大学物理上册答案详解

大学物理上册答案详解

习题解答 习题一

1—１ |r ∆｜与r ∆ 有无不同？

t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t

d d v

有无不同?其不同在哪里？试举例说明．

解：(1)r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即

r ∆12r r -=,12r r r

-=∆；

(２)

t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t

s d d . t

r

d d 只是速度在径向上的分量。 ∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则

t

ˆr ˆt r t d d d d d d r

r r += 式中

t

r

d d 就是速度径向上的分量，

∴

t

r t d d d d 与r 不同如题1—1图所示.

题1—1图

（３）t d d v 表示加速度的模,即t v

a d d

=，t

v d d 是加速度a 在切向上的分

量.

∵有ττ

(v =v 表轨道节线方向单位矢），所以

t

v t v t v d d d d d d ττ

+=

式中

dt dv

就是加速度的切向分量. （t

t r

d ˆd d ˆd τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)

１－2 设质点的运动方程为x =x （t ），y =y (t )，在计算质点的速度

和加速度时，有人先求出r =2

2

y x +,然后根据v ＝t

r

d d ，及a =22d d t r 而

求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果,即

v =2

2

d d d d ⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =

2

22222d d d d ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确。因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标

系中，有j y i x r

+=，

j

t

y i t x

t r a j

t

y i t x t r v

22

2222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为

2

22

222

2

22

2

22d d d d d d d d ⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪

⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y

x

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

22d d d d t

r a t

r

v ==

其二，可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模.在1-1题中已说明

t r

d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量,同样，22d d t

r

也不是加速度

的模,它只是加速度在径向分量中的一部分⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2

22d d d d t r t r a θ径。或者

概括性地说,前一种方法只考虑了位矢r

在径向(即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r 及速度v 的方向随间的变化率对速度、

加速度的贡献.

1-3 一质点在xOy 平面上运动,运动方程为

x =３t +５, y =

2

1t 2

+３t -４. 式中t 以 s 计，x ，y 以m 计．(１）以时间t 为变量,写出质点位置矢量的表示式;(２)求出t ＝1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量,计算这１秒内质点的位移；（3）计算t =0 ｓ时刻到t ＝４s 时刻内的平均速度;（4）求出质点速度矢量表示式,计算t =4 s 时质点的速度;（５）计算t ＝0ｓ 到t ＝４ｓ 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t =4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）．

解：(1） j t t i t r

)432

1()53(2-+++=m

(2）将1=t ，2=t 代入上式即有

j i r

5.081-= m j j r

4112+=m j j r r r

5.4312+=-=∆m

(３)∵ j i r j j r

1617,4540+=-=

∴ 104s m 534

201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j i r r t r

v

(４) 1s m )3(3d d -⋅++==j t i t

r

v

则 j i v

734+= 1s m -⋅ （５）∵ j i v j i v 73,334

0+=+= 204s m 14

4

4-⋅==-=∆∆=j v v t v a

(6） 2s m 1d d -⋅==j t

v

a

这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

１—4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸Ｓ处，如题1-4图所示.当人以0v （m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图１—4

解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知ﻭ

222s h l +=

将上式对时间t 求导，得 t

s

s t l l

d d 2d d 2=