考研真题数学2-2012
2012年考研数学二真题和答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -【答案】：（C ） 【解析】：''22()(2)()(1)(2)()xxnx x x nxf x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。
（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim nn s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。
考研数学二历年真题(2000-2012)
2 2
的极值.
(17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L : y ln x 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 A B 围成,求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分 xy d ，其中区域 D 为曲线 r 1 cos 0 与极轴围成.
D
(19)(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) 满足方程 f ( x ) f ( x ) 2 f ( x ) 0 及 f ( x ) f ( x ) 2 e x , (I) 求 f ( x ) 的表达式; (II) 求曲线 y f ( x 2 ) f ( t 2 )d t 的拐点.
(6) 设区域 D 由曲线 y sin x , x
, y 1 围成，则 ( x y 1)d x d y
5 D
( (A) (B) 2 (C) -2 (D) -
)
0 0 1 1 (7) 设 α 1 0 , α 2 1 , α 3 1 , α 4 1 ,其中 c1 , c 2 , c 3 , c 4 为任意常数，则下列向量 c c c c 2 3 4 1
*
1 T （8）设 A ， P 均为 3 阶矩阵， P 为 P 的转置矩阵，且 P A P = 0 0
T
0 1 0
0 0 ，若 2
）
T ，则 Q A Q 为（ P= （ 1， 2， 3） ， Q = （ 1 + 2， 2， 3）
2 A . 1 0 2 C . 0 0
2012年考研数学二真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐近线的条数为（）221x xy x +=-（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【答案】：C【解析】：，所以为垂直的221lim 1x x xx →+=∞-1x =，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选22lim 11x x x x →∞+=-1y =C （2）设函数，其中为正整数，则2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =--- n '(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn --（C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn -【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+--- 所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)（4）设sin x d x (k=1,2,3),则有D2kx keI e =⎰（A ）I 1< I 2 <I 3.(B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3.【答案】：(D)【解析】：：看为以为自变量的函数，则可知2sin kx keI e xdx =⎰k ，即可知关于在上为单调()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈2sin kx k eI e xdx =⎰k ()0,π增函数，又由于，则，故选D()1,2,30,π∈123I I I <<（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有 >0,<0,f (x 1,y 1)<f(,)f x y x ∂∂(,)f x y y∂∂(x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2.(B) x 1> x 2, y 1>y 1.(C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D)【解析】：，表示函数关于变量是单调递增的，关于(,)0f x y x ∂>∂(,)0f x y y∂<∂(,)f x y x 变量是单调递减的。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2 0 0 1
2
故选（B）。 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）设 y = y(x) 是由方程 x2 − y +1 =ey 所确定的隐函数，则
【答案】：1
________。
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（10）计算
lim
x→∞
n
1
1 + n2
+
22
1 +
n2
+…+
n2
1 +
n2
= ________。
π
【答案】：
4
【解析= 】：原式
∑ lim
n→∞
1 n
n i=1
1+= 1ni 2
∫= 1 dx
0 1+ x2
arc= tan x 1 0
（A）
2
1
1
（B）
1
2
2
（C）
1
2
2
（D）
2
1
【答案】：（B）
1 0 0
1 0 0
【解析】：
Q
=
P
1
1
0
，则
Q
−1
=
−1
1
0
P
−1
，
0 0 1
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)lim x y f x y x y→→+存在(4)设2sin (1,2,3)k xK exdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1QAQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15(B) 13(C)25(D)45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B)12(C) 12-(D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)20x =⎰(11)(2,1,1)()|z grad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p A B P C p A B C ===三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 证明21ln cos 1(11)12x xx x x x++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n xn ∞=+++∑的收敛域及和函数(18) 已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2012年考研数学二真题及解析
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2012年考研数学二真题及答案解析
数学(二)试题 第 5 页 (共 11 页)
（23）（本题满分 11 分）已知
1）求 a 的(k=1,2,3),则有（）
0
（A）I1< I2 <I3.
(B) I3< I2< I1.
(C) I2< I3 <I1,
(D) I2< I1< I3.
（5）设函数 f (x,y) 可微，且对任意 x,y 都 有 f (x, y) x
f (x, y) >0, y <0,f(x1,y1)<f
（A） (1)n1(n 1)!
（B） (1)n (n 1)!
（C） (1)n1n!
（D） (1)n n!
（3）设 an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的
(A)充分必要条件.
(B)充分非必要条件.
（C）必要非充分条件.
（D）既非充分也非必要条件.
已知函数 f (x) 1 x 1 ，记 a lim f (x)
sin x x,
x0
（1）求 a 的值
（2）若当 x 0 时， f (x) a 是 xk 的同阶无穷小，求 k
（16）（本题满分 10 分）
( ) -x2+y2
求函数 f x, y = xe 2 的极值。
（17）（本题满分 10 分）
（2）记（1）中的实根为
xn
，证明
lim
n
xn
存在，并求此极限。
（22）（本题满分 11 分）
1 a 0 0
1
设
A
0
1
a
2012考研数二真题及解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】:C【解析】:221lim 1x x xx →+=∞-,所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-,所以1y =为水平的,没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】:C【解析】:'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…),S n =a 1+a 2+…a n ,则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件.【答案】:(B)（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3.【答案】:(D) 【解析】::2sin kx k eI e xdx =⎰看为以k 为自变量的函数,则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈,即可知2sin kx k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数,又由于()1,2,30,π∈,则123I I I <<,故选D（5）设函数f (x,y ) 可微,且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是 (A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1. (C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】:(D) 【解析】:(,)0f x y x ∂>∂,(,)0f x y y∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的,关于变量y 是单调递减的。
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根; （Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根 x n ，证明 lim xn 存在，并求此极限.
6
1 （22） （本题满分 11 分）设 A 0 0 a
a 0 0 1 1 a 0 1 ， . 0 1 a 0 0 0 1 0
（A）0.
x2 x 的渐近线的条数为( x2 1
（B）1.
)
（D）3.
（C）2.
解
lim
x 1
x2 x x2 x 1 x2 x , lim ， 1， lim x 1 x 2 1 x2 1 2 x x 2 1 2) (e nx n) ,其中 n 为正整数,则 f (0) (
组线性相关的为(
（A） 1 2 3 . （C） 1 3 4 .
)
（B） 1 2 4 . （D） 2 3 4 .
0
解 由于 | 1 3 4 | 0
1 1 c3
1 1 0 ,所以 1 3 4 线性相关, 故选 C. c4
（Ⅰ）计算行列式 | A | ； （Ⅱ）当实数 a 为何值时,方程组 Ax 有无穷多解,并求其通解.
1 （23） （本题满分 11 分）设三阶矩阵 A 0 1 0
0 1 0
1 1 AT 为矩阵 A 的转置,已知 r ( AT A) 2 , ， a a 1
2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学二
一、选择题：1—8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求,把所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． (1)曲线 y
（A）0.
x2 x 的渐近线的条数为( x2 1
（B）1.
)
（D）3.
（C）2.
2
) y
y e x sin x
2
（A） I1 I 3 I 2 . （C） I 2 I 3 I1 .
（B） I 3 I 2 I1 . （D） I 2 I1 I 3 .
O
π
2π 3π x
解
本题直接做较难,画出草图由定积分的几何意义易得 D.
(5) 设 f ( x, y ) 可微 , 且对任意 x, y 都有 立的一个充分条件是(
（B） I 3 I 2 I1 . （D） I 2 I1 I 3 .
O
π
2π 3π x
(5) 设 f ( x, y ) 可微 , 且对任意 x, y 都有 立的一个充分条件是(
（A） x1 x2 , y1 y2 . （C） x1 x2 , y1 y2 .
f ( x, y ) f ( x, y ) 0, 0, 则 f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 ) 成 x y
7
f xT AT Ax
（Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准形,写出正交变换过程.
8
2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学二
一、选择题：1—8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求,把所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． (1)曲线 y
2 的点的坐标是 2
3
(14)设 A 为 3 阶矩阵, | A | 3, A* 是 A 的伴随矩阵,若交换 A 的第一行与第二行得矩阵 B,则
| BA * |
.
指定位置上.解答应写出文字说明、 三、解答题：15—23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．． 证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 10 分）已知函数 f ( x ) （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）若当 x 0 时， f ( x) a 是 x k 的同阶无穷小同，求 k 的值.
组线性相关的为(
（A） 1 2 3 . （C） 1 3 4 .
)
（B） 1 2 4 . （D） 2 3 4 .
1 (8)设 A 为 3 阶矩阵,P 为 3 阶可逆矩阵,且 P AP 1 , P (1 2 3 ), 2
5 2
1 sin x
dy
1 2 5 2 2 2 x cos xdx (1 sin x ) dx 0 dx . 2 2 2 2
选 D.
1 1 0 0 (7) 设 1 0 2 1 3 1 4 1 其中 c1 c2 c3 c4 为任意常数 , 则下列向量 c c c c 4 3 2 1
（A）充分必要条件. （C）必要非充分条件. （B）充分非必要条件. （D）既非充分又非必要条件.
(4)设 I k
k 0
e x sin xdx(k 1,2,3) ,则有(
2
) y
y e x sin x
2
（A） I1 I 3 I 2 . （C） I 2 I 3 I1 .
4
（18） （本题满分 10 分）计算二重积分 极轴所围成的区域.
xydxdy ,其中 D 是由曲线 r 1 cos (0 ) 与
D
（19） （本题满分 11 分） 已知函数 f ( x) 满足方程 f ( x) f ( x) 2 f ( x) 0及f ( x) f ( x) 2e x . （Ⅰ）求 f ( x) 表达式； （Ⅱ）求曲线 y f ( x 2 ) f (t 2 )dt 的拐点.
（A）充分必要条件. （C）必要非充分条件. （B）充分非必要条件. （D）既非充分又非必要条件.
解
若数列 {S n } 有界,且 S n S n1 ，则 {S n } 收敛；而 {S n } 收敛，则 {S n } 必有界，故选 A.
(4)设 I k
k 0
e x sin xdx(k 1,2,3) ,则有(
1 x 1 ，记 a lim f ( x). x0 sin x x
（16） （本题满分 10 分）求函数 f ( x, y) xe
x2 y 2 2
极值.
（17） （本题满分 10 分）过点(1,0)作曲线 L : y ln x 的切线,切点为 A,又 L 与 x 轴交于点 B, 区域 D 是由 L 与直线 AB 及 x 轴围成,求区域 D 的面积及 D 绕 x 旋转一周所得旋转体的体积.
)
1 1 0 0 (7) 设 1 0 2 1 3 1 4 1 其中 c1 c2 c3 c4 为任意常数 , 则下列向量 c c c c 4 3 2 1
2
二、填空题：9—14 小题,每小题 4 分,共 24 分,把答案填在答题纸 指定位置上. ．．． (9)设 y y ( x) 是由方程 x 2 y 1 e y 所确定的隐函数,则
dy dx
.
1 1 1 (10) lim n 2 2 2 2 n n n2 2 n 1 n
1
c1
1 (8)设 A 为 3 阶矩阵,P 为 3 阶可逆矩阵,且 P AP 1 , P (1 2 3 ), 2
Q (1 2 2 3 ), 则 Q 1 AQ (
1 （A） 2 . 1 2 （C） 1 . 2
（B）2. （C） 2 . （D） .
)
（A） .
解
画出积分区域的图形如图,故
5
y 1
( x
D
y 1)dxdy x 5 ydxdy dxdy
D D
2
O y=sinx
2
x
2
2
dx
1 sin x
x ydy 2 dx
（A） x1 x2 , y1 y2 . （C） x1 x2 , y1 y2 .
f ( x, y ) f ( x, y ) 0, 0, 则 f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 ) 成 x y
)
（B） x1 x2 , y1 y2 . （D） x1 x2 , y1 y2 .
（C） (1) n1 n! .
所以垂直渐近线方程为 x 1 ,水平渐近线方程为 y 1 ,故选 C. (2)设函数 f ( x) (e 1)(e
x 2x
)
（A） ( 1) n 1 (n 1)! .
（B） (1) n (n 1)! .
（D） (1) n n! .
解
f (0) lim
)
（B） x1 x2 , y1 y2 . （D） x1 x2 , y1 y2 .
1
（A） .
(6)设区域 D 是由 y sin x , x , y 1 所围成,则二重积分 ( x 5 y 1)dxdy ( 2 D
（B）2. （C） 2 . （D） .
解
f ( x, y ) f ( x, y ) 0, 0 表示函数 f ( x, y ) 关于变量 x 是单调递增,关于变量 y 是单调递 x y
1
减,因此当 x1 x 2 , y1 y 2 必有 f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 ) ,故选 D. (6)设区域 D 是由 y sin x , x , y 1 所围成,则二重积分 ( x 5 y 1)dxdy ( 2 D
0 x
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（20） （本题满分 10 分）证明: x ln
1 x x2 cos x 1 ,1 x 1 . 1 x 2