山东省泰安市高二数学上学期期末统考试题理
山东省泰安市二十中学高二数学理上学期期末试题含解析
山东省泰安市二十中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间[0，3]上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是5，﹣15故选A2. 圆x2+y2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).参考答案：B略3. 下列程序执行后输出的结果是（）A．–1 B． 0 C． 1 D． 2参考答案：B4. 点P（4，2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x+2）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣2）2+（y+1）2=1 D．（x+2）2+（y+1）2=1参考答案：B【考点】轨迹方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论．【解答】解：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），则x1=2x﹣4，y1=2y﹣2代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y﹣2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．5. 复数的共轭复数是（）A. B. C. D.参考答案：D分析】先对复数进行化简，然后再求解其共轭复数.【详解】,所以共轭复数为.故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，共轭复数的求解一般是先化简复数，然后根据实部相同，虚部相反的原则求解.6. 已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7参考答案：C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；转化思想．【分析】将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可．【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0，解得﹣7＜a＜24故选C．【点评】本题考查线性规划知识的应用．一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点．7. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.68，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.544 B．0.68 C．0.8 D．0.85参考答案：D【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率是p，则0.8p=0.68，解得p=0.85．故选：D．8. 若随机变量，且，则的值是（）A. B.C. D.参考答案：C 试题分析：根据随机变量符合二项分布，根据期望值求出n的值，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于1时的值．解：∵随机变量X服从，∵E（X）=3，∴0.6n=3，∴n=5∴P（X=1）=C51（0.6）1（0.4）4=3×0.44故选C．9. 曲线在点（0,1）处的切线方程为（A）（B）（C）（D）参考答案：D10. 在中，角所对的边长分别为，若，，则（）A. B.C. D. 与的大小关系不能确定参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆，过左焦点F1倾斜角为的直线交椭圆于两点。
山东省泰安市高二上学期期末数学试卷(理科)
山东省泰安市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 已知正项数列中， ,则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·定远期末) 根据如下样本数据x345678y 4.0 2.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为 = x+ ，则（）A . >0， <0B . >0， >0C . <0， <0D . <0， >03. （2分）要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的（）A . 平均数B . 方差C . 众数D . 频率分布4. （2分）(2017·赣州模拟) 对于下列说法正确的是（）A . 若f（x）是奇函数，则f（x）是单调函数B . 命题“若x2﹣x﹣2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣x﹣2=0”C . 命题p：∀x∈R，2x＞1024，则￢p：∃x0∈R，D . 命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜x2”是真命题5. （2分）(2018·潍坊模拟) 执行如图所示程序框图，则输出的结果为（）A . -4B . 4C . -6D . 66. （2分）(2018·栖霞模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .7. （2分）直线l：y=kx－3k与圆C：－4x=0的位置关系是（）A . l与C相交B . l与C相切C . l与C相离D . 以上三个选项均有可能8. （2分） (2019高二上·洮北期中) 在椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，这样的点P有（）A . 2个B . 4个C . 6个D . 8个9. （2分） (2016高二上·长春期中) 如图所示的程序是用来（）A . 计算3×10的值B . 计算39值C . 计算310的值D . 计算1×2×3×…×10的值10. （2分）已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x 的准线上，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018高二上·齐齐哈尔月考) 如果个数的平均数为，则的平均数为（）．A . 3B . 4C . 5D . 612. （2分） (2018高二上·嘉兴期末) 已知是两条不同直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A . 若，，则B . 若，，则C . 若，，则D . 若，，则二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·镇江期中) 命题“ ，”的否定为________．14. （1分） (2018高一下·新乡期末) 从编号为01，02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是________．15. （1分） (2018高一上·广西期末) 已知在四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成的角的度数为________.16. （1分） (2017高三上·郫县期中) 已知曲线C1：y2=px（y＞0，p＞0）在点处的切线与曲线C2：y=ex+1﹣1也相切，则的值是________．三、解答题 (共6题；共35分)17. （5分） (2016高一下·福州期中) 用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1，求当x=3时的值．18. （5分） (2018高二上·扶余月考) 已知p: ,q: ,若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19. （5分） (2018高二上·阳高期末) 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.20. （5分）已知f（x）=（a+b﹣3）x+1，g（x）=ax ，其中a，b∈[0，3]，求两个函数在定义域内都为增函数的概率．21. （10分）四棱锥P﹣ABCD中，PC=AB=1，BC=a，∠ABC=60°，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD，点M，N分别为AD，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若∠PAB=90°，求二面角B﹣AP﹣D的正弦值．22. （5分） (2018高二上·西城期末) 设为抛物线的焦点，是抛物线上的两个动点，为坐标原点.（Ⅰ）若直线经过焦点，且斜率为2，求；（Ⅱ）当时，求的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共35分)17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
2019年山东省泰安市高新区中学高二数学理上学期期末试题含解析
2019年山东省泰安市高新区中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C2. 已知，且，则xy的最小值为（A）100 （B）10 （C）1 （D）参考答案：A3. 随机变量X的分布列为则（）A．4.8 B．5 C．6 D．8.4参考答案：B4. 如图：的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于. 已知则的长为 ( )A． B．6 C． D．8参考答案：A5. 复数等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数===i．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．6. 已知命题，下列说法正确的是A． B．．C． D．参考答案：D略7. 设S n是等差数列{a n}的前n项和,若,则A. 5B. 7C. 9D. 11参考答案：A，，选A.8. 等差数列中，是其前项和，，，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：D9. 抛物线y2=4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为（）A. 4B. 5C.D.参考答案：C【分析】求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，即可求出的最小值，得到答案。
2021-2022学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题一、单选题110y --=的倾斜角为（ ） A ．30 B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】B【分析】将直线方程变为斜截式,根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【详解】10y --=变形为1y =-所以k = 设倾斜角为α则tan k α= 因为0180α<< 所以60α=︒ 故选:B【点睛】本题考查了直线方程中倾斜角与斜率的关系,属于基础题.2．已知椭圆2214924x y +=的焦点分别为1F ，2F ，椭圆上一点P 与焦点1F 的距离等于6，则12PF F △的面积为（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【分析】由题意可得出a 与c 、16PF =、12F F 的值，在根据椭圆定义得2PF 的值，即可得到12PF F △是直角三角形，即可求出12PF F △的面积.【详解】由题意知16PF =，2127,4924255,10a c c F F ==-=⇒==.根据椭圆定义可知2128PF a PF =-=，∴12PF F △是直角三角形，121211==68=2422PF F PF PF ⋅⨯⨯△S .故选：A.3．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若179a a =，则)(2264a a a -=（ ）A ．6B ．12C ．56D ．78【答案】D【分析】由等比数列的性质直接求得.【详解】在等比数列}{n a 中，由等比数列的性质可得：由24179a a a ==，解得：43a =；由2617+=+可得：26179a a a a ==， 所以)(222649378a a a -=-=. 故选：D4．已知直线)(1:120l x a y a +++-=与2:280l ax y ++=平行，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣2C ．23-D ．1或﹣2【答案】A【分析】根据题意可得()()210820a a a a ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解之即可得解.【详解】解：因为直线)(1:120l x a y a +++-=与2:280l ax y ++=平行， 所以()()210820a a a a ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1a =.故选：A.5．如图，在三棱锥S -ABC 中，E ，F 分别为SA ，BC 的中点，点G 在EF 上，且满足2EGGF=，若SA a =，SB b =，SC c =，则SG =（ ）A ．111326a b c -+B ．111633a b c ++C ．111633a b c -+D ．111326a b c ++【答案】B【分析】利用空间向量基本定理结合已知条件求解 【详解】因为2EG GF =，所以23EG EF =，因为E ，F 分别为SA ，BC 的中点， 所以1223SG SE EG SA EF =+=+ 12()23SA SF SE =+- 122233SA SF SE =+- 12121()23232SA SB SC SA =+⨯+-⨯ 111633SA SB SC =++, 故选：B6．若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦距为(1,2)-，则此双曲线的方程为（ ） A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221416x y -=D ．221164x y -=【答案】B【解析】根据题意得到2c =2ba-=-，解得答案.【详解】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c =c =且渐近线经过点(1,2)-，故2b a -=-，故1,2a b ==，双曲线方程为：2214y x -=.故选：B .【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况. 7．中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ） A ．戊分得34文，己分得31文 B ．戊分得31文，己分得34文 C ．戊分得28文，己分得25文 D ．戊分得25文，己分得28文【答案】C【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，则32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩，解得313a d =⎧⎨=-⎩，所以戊分得28a d +=（文），己分得225a d +=（文）， 故选：C.8．已知曲线:C y =)(:420l mx y m m R +--=∈总有公共点，则m的取值范围是（ ）A ．212,55⎡⎤⎢⎥⎦⎣B ．2,25⎡⎤⎢⎥⎦⎣C ．22,5⎡⎤--⎢⎥⎦⎣D ．122,55⎡⎤--⎢⎥⎦⎣【答案】D【分析】对曲线C 化简可知曲线C 表示以点(1,0)C 为圆心，2为半径的圆的下半部分，对直线l 方程化简可得直线l 过定点(4,2)P ，画出图形，由图可知，PA l PD k k k ≤≤，然后求出直线,PA PD 的斜率即可【详解】由y =22(1)4x y -+=，因为0y =，所以曲线C 表示以点(1,0)C 为圆心，2为半径的圆的下半部分， 由420mx y m +--=，得(4)(2)0m x y -+-=，所以4020x y -=⎧⎨-=⎩，得42x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(4,2)P ，如图所示设曲线C 与x 轴的两个交点分别为(1,0),(3,0)A B -， 直线l 过定点(4,2)P ，M 为曲线C 上一动点， 根据图可知，若曲线C 与直线l 总有公共点，则 PA l PD k k k ≤≤，得204(1)PD m k -≤-≤--，设直线PD 为2(4)y k x -=-，则2=，解得0k =，或125k =， 所以125PD k =， 所以21255m ≤-≤，所以12255m -≤≤-， 故选：D二、多选题9．已知向量(1,1,),(2,1,2)a m b m =-=--，则下列结论中正确的是（ ） A ．若||2a =，则2m =B ．若a b ⊥，则1m =- C ．不存在实数λ，使得λa b D ．若1a b ⋅=-，则(1,2,2)a b +=--- 【答案】AC【分析】根据向量的模的计算公式，可判定A 选项正确；根据向量垂直的条件，列出方程，可判定B 选项错误；根据共线向量的条件，列出方程组，可判定C 选项正确；根据向量的数量积的运算公式，列出方程，可判定D 选项错误.【详解】对于A 中，由||2a =2221(1)2m +-+，解得2m =A 选项正确；对于B 中，由a b ⊥，可得2120m m --++=，解得1m =，故B 选项错误；对于C 中，若存在实数λ，使得λa b ，则121(1)2m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，显然λ无解，即不存在实数λ，使得λa b ，故C 选项正确；对于D 中，若1a b ⋅=-，则2121m m --++=-，解得0m =，于是(1,2,2)a b +=--，故D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．已知抛物线2:4C x y =，其焦点为F ，准线为l ，PQ 是过焦点F 的一条弦，点)(2,2A ，则下列说法正确的是（ ） A ．焦点F 到准线l 的距离为2 B ．焦点)(1,0F ，准线方程:1l x =- C ．PA PF +的最小值是3D ．以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切 【答案】ACD【分析】对A ：由抛物线方程及焦点F 到准线l 的距离为p 即可求解； 对B ：由抛物线方程即可求解；对C ：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；对D ：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.【详解】解：对B ：由抛物线2:4C x y =，可得()0,1F ，准线 :1l y =-，故选项B 错误；对A ：由抛物线2:4C x y =，可得24p =，即2p =，所以焦点F 到准线l 的距离为2p =，故选项A 正确；对C ：过点P 作PP l '⊥，垂足为P '，由抛物线的定义可得PF PP ='，所以PA PF PA PP +=+'≥3d =（d 为点)(2,2A 到准线l 的距离），当且仅当A 、P 、P '三点共线时等号成立，所以PA PF +的最小值是3，故选项C 正确；对D ：过点P 、Q 分别作PP l '⊥，QQ l '⊥，垂足分别为P '、Q '，设弦PQ 的中点为M ，则弦PQ 为直径的圆的圆心为M ，过点M 作MM l '⊥，垂足为M '，则MM '为直角梯形PP Q Q ''的中位线，()12MM PP QQ '''=+， 又根据抛物线的定义有PP PF '=，QQ QF '=，所以()1122MM PF QF PQ '=+=， 所以以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切，故选项D 正确； 故选：ACD.11．已知}{n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，}{n b 是公比为q 的等比数列，其前n 项和为n T ．若数列}{n n a b +的前n 项和)(21821n n G n n n N *=-+-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．4d q +=B ．}{n a 的前n 项和的最小值为9SC ．}{n a 的各项中绝对值最小的项是9aD ．)(22223n n n n n T T T T T +=+【答案】ABD【分析】A.根据等差数列等比数列的求和公式求解； B.求出}{n a 的通项公式，分析项的正负情况求解； C.由通项公式可得绝对值最小的项是9a 和10a ； D.由=21n n T -代入计算可求证. 【详解】()()12111111=212211nnn n n b q n n b b d d G S T na d na n q qq q --⎛⎫=+=+++-+-⋅ ⎪---⎝⎭)(21821n n n n N *=-+-∈故=1,22dd =，2q ，4d q +=，故A 对；1182da -=-，可得117a =-，()1721219n a n n =-+-=-，9100,0a a <>，故9S 最小，B 项对；910=1a a =，}{n a 的各项中绝对值最小的项是9a 和10a ，故C 错；由前面分析知，1=11b q--，1=1b ，故12=n n b -，=21n n T - ()()()()()2222222242221+2121+212+122222n n n n n n n n n n T T +=--=--=--⋅+)(()()234223=212+2222222n n n n n n n n n T T T +--=--⋅+，故D 对 故选：ABD12．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥，则下列结论正确的是（ ）A ．平面PEF ⊥平面ABFDB ．直线DP 与平面ABFD 13C ．点B 到平面PDF 3D ．异面直线PE 与AB 所成角为6π 【答案】ACD【分析】利用面面垂直的判定定理可判断A 选项；以点F 为坐标原点，FE 、FB 所在直线分别为x 、y 轴，过点F 且与平面ABFD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出点P 的坐标，利用空间向量法可判断BCD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为四边形ABCD 为正方形，则//AD BC 且AD BC =，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，则//AE BF 且AE BF =，且有AE AB ⊥，故四边形ABFE 为矩形，则BF EF ⊥， 因为BF PF ⊥，EFPF F =，则BF ⊥平面PEF ，因为BF ⊂平面ABFD ，故平面PEF ⊥平面ABFD ，A 对；对于BCD 选项，因为BF ⊥平面PEF ，以点F 为坐标原点，FE 、FB 所在直线分别为x 、y 轴，过点F 且与平面ABFD 垂直的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则()2,1,0A 、()0,1,0B 、()2,1,0D -、()2,0,0E 、()0,0,0F ， 设点(),0,P a c ，其中0c >，()2,1,DP a c =-，(),0,FP a c =，由题意可知PF PD ⊥，则()220DP FP a a c ⋅=-+=，①因为221FP a c =+=，②所以，2222201a a c a c ⎧-+=⎨+=⎩，解得123a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩132P ⎛ ⎝⎭， 则332DP ⎛=- ⎝⎭，易知平面ABFD 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以，332cos ,21DP n DP n DP n ⋅<>===⨯⋅故直线DP 与平面ABFD 3B 错； 设平面PDF 的法向量为(),,m x y z =，132FP ⎛= ⎝⎭，()2,1,0FD =-， 由130220m FP x m FD x y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取3x =()3,23,1m =-，()0,1,0FB =，所以，点B 到平面PDF 的距离是2334FB m d m⋅===C 对； 33,0,2PE ⎛= ⎝⎭，()2,0,0AB =-，3cos ,32PE AB PE AB PE AB ⋅-<>===⨯⋅， 因此，异面直线PE 与AB 所成角为6π，D 对. 故选：ACD. 三、填空题13．圆221:20C x y x +-=与圆222:40C x y y +-=的公共弦长为______．45【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即该直线截其中一圆求弦长即可【详解】圆221:20C x y x +-=与圆222:40C x y y +-=两式相减得，公共弦所在直线方程为：20x y -=圆221:20C x y x +-=，圆心为()1:1,0,1C r =1C到公共弦的距离为：d =公共弦长为14．过点)(2,5P 且与直线1x y +=垂直的直线方程为______． 【答案】30x y -+=【分析】先设出与直线1x y +=垂直的直线方程，再把)(2,5P 代入进行求解.【详解】设与直线1x y +=垂直的直线为0x y c -+=，将)(2,5P 代入得：250c -+=，解得：3c =，故所求直线方程为30x y -+=. 故答案为：30x y -+=15．已知数列}{n a 满足11a =，)(122,n n a a n n N *-=+≥∈，则数列11n n a a +⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T =______．【答案】21nn + 【分析】先求出21n a n =-，利用裂项相消法求和.【详解】因为数列}{n a 满足11a =，)(122,n n a a n n N *-=+≥∈，所以数列}{n a 为公差d =2的等差数列，所以)(1121n a a n d n =+-=-， 所以()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+所以111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+.故答案为：21nn +. 四、双空题16．已知双曲线)(2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，右焦点2F 到一，则其离心率的值是______；若点P 是双曲线C 上一点，满足1212PF PF =，128PF PF +=，则双曲线C 的方程为______．【答案】 321.5 22145x y -=【分析】求得焦点到渐近线的距离可得d b ==，计算即可求得离心率，由双曲线的定义可求得()()22112222144PF PF PFPF PF PF a -=+=-，计算即可得出结果.【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0ay bx ±=，焦点到渐近线的距离d 为bcd b c =====，又222+=a b c ，2222225944a a a a c ⎫+=+==⎪⎪⎝⎭， 22294c e a ∴==，1()e ∈+∞,，∴32e =.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为2a ，即122PF PF a -=，∴()()2111222224841216PF PF PFPF PF PF -=-⨯-=+=，即22(2)416a a ==，解得：24a =，由22294c e a ==，解得：29c ∴=,25b =.∴双曲线C 的方程为22145x y -=. 故答案为：32；22145x y -=. 五、解答题17．已知空间内不重合的四点A ，B ，C ，D 的坐标分别为)(1,,1A k k t t -+-，)(1,0,2B ，)(1,1,2C -，)(1,1,2D -，且//AB CD ．(1)求k ，t 的值；(2)求点B 到直线CD 的距离． 【答案】(1)7k =，7t =-【分析】（1）由AB CD ∥，可得存在唯一实数λ，使得AB CD λ=，列出方程组，解之即可得解；（2）设直线BC 与CD 所成的角为θ，求出sin θ，再根据点B 到直线CD 的距离为sin BC θ即可得解．(1)解： )(2,,3AB k k t t =----，)(2,0,4CD =-，因为AB CD ∥，所以存在唯一实数λ，使得AB CD λ=， 所以)()(2,,32,0,4k k t t λλ----=-，所以22034k k t t λλ-=⎧⎪--=⎨⎪-=-⎩，解得5277k t λ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以7k =，7t =-； (2)解：)(2,1,0BC =-， 则2cos ,55BC CD BC CD BC CD⋅===-，设直线BC 与CD 所成的角为θ，则sin θ== 所以点B 到直线CD 的距离为sin BC θ==18．已知圆C 经过点)(0,3A ，)(2,5B ，且圆心C 在直线270x y +-=上． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点)(4,6P 向圆C 引两条切线PD ，PE ，切点分别为D ，E ，求切线PD ，PE 的方程，并求弦DE 的长．【答案】(1))()(22234x y -+-= (2)4x =或512520x y -+=，DE =【分析】（1）设圆心)(,C a b ，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可； （2）分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长即可. (1)设圆心)(,C a b ，因为圆心C 在直线270x y +-=上，所以270a b +-= ①因为A ，B 是圆上的两点，所以CA CB =，所以=50a b +-= ②联立①②，解得2a =，3b =．所以圆C 的半径2r AC ==，所以圆C 的标准方程为)()(22234x y -+-=． (2)若过点P 的切线斜率不存在，则切线方程为4x =．若过点P 的切线斜率存在，设为k ，则切线方程为)(64y k x -=-， 即460kx y k --+=．2=，解得512k =，所以切线方程为512520x y -+=． 综上，过点P 的圆C 的切线方程为4x =或512520x y -+=． 设PC 与DE 交于点F ，因为PC ，CD PD ⊥，PC 垂直平分DE ，所以2PC CF CD =，所以2CD CF PC==所以DE == 19．已知数列}{n a ，}{n b ，其中，}{n a 是各项均为正数的等比数列，满足12318a a +=，24159a a a =，且32log 1n n b a =-．(1)求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =，求数列}{n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)3nn a =，21n b n =-(2))(1133n n S n +=-+【分析】（1）利用公式法，基本量代换求出数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求和. (1)设等比数列}{n a 的公比为q ，因为22415399a a a a ==，所以433a a =，所以433a q a ==．所以1213618a a a +==，所以13a =， 所以113n n n a a q -==．所以332log 12log 3121nn n b a n =-=-=-，所以3nn a =，21n b n =-．(2))(213n n n n c a b n ==-，所以)()(231133353233213n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，)()(23413133353233213n n Sn n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以)()(23412323333213n n n S n +-=++++⋅⋅⋅+--)()()()(21121123133213133313213n n n n n n -+-+⨯-=+---=----)(16223n n +=---.所以)(1133n n S n +=-+．20．已知抛物线)(2:20C y px p =>上的点M 到焦点F 的距离为5，点M 到x 轴的距离为6p ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线l 与x 轴交于点Q ，过点Q 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FB 的斜率分别为1k ，2k ．求12k k +的值． 【答案】(1)28y x = (2)0【分析】（1）由焦半径公式求C 的方程；（2）设直线AB 方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出12x x +，12x x ，代入12k k +中化简求值即可. (1)设点)(00,M x y ，则06y p =，所以)(2062ppx =，解得03x =．因为03522p pMF x =+=+=，所以4p =．所以抛物线C 的方程为28y x =． (2)由题知，)(2,0F ，)(2,0Q -，直线AB 的斜率必存在，且不为零．设)(11,A x y ，)(22,B x y ，直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为2y kx k =+，由228y kx k y x=+⎧⎨=⎩，得)(22224840k x k x k +-+=． 所以212284k x x k -+=，124x x =，且)()(2242Δ48166410k k k =--=->，即21k <．所以)()()()()()()()(1212211212121212222222222222k x k x x x x x y yk k k x x x x x x +++-++-+=+=+=------ )(12121228024x x kx x x x -==-++所以12k k +的值为0．21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是平行四边形，1AB =，2AD =，45ABC ∠=︒，四边形ACEF 是矩形，且平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 是线段EF 上的动点．(1)证明：DE BM ⊥；(2)设平面MBC 与平面ECD 的夹角为θ，求θ的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)4π. 【分析】（1）要证DE BM ⊥，只需证DE ⊥平面BEF ， 只需证DE BE ⊥（由勾股定理可证），DE EF ⊥， 只需证AC ⊥平面CDE ，只需证EC AC ⊥（由平面ACEF ⊥平面ABCD 可证），AC CD ⊥（由AB AC ⊥可证）， 即可证明结论.（2）以A 为原点，,,AB AC AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 写出点B 与点C 的坐标．由于EF y ∥轴，可设)(]0,,10,1M λλ⎡∈⎣，可得出BM 与BC 的坐标． 设)(,,m x y z =为平面BMC 的法向量，求出法向量m .cos cos ,m AC θ=是关于λ的一个式子， 求出cos θ的取值范围， 即可求出θ的最小值． (1)在ABC 中，1AB =，BC =45ABC ∠=︒，所以2222cos 12211AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯=， 所以1AC =．所以ABC 是等腰直角三角形，即AB AC ⊥． 因为AB CD ∥， 所以AC CD ⊥又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ABCD 平面ACEF AC =，EC AC ⊥， 所以EC ⊥平面ABCD 又AC ⊂平面ABCD ， 所以AC EC ⊥又因为EC CD C =，EC ，CD ⊂平面CDE 所以AC ⊥平面CDE 又DE ⊂平面CDE ，所以DE AC ⊥，所以DE EF ⊥在ABD △中，1AB =，AD 135BAD ∠=︒所以22222cos 125BD AD AB AD AB AD AB BAD =+-⋅-⋅∠=++=所以5BD =．又因为2DE =，3EB =， 所以222BD DE EB =+，所以DE BE ⊥ 又EF EB E ⋂=，EF ，EB ⊂平面BEF 所以DE ⊥平面BEF 又BM ⊂平面BEF ， 所以DE BM ⊥． (2)以A 为原点，,,AB AC AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．则)(1,0,0B ，)(0,1,0C ．因为EF y ∥轴，可设)(]0,,10,1M λλ⎡∈⎣，，可求得)(1,,1BM λ=-，)(1,1,0BC =-． 设)(,,m x y z =为平面BMC 的法向量则00m BM x y z m BC x y λ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩令1x =，解得11y z λ=⎧⎨=-⎩，所以)(1,1,1m λ=-．又因为)(0,1,0AC =是平面CDE 的法向量． 所以)(2cos cos ,21m AC m AC m ACθλ⋅===⋅+-因为]0,1λ⎡∈⎣32cos θ≤≤．所以当2cos 2θ=时，θ取到最小值4π．22．已知椭圆)(2222:10y x C a b a b +=>>经过点5,23⎛⎫ ⎪⎪ ⎭⎝，且离心率为223．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 是椭圆C 的上，下顶点，点P 是直线6y =上的动点，直线P A 与椭圆C 的另一交点为E ，直线PB 与椭圆C 的另一交点为F ．证明：直线EF 过定点． 【答案】(1)2219y x +=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，列出,a b 的方程组，通过解方程组，即可求出答案.（2）法一：设)(,6P t ，)(11,E x y ，)(22,F x y ；当0t ≠时，根据点,A P 的坐标写出直线P A 的方程，与椭圆方程联立，可求出点E 的坐标；同理可求出点F 的坐标，然后即可求出直线EF 的方程，从而证明直线EF 过定点.法二：首先根据0=t 时直线EF 的方程为0x =，可判断出直线EF 过的定点M 必在y 轴上，设为)(0,M m ；然后同方法一，求出点E ，F 的坐标，根据ME MF ∥，即可求出m 的值. (1)由题意，知22222451922a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得3a =，1b =．所以椭圆C 的标准方程为2219y x +=．(2)法一：设)(,6P t ，)(11,E x y ，)(22,F x y ，当0t ≠时，直线P A 的方程为33y x t =+，由223399y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得)(22120t x tx ++=．解得1221t x t =-+，所以212331t y t -=+．所以222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝． 同理可得2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝．所以直线EF 的斜率为)()()()()()(22222222222222733327313399391624612991EFt t t t t t t t t k t t t t t t t t t ----+--+-++===++++++， 所以直线EF 的方程为222233932141t t t y x t t t ⎛--⎫-=+⎪ ++⎭⎝，整理得293342t y x t -=+， 所以直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．当0=t 时，点E ，F 在y 轴上，EF 的方程为0x =，显然过点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．综上，直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．法二：当点P 在y 轴上时，E ，F 分别与B ，A 重合，直线EF 的方程为0x =， 若直线EF 过定点M ，则M 必在y 轴上，可设)(0,M m ． 当点P 不在y 轴上时，设)()(,60P t t ≠，)(11,E x y ，)(22,F x y ，则直线P A 的方程为33y x t =+，由223399y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得)(22120t x tx ++=，解得1221t x t =-+，所以212331t y t -=+，所以222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝， 同理可得2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝，所以)(222332,11m t m t ME t t ⎛⎫--- ⎪=-⎪ ++⎭⎝，)(22232796,99m t m t MF t t ⎛⎫-++- =⎪⎪ ++⎭⎝． 因为E ，F ，M 三点共线，所以ME MF ∥，所以)()(222222327933261919m t m m t m t tt t t t +-+---⨯=⨯++++，整理得)()(22330m t -+=，因为230t +>，所以230m -=，解得32m =，即30,2M ⎛⎫⎪ ⎭⎝． 所以直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．。
山东省泰安市高二上学期期末数学试卷(理科)
山东省泰安市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）抛物线y=x2的焦点坐标为（）A . (0,1)B .C . (1,0)D .2. （2分） (2017高二下·成都开学考) 市疾病控制中心今日对我校高二学生进行了某项健康调查，调查的方法是采取分层抽样的方法抽取样本．我校高二学生共有2000人，抽取了一人200人的样本，样本中男生103人，请问我校共有女生（）A . 970B . 1030C . 997D . 2063. （2分） (2018高二上·大连期末) 设命题：，则为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高三上·珠海期末) 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A . a=11B . a=12C . a=13D . a=145. （2分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A .B .C .D .6. （2分）已知x与y之间的一组数据：x0123y m3 5.57已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A . 1B . 0.85C . 0.7D . 0.57. （2分）(2017·吉林模拟) 已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2 ， O为坐标原点，若，且双曲线C1 ， C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是（）A . 32B . 16C . 8D . 48. （2分）(2017·四川模拟) 利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A . P=lg（1+ ）B . P=C . P=D . P= ×9. （2分）双曲线的右焦点的坐标为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·沙坪坝期中) 已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M （3，），则|PM|+|PF|的最小值是（）A .B . 6C .D .11. （2分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB：BB1= ，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为（）A . 45°B . 60°C . 30°D . 75°12. （2分） (2019高二上·雨城期中) 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A .B .C . 或D . 或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·株洲期中) 已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，以下命题正确的序号是________．①如果函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），其中ai∈M（i=1，2，3，…，7），那么f′（0）的最大值为127 ．②数列{an}满足首项a1=2，ak+12﹣ak2=2，k∈N* ，当n∈M且n最大时，数列{an}有2048个．③数列{an}（n=1，2，3，…，8）满足a1=5，a8=7，|ak+1﹣ak|=2，k∈N* ，如果数列{an}中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列{an}一共有33个．④已知直线amx+any+ak=0，其中am ， an ，ak∈M，而且am＜an＜ak ，则一共可以得到不同的直线196条．14. （1分）已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为________15. （1分） (2017高一下·长春期末) 如图所示，正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于________．16. （1分）一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x2=2y，y∈[0，10]，在杯内放入一个清洁球，要求清洁球能擦净酒杯的最底部（如图），则清洁球的最大半径为________三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共50分)17. （10分） (2017高二下·湖北期中) 已知集合A是函数y=lg（6+5x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18. （10分） (2017高二上·定州期末) 已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程 + =1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率．19. （5分） (2017高三上·漳州开学考) 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616（Ⅰ）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．（Ⅱ）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程 = x+ ．（参考公式： = ， = ﹣）20. （5分）(2017·吉林模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值．21. （10分） (2018高二上·沈阳期末) 已知点与点的距离比它的直线的距离小2．（1）求点的轨迹方程；（2）是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．22. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 抛物线：上的点到其焦点的距离是 .（1）求的方程．（2）过点作圆：的两条切线，分别交于两点，若直线的斜率是，求实数的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、第11 页共13 页第12 页共13 页20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第13 页共13 页。
山东省泰安市数学高二上学期理数期末考试试卷
山东省泰安市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·水富期中) 集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{y|y＝2x ， x＞0}，R是实数集，则（∁RB）∪A等于（）A . RB . （﹣∞，0）∪1，+∞）C . （0，1）D . （﹣∞，1]∪（2，+∞）2. （2分） (2017高二下·蚌埠期末) 函数y=sin3x在（，0）处的切线斜率为（）A . ﹣1B . 1C . ﹣3D . 33. （2分） (2019高三上·浙江月考) 已知双曲线，则C的离心率为（）A .B .C .D . 24. （2分） (2015高二上·仙游期末) 若平面α与平面β的法向量分别是 =（4，0，﹣2），与 =（1，0，2），则平面α与平面β的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交不垂直D . 无法判定5. （2分） (2020高三上·浙江月考) 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二下·昭通月考) 已知等差数列的前3项和为6，，则（）A . 2017B . 2018C . 2019D . 20207. （2分）(2020·朝阳模拟) 已知命题：，，那么命题的否定为（）A . ，B . ，C . ，D . ，8. （2分）如图所示，正四棱锥（即底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）P-ABCD的底面面积为3，体积为， E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·湛江月考) 已知线段的中点为，若点在直线上运动，则点的轨迹方程是（）A . .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·杭州期末) 若实数x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最小值等于（）A . ﹣1B . 1C . 2D . ﹣211. （2分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2=2py（p ＞0）的焦点重合，直线y=kx﹣1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=（）A . 4B . 3C . 2D . 112. （2分）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·诸暨月考) 若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数的最大值为________．14. （1分） (2020高一下·吉林期中) 已知数列的通项公式，则前2019项和________.15. （1分） (2020高一下·大庆期末) 已知，则的最小值是________．16. （1分）(2017·枣庄模拟) 已知椭圆C：的长轴长为4，左、右焦点分别为F1 ， F2 ，过F1的动直线l交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为7，则b的值为________．三、解答题 (共6题；共35分)17. （5分） (2017高二上·信阳期末) 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 =．（Ⅰ）求C的值；（Ⅱ）若 =2，b=4 ，求△ABC的面积．18. （5分）(2018·新疆模拟) 在等差数列中，已知， .（I）求数列的通项；（II）若，求数列的前项和 .19. （5分） (2020高一下·黑龙江期末) 四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为正三角形，底面ABCD是正方形，且平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为PB，BC中点，AB＝2.（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PBC；（Ⅱ）棱AD上是否存在点M，使得BM与平面PAD所成角为45°？若存在，求AM的长度；若不存在，说明理由.20. （5分）如图所示，为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD处规划一块长方形地面HPGC，建造住宅小区公园，但不能越过文物保护区三角形AEF的边线EF．已知AB=CD=200m，BC=AD=160m，AF=40m，AE=60m，问如何设计才能使公园占地面积最大，求出最大面积．21. （5分） (2019高二上·贺州期末) 已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．22. （10分）(2017·鞍山模拟) 已知函数f（x）=ln（ax+b）+ex﹣1（a≠0）．（1）当a=﹣1，b=1时，判断函数f（x）的零点个数；（2）若f（x）≤ex﹣1+x+1，求ab的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共35分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2023-2024学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线1:1l y kx =+与直线2:3l y x =平行，则实数k 的值为（）A.13-B.13C.3D.3【正确答案】D【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k 的值.【详解】因为直线1:1l y kx =+与直线2:3l y x =平行，所以两直线斜率相等，即3k =.故选：D.2.已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，则5a =（）A.7B.9C.11D.13【正确答案】C【分析】根据等差数列的通项公式可算出答案.【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，所以5143811a a d =+=+=故选：C本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.3.已知椭圆2212516x y +=上的点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点的距离为（）A.2B.3C.5D.7【正确答案】B【分析】根据椭圆的定义列方程，求得P 到另一个焦点的距离.【详解】根据椭圆定义可知，P 到两个焦点的距离之和为22510a =´=，所以P 到另一个焦点的距离为1073-=.故选：B.本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.4.已知空间向量()2,1,2a =- ，()4,2,b x =- 满足a b ⊥，则实数x 的值是（）A.5-B.4- C.4 D.5【正确答案】D【分析】由已知条件得出0a b ⋅=，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数x 的值.【详解】由已知条件得出()241222100a b x x ⋅=⨯--⨯+=-=，解得5x =.故选：D.5.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1 B.2C.3D.4【正确答案】B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为2==.故选：B.本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（）A.431B.531C.631D.1031【正确答案】B【分析】设第一天织布的尺数为x ，则由题意有()234122225x ++++=，据此可得答案.【详解】设第一天织布的尺数为x ，则()234122225x ++++=52153152131x x x -⇒⋅==⇒=-.故选：B7.设A 、B 是y 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（）A.50x y +-= B.210x y --=C.270x y +-= D.30x y +-=【正确答案】A【分析】根据直线PA 的方程，确定出PA 的倾斜角，利用PA PB =且A 、B 在y 轴上，可得PB 的倾斜角，求出P 的坐标，然后求出直线PB 的方程．【详解】解：由于直线PA 的方程为10x y -+=，故其倾斜角为45︒，又||||PA PB =，且A 、B 是y 轴上两点，故直线PB 的倾斜角为135︒，又当2x =时，3y =，即(2,3)P ，∴直线PB 的方程为3(2)y x -=--，即50x y +-=．故选：A ．8.,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（） A.63B.33C.2D.12【正确答案】B【分析】作图，找到直线PC 在平面PAB 上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将,,PA PB PC 三条射线截取出来放在正方体中进行分析.【详解】解法一：如图，设直线PC 在平面PAB 的射影为PD，作CG PD ⊥于点G ，CH PA ⊥于点H ，连接HG ，易得CG PA ⊥，又,,CH CG C CH CG ⋂=⊂平面CHG ，则PA ⊥平面CHG ，又HG ⊂平面CHG ，则PA HG ⊥，有cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠==⎪⎩故cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠．已知60,30APC APD ∠=︒∠=︒，故cos cos60cos cos cos303CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==为所求．解法二：如图所示，把,,PA PB PC 放在正方体中，,,PA PB PC 的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B ，所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z = ，则0n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ==-，所以(1,1,1)n =-，所以6cos ,3||||23PC n PC n PC n ⋅-〈〉===⋅⨯．设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，所以6sin |cos ,|3PC n θ=〈〉=，所以23cos 1sin 3θθ=-=故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线()24R y ax a a =-+∈必过定点()2,4B.直线310x y --=在y 轴上的截距为1C.过点()2,3-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为210x y ++=D.直线310x +=的倾斜角为120°【正确答案】AC【分析】对于A ，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B ，将0x =代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；对于C ，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；对于D ，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.【详解】对于A ，由直线方程24y ax a =-+，整理可得()24y a x =-+，当2x =时，4y =，故A 正确；对于B ，将0x =代入直线方程310x y --=，可得10y --=，解得1y =-，故B 错误；对于C ，由直线方程230x y -+=，则其垂线的方程可设为20x y C ++=，将点()2,3-代入上式，可得()2230C ⨯-++=，解得1=C ，则方程为210x y ++=，故C 正确；对于D，由直线方程10x ++=，可得其斜率为33-，设其倾斜角为θ，则3tan 3θ=-，解得150θ= ，故D 错误.故选：AC.10.已知椭圆22:142x y C +=内一点11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M是线段AB 的中点，椭圆的左，右焦点分别为1F ，2F ，则下列结论正确的是（）A.椭圆C 的焦点坐标为()2,0，()2,0-B.椭圆C 的长轴长为4C.直线1MF 与直线2MF 的斜率之积为14- D.2153AB =【正确答案】BCD【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.【详解】依题意，椭圆22:142x y C +=，所以2,a b c ===，所以焦点坐标为)()12,F F ，A 选项错误.长轴长24a =，B 选项正确.12111224MF MF k k ⋅==-，C 选项正确.设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14242x y x y +=+=，两式相减并化简得12121212121212121212,,1412y y y y y y y y x x x x x x x x +----=⋅⋅=-=-+---，即直线AB 的斜率为1-，直线AB 的方程为()131,22y x y x -=--=-+，由2232142y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并化简得261210x x -+=，所以121212,6x x x x +=⋅=，所以3AB ==.故选：BCD11.已知数列{}n a 的前n 项和()2*123N 43n S n n n =++∈，则下列结论正确的是（）A.数列{}n a 是递增数列 B.数列{}n a 不是等差数列C.2a ，4a ，6a 成等差数列D.63S S -，96S S -，129S S -成等差数列【正确答案】BCD【分析】由n a 与n S 的关系推导出数列{}n a 的通项公式，判断选项A ，B ，分别计算出2a ，4a ，6a 和63S S -，96S S -，129S S -，结合等差数列的定义判断选项C ，D.【详解】()2*12S 3N 43n n n n =++∈ ，2n ∴≥时，()()22112121531134343212n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎢⎥⎣⎦，1n =时，114712a S ==，即47,11215,2212n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，*N n ∈.2117471212a a =<= ，因此数列{}n a 不是单调递增数列，故A 错误；又1n =时，不满足15212n a n =+，∴数列{}n a 不是等差数列，故B 正确；21712a =，42912a =，64112a =，因此2a ，4a ，6a 成等差数列，故C 正确；()63456153545632124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()96789155378932124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()129101112157110111232124S S a a a -=++=⨯+++⨯=．6396129,,S S S S S S ∴---成等差数列，故D 正确.故选：BCD.12.平行六面体ABCD A B C D -''''中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=，则下列结论中正确的有（）A.当2πθ=时，AC '=B.AC '和BD 总垂直C.θ的取值范围为2(0,3πD.θ=60°时，三棱锥C C B D -'''的外接球的体积是【正确答案】ABC【分析】对于A ，求正方体对角线即可判断；对于B ，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C ，由正三棱锥A A BD '-的高与斜高的关系即可计算判断；对于D ，求出正四面体C CB D -'''外接球体积判断作答.【详解】平行六面体ABCD A B C D -''''中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=，对于A ，2πθ=时，该平行六面体为正方体，其体对角线长AC '=，A 正确；对于B ，AC AB AA AD '=++' ，BD AD AB =-，因此，22()()AC BD AB AA AD AD AB AD AB AA AD AA AB '⋅++--⋅'''=-⋅⋅=+ 22224cos 4cos 0θθ=-+=-，B 正确；对于C ，连接,,BD A B A D ''，如图，依题意，A A BD '-为正三棱锥，取BD 中点E ，令O 为正A BD ' 的中心，连,,AE AO EO ，有AO ⊥平面A BD '，正三棱锥A A BD '-的斜高cos2cos 22AE AB θθ==，2sin 4sin 22BD AB θθ==，则33sin 632OE BD θ==，显然，AE OE >，即232cos sin232θθ>，则tan 32θ<锐角(0,)23θπ∈，从而得2(0,)3πθ∈，C 正确；对于D ，当60θ= 时，三棱锥C C B D -'''为正四面体，三棱锥A A BD '-也是正四面体，它们全等，由C 选项知，2222322(3)()33AO AE OE =-=-=A A BD '-的外接球球心在线段AO 上，设球半径为r ，则有222()r AO r OB =-+，整理得222(2)AO r AO OE ⋅=+，解得62r =，于是得三棱锥C C B D -'''外接球的体积346632V ππ=⨯=，D 不正确.故选：ABC关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.准线方程为2x =的抛物线的标准方程是_______．【正确答案】28y x=-【详解】抛物线的准线方程为2x =，说明抛物线开口向左，且224p =⨯=，所以抛物线的标准方程是28y x =-．14.已知双曲线C 的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为43y x =±，请写出双曲线C 的一个离心率______．【正确答案】53（答案不唯一）【分析】分类讨论双曲线C 的焦点在x 轴、y 轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离心率公式计算可得.【详解】当双曲线C 的焦点在x 轴时，其渐近线为by x a =±，则43b a =，所以离心率53c e a ====，当双曲线C 的焦点在y 轴时，其渐近线为a y x b =±，则43a b =，即34b a =，所以离心率54c e a ====，综上，可得双曲线的离心率为53或54.故53（答案不唯一）.15.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME -）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===== ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,n OA OA OA ⋅ 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a =_____．【分析】由图可知1122378...1OA A A A A A A =====，由勾股定理可得2211n n a a -=+,利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形1122378...1OA A A A A A A =====，因为122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、都是直角三角形，2211n n a a -∴=+,2n a ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，()2111n a n n ∴=+-⨯=，n a ∴=.本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.16.已知过点()4,1P 的直线与椭圆22:142x y C +=相交于不同的两点A 和B ，在线段AB 上存在点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，则OQ 的最小值为______．【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，由,,,A P B Q 四点共线，用向量共线关系表示,A B 两点坐标，又点,A B 在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出Q 点在一条定直线上，再求最短距离即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅，记AP PB AQ QB =，又,,,A P B Q 四点共线，设PA AQ λ= ，则由已知0λ>，且1λ≠，PB BQ λ=-.由PA AQ λ=，得()()11114,1,x y x x y y λ--=--，解得114111x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，同理PB BQ λ=- ，得()()22224,1,x y x x y y λ--=---，解得224111x x y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，因为点A 在椭圆上，所以224111142x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，即()()()22241142x y λλλ+++=+，①同理点B 在椭圆上，所以224111142x y λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=，即()()()22241142x y λλλ--+=-，②①-②得164442x yλλλ+=，因为0λ>所以220x y +-=，故点Q 在定直线220x y +-=上，OQ 的最小值为点O 到直线220x y +-=的距离255d ==.故答案为.5解析几何中线段定比分点问题方法点睛：1.在平面直角坐标系中，已知()11,A x y ，()22,B x y ，(),P x y ，且AP PB λ=，0λ≠,且1λ≠-，那么我们就说P 分有向线段AB 的比为λ，则有:121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这就是定比分点坐标公式.当P 为内分点时，0λ>；当P 为外分点时，0λ<(1λ≠-).2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B两点．（1）求线段AB 的长；（2）证明：OA OB ⊥．【正确答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得AB .（2）根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由222y x y x=-⎧⎨=⎩，得2640x x -+=．126x x +=，124x x =，所以AB ==．【小问2详解】由（1）知：126x x +=，124x x =，所以()121212122240OA OB x x y y x x x x ⋅=+=-++=，所以OA OB ⊥ ，所以OA OB ⊥．18.如图，在三棱锥O ABC -中，OA ，OB ，OC 两两垂直，3OA OC ==，2OB =．（1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值．【正确答案】（1）342（2）17【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得【小问1详解】解：以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3A ，()2,0,0B ，()0,3,0C ，所以()2,0,3AB =- ，()0,3,3AC =-，()2,0,0OB = ．取()2,0,3a AB ==- ，220,,22AC u AC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，则213a = ，322a u ⋅= ，所以点B 到直线AC ()229341322a a u-⋅=-=．【小问2详解】解：设(),,n x y z = 是平面ABC 的一个法向量，则00AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以230330x z y z -=⎧⎨-=⎩，取2z =，解得32x y =⎧⎨=⎩，所以()3,2,2n = ．设直线OB 与平面ABC 所成角为θ，则317sin cos ,17217OB n OB n OB nθ⋅===⨯⋅ ，所以直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为31717．19.在数列{}n a 的首项为11a =，且满足132nn n a a ++=⋅．（1）求证：{}2nn a -是等比数列．（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【正确答案】（1）证明见解析；（2）1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数.【分析】（1）由132nn n a a +=-+⋅，化简得到11212n n nn a a ++-=--，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得(1)2nnn a =-+，分当n 为偶数和当n 为奇数，两种情况讨论，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足132nn n a a ++=⋅，即132nn n a a +=-+⋅，则111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++--+⋅--===----，又由11a =，可得1121a -=-，所以数列{}2nn a -表示首项为1-，公比为1-的等比数列.（2）由（1）知121(1)(1)nn n n a --=-⨯-=-，所以(1)2n n n a =-+，所以12=222(1)1(1)nnn S ++++-+++- ，当n 为偶数时，可得12(12)=02212nn n S +-+=--；当n 为奇数时，可得12(12)=12312nn n S +--=--，综上可得，1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数.20.已知两个定点()1,0M -，()1,0N ，动点P满足MP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．【正确答案】（1）22610x y x +-+=（2）1y x =-或1y x =-+【分析】（1）设点(),P x y，后由MP =结合两点间距离公式可得轨迹方程；（2）由点N 到直线PM 的距离为1，可得30PMN ∠=︒，则可得直线PM 方程为()313y x =+或()313y x =-+，将直线方程与轨迹方程联立可得点P 坐标，后可得直线PN 方程.【小问1详解】设点P 的坐标为(),x y，因为MP =，=整理得22610x y x +-+=，所以点P 的轨迹方程为22610x y x +-+=．【小问2详解】因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，直线PM 的斜率为33或33-，所以直线PM 的方程为()313y x =+或()313y x =-+.联立轨迹方程与()13y x =±+，可得()222610410313x y x x x y x ⎧+-+=⎪⇒-+=⎨=+⎪⎩，解得2x =或2x =-．得直线PM 的方程为()313y x =+时，P的坐标为(2++或(21-.直线PM 的方程为()313y x =-+时，P 的坐标为(21+--或(2．当P的坐标为(2+时，直线PN的方程为：11y x ==-，即1y x =-.P的坐标为(21-+时，直线PN的方程为：11y x ==--，即1y x =-+.P的坐标为(21+--时，直线PN的方程为：11y x ==--，即1y x =-+.P的坐标为(2-时，直线PN的方程为：11y x ==-，即1y x =-.综上可得直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+21.歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体EF ABCD -的底面ABCD 为一个矩形，28AB EF ==，6AD =，//EF AB ，棱5EA ED FB FC ====，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．（1）求证：平面EFNM ⊥平面ABCD ；（2）求平面BFC 与平面EFCD 夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）2114【分析】（1）证明EM AD ⊥以及MN AD ⊥，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面BFC 与平面EFCD 法向量，根据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】因为EA ED =，M 为AD 的中点，所以EM AD ⊥．在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，所以MNAD ⊥．又EM MN M ⋂=，EM ，MN ⊂平面EFNM ，所以AD ⊥平面EFNM ．又AD ⊂平面ABCD ，所以平面EFNM ⊥平面ABCD ．【小问2详解】在平面EFNM 中，过F 作FH MN ⊥，H 为垂足．因为平面EFNM ⊥平面ABCD ，平面EFNM ⋂平面ABCD MN =，FH ⊂平面EFNM ，所以FH ⊥平面ABCD ．过H 作BC 的平行线，交AB 于点S ，则3HS =，2HN =，3HF =，以H 为坐标原点，以HS ，HN ，HF方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,2,0B ，()3,2,0C -，()3,6,0D --，(0,0,23F ，所以(3,2,3BF =-- ，()6,0,0BC =- ，(3,2,23CF =- ，()0,8,0CD =-．设平面EFCD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则00CF m CD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以3223080x y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取3z =，解得2x y =-⎧⎨=⎩，所以(3m =- ，同理可得平面BFC 的一个法向量为()3,1n =．设平面BFC 与平面EFCD 夹角为θ．则21cos cos ,14m n m n m nθ⋅=<>==⋅ ，所以平面BFC 与平面EFCD 夹角的余弦值为2114．22.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为A ，B ，过点()6,0D 且不与x 轴重合的动直线交双曲线C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，4PD BD ==．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线AP ，AQ 和直线x t =分别交于点M ，N ，若MD ND ⊥恒成立，求t 的值．【正确答案】（1）22142x y -=（2）14t =或103t =【分析】(1)由4PD BD ==可得a 的值，再将点()6,4P 代入即可求解；(2)设直线PQ 的方程为6x my =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出直线AP 的方程，求出点,M N 的坐标，利用MD ND ⊥即可求出结果.【小问1详解】由题知，当PQ 与x 轴垂直时，4PD BD ==，所以642a OD BD =-=-=，()6,4P ，所以2236414b -=，解得22b =，所以双曲线C 的方程为22142x y -=．【小问2详解】设直线PQ 的方程为6x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由226142x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22212320m my y -++=，所以122122m y y m +=--，122322y y m =-．直线AP 的方程为()1122y y x x =++，与x t =联立，解得()112,2t y M t x +⎛⎫⎪+⎝⎭．同理可得()222,2t y N t x +⎛⎫⎪+⎝⎭．所以()1126,2t y DM t x +⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+ ，()2226,2t y DN t x +=-+⎛⎫⎪⎝⎭，因为MD ND ⊥恒成立，所以0DM DN ⋅=恒成立，又()()()()2212126222y y DM DN t t x x ⋅=-++++ ()()()()2212126288y y t t my my =-++++()()()21222112262864m y y m y y y y t t ++=++-+()()221624t t =--+所以()()22462t t -=+，解得14t =或103t =．。
山东省泰安市2019-2020学年数学高二上学期理数期末考试试卷(I)卷
山东省泰安市 2019-2020 学年数学高二上学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） 命题 p：∃ x0∈R，不等式A . ∃ x0∈R，不等式成立B . ∀ x∈R，不等式 cosx+ex﹣1＜0 成立成立，则 p 的否定为（ ）C . ∀ x∈R，不等式 cosx+ex﹣1≥0 成立 D . ∀ x∈R，不等式 cosx+ex﹣1＞0 成立2. （2 分） 在几何体 P﹣ABCD 中，ABCD 为矩形，各棱所在直线共有异面直线（ ）A . 4对 B . 6对 C . 8对 D . 12 对 3. （2 分） 在 ΔABC 中， A. B. C.， 若点 D 满足， 则 =（ ）第 1 页 共 10 页D.4. （2 分） 直线 A.2被圆截得的线段的长为（ ）B.C. D.15. （2 分） (2018·山东模拟) 已知抛物线，若过点两个不同点，且直线 的斜率为 ，则 的取值范围是（ ）作直线 与抛物线 交 ，A.B.C.D. 6. （2 分） (2016 高三上·嘉兴期末) 设 α、β 为两个不同的平面，直线 l⊂ α，则“l⊥β”是“α⊥β” 成立的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件第 2 页 共 10 页7. （2 分） (2017 高二下·张家口期末) 已知函数 A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分又不必要条件则“f（x）≤0”是“x≥0”的（ ）8. （2 分） (2017 高二上·大连期末) 已知焦点在 y 轴上的双曲线 C 的中心是原点 O，离心率等于 双曲线 C 的一个焦点为圆心，2 为半径的圆与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为（ ），以A.B.C.D.二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)9. （1 分） (2019·揭阳模拟) 已知双曲线 该双曲线的离心率为________；的一条渐近线方程为，则10. （1 分） (2016 高三上·成都期中) 已知曲线 C：x=﹣，直线 l：x=6，若对于点 A（m，0），存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得，则 m 的取值范围为________．11. （1 分） (2017 高一下·东丰期末) 已知四棱锥的三视图如图所示，正视图是斜边长为 4 的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则四棱锥四个侧面中，面积最大的值是________第 3 页 共 10 页12. （1 分） (2018 高二上·沈阳期末) 如图，椭圆的中心在坐标原点 ，顶点分别是，焦点分别为，延长与交于 点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是________．13. （1 分） (2017 高一下·会宁期中) 在极坐标系中，已知点 A（1， ），点 P 是曲线 ρsin2θ=4cosθ 上任意一点，设点 P 到直线 ρcosθ+1=0 的距离为 d，则丨 PA 丨+d 的最小值为________．14. （1 分） (2017 高三上·常州开学考) 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y2﹣4x=0．若直线 y=k （x+1）上存在一点 P，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围是________．三、 解答题 (共 6 题；共 40 分)15. （5 分） (2016 高二上·天心期中) 已知 a＞0，设命题 p：函数 f（x）=x2﹣2ax+1﹣2a 在区间[0，1]上 与 x 轴有两个不同的交点；命题 q：g（x）=|x﹣a|﹣ax 有最小值．若（￢p）∧q 是真命题，求实数 a 的取值范围．16. （10 分） (2017 高二上·定州期末) 某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为，半径为 ，不计厚度，单位：米），按计划容积为立方米，且，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计 ），已知圆柱部分每平方米的费用为 2 千元，半球部分每平方米的费用为 2 千元，设该容器的建造费用为 y 千元.第 4 页 共 10 页（1） 求 y 关于 r 的函数关系，并求其定义域； （2） 求建造费用最小时的 .17.（5 分）(2019 高二上·衢州期末) 已知椭圆 直线 与椭圆 相交于 ， 两点.（Ⅰ）求椭圆 的方程；过点，且它的离心率为 ，（Ⅱ）若弦 的中点 到椭圆 中心的距离为 1，求弦长 的最大值；（Ⅲ）过原点 作直线，垂足为 ，若，18.（5 分）(2018 高一上·西宁期末) 已知 为坐标原点，若.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；，求直线 的方程.，，（Ⅱ）当时，若方程有根，求 的取值范围.19. （10 分） (2018 高三上·南阳期末) 如图 1，在平行四边形， 、 分别为 、的中点，现把平行四边形、、．中， 1沿，，折起如图 2 所示，连接（1） 求证：；（2） 若，求二面角20. （5 分） 已知空间四边形 OABC 中， 点，G 是 MN 的中点，求证：的正弦值．第 5 页 共 10 页，且 OA=OB=OC，M,N 分别是 OA,BC 的中一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)9-1、 10-1、 11-1、12-1、 13-1、 14-1、三、 解答题 (共 6 题；共 40 分)参考答案第 6 页 共 10 页15-1、16-1、16-2、第 7 页 共 10 页17-1、第 8 页 共 10 页18-1、19-1、19-2、第 9 页 共 10 页20-1、第 10 页 共 10 页。
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高 二 年 级 考 试
数 学 试 题（理科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若a ∈R ，则“a =2”是“（a -l ）（a -2）=0”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
2．准线方程为x=2的抛物线的标准方程是
A ．y 2=-4x
B ．y 2=-8x
C ．y 2=-x
D ．y 2
=-8x 3．等差数列{n a }的前n 项和为S n 。
且S 3=6，a 3=0，则公差d 等于
A ．2
B ．1
C ．-1
D ．-2
4．已知,,a b c R ∈∈尺，则下列命题正确的是
A ．22a b ac bc >⇒>
B ．a b a b c c
>⇒> C. 110a b ab a b >⎫⇒>⎬<⎭ D. 110a b ab a b
>⎫⇒>⎬>⎭ 5．△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2+b 2=2c 2，则cosC 的最小值为 A. 12 B. 22 C. 32 D. 12
- 6．设等比数列{n a }的公比q=2，前n 项和为S n ,则42
S a = A.2 B.4 C. 152 D. 172
7.在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则2{x |0}ax bx c ++<≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中真命魉的个数
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．若实数x 、y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则z=3x+2y 的最大值是
A ．13
B ．9
C ．1
D ．3
9．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所
成角的余弦值为
A ．1010
B ．103
C ．355
D ．52
10．已知F 1,F 1是双曲线C 122221(a 0,0)x y b a b -=>>与椭圆C 2：22
1259
x y +=的公共焦点，A ，B 是两曲线分别在第一，三象限的交点，且以F 1，F 2，A ，B 为顶点的四边形的面积为66，则双曲线C 1的离心率为
A ．2105
B ．103
C ．355
D ．52
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置．
11．不等式-2x 2
+x+3<0的解集为 ▲ ．
12．在等差数列{n a }中，12,a =3a +5a =10，则7a = ▲ ． 13.设双曲线C 经过点(2，2)，且与2
214
y x -=具有相同渐进线，则双曲线C 的方程为 ▲ ．
14．已知空间三点0(0，0，0)，A （-1，l ，0），B(0，1，1)，若直线OA 上的一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为 ▲ ．
15.如图,在山顶铁塔上B 处测得一点铁A 的俯角为α，在
塔底C 处测得A 处的俯角为β，若铁塔高为m 米，则山高CD 为
▲ 。
三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出
必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答
题纸的相应位置．
16.（本小题满分12分）
已知命题p ：方程22
1212x y a
-=-表示焦点在x 轴上的双曲线． 命题q ：,x R ∃∈，使2
20x ax a +-=.
若p 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．
17.（本小题满分12分）
设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且b=3，c=2
(I)若B=600，求△ABC 的面积；
(Ⅱ)若A=2B ，求边长a ．
18.（本小题满分12分）
在数列{n a }中，12(n N*),n n a a +=+∈2514,,a a a 构成等比数列。
记1
1(n N*)n n n b a a +=
∈ (1)数列{n a }的通项公式；
(Ⅱ)设{n b }的前n 项和为R n 。
是否存在正整数k ，使得R k ≥2k 成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分12分）
如图，在棱锥A-BCDE 中，平面ABE 上平面BCDE,BE ⊥AE,BE
⊥ED,ED ∥BC,BC=BE=EA=2,DE=1
(I)若F 为AB 中点，求证：EF ∥平面ADC
(Ⅱ)若56
AM AC =，求BM 与平面ADC 所成角的正弦值． 20.（本小题满分13分）
某厂2014年初用36万元购进一生产设备，并立即投入生产，该生产设备第一年维修保养费用4万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加2万元，该生产设备使用后，每年的年收入为23万元，该生产设备使用戈年后的总盈利额为y 万元．
问：(I)从第几年开始，该厂开始盈利（总盈利额为正值）；
(Ⅱ)到哪一年，年平均盈利额能达到最大值？此时工厂共获利多少万元？
（前x 年的总盈利额=前x 年的总收入一前x 年的总维修保养费用一购买设备的费用）
21.（本小题满分14分） 已知椭圆22
221(b 0)x y a a b
+=>>的长轴长是短轴长的3倍，且经过点（3，1）． (I)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设点M(0，2)，直线l ：y=1，过M
任作一条不
l，与椭圆相交于A、B两点，过AB的中点N作直线l2与y轴交于点P，D 与y轴重合的直线
1
为N在直线l上的射影，若|AB|2=4|ND|·|MP|，求直线l2的斜率的取值范围．。