2020年九年级上册数学期末质量检测 (2)

2020年九年级上册数学期末试卷一．选择题（共10小题）1．﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．2．据有关部门统计，2019年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14400000人次，将数14400000用科学记数法表示为（）A．1.44×107B．0.144×107C．1.44×108D．0.144×1083．下图中不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣3）5．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A．逐渐变短B．逐渐变长C．先变短后变长D．先变长后变短6．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（）A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度7．现有四张分别标有数字﹣2，﹣1，1，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再随机抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是（）A．B．C．D．8．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．249．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（）A．（2，）B．（，2）C．（，3）D．（3，）10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC 于点F，则DE的长是（）A．1 B．C．2 D．二．填空题（共7小题）11．当时，在实数范围内有意义．12．分解因式：4x3﹣9x＝．13．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的开口向，对称轴为，顶点坐标为．14．方程x（x﹣2）﹣x+2＝0的正根为．15．方程x2﹣4x﹣6＝0的两根和等于，两根积等于．16．正六边形的中心角为；当它的半径为1时，边心距为．17．圆锥的侧面展开图是一个形，设圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则这个圆锥的全面积为．三．解答题（共8小题）18．先化简，再求值：，其中a＝3，b＝﹣2．19．如图，利用尺规，在△ABC的边AC下方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD＝AB．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）20．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？21．如图，已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．试说明：（1）△ABP≌△AEQ；（2）EF＝BF．22．某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时，为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如图的统计图表（不完整）．请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）表中的a＝，将频数分布直方图补全；（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．组别时间（小时）频数（人数）频率A0≤t＜0.5 20 0.05B0.5≤t＜1 a0.3C l≤t＜1.5 140 0.35D 1.5≤t＜2 80 0.2E2≤t＜2.5 40 0.123．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DA．（1）求证：四边形BDFG为菱形；（2）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．24．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N 从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N 同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2．故选：B．2．据有关部门统计，2019年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14400000人次，将数14400000用科学记数法表示为（）A．1.44×107B．0.144×107C．1.44×108D．0.144×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将数1440 0000用科学记数法表示为1.44×107．故选：A．3．下图中不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．4．平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣3）【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【解答】解：由题意，得点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3），故选：C．5．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A．逐渐变短B．逐渐变长C．先变短后变长D．先变长后变短【分析】根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．进行判断即可．【解答】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以他在地上的影子先变短后变长．故选：C．6．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（）A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标为（4，1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1．故选：C．7．现有四张分别标有数字﹣2，﹣1，1，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再随机抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是（）A．B．C．D．【分析】画树状图得出所有等可能结果，从找找到符合条件得结果数，在根据概率公式计算可得．【解答】解：画树状图如下：由树状图知共有16种等可能结果，其中第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的有6种结果，所以第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率为＝．故选：B．8．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．24【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝4，再根据菱形的性质可确定边AB的长是4，然后计算菱形的周长．【解答】解：（x﹣3）（x﹣4）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝0，所以x1＝3，x2＝4，∵菱形ABCD的一条对角线长为6，∴边AB的长是4，∴菱形ABCD的周长为16．故选：A．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（）A．（2，）B．（，2）C．（，3）D．（3，）【分析】过点E作EF⊥x轴于点F，由直角三角形的性质求出EF长和OF长即可．【解答】解：过点E作EF⊥x轴于点F，∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝60°，∴＝30°，∠FAE＝60°，∵A（4，0），∴OA＝4，∴＝2，∴，EF＝＝＝，∴OF＝AO﹣AF＝4﹣1＝3，∴．故选：D．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC 于点F，则DE的长是（）A．1 B．C．2 D．【分析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，解得：x＝，即DE＝；故选：B．二．填空题（共7小题）11．当x≥0且x≠1 时，在实数范围内有意义．【分析】根据负数没有平方根，以及分母不为0确定出x的范围即可．【解答】解：当x≥0且﹣1≠0，即x≥0且x≠1时，在实数范围内有意义，故答案为：x≥0且x≠1．12．分解因式：4x3﹣9x＝x（2x+3）（2x﹣3）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x（4x2﹣9）＝x（2x+3）（2x﹣3），故答案为：x（2x+3）（2x﹣3）13．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的开口向下，对称轴为直线x＝1 ，顶点坐标为（1，2）．【分析】根据抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2，可以直接写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2，∴该抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，2），故答案为：下，直线x＝1，（1，2）．14．方程x（x﹣2）﹣x+2＝0的正根为x＝1或x＝2 ．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，则x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得x＝2或x＝1，故答案为：x＝1或x＝2．15．方程x2﹣4x﹣6＝0的两根和等于 4 ，两根积等于﹣6 ．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：方程x2﹣4x﹣6＝0的两根和等于4，两根积等于﹣6．故答案为4，﹣6．16．正六边形的中心角为60°；当它的半径为1时，边心距为．【分析】根据题意画出图形，求出∠AOB的度数，判断出△AOB的形状即可得出正六边形的半径，再作OM⊥AB于点M，利用锐角三角函数的定义求出OM的长，进而可得出结论．【解答】解：如图所示：∵六边形ABCDE是正六边形，∴∠AOB＝＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝1；作OM⊥AB于点M，∵OA＝2，∠OAB＝60°，∴OM＝OA•sin60°＝1×＝．17．圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则这个圆锥的全面积为10π．【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可求解侧面积，再求得底面积即可求得全面积．【解答】解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的侧面积＝×3×2π×2＝6π，底面积为4π，所以全面积为6π+4π＝10π．故答案为：扇，10π．三．解答题（共8小题）18．先化简，再求值：，其中a＝3，b＝﹣2．【分析】首先计算乘除，然后通分计算减法，化简后，代入a、b的值可得答案．【解答】解：原式＝﹣，＝﹣，＝﹣，＝，＝，＝，当a＝3，b＝﹣2时，原式＝＝＝．19．如图，利用尺规，在△ABC的边AC下方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD＝AB．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据题意作出图形，根据SAS证明三角形全等即可解决问题．【解答】解：如图所示：∵AC＝CA，∠ACB＝∠CAD，AD＝CB，∴△ACB≌△CAD（SAS），∴CD＝AB．20．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？【分析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2＝2.88，解方程即可；（2）根据该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率来解答．【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：2.88（1+20%）＝3.456，3.456＞3.4答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．21．如图，已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．试说明：（1）△ABP≌△AEQ；（2）EF＝BF．【分析】（1）根据等边三角形的性质可以得出AB＝AE，AP＝AQ，由等式的性质就可以得出∠BAP＝∠EAQ，就可以得出结论；（2）由△ABP≌△AEQ就可以得出∠ABP＝∠AEQ＝90°，进而可以得出∠FBE＝FEB＝30°，就可以得出EF＝BF；【解答】解：（1）∵△ABE和△APQ是等边三角形，∴AB＝AE，AP＝AQ，∠BAE＝∠PAQ＝∠ABE＝∠AEB＝60°，∴∠BAE﹣∠PAE＝∠PAQ﹣∠PAE，∴∠BAP＝∠EAQ．在△ABP和△AEQ中，，∴△QAE≌△PAB（SAS）；（2）∵△QAE≌△PAB∴∠ABP＝∠AEQ＝90°．∴∠AEF＝90°，∴∠ABP＝∠AEF∴∠ABP﹣∠AEB＝∠AEF﹣∠ABE，∴∠BEF＝∠EBF，∴BF＝EF．22．某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时，为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如图的统计图表（不完整）．请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）表中的a＝120 ，将频数分布直方图补全；（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．组别时间（小时）频数（人数）频率A0≤t＜0.5 20 0.05B0.5≤t＜1 a0.3C l≤t＜1.5 140 0.35D 1.5≤t＜2 80 0.2E2≤t＜2.5 40 0.1【分析】（1）先根据A组频数及其频率求得总人数，再用总人数乘以B组的频率即可得a的值，从而补全条形图；（2）用总人数乘以A、B组频率之和可得；（3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）∵被调查的学生总人数为20÷0.05＝400，∴a＝400×0.3＝120，故答案为：120，补全图形如下：（2）每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有8000×（0.05+0.3）＝2800（名）；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到1名男生和1名女生的可能性有6种．∴P（抽到1名男生和1名女学生）＝＝．23．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DA．（1）求证：四边形BDFG为菱形；（2）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形BGFD是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BD＝DF，根据菱形的判定定理证明；（2）设GF＝x，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴∠CFA＝∠CED＝90°，又∵点D是AC中点，∴DF＝AC，∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，∴BD＝AC，∴BD＝DF，∴平行四边形BGFD是菱形；（2）解：设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，解得：x＝5，x＝﹣（舍去），∴四边形BDFG的周长＝4GF＝20．24．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．【分析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO＝∠CDO，由AD＝CD知DE⊥AC，再由AB 为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；（2）根据AB＝2BC可设BC＝a、则AC＝2a、AD＝AB＝a，证OE为中位线知OE＝a、AE＝CE＝AC＝a，进一步求得DE＝2a，再在△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD＝90°即可得．【解答】解：（1）连接OC，在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO＝∠CDO，又AD＝CD，∴DE⊥AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴OD∥BC；（2）证明：∵AB＝2BC，∴设BC＝a、则AC＝2a，∴AD＝AB＝＝＝a，∵OE∥BC，且AO＝BO，∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a，在△AED中，DE＝＝＝2a，在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2＝a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2＝a2，∴AO2+AD2＝OD2，∴∠OAD＝90°，则DA与⊙O相切．25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N 从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N 同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y＝0可求得B点坐标；（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON＝PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB＝OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB＝BQ或OQ＝BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，解得b＝2，∵抛物线过A（0，3），∴c＝3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0可得﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴B点坐标为（3，0）；（2）①由题意可知ON＝3t，OM＝2t，∵P在抛物线上，∴P（2t，﹣4t2+4t+3），∵四边形OMPN为矩形，∴ON＝PM，∴3t＝﹣4t2+4t+3，解得t＝1或t＝﹣（舍去），∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；②∵A（0，3），B（3，0），∴OA＝OB＝3，且可求得直线AB解析式为y＝﹣x+3，∴当t＞0时，OQ≠OB，∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB＝QB或OQ＝BQ两种情况，由题意可知OM＝2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ＝＝，BQ＝＝|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB＝QB时，则有|2t﹣3|＝3，解得t＝（舍去）或t＝；当OQ＝BQ时，则有＝|2t﹣3|，解得t＝；综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．。