2.2.1 第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
一元二次方程解法知识整理
知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) •b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程没有实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
有两个不等的实数根x1＝ p ，x2＝- p； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，
所以方程无实数根．
知识点 1 直接开平方法
知识点 1 直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程的步骤（三步法）：
变形
将方程化为“含未知数的完全平方式=非负常数” 的形式
若方程的右边为非负数，则两边开平方求得方程 的根
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
字母表述：用配方法解形如x2 + px + q = 0的一元二次方程
①将常数项移到方程的右边.（注意：移项变号）
x2 + px = -q
②两边都加上一次项系数一半的平方.（注意：两边都加）
x2 + px + （ p ）2 = （ p ）2 - q
列方程（一般找出能够表达应用题主干含义的一个相等关系，
列
列代数式表示相等关系中的各个量，即方程）
解 求出所列方程的解
验 检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义
答 根据题意，选择合理的答案作答
知识点 2 面积问题
解决面积问题可应用“等积变形”，若图形不规则应割或补成规 则图形，分散的图形应通过平移使之成为一个图形，以便求解
2.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程课件
2.2.1 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程
二、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
例 解方程：x2+ 8x - 9 = 0. 解：可以把常数项移到方程的右边，得x2 + 8x = 9.
两边都加 42 ( 一次项系数 8 的一半的平方 )，得
x2 + 8x + 42 = 9 + 42，
即
2.2.1 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程
针对训练
解下列方程：
(1) x2 + 4x = 10； 解：两边都加 22 ( 一次项系数 4 的一半的平方 )，得
x2 + 4x + 22 = 10 + 22，
即
( x + 2 )2 = 14，
两边开平方，得
x+2=± ，
即
x + 2 = ，或 x + 2 = - .
北师大版九年级上册数学同步课件
2.2.1 用配方法求解二次项 系数为 1 的一元二次方程
1 学习目标 2 新课引入 3 新知学习 4 课堂小结
2.2.1 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 学习目标
1. 会用直接开平方法解形如 (x+m)2＝n (n>0)的方程. 重点
2. 理解配方法的基本思路，会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方
所以
，
.
2.2.1 用配方法求解二次项系数为1的一;19 = 0. 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 - 9x = -19.
两边都加 ( 一次项系数 -9 的一半的平方 )，得
x2 - 9x + = -19 + ，
即 ( x - )2 = ，两边开平方，得 x - = ± .
最新湘教版九年级上数学教案 2.2.1 第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2
2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程教学目标1、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
重点难点重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
难点：用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。
教学过程（一）复习引入1、a2±2ab+b2=?2、用两种方法解方程(x+3)2-5=0。
如何解方程x2+6x+4=0呢?（二）创设情境如何解方程x2+6x+4=0呢？（三）探究新知1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得知：反过来把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式，就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。
2、怎样把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式呢？让学生完成课本P．10的“做一做”并引导学生归纳：当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．将方程一边化为0，另一边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法。
（四）讲解例题例1（课本P.11，例5）[解](1) x2+2x-3 (观察二次项系数是否为“l”)=x2+2x+12-12-3 (在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使它与原式相等)=(x+1)2-4。
(使含未知数的项在一个完全平方式里)用同样的方法讲解(2)，让学生熟悉上述过程，进一步明确“配方”的意义。
例2引导学生完成P．11~P．12例6的填空。
（五）应用新知1、课本P.12，练习。
2、学生相互交流解题经验。
（六）课堂小结1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？（七）思考与拓展解方程：(1) x2-6x+10=0；(2) x2+x+ =0；(3) x2-x-1=0。
第2课时用配方法解一元二次方程 人教版数学九上同步课堂教案
21.2.1 配方法第2课时 用配方法解一元二次方程一、教学目标1.了解配方的概念..2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.二、教学重难点重点：掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.用直接开平方法解下列方程:(1)9x 2=1 ；(2)(x -2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗?(1) x 2+6x+9 =5；(2)x 2+6x+4=0.[提示]把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方法.[探究交流]问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a 2+2ab +b 2=(a+b )2；(2)a 2-2ab +b 2=(a-b )2.问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x 2+4x +22= ( x +2)2；（2）x 2-6x +32= ( x -3 )2；（3）x 2+8x +42= ( x +4 )2；（4）x 2- 43x +(3)2= ( x -3)2. [思考]你发现了什么规律？[归纳总结]配方的方法：二次项系数为1的完全平方式；常数项等于一次项系数一半的平方.[思考]x 2+px +( p 2)2=(x +p2)2【新知探究】(一)用配方法解方程[思考]怎样解方程:x 2+6x +4=0(1)?问题1 方程(1)怎样变成（x +n )2=p 的形式呢？问题2 为什么在方程x 2+6x =-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方,方程左边才能变成完成平方x 2+2bx +b 2的形式.[归纳总结]方程配方的方法归纳：在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.[归纳总结]1.配方法的定义像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.2.配方法解方程的基本思路：把方程化为（x +n )2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．(二)配方法的应用例1 解下列方程：(1) x 2−8x +1=0；解：（1）移项，得x 2－8x =－1,配方，得x 2－8x +42=－1+42 ,即( x －4)2=15由此可得x −4=±√１5,方程的两根为x 1=4+√15,x 2=4−√15.(2) 2x 2+1=3x ；解：（2）移项，得2x 2－3x=－1,二次项系数化为1，得x 2−32x =−12 配方，得x 2−32x +(34)2=−12+(34)2,,即(x −34)2=116由此可得x −34=±14方程的两根为x 1=1,x 2=12[思考]移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?(3)3x 2−6x +4=0.解：（3）移项，得3x 2−6x =−4,二次项系数化为1，得x 2−2x =−43 配方，得(x −1)2=−13 因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．[思考]用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号.[思考]用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.[归纳总结]一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.①当p>0时,则x+n=±√p,方程的两个根为x1=−n−√p,x2=−n+√p②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为x1=x2=-n.③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且a2−6a+b2−8b+√c−5+25=0，试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得(a−3)2+(b−4)2+√c−5=0由代数式的性质可知(a−3)2=0,(b−4)2=0,√c−5=0,∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=32+42=52=c2,所以，△ABC为直角三角形.例4.读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物。
《用配方法求解一元二次方程》示范教学方案(第2课时)
第二章一元二次方程2.2 用配方法求解一元二次方程第2课时一、教学目标1．理解配方法，会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．2．经历探索利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，使学生体会到转化的数学思想，培养学生运用转化的数学思想解决问题的能力．3．启发学生学会观察、分析，寻找解题的途径，提高他们分析问题、解决问题的能力．二、教学重点及难点重点：理解并掌握配方法，能够运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．难点：运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．三、教学用具多媒体课件，计算器．四、相关资源《配方法》动画，《配方法解一元二次方程》微课．五、教学过程【复习引入】1．什么是配方法？师生活动：教师出示问题，找学生代表回答．答：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．2．填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+5x+________=(x+_______)2；（2）x2-6x+________=(x-_______)2；（3）x2-13x+________=(x-_______)2；（4）x2+bax+________=(x+_______)2．师生活动：教师出示问题，学生代表回答，教师根据学生情况实时引导．教师引导：本题实际上要将其配成完全平方式，方法是加上一次项系数一半的平方．答案：（1）254，52；（2）9，3；（3）136，16；（4）224ba，2ba.上节课我们学习了用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，如果二次项的系数不为1，那么我们怎样解这样的一元二次方程呢？这就是我们这节课要研究的问题：怎样解二次项系数不为1的一元二次方程？设计意图：通过复习上一节课所学的内容，引入本节课所学的内容．【探究新知】例解下列方程：（1）x2-6x-40=0；（2）3x2+8x-3=0．师生活动：教师先让学生独立完成第（1）题，第（2）题教师引导学生将方程两边同除以3化为二次项系数为1的一元二次方程，然后按照上节课所学方法解方程即可，最后教师归纳．解：（1）移项，得x2-6x=40．方程两边都加上32（一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32，即(x-3)2=49．两边开平方，得x-3=±7，即x-3=7，或x-3=-7．所以x1=10，x2=-4．（2）移项，得3x2+8x=3．两边同除以3，得281 3x x+=．配方，得2228441333x x⎛⎫⎛⎫++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即242539x⎛⎫+=⎪⎝⎭．两边开平方，得4533x+=±，即4533x+=，或4533x+=-．所以11 3x=，x2=-3．归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化——化二次项系数为1；（2）配——配方，使原方程变成（x＋m)2－n＝0的形式；（3）移——移项，使方程变为（x＋m)2＝n的形式；（4）开——如果n≥0，就可以左右两边开平方得到x＋m＝±n；（5）解——方程的解为x＝－m±n．设计意图：通过例题的讲解，使学生明白用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的一般步骤．此图片是动画缩略图，本资源为《配方法》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，适用于《配方法》的教学.若需使用，请插入【数学探究】配方法.【典例精析】做一做一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2，小球何时能达到10 m高？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导：解决这个问题实际上就是解方程15t-5t2=10，即5t2-15t=-10．解：由题意可得方程15t-5t2=10．该方程可化为5t2-15t=-10．方程两边同除以5，得t2-3t=-2．配方，得222333222t t⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23124t⎛⎫-=⎪⎝⎭．两边开平方，得3122t-=±，即3122t-=，或3122t-=-．所以t1=2，t2=1，这两个解均符合题意．所以在1 s时，小球达到10 m；至最高点后下落，在2 s时，其高度又为10 m．设计意图：通过实际问题的解决，让学生巩固所学知识．本图片是微课的首页截图，本微课资源针对《配方法解一元二次方程》进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】配方法解一元二次方程.【课堂练习】1．下列配方有错误的是（ ）．A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为2．将二次三项式3x 2+8x -3配方，结果为（ ）． A ．2855333x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ B ．24333x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ C ．24253333⎛⎫+- ⎪⎝⎭ D ．(3x +4)2-19 3．用配方法解方程242203x x --=应把它先变形为（ ）． A ．21839x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．2203x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．21839x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．211039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2410x x --=2(2)5x -=2680x x ++=2(3)1x +=22760x x --=2797416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭23420x x --=2210339x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4．关于x 的一元二次方程的解为（ ）．A ．，B ．C ．D ．无解5．如果mx 2+2(3-2m )x +3m -2=0(m ≠0)的左边是一个关于x 的完全平方式，则m =_______．6．解下列方程：（1）9y 2-18y -4=0；（2）2x 2-x -1=0师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．教师点拨：先把常数项移到方程的右边，然后再将二次项的系数化为1．7.如图，某人在C 处的船上，距离海岸线AB 为2千米．此人划船的速度为4千米/时，在岸上步行的速度为5千米/时，若此人要用1.5小时到达距A 点6千米的B 处，问此人登陆点D 应在距B 点多远？师生活动：教师出示练习，找几名学生板演，讲解出现的问题．解：设此人登陆点D 应在距B 点x 千米处．根据题意列方程，得(1.5-5x )×4=24(6)x +-． 两边平方，得(6-45x )2=4+(6-x )2． 整理，得291240255x x -+=，即(35x -2)2=0． 解得x =103． 答：此人登陆点D 应在距B 点103千米处． 设计意图：让学生进一步加深对所学知识的理解．参考答案1．D ．2．C ．3．D ．4．C ．5．1或9．6．解：（1）方程两边同除以9，得24209y y --=． 移项，得2429y y -=． 21(1)420m m x x ++++=11x =21x =-121x x ==121x x ==-配方，得213(1)9y -=．所以1y -=．所以11y =，21y =； （2）方程两边同除以2，得211022x x --=． 移项，得21122x x -=． 配方，得221192416x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即219416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 所以1344x -=，或1344x -=-． 所以x 1=1，212x =-． 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？答：一般步骤如下：（1）化——化二次项系数为1；（2）配——配方，使原方程变成（x ＋m )2－n ＝0的形式；（3）移——移项，使方程变为（x ＋m )2＝n 的形式；（4）开——如果n ≥0，就可以左右两边开平方得到x ＋m ＝±n ；（5）解——方程的解为x ＝－m ±n ．另外，如果是解决实际问题，还有注意判断求得的结果是否合理． 师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计2.2 用配方法求解一元二次方程（2）1．用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化——化二次项系数为1；（2）配——配方，使原方程变成（x ＋m )2n ＝0的形式；（3）移——移项，使方程变为（x＋m)2＝n的形式；（4）开——如果n≥0，就可以左右两边开平方得到x＋m＝±n；（5）解——方程的解为x＝－m±n．。
2024年北师大版九年级上册教学设计第二章2.2 用配方法求解一元二次方程
第1课时直接开平方法和配方法课时目标1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.理解配方法,能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化等数学思想.学习重点用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程;配方法解二次项系数为1的一元二次方程.学习难点把方程化为x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式;理解并掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.课时活动设计知识回顾1.平方根的定义:如果x2=a(a≥0),那么x叫做a的平方根.2.如果一个数的平方等于4,那么这个数是±2;如果一个数的平方等于7,那么这个数是±√7;如果x2=a,那么x=±√a.3.用字母表示因式分解的完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.4.练一练:x2-4x+4=(x-2)2;x2+6x+9=(x+3)2.设计意图:通过以上题目的练习,引导学生复习开平方和完全平方公式,为本课时的学习作铺垫.新知引入怎样解x2=2?解:根据平方根的定义,x是2的平方根,即x=±√2,记为x1=√2,x2=-√2.这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.设计意图:利用实际问题,让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用,为后面学习配方法作铺垫.典例精讲 1.解下列方程:(1)x 2- 4=0; (2)4x 2-1=0.分析:x 2- 4=0先将-4移项,再直接开平方;4x 2-1=0也同样先移项,在两边同时除以4,化为x 2=p 的形式,再用直接开平方法直接计算.解:(1)x 2-4=0,x 2=4,x =±2,即x 1=2,x 2=-2. (2)4x 2-1=0,4x 2=1,x 2=14,x =±12,即x 1=12,x 2=-12. 2.解方程:(x +1)2=2.分析:只要把(x +1)看成是一个整体,就可以用直接开平方法求解. 解:(x +1)2=2 x +1=±√2即x 1=-1+√2, x 2=-1-√2.设计意图:通过例题讲解,引导学生用直接开平方法解一元一次方程,提高学生分析问题、解决问题的能力.探究新知1.做一做:(填空配成完全平方式,体会如何配方) 填上适当的数,使下列等式成立.(1)x 2+12x + 36 =(x +6)2;(2)x 2-6x + 9 =(x -3)2; (3)x 2+8x + 16 =(x + 4 )2;(4)x 2-4x + 4 =(x - 2 )2. 2.想一想,解方程x 2- 12x -15=0的流程是怎样的?↓移项,把常数项移到方程的右边↓两边都加36[即(b 2)2]使左边配成x 2-2bx +b 2的形式↓使等式左边写成完全平方式↓ 两边开平方√51↓√51↓ 解一元一次方程√51设计意图:配方法的关键是正确配方,而要正确配方就必须熟悉完全平方公式的特征,在此通过几个填空题,使学生能够用语言叙述并充分理解等式的左边填的是“一次项系数一半的平方”,右边填的是“一次项系数的一半”,进一步复习巩固完全平方公式中常数项与一次项系数的关系.典例精讲解方程:x2+8x-9=0.(师生共同解决)解:可以把常数项移到方程的右边,得x2+8x=9.两边都加上42(一次项系数8的一半的平方),得x2+8x+42=9+42,即(x+4)2=25.两边开平方,得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5.所以x1=1,x2=-9.小结:例题中,我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法称为配方法.用这种方法解一元二次方程的思路是什么?关键又是什么?(小组合作交流) 设计意图:通过对上述题目的讲解,规范配方法解一元二次方程的过程,让学生充分理解用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.同时提醒学生注意:有的方程虽然有两个不同的解,但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性,对结果进行取舍.巩固训练解下列方程:(1)x2-10x+25=7;(2)x2-14x=8;(3)x2+3x=1;(4)x2+2x+2=8x.解:(1)方程可转化为(x-5)2=7,开平方得x-5=±√7,即x-5=√7或x-5=-√7.所以x1=5+√7,x2=5-√7;(2)两边都加上72得x2-14x+49=8+49,即(x-7)2=57.两边开方得x-7=±√57,即x-7=√57或x-7=-√57.所以x1=7+√57,x2=7-√57;(3)两边同时加上(32)2,得x 2+3x +(32)2=1+(32)2,即(x +32)2=134.两边开平方得x +32=±√132,即x +32=√132或x +32=-√132.所以x 1=-3+√132,x 2=-3-√132;(4)移项得x 2+2x -8x =-2,两边都加9得x 2-6x +9=-2+9,即(x -3)2=7.两边开平方得x -3=±√7,即x -3=√7或x -3=-√7.所以x 1=3+√7,x 2=3-√7.设计意图:通过巩固练习,学生可以更好地掌握本节课的知识点,并为后续的学习打下坚实的基础.同时,教师也可以根据学生的练习情况,及时了解学生的学习状况,为后续的教学做好充分的准备.课堂小结师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键步骤,以及应用配方法时应注意的问题.设计意图:培养学生及时反思的习惯,归纳本节课的收获.让学生养成自主梳理知识要点的习惯,逐渐培养出独立思考和自主学习的能力.课堂8分钟.1.教材第37页习题2.3第1,2,3题. 2.七彩作业.第1课时 直接开平方法和配方法解一元二次方程的方法: 例(略) 1.直接开方法(略). 2.配方法(略).教学反思第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程课时目标1.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想.2.能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.学习重点用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程.学习难点将二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程.课时活动设计回顾旧知1.回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.例如,x2-6x-40=0.解:移项,得x2-6x=40.方程两边都加上9(一次项系数一半的平方),得x2-6x+32=40+32,即(x-3)2=49.开平方,得x-3=±7,即x-3=7或x-3=-7.所以x1=10,x2=-4.2.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式.(口头回答)(1)x2+2x+1=(x+1)2;(2)x2-4x+4=(x-2)2;(3)x2+12x +36=(x+6)2;(4)x2+10x+25=(x+5)2;(5)x2-x+14=(x-12)2.设计意图:回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤,为本节课研究二次项系数不为1的一元二次方程的解法奠定基础.探究新知请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.(1)x2+6x+8=0;(2)3x2+18x+24=0.解:两个方程之间的区别是方程(2)的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式;联系是当方程(2)的两边同时除以3以后,这两个方程式为同解方程.探讨方程(2)应该如何求解呢?设计意图:学生们做了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路.典例精讲解方程:3x 2+8x -3=0.解:方程两边同时除以3,得x 2+83x -1=0, 移项,得x 2+83x =1.配方,得x 2+83x +(43)2=1+(43)2,即(x +43)2=259.两边开平方,得x +43=±53,即x +43=53,或x +43=-53.所以x 1=13,x 2=-3.注意事项:(1)当一次项系数为分数时,所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方,理解这样做的原理,树立解题的信心.(2)得到x +43=±53后,在移项得到x +43=53与x +43=-53的过程中,要注意符号问题,这一步在计算过程中容易出错. 设计意图:通过上述例题的讲解,继续规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解并掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,理解配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x +m )2=n (n ≥0)形式.扩展应用一个小球从地面以15 m/s 的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足关系:h =15t -5t 2,小球何时能达到10 m 的高度? 解:根据题意,得15t -5t 2=10. 方程两边都除以-5,得t 2-3t =-2. 配方,得t 2-3t +(32)2=-2+(32)2,即(t -32)2=14.两边开平方,得t -32=±12,即t -32=12或t -32=-12.所以t 1=2,t 2=1.所以当t =1或2时,小球能达到10 m 的高度.设计意图:在前边学习的基础上,通过上述试题进一步提高学生分析问题、解决问题的能力,帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用.巩固训练 1.解下列方程:(1)3x 2-9x +2=0; (2)2x 2+6=7x ; (3)4x 2-8x -3=0.解:(1)移项,得3x 2-9x =-2. 方程两边同时除以3,得x 2-3x =-23. 配方,得x 2-3x +(32)2=-23+(32)2,即(x -32)2=1912.两边开平方,得x -32=±√576. 所以x 1=32+√576,x 2=32-√576; (2)移项,得2x 2-7x =-6.方程两边同时除以2,得x 2-72x =-3. 配方,得x 2-72x +(74)2=-3+(74)2,即(x -74)2=116.两边开平方,得x -74=±14. 所以x 1=2,x 2=32;(3)移项,得4x 2-8x =3. 两边同时除以4,得x 2-2x =34. 配方,得x 2-2x +12=34+12,即(x -1)2=74. 两边开平方,得x -1=±√72. 所以x 1=1+√72,x 2=1-√72.2.印度古算术中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起”大意是:一群猴子分两队,一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是12,那么猴子的总数是多少?请同学们解决这个问题.解:设总共有x 只猴子,由题意,可得(18x)2+12=x.解得x 1=16,x 2=48.答:总共有16只或48只猴子.设计意图:对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力和数学建模能力.课堂小结1.解一元二次方程的基本步骤.2.利用一元二次方程解决实际问题的思路.设计意图:让学生养成及时总结的习惯,反思学习的过程和收获的知识点,积累学习经验,在归纳总结的过程中,了解自己对本节课内容还有哪些困惑并解决.课堂8分钟.1.教材第40页习题2.4第1,3题.2.七彩作业.第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程解一元二次方程的方法:配方法.教学反思。
2.第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程课件数学湘教版九年级上册
（B ）
A．x2-8x+（-4）2=31 C．x2+8x+42=1
B．x2-8x+（-4）2=1 D．x2-4x+4=-11
3.解下列方程 (1)3(x＋1)2＝13；
解：方程两边都除以3，得(x＋1)2＝19 ，
开平方，得x＋1＝±
1 3
，即x＋1=13或x＋1
=
−
1 3
，
∴x1＝－23 ，x2＝－43.
一元二次方程配方的方法： 在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项 系数为 1 的前提下进行的.
例2：用配方法解下列方程： (1) x2 + 10x + 9 = 0；
解：配方，得 x2 + 10x + 52-52 + 9 = 0， 因此 (x + 5)2 = 16， 由此得 x + 5 = 4 或 x + 5 = -4， 解得 x1 = -1，x2 = -9.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.1 配方法
第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1.理解配方法，知道用配方法解二次项系数为1的一元二次方 程的基本步骤. （重点） 2.体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.（难点）
填一填 你能填上适当的数使等式成立吗？
(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2 ； (2)x2－6x＋__9__＝(x－__3__)2 ； (3)x2＋6x＋5＝x2＋6x＋__9__－__9_＋5
解： x2 + 4x - 12= 0 移项
x2 + 4x = 12 两边都加上 4
x2 + 4x + 4 = 12 + 4
第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
2.2.1
第2课时
配方法
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
解方程：x2 +4x=12.
我们已经知道，如果能把方程写成（x+n）2=d（d≥0） 的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解. 因此，需要在方程的左边加上一次项系数的一半的平
方，即加上22；这了使等式仍然成立，应当再减去22.
为此，把方程写成：x2 +4x+22-22=12， 因此，有 x2 +4x+22=22+12. 即（x+2）2 =16. 根据平方根的意义，得 x+2=4 或 x+2=-4.
解得 x1=2，x2=-6.
结论
一般地，像上面这样，在方程的左边加上一次项系 数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在
一个完全平方式里，这种做法叫作配方.
配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解 了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个 一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
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第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1．要使方程x 2－72x ＝－32的左边配成完全平方式，应该在方程的两边都加上( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－742
B ．72 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫322
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫722 2．用配方法解方程x 2＋4x ＋1＝0，配方后的方程是
( )
A ．(x ＋2)2＝3
B ．(x －2)2＝3
C ．(x －2)2＝5
D ．(x ＋2)2＝5
3．[2015·钦州]用配方法解方程x 2＋10x ＋9＝0，配方后可得 ( )
A ．(x ＋5)2＝16
B ．(x ＋5)2＝1
C ．(x ＋10)2＝91
D ．(x ＋10)2＝109
4．二次三项式x 2－4x ＋7的值
( )
A ．可以等于0
B ．可以为正也可以为负
C ．大于3
D ．不小于3
5．x 2－3x ＋________＝(x －________)2.
6．如果二次三项式x 2－12x ＋a 2是一个完全平方式，那么a ＝________． 7．用配方法解下列方程： (1)[2015·大连]x 2－6x －4＝0； (2)x 2＋22x －4＝0；
(3)x2－3x－4＝0.
8．若三角形的两边长是方程x2－5x＋6＝0的两个根，则该三角形的周长l的取值范围是() A．1<l<5 B．2<l<6
C．5<l<9 D．6<l<10
9．一元二次方程x2－2x－5
4＝0的某个根，也是一元二次方程x
2－(k＋2)x＋
9
4＝0
的根，求k的值．
10．若a，b，c是△ABC的三条边，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断这个三角形的形状．
参考答案
1．A 2.A 3.A 4.D 5.9
4
3
2 6.±6
7．(1)x1＝3＋13，x2＝3－13；(2)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；(3)x1＝4，x2＝－1
8．D9.k＝7
5或k＝－7
10．该三角形为直角三角形．
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