C1M 的关系是________． 解析：如图 2 所示，因为 A1C⊂平面 A1ACC1，O∈A1C，
图7
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(2)如图 7，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB，AA1 的中点． 求证：①EF∥D1C； ②CE，D1F，DA 三线共点．
②若 a⊂α，b⊂α，则“α∥β”⇒“α∥β且 b∥β”， 反之，“α∥β且 b∥β”，推不出“α∥β”， ∴“α∥β”是“α∥β 且 b∥β”的充分不必要条件，故②是假命题．故选 B.
【答案】 B
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【反思·升华】 例 1.1 难度不大，但比较灵活．解题关键在于构造平面，可考虑过 一条直线及另一条直线上的一点作平面，进而找出与三条异面直线都相交的直线．解决 点、线、面位置关系问题可借助平面、立体(长方体、正方体)模型，有利于我们看清问题， 例 1.2 要重视三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的相互转化，特别要培养 准确使用符号语言的能力，在空间图形中，点是最基本的元素，点与线、点与面是元素 与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，防止出现符号“∈”“⊂”混用的错 误．
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[强化训练 2.1] (1)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即 AB＝CD，AC＝BD， AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．
(2)a，b 不能确定平面，a，c 确定一个平面，b，c 确定一个平面，共两个平面． 答案：(1)1 或 4 (2)2
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6．判断点共线，线共点问题——直接法(直接运用公理或定理) 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O，AC 与 BD 交于 点 M，则点 O 与直线 C1M 的关系是________． 解析：如图 2 所示，因为 A1C⊂平面 A1ACC1，O∈A1C，
图7
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(2)如图 7，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB，AA1 的中点． 求证：①EF∥D1C； ②CE，D1F，DA 三线共点．
②若 a⊂α，b⊂α，则“α∥β”⇒“α∥β且 b∥β”， 反之，“α∥β且 b∥β”，推不出“α∥β”， ∴“α∥β”是“α∥β 且 b∥β”的充分不必要条件，故②是假命题．故选 B.
【答案】 B
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【反思·升华】 例 1.1 难度不大，但比较灵活．解题关键在于构造平面，可考虑过 一条直线及另一条直线上的一点作平面，进而找出与三条异面直线都相交的直线．解决 点、线、面位置关系问题可借助平面、立体(长方体、正方体)模型，有利于我们看清问题， 例 1.2 要重视三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的相互转化，特别要培养 准确使用符号语言的能力，在空间图形中，点是最基本的元素，点与线、点与面是元素 与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，防止出现符号“∈”“⊂”混用的错 误．
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[强化训练 2.1] (1)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即 AB＝CD，AC＝BD， AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．
空间点线面的位置关系课件
EFGH是一个平行四边形.
证明：连结BD，
∵ EH是△ABD的中位线，
∴EH ∥BD且EH =
1 2
同理，FG ∥BD且FG
BD．
=
1 2
BD．
∴EH ∥FG且EH =FG．
A
H E
D G
∴EFGH是一个平行四边形．
B FC
“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．
问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？ 菱形
c
a
a
α
bc
注4：①平行具有传递性；
②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条 直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1 ，AD1与 BC1是什么位置关系？为什么？
解：1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， D1
四边形ABCD为梯形.
4.点线共面问题
(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论.
(2)证明的常用方法： ①纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的 点、线在此平面内；
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元 素确定平面，最后证明平面、重合.
4.点线共面问题
例 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.
练 已知A, B,C l,D l,求证:直线AD,BD,CD共面.
D
Al B C 证明: D l.l与D确定平面 .
又 A, B,C l, l A, B,C .
又 D BD,CD, AD ,即AD, BD,CD共面.
4.点线共面问题
证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.
空间点线面位置关系整理(ppt)
详细描述
在二维平面中，一个点可以确定一条 直线，但直线本身不能确定一个具体 的点。同样，在三维空间中，一个点 也可以确定一个平面，但平面本身不 能确定一个具体的点。
点与面之间的关系
总结词
点与面之间的关系是相对复杂的，一个点可以位于一个平面上，但不能确定一个平面。
详细描述
在二维平面中，一个点可以位于一个平面上，但这个平面本身不能被一个单独的点所确 定。在三维空间中，一个点也可以位于一个曲面上，但这个曲面本身不能被一个单独的
详细描述
线在面上的变换通常涉及到直线的平移、旋 转或倾斜等操作。这种变换可以用来描述一 个物体在平面上的运动或变化，例如桥梁的 伸缩、建筑物的旋转等。此外，这种变换还 可以用来研究几何图形在平面上的运动规律 和性质。
06
空间点线面位置关系的证明
点在线上的证明
定义法
根据点的定义，如果一个点在直线上 ，则该点满足直线的方程。通过验证 点的坐标是否满足直线的方程，可以 证明该点在线上。
3
线可以用来确定建筑物的空间形态和方向感。
点线面在建筑学中的应用
01
面在建筑学中的应用
02
面可以表示建筑物的立面、屋顶、地面等。
面可以用来确定建筑物的空间大小、形状和功能分区等。
03
点线面在计算机图形学中的应用
01
02
03
点在计算机图形学中的 应用
点可以表示像素的位置 和颜色信息。
点可以用来实现图像的 缩放、旋转和平移等变
点在面上的变换
总结词
点在面上的变换是指一个点在一个平面 上的位置变化。
VS
详细描述
与点在线上的变换类似，点在面上的变换 也可以通过平移、旋转或缩放等操作来实 现。这种变换可以用来描述一个物体在平 面上的运动或变化，例如飞行器在空中的 飞行轨迹。
在二维平面中，一个点可以确定一条 直线，但直线本身不能确定一个具体 的点。同样，在三维空间中，一个点 也可以确定一个平面，但平面本身不 能确定一个具体的点。
点与面之间的关系
总结词
点与面之间的关系是相对复杂的，一个点可以位于一个平面上，但不能确定一个平面。
详细描述
在二维平面中，一个点可以位于一个平面上，但这个平面本身不能被一个单独的点所确 定。在三维空间中，一个点也可以位于一个曲面上，但这个曲面本身不能被一个单独的
详细描述
线在面上的变换通常涉及到直线的平移、旋 转或倾斜等操作。这种变换可以用来描述一 个物体在平面上的运动或变化，例如桥梁的 伸缩、建筑物的旋转等。此外，这种变换还 可以用来研究几何图形在平面上的运动规律 和性质。
06
空间点线面位置关系的证明
点在线上的证明
定义法
根据点的定义，如果一个点在直线上 ，则该点满足直线的方程。通过验证 点的坐标是否满足直线的方程，可以 证明该点在线上。
3
线可以用来确定建筑物的空间形态和方向感。
点线面在建筑学中的应用
01
面在建筑学中的应用
02
面可以表示建筑物的立面、屋顶、地面等。
面可以用来确定建筑物的空间大小、形状和功能分区等。
03
点线面在计算机图形学中的应用
01
02
03
点在计算机图形学中的 应用
点可以表示像素的位置 和颜色信息。
点可以用来实现图像的 缩放、旋转和平移等变
点在面上的变换
总结词
点在面上的变换是指一个点在一个平面 上的位置变化。
VS
详细描述
与点在线上的变换类似，点在面上的变换 也可以通过平移、旋转或缩放等操作来实 现。这种变换可以用来描述一个物体在平 面上的运动或变化，例如飞行器在空中的 飞行轨迹。
第八篇 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(共23张PPT)
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
考向二 空间面中两、直线平的位行置关和系 垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或
(1)公理1：如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
推论3：经过两条_____直线有且只有一个平面．
反证法；对于平行直线，可利用三角形 梯形 中位线的性 ( ) (1)“不同在任何一个平面内〞，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线既不相交，也不平行．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
找异面直线所成的角的方法
一般有三种找法：利用图中已有的平行线平移；利用特
殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练3】 如图，A是△BCD平面外的一点， E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的_锐__角__(或__直__角_)___叫做 异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
②范围：__0_，__π2_ _.
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
(3)平行公理和等角定理
突破3个考向
揭秘3年高考
考向三 异面直线所成角
【例3】►如下图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中， (1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)假设E、F分别为AB、AD的中点， 求A1C1与EF所成角的大小． [审题视点] (1)把A1C1平移到底面，再连AB1可求； (2)把A1C1平移到底面，连BD可求．
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1．证明线共点问题常用的方法是：先证其 中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线 上． 2．证明点或线共面问题一般有以下两种途 径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一 个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内
；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面
(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写 出编号)． ①相对棱AB与CD所在直线异面； 1 ．(1)在空间中，下列命题正确的是 ( BCD ) 三条高线的 ②由顶点 A作四面体的高，其垂足是△
A．对边相等的四边形一定是平面图形 交点；
B．四边相等的四边形一定是平面图形 ③若分别作△ ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条 C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形 高所在的直线异面； D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形 ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相
1 [自主解答] 证明:∵EF∥= CD1， 2 ∴直线 D1F 和 CE 必相交． 设 D1F∩CE＝P， ∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D， ∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE⊂平面 ABCD， ∴P∈平面 ABCD， 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点． 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D＝AD. ∴P∈AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点．
公共点个数
两个平面
平行
α∥ β _____
0个_____
两个平面 相交
α∩ β ____＝l
无数 个(这些公 _____ 共点均在交线l上)
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c 平行于 直线a，那么c与b
解析：由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交
(
)
A．异面 B．相交 直线，但不可能为平行直线，若 b∥c，则 a∥b.与a，b
P∈α，
且P∈β⇒
_____
α∩ β ＝ l
该点的公共直线
___________ 且P∈l
二、空间直线的位置关系 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内， 没有 公共点； 1．位置关系的分类 异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有 公共点.
2．异面直线的有关问题 (1)判定方法：①反证法；②利 用结论面内不过该点的直线
是异面直线，如图．
(2)所成的角的求法：平移法．
平面的基本性质及应用
[例1] 如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的 中点， 求证：CE，D1F，DA三线共点．
第三节空间点 线面的位置关 系
考纲要求： 点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义， 并了解如下可以作为推理 依据的公理和定理。 ◆公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点在此平面内。 ◆公理 2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 ◆公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一个过该点的公共直线。 ◆公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ◆定理： 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那 么这两个角相等或互补。 ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
(2)范围：_______.
三、直线与平面的位置关 位置关系 图示 系
符号表 公共点 示 _____ l⊂α 个数
直线l在
平面α内
______ 无数个
_
直线l与
平面α相
交
直线l与
l∩ α ＝ A 一个 _______ _____ _ l∥ α 0个
平面α平
______
_____
四、平面与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表示
4． 已知平面 α∩β=l,直线 m⊂α， 直线 n⊂β,m∩n=P, 则点 P 与直线 l 的位置关系用符号表示为 P∈l .
5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－ A1B1C1D1中既与
解析：如图，与AB和CC1都相交的 棱有BC；与AB相交且与CC1平行
AB共面又与CC1共面的棱的条数为 ________．
3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝
∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是 A．AB∥CD B．AB与CD异面 C．AB与CD相交 ( )
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰 三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平 行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线． 答案：D
[知识能否忆起] 一、平面的基本性质
名称
图示
文字表示
符号表示
如果一条直线 上的两点在一 A∈l，B∈l， 公理1 个平面内，那 且A∈α， 么这条直线在 B∈α⇒______ l⊂α 此平面内
名称
图示
文字表示
符号表示
过不在一条直线
公理2 上的三点，有且 只有一个平面
如果两个不重合 的平面有一个公 公理3 共点，那么它们 有且只有一条过
2．平行公理 平行 平行于同一条直线的两条直线互相
．
3．等角定理 相等或互补 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那 么这两个角 ．
4．异面直线所成的角(或夹角) (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间 锐角(或直角) 中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的
π 0， 叫做异面直线 a与b所成的角． 2
C．不可能平行 是异面直线相矛盾．
答案：C
D．不可能
相交
2．(2013· 东北三校联考)下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；
(
)
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 C．2 B．1 D．3
解析：①④错误，②③正确． 答案：C
的棱有AA1，BB1；与AB平行且与
CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合 条件的棱共有5条． 答案：5
1.三个公理的作用
(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线
在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点
在平面内． (2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供 了把空间问题转化为平面问题的条件． (3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作 两相交平面的交线；③证明多点共线．