七年级上册数学整式的基本概念单项式与多项式
多项式及整式的概念
多项式及整式的概念
多项式是由一系列代数项通过加法运算连接起来的表达式。
每个代数项由一个系数与一个变量的乘积组成，其中系数可以是实数或复数，变量表示未知数。
一个简单的多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0
其中，P(x) 是多项式的名称，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 是常数系数，x 是变量，n 是非负整数，并且a_n ≠ 0。
整式是多项式的一种特殊形式，它只包含有限个代数项，并且每个代数项的指数都是非负整数。
整式可以是常数、单项式、多项式等。
例如，下面是一些整式的例子：
1. 常数：3、-5、
2.7 等都是整式。
2. 单项式：2x、-3xy^2、4a^3b 是整式，因为它们只包含一个代数项。
3. 多项式：3x^2 + 2xy - 5、-4a^2 + 7b + 1 是整式，因为它们包含多个代数项。
整式在代数学中有广泛应用，它们可以用于建立数学模型、解方程、进行多项式运算等。
数学七年级上册整式
数学七年级上册整式一、整式的概念整式是包含加、减、乘、除和乘方运算的代数式。
其中，单项式和多项式统称为整式。
1. 单项式：数字与字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
2. 多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。
二、整式的加减法整式的加减法主要涉及同类项的合并和合并同类项。
1. 同类项：同类项是指相同字母的指数也相同的项。
例如，x²y和x²y'是同类项。
2. 合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
例如，2x²y+3x²y=5x²y。
三、整式的乘法整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式和多项式乘以多项式。
1. 单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2. 单项式乘以多项式：用一个数去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3. 多项式乘以多项式：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
四、整式的除法整式的除法主要是单项式除以单项式和多项式除以单项式。
1. 单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2. 多项式除以单项式：把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
五、整式的混合运算整式的混合运算是指混合使用加、减、乘、除和乘方运算。
运算顺序是先乘方再乘除后加减，有括号的先算括号里面的。
六、整式的化简求值化简求值是指将整式通过加减乘除等运算后，化简为最简形式，然后代入数值计算。
在化简过程中要遵循先化简后求值的原则。
湘教版数学七年级上册2.3 整式的概念 第1课时 单项式、多项式、整式课件(共24张PPT)
不含字母的项叫作常数项
多项式中次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数
组成多项式的每个单项式叫作多项式的项
课后作业
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
(1)多项式的各项应包括它前面的符号；
(3)要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
(4)一个多项式的最高次项可以不唯一.
(2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号；
归纳
1.单项式-的系数，次数分别是（ ）
A.- ,2 B. - ,3 C. ,2 D. ,3
归纳
补充练习
1、下列说法中，正确的是 （ ）
A.x的系数是0 B.5a b的次数是2C.- xy的次数是2 D.-m的系数是11
2、已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式 可以是 （ ）
C
2.多项式-5xy+xy2-1是（ ）
A.二次三项式 B.三次三项式C.四次三项式 D.五次三项式
B
补充练习
（2） ， 分别表示梯形的上底和下底， 表示 梯形的高，则梯形面积 ＝ ，当 ＝2 cm， ＝4 cm， ＝5 cm时， ＝ cm2 ．
8t
πr2
x2y
我们知道,8t表示8与t的积,πr2表示π与r2的积.x2y表示x2与y的积.这三个代数式均不含加减运算,只含有数与字母的幂的乘法运算.
抽 象
由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式，其中这个数叫作单项式的系数，所有字母的指数的和叫作单项式的次数.当单项式的系数为“1”或“―1”时，“1”省略不写.
沪教版 七年级(上)数学 秋季课程 第1讲 整式的基本概念
整式的基本概念内容分析代数式是七年级数学上学期第一节内容，主要根据题意，会用规范的格式用字母表示数，掌握代数式的值的概念，能用具体数值代替代数式中的字母，求出代数式的值，理解单项式．多项式和整式的定义．重点是理解代数式的值的意义并能准确求出代数式的值，正确理解单项式．多项式及整式的概念，会把一个多项式按某个字母降幂排列或升幂排列．难点是会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数，能够正确区分单项式和多项式，通过这节课的学习为我们后期学习整式计算提供依据．知识结构模块一：字母表示数知识精讲1．字母表示数字母可以表示运算律；字母可以表示公式；字母可以表示数量关系或方程里的求知量；字母可以表示探究得出规律的数．2．字母表示数的规范要求（1）数字与字母及字母与字母间的乘号省略，且数字要写在字母之前；（2）当数字是带分数时，要写成假分数；2 / 19（3）除法运算中的除号要用分数线来表示．【例1】 下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（ ）．①21x y ⋅ ②2ab c ÷ ③()2a b ⨯+ ④2ab ⋅ ⑤213xy⑥74aA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】 某种商品降价x ％后，售价为a 元，则原售价是（ ）．A ．100ax元B ．1100x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元C ．100ax元D ．1100a x -元【例3】 某次数学测试，班级中男生20名平均得a 分，女生25名平均得b 分，此次测验全班的平均分是多少？【例4】 一个两位数为x ，三位数为y ，将x 放在y 的左边得到一个五位数，用含x ．y 代数式表示这个五位数．【例5】 画一个正方形，使它的边长为2厘米，它的面积是_____平方厘米． 再取各边中点，再连成第2个正方形，它的面积是_____平方厘米．再取第2个正方形的各边中点，连成第3个正方形，它的面积是_____平方厘米．如果依此方法画出第4个．第5个正方形······那么第20个正方形的面积是____平方厘米，第n 个正方形的面积是______平方厘米．例题解析【例6】（1）一组按规律排列的式子：2ba-，52ba，83ba-，114ba，…(0ab≠)，其中第7个式子是，第n个式子是(n为正整数)．（2）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②．图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管.①②③4 / 191．代数式（1）用运算符号和括号把数或字母连结而成的式子叫做代数式．(这里的运算符号一般指加、减、乘、除，以及以后要学的乘方，开方) （2）单独一个数字或者一个字母也是代数式．（3）因为等号和不等号不是运算符号，所以等式和不等式不是代数式．【例7】 下列各式中，是代数式的有（ ）．①23xy②2R π ③2S r π=④b⑤512+>⑥2abA ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【例8】 下列代数式中，书写规范的是（）．A ．1573ab ⨯ B ．226a b ⨯-C ．69ab ÷D ．213a b【例9】 下列代数式的值一定是正数的是（ ）．A ．22x y + B ．x y - C ．223x +D ．2()x y +【例10】 某项工程，甲队完成需要a 小时，乙队完成需要b 小时，则甲．乙两队合作1小时可完成该工程的（ ）．A ．11a b +B ．1a b + C ．1abD ．111a b ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭模块二：代数式知识精讲 例题解析【例11】 用语言描述315a -的数量关系，其中错误的是（）．A ．a 的3倍与15的差B ．3a 与15的相反数的和C ．a 与5的差的3倍D ．a 与15的差的3倍【例12】 下列语句中，不正确的是（ ）．A ．代数式22x y -的意义是x 与y 的平方差 ．B ．代数式()12x y -的意义是x 与y 的差的一半． C ．x 的7倍与y 的和的一半，用代数式表示是72yx +．D ．x 的16与y 的18差，用代数式表示是1168x y -．【例13】 用文字语言表示下列式子： （1）21a +； （2）3(2)a -；（3）5a -．【例14】 汽车每小时耗油10升，油箱中已装油a 升． （1）当80a =时，汽车行驶多少小时后，油箱中剩余油为20升？ （2）用代数式表示汽车行驶x 小时后，油箱中剩余的油量y ．【例15】 正方形的边长为a cm ，边长增加2cm 后，面积增加（）．A ．24cmB ．()224a cm +C ．()222a cm +D ．()2222a a cm ⎡⎤+-⎣⎦6 / 19【例16】 船在静水中的速度为x 千米/时，水流速度为2千米/时()2x >，若A B 、两地相距s 千米，则在A B 、间往返一次共需__________小时．【例17】 浓度为80％的酒精a 克，加水10克后的浓度是多少？1．代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值． 2、求代数式的值的方法直接代入法；整体代入法．【例18】 当221x y +=，2322x y -=-时，24x y -的值是（）．A ．2-B ．1-C ．3D ．6【例19】 求代数式23x yx y-+的值，其中（1）2x =-，5y =-；（2）2x =，5y =．模块三：代数式的值知识精讲例题解析【例20】 若3a =，0.3b =，则132b a=____________．【例21】 如果()2320x y -+-=，则x y =_________．【例22】 如果25a ab +=，239b ab +=，则222a ab b --=_________．【例23】 若代数式2231a a ++的值是5，求代数式2698a a +-的值．【例24】 已知4a -与2a b +互为相反数，求代数式()()23310()89a b a b b a ---+-+()27b a -的值．【例25】 （1）当1a =，13b =及34a =，12b =时，分别计算222a ab b -+及2()a b -的值，并观察所得代数式的值，有什么发现？可猜想出什么规？（2）应用你发现的规律，计算：22101.232101.23 1.23 1.23-⨯⨯+．【例26】 已知1998a b c +=+=+，求()()222()a b b c c a -+-+-．8 / 19【例27】 已知：()3265432012345621x x a x a x a x a x a x a x a --=++++++．求：（1）0123456a a a a a a a ++++++的值；（2）0123456a a a a a a a -+-+-+的值； （3）0246a a a a +++的值．1、单项式由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．模块四：整式知识精讲师生总结1．求代数式的值时需要注意些什么？ 2．哪些题目适用于整体代入法？单独一个数或字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．2、多项式由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．3、多项式的升幂或降幂排列（1）把一个多项式按其一个字母的指数从高到低的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．（2）把一个多项式按某一个字母的指数从低到高的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．4、整式单项式．多项式统称为整式．【例28】下列说法正确的是（）．A．12不是单项式B．ba是单项式C．x的系数是0D．322x y是整式例题解析10 / 19【例29】 2005223x y 是________次单项式．【例30】 把多项式332356a ab b a b -+-按a 的降幂排列为______________________．【例31】 已知31227n ab a b ---与22353x y π-的次数相等，则()11______n +-=．【例32】 多项式253246a b a b ab--+的一次项是__________，三次项系数是________，常数项是________．【例33】 多项式2313243n n n n x x x x -+-+--（n 是大于3的整数），按x 的升幂排列为_____________________．【例34】 m n 、都是正整数，多项式3m n m n x y +++的次数是（ ） .A 22m n + .B m 或n .C m n + .D m n 、中的较大数【例35】 一个n 次多项式，它的任何一项次数都_______________．【例36】 若多项式4332531x ax x x bx x -+----不含x 的奇次项，求a b +的值．【例37】 若多项式4123n n x x -++-是三次三项式，求n 的值．12 / 19【例38】 若关于x y 、的多项式()()()122324425a a a a a x y a x y b x y a y ----+-+-+是一个四次三项式，求a b 、的值，并写出此三项式．师生总结1．整式与代数式有何关系？ 2．如何识别整式？3．整式分为哪几类？【习题1】 将下列代数式分别填入相应的括号内：222221112113232333a x ab x x m n mn n x b x y x -+-+-+-+，，，，，，，单项式（ ）； 多项式（ ）； 二项式（）； 二次多项式（ ）；整式（）．【答案】【解析】【习题2】 已知关于x 的多项式()223m x mx --+中的x 的一次项系数为2-，则这个多项式 是_____次______项式．【习题3】 在下列各式中，符合书写格式要求的有（ ）．2a ，1x ÷，112m ，3y -，()32x y ⨯+，231m n ，73ab，2ac b ÷．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【习题4】随堂检测14 / 19【习题5】 把多项式343225327x y y xy x y --+-（1）按x 的升幂排列__________________________________； （2）按y 的降幂排列__________________________________．【习题6】 某学生参加教育储蓄，把1000元存入银行，如果月利率是0.2％，那么x 个月后， 本金与利息的和是_______元（教育储蓄不计利息税）．【习题7】 买a 支水笔用了50元，毛笔每支比水笔贵2元，那么买a 支毛笔需____元钱．【习题8】 已知：311(13)26x =-÷⨯⨯，则代数式23201220131x x x x x ++++⋅⋅⋅++的值是（ ）．A ．2013B ．2012C ．1D ．0【习题9】 已知：242a ba b-=+，求代数式3(2)3(2)4(2)2a b a b a b a b -+++-的值．【习题10】 3232a b -的系数是___________，次数是_________．【习题11】 先观察多项式：234357x x x x --⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，按这些单项式的系数和指数变化规 律写出第50个单项式；再求当1x =时，前50个单项式和的值．【习题12】 观察下列图形，则第(42)n +个图形中三角形的个数是___________ ．【习题13】 当1x =时，代数式31ax bx ++的值为2014，求当1x =-时代数式31ax bx ++的 值．……第1个第2个 第3个16 / 19【习题14】 点1A 、2A 、3A 、……、n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左 边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =； 点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，依照上述规律，点2008A ．2009A 所表示的数分 别为（ ）．A ．2008、2009-B ．2008-、2009C ．1004、1005-D ．1004、1004-【习题15】 如图，点A ．B 对应的数是a ．b ，点A 在3-．2-对应的两点（包括这两点） 之间移动，点B 在1-．0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可 能比2008大的是（ ）．A ．b a -B ．1b a - C ．11a b- D ．2()a b -【作业1】 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？ ① 21x + ② 23ab ③ 0 ④ 10n a ⨯ ⑤ a b b a +=+ ⑥ 32> ⑦ 2S R π= ⑧ 347+= ⑨ π【作业2】 三个连续奇数，中间的一个是21n +，用代数式表示这三个连续奇数的和是_______；当2n =时，这个代数式的值是_______．【作业3】 代数式()223x -+有（ ）．A ．最大值B ．最小值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，也无最小值【作业4】 某商品进价为每件a 元，商品按进价提高40％作为零售价销售，在销售旺季过后，又以8折价开展促销，求促销时每一件商品的售价．【作业5】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.223xy ；a -；a bc ；32mn +；572t ；233a b c -；2；xπ-【作业6】 同时都含有a b c ，，，且系数为1的7次单项式共有（ ）个课后作业18 / 19A ．4B ．12C ．15D ．25【作业7】 当____a =时，式子39a b -+化简后是单项式．【作业8】 当m 取什么值时，2123(2)3m m x y xy -+-是五次二项式？【作业9】 一个多项式按x 的降幂排列，前几项如下：1098273234...x x y x y x y -+-+试写出它的第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式？【作业10】 已知()727012721...x a a x a x a x -=++++对任意x 的值都成立，求下列各式的值： （1）0127...a a a a ++++；（2）1357a a a a +++．【作业11】图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2．图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）A．25B．66C．91D．120图3图2图1。
七年级数学整式运算知识点归纳
七年级数学整式运算知识点归纳知识点归纳：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a5、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4==例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =6、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a7、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
七年级同步第2讲：整式的基本概念教师-教师版
（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式- ab 2c ，它的指数项式 xy 2整式的基本概念内容分析整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的．该章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合并同类项；等．这些内容既是 对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、化 学等学科及其他科学技术不可缺少的工具．知识结构模块一：整式的基本概念知识精讲1、 单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．12为 1 + 2 + 1 = 4 ，是四次单项式．单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单2 32、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如： x 2 - 3x + 1 是多项式．x 2 y ，- b 2 ， ， 5x 2 - y 2 ， (m + n) ，【解析】 和 (m + n) 分母中含有字母，是分式的形式，不属于整式，单项式和多项式都xy 2 ， -a ， ， + 3 ， 25 t 7 ， -3a 2b 3c ， 2 ， - ．【答案】以上代数式是单项式的有： xy 2 ， -a ， 25 t 7 ， -3a 2b 3c ， 2 ， - ．- ，系数 - ，次数为 1．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．79（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列．3、整式：单项式和多项式统称整式．例题解析【例1】 在代数式整式共有（A 、51 1 x 1 1 x + 32 5 3x 6 a 3）个B 、6C 、7D 、8，0， y 2 + 6 y + 9 中，【难度】★【答案】Bx 13x a是整式，故本题中的整式共 6 个．【总结】本题主要考查整式的概念．【例2】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．2 3 a mn xbc 2 π【难度】★2 x3 π2 2xy 2 的系数为 ，次数为 3； 3 325 t 7 ，系数为 25，次数为 7；2，系数为 2，次数为 0；-a 的系数为-1，次数为 1；-3a 2b 3c ，系数为-3，次数为 6； x 1π π【解析】此题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目．（1）；（2）x+y--1．【答案】（1）此多项式的次数是3次，最高次项的系数为；（2）此多项式的次数是2次，最高次项的系数是-π．【例5】多项式5y4-x4+3x2y-xy2-5x2y3是几次几项式？2【例3】写出下列多项式的次数及最高次项的系数．3x3-6x2+94πxy43【难度】★3443【解析】这是一道基础题目，考查的是多项式的系数和次数的概念．【例4】解答题：（1）把多项式3a-5a3+6a2-2按a的降幂排列；（2）把多项式4x2y-5x3-3xy2+y3按y的升幂排列；（3）求多项式3x2-2x y-5y2+2的各项系数之和．【难度】★【答案】（1）-5a3+6a2+3a-2；（2）-5x3+4x2y-3xy2+y3；（3）-2．【解析】（1）（2）升降幂的概念的考查，（3）多项式3x2-2x y-5y2+2的各项系数分别为3，-2，-5，，这四个数字之和为-2．【总结】本题一方面考查多项式的排列，另一方面考查多项式中每一项的系数．12【难度】★★【答案】五次五项式【解析】多项式中所包含的单项式的次数最高的项是-5x2y3，是五次单项式，故此多项式的次数为五次，共五项，所以是五次五项式．【总结】本题主要考查几次几项式的概念．【例7】 多项式 - x 2 y m +1 + xy 2 - 3x 3 - 6 是六次四项式，单项式 2 x 3n y 5-m z 的次数与这【例6】 多项式 6x n +2 - x 2-n + 2 是三次三项式，求代数式 n 2 - 2n + 1 的值．【难度】★★【答案】0 或 4．【解析】多项式 6x n +2 - x 2-n + 2 是二次三项式，则分两种情况：（1）当 n + 2 = 3 时， n = 1 ，所以 n 2 - 2n + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 ；（2）当 2 - n = 3 时， n = -1 ，所以 n 2 - 2n + 1 = (-1 - 1)2 = 4 ．【总结】本题一方面考查了几次几项式的概念，另外由于没有说最高次项是哪一项，因此要分类讨论．15个多项式次数相同，求 m ，n 的值．【难度】★★【答案】 m = 3 ，n = 1 ．【解析】由题意知多项式是六次四项式，则可得：2 + m + 1 = 6 ，m = 3 ；又单项式的次数与多项式的次数相同，所以可得 3n + 5 - m + 1 = 6 ， 所以 n = 1 ．【总结】本题主要考查多项式的次数与单项式的次数，注意两个概念的不同之处．【例8】 设自然数 m 、n 满足1 ≤ m < n ，求多项式 2n x m + 2m y n - 2m +n xy 的次数？【难度】★★【答案】2 或者是 n ．【解析】（1）当 n ≤2 时，次数为 2；（2）当 n >2 时，次数为 n ．【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指数无关．【例9】 请各写出一个符合条件的整式： （1）系数是 -1 ，次数是 3 的单项式； （2）系数是 3，次数是 1 的单项式； （3）常数项为 -2 的二次三项式．【难度】★★ 【答案】（1） - x 3 ；（2） 3x ； （3） x 2 + x - 2 ．【解析】这是一道开放性的题目，主要考查的是整式、单项式和多项式的基础概念，答案不唯一．【答案】 a 21（-1）n +1a n( )【例10】 下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个：8x 2 - 9x 4 + 2x - x 4 - 2x + x 2如果按此规律继续写下去，排在第 21 个的是什么样的单项式？【难度】★★★122【解析】根据观察，可以发现规律为 ，根据规律可得答案．n + 1【总结】这是一道找规律的题目，做题时要注意每一项的特征，另外这类型的题目也是近阶段的热点问题．【例11】 现有两个多项式，它们同时满足下列条件：（1）多项式中均只含有字母 x ；（2）每个多项式中各项系数的绝对值均为 2；（3）这两个多项式的和是一个 5 次多项式，这两个多项式的差是一个一次单项式．问：这两个多项式分别是多少？【难度】★★★【答案】 2 x 5 - 2 x ，2 x 5 + 2 x 或 -2 x 5 - 2 x ，- 2 x 5 + 2 x ．【解析】由于每个多项式的系数的绝对值为 2，则系数为 2 或者是-2．【总结】本题主要考查多项式的概念，另外还要注意对题意的准确理解．【例12】 已知有一组多项式，如下所示：1 1 37x 3 z 2 - 8x 3 y + x 2 yz - 3xy 2 z + 9x 4 zy - zy 2 - xyz + 9 y 3 z - -xz 2 y + z 32 5 10我们用下面的方法给这个多项式的每一项排序：（1）对于多项式的任意两项，先看 x 的次数，规定 x 的次数高的项排在 x 的次数低的项的前面;（2）再看 y 的次数，规定 y 的次数高的项排在 y 的次数低的项的前面；（3）再看 z 的次数，规定 z 的次数高的项排在 z 的次数低的项的前面．请问：（1）将这个多项式按上述法则排序，那么9 y 3 z 应排在第_______（几）位．（2）请问 9 x 4 zy 排在________位．（3）请按照上述排序写出这个多项式．（3） 9x 4 zy - 8x 3 y + 7x 3 z 2 + x 2 yz - 3xy 2 z + xyz 2 - xyz + 9 y 3 z - zy 2 + z 3 ．【难度】★★★【答案】（1）8；（2）1；1 1 32 5 10【解析】首先按照 x 的降幂排列，在 x 的次数相同的情况下按 y 的降幂排列，在 y 的次数相同的情况下按照 z 的降幂排列．【总结】本题主要考查多项式的排列，注意对概念的准确理解．师生总结1、单项式学习中主要注意哪几个方面？2、多项式学习中主要注意哪几个方面？模块二：合并同类项知识精讲1、同类项的概念：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2、合并同类项：合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．① 2m 2n 和 2a 2b ； ② - x 3y 和 yx 3 ；⑥ - 和 2 ．；（2） -2m 3 + n 3 ；（3） 3a 2 - a - m ． 【解析】（1）原式 = ( x 2 - 3x 2 ) + (- x - 2x) + (5 + ) = -2x 2 - 3x +； （3）原式 = 3a 2+ (-2a + a - a) + (-7m - m ) = 3a 2 - a - m ．⎧4m = 2 【解析】由题意，可得： ⎨ ，解得： ⎨ 2 ，所以 2m + 3n = 2 ⨯ + 3 ⨯ 2 = 7 ．⎪⎩n = 2 + =例题解析【例13】 下列各组单项式中属于同类项的是：1 2③ 6xyz 和 6xy ；④ 0.2 x 2y 和 0.2xy 2；⑤ xy 和 - yx ；12【难度】★【答案】②⑤⑥【解析】①③两个单项式所含字母不相同；④相同字母的次数不相同．【总结】本题主要考查同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式，注意同类项与字母的顺序无关．【例14】 合并下列同类项：1（1） x 2 - x + 5 - 2x + - 3x 2 ；2（2） m 3 - n 3 - 3m 3 + 2n 3 ；1 4 1（3） -7m - m + 3a 2 - 2a + a - a ．7 3 3【难度】★【答案】（1） -2x 2 - 3x +11 502 711122（2）原式 = (m 3 - 3m 3 ) （ - n 3 + 2n 3） -2m 3 + n 3 ；4 1 1 503 3 7 7【总结】本题主要考查合并同类项的概念，合并时只需要将同类项的系数相加减即可．【例15】 单项式 -9 x 4m y 4 与 3x 2 y 2n 是同类项，求 2m + 3n 的值．【难度】★【答案】7⎧1 ⎪m = 1 ⎩4 = 2n2【总结】本题主要考查同类项的概念．2 yx 2 ；2 yx 2 ) + 0.15x 2 y 2 - 0.1y 2 x = 0.62x 2 y + 0.15x 2 y 2 - 0.1xy 2 ；【例17】 单项式 - x a +b y a -3b 与 3x 2y 是同类项，求 a - b 的值．⎪⎪ a = ⎪b = 1【例18】 如果 - x m -3 y 2 + x 2 y 2 是五次多项式，求 m 的值．【例16】 合并下列同类项（1） 0.12x 2y + 0.15x 2 y 2- 0.1y 2x + 1（2） 3x n +1 y 2 - 4 x n y n - 2 y 2 x n +1 - y 2 x n +1 ；（3） 0.8a 2b - 6ab - 3.2a 2b + 5ab + a 2b ．【难度】★★【答案】（1） 0.62 x 2 y + 0.15 x 2 y 2 - 0.1y 2 x ； （2） -4 x n y n ； （3） -1.4a 2b - ab ．【解析】（1）原式 = (0.12x 2 y +1（2）原式 = (3x n +1 y 2 - 2x n +1 y 2 - x n +1 y 2 ) - 4x n y n = -4x n y n ；（3）原式 = (0.8a 2b - 3.2a 2b +) + (-6ab + 5ab) = -1.4a 2b - ab ．【总结】本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可．13【难度】★★【答案】 32⎧a + b = 2【解析】由题意，可得： ⎨⎩a - 3b = 1【总结】本题主要考查同类项的概念．79 【难度】★★【答案】6【解析】由题意得 m - 3 + 2 = 5 ，m = 6 ．【总结】本题主要考查几次几项式的概念．【例20】 已知： x = 3 ， y = 1 ．求 3x 2 - ⎡2xy 2 - 2(3x 2y + xy 2)⎤ 的值．【解析】 3x 2 - ⎡2xy 2 - 2(3x 2y + xy 2)⎤ = 3x 2- 2xy 2+ 6x 2y + 2xy 2= 3x 2+ 6x 2y ．【例19】 已知 x < -4 ，化简： 2 - x + 3 x + 4 - x - 4 ．【难度】★★【答案】 -4x - 16 ．【解析】因为 x < -4 ，所以 -x > 0 ， x + 4 < 0 ， x - 4 < 0 ．所以 2 - x + 3 x + 4 - x - 4 = -2x - 3x - 12 + x - 4 = -4x -16 ．【总结】本题一方面考查绝对值的化简，另一方面考查合并同类项．⎣⎦【难度】★★【答案】81 或-27．⎣⎦因为 x = 3 ， y = 1 ，所以可得 x 2 = 9 ，y = ±1 ．当 x 2 = 9 ，y = 1 时， 3x 2 + 6x 2 y =81；当 x 2 = 9 ，y = -1 时， 3x 2 + 6 x 2 y = -27 ．【总结】本题主要考查合并同类项及多项式求值的问题．【例21】 多项式 5x 2 - 2mxy - 3 y 2 + 4xy - 3x + 1 中不含 xy 项，求 -m 3 + 2m 2 - m + 1 - m 3 - 2m 2 + m - 4 的值．【难度】★★★【答案】 -19 ．【解析】因为多项式 5x 2 - 2mxy - 3 y 2 + 4xy - 3x + 1 中不含 xy 项，所以 -2m + 4 = 0 ，解得 m = 2 ．所以 -m 3 + 2m 2 - m + 1 - m 3 - 2m 2 + m - 4 = -2m 3 - 3 = -2 ⨯ 23 - 3 = -19 ．【总结】本题一方面考查合并同类项的概念，另一方面考查对多项式中不含某一项的理解．取值无关，所以可得：⎨，解得：⎨．a+3=0b=1（（3【例22】已知代数式(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x-y-1)，（1）当a=________，b=___________时，此代数式的值与字母x，y的取值无关．（2）在（1）的条件下，多项式3(a2-2ab-b2)-(4a2+ab+b2)的值为_______．【难度】★★★【答案】（1）-3，1；（2）8．【解析】1）原多项式可以化简为：2-2b)x2+(a+3)x+7，因为代数式的值与字母x，y的⎧2-2b=0⎧a=-3⎩⎩（2）∵3(a2-2ab-b2)-(4a2+ab+b2)=3a2-6ab-3b2-4a2-ab-b2=-a2-7ab-4b2，⎧a=-3∴当⎨时，-a2-7ab-4b2=-(-3)2-7⨯(-3)⨯1-4⨯12=8．⎩b=1【总结】本题主要是理解代数式的值与某一项无关时，则说明相关项的系数为零．【例23】一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（）那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，若用剪刀在虚线a、b之间把绳子再剪（n－2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是多少？（用n表示）图（1）图（2）图（3）【难度】★★★【答案】4n+1．【解析】当n=1时，绳子的段数由原来的1根变成5根，即多出4根；当n=2时，绳子为1+8段，多出8段．即每剪一次，就能多出4段绳子；所以当剪n次时，多出4n条绳子，即绳子的段数为4n+1．【总结】本题是一道规律题，主要考查学生的理解能力和观察能力．2ab2，b，3，x+x2，m2n-mn+3n-2，3，x+y，x2+【答案】单项式：ab2，；多项式：x+x2，m2n-mn+3n-2，3；3，x2+x；二次多项式：x2+x；整式：ab2，11x-23，x+x2，m2n-mn+3n-2，3，x+y．3，22a3b4，x，-3，3x+1，abc3，abc；22a3b4的系数是4，次数是7；-xy3的系数是-，次数是2；随堂检测【习题1】讲下列代数式分别填入相应的括号内：1a113x-211x2-3单项式（）；多项式（）；二项式（）；二次多项式（）；整式（）．【难度】★11 231x-2 2二项式：x-21231【解析】本题主要考查的是单项式、多项式以及整式的相关概念．【习题2】下列代数式中那些是单项式？并指出这些单项式的系数和次数：x-15xy【难度】★【答案】单项式有：22a3b4，-xy13abc的系数是1，次数是3．【解析】本题主要考查的是单项式的次数和系数的概念，比较基础．a （1） x 4 + 2x 2 - 1； （2） 2ab + ； （3） a 3 + 2ab 3 + b 3 - a 3b ； （4） ．【答案】 x 4 + 2x 2 - 1和 a 3 + 2ab 3 + b 3 - a 3b 是多项式，其中 x 4+ 2x 2 - 1是四次三项式，【习题5】若 -9a 3m +2b 5 m - 5 n 与 a 2b 是同类项，求 m ， n 的值． 【答案】 m = 0 ， n = - ．⎧m = 0⎪⎪ 3 m + 2 = 2【解析】由同类项的概念，可得 ⎨ ，解得： ⎨ 5 ． ⎪ m - n = 1 ⎪⎩23 3 3 b ⎩ b c【习题3】 写出下面式子的同类项（写出一个即可）：5x 2 y πc 11a（1） ； （2） - ； （3） xy 7 z 2 ；（4） π ．6 2【难度】★【答案】（1） 3x 2 y ；（2） -3c 11 ；（3） -3xy 7 z 2 ；（4）0．【解析】本题主要考查同类项的概念．【习题4】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式．4 a x + y5 b x【难度】★ 4 4 5 5a 3 + 2 ab + b - a 是四次四项式．【解析】（2）和（3）分母中都含有字母，不是整式．【总结】本题主要考查多项式的概念以及几次几项式的概念．1 2 2【难度】★★52⎧ 1 ⎪ 2 2 n =- ⎪ 55【总结】本题主要考查同类项的概念．【习题6】同时都含有 a ，， ，且系数为1 的 7 次单项式共有（A ．4B ．12C ．15D ．25【难度】★★【答案】C）个【解析】a 、b 、c 的系数分别是 1、1、5； 1、2、4；1、3、3； 1、4、2；1、5、1；2、1、4； 2、2、3； 2、3、2； 2、4、1；3、1、3；3、2、2；3、3、1；4、1、2；4、2、1；5、1、1，共有 15 个．【总结】本题主要考查单项式的次数的概念．【解析】由题意可得： ⎨ ，解得： n = 0 ．y【解析】由题意得： ⎨，解得： ⎨ ，所以 a + b = 1 - 3 = -2 ． -b - 3 = 0 b = -3【解析】由题意得： ⎨ ，解得： ⎨ 或 ⎨ ．当 ⎨ 时， m 2 - 2mn + n 2 = 1 ； 当 ⎨ 时， m 2 - 2mn + n 2 = 25 ． y【习题7】填空：若单项式 (n - 2)x 2 y 1-n 是关于 x ， 的三次单项式，则 n = 【难度】★★【答案】0⎧⎪ 1 - n = 1 ⎪⎩n - 2 ≠ 0【总结】本题主要考查与单项式有关的概念，解题时注意对题意的准确理解．【习题8】将多项式 x 2 y - 4 x y 2 + 2 x 3 y - 1 按 x 的降幂排列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项．【难度】★★【答案】按 x 的降幂排列为：2x 3 y + x 2 y - 4xy 2 - 1 ；是四次四项式；系数最小的项是 -4 x y 2 ．【解析】本题考查的是与多项式有关的概念，注意对概念的理解．【习题9】若多项式 x 4 - ax 3 + x 3 - 5x 2 - b x - 3x - 1 不含 x 的奇次项，求 a + b 的值．【难度】★★【答案】 -2 ．⎧-a + 1 = 0 ⎧a = 1 ⎩ ⎩【总结】本题主要考查多项式的合并，另外要准确理解多项式中不含某一项的含义．【习题10】 多项式 5x 2 y m + (n - 3) y 2 - 2 是关于 x ， 的四次二项式，求 m 2 - 2mn + n 2 的值． 【难度】★★【答案】1 或者 25⎧ |m | = 2 ⎧m = 2 ⎧m = -2 ⎩n - 3 = 0 ⎩n = 3 ⎩n = 3⎧m = 2 ⎧m = -2 ⎩n = 3 ⎩n = 3【总结】本题一方面考查四次二项式的概念，另一方面要注意m 的值有两种情况注意讨论．【习题12】化简： a 3b 2 - a 2b - 2ab + 5a 3b 2 - + + 3ab + ba 2．【答案】 a 3b 2 + a 2b + ab +【解析】原式=（ + 5）a 3b 2 + ( - )a 2b + (3 - 2)ab - + = a 3b 2 + a 2b + ab + ．n【习题11】 去括号，再合并同类项： 2 (x3 - x 2 + 2x - 4)- (x 2 + 3x - 10)．【难度】★★【答案】 2x 3 - 3x 2 + x + 2 ．【解析】原式= 2x 3 - 2x 2 + 4x - 8 - x 2 - 3x + 10 = 2x 3 - 3x 2 + x + 2 ． 【总结】本题主要考查合并同类项的方法．5 1 1 5 26 3 3 6 3【难度】★★35 1 16 3 25 2 1 1 5 35 1 16 3 3 3 6 6 3 2【总结】本题主要考查合并同类项，在计算的过程中注意符号．【习题13】 设 m ， 表示正整数，多项式 x m + y n - 4m +n 是几次几项式？ 【难度】★★★【答案】m 或 n 次三项式（m 、n 中较大的数）．【解析】由于 4m +n 是常数项 ，所以（1）当 m >n 时，是 m 次三项式；（2）当 m <n 时，是 n 次三项式．【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指数无关．【习题14】 一个多项式按 x 的降幂排列，前几项如下： x 10 - 2 x 9 y + 3x 8 y 2 - 4 x 7 y 3 + ... 试写出它的第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式？【难度】★★★【答案】第七项是： 7 x 4 y 6 ，最后一项是：11y 10 ，这个多项式是七次十一项式．【解析】由于每项的系数的符号按正负交替变换的，系数的绝对值依次加1，字母 x 的次数依次减 1，字母 y 的次数依次加 1，可知第七项和最后一项分别为 7 x 4 y 6 ，11y 10 ．【总结】本题是一道规律题，注意对题意的准确理解．【答案】（1）1；（2）．】2．，-5，3mn-m，3y，多项式：x+3y，4a2-a+7，a-b整式：-ab，πR2，-5，3y，x+3y，4a2-a+7，a-b【习题15】已知(2x-1)7=a+a x+a x2+...+a x7对任意x的值都成立，求下列各式的值：0127（1）a+a+a+...+a；（2）a+a+a+a．01271357【难度】★★★1+372【解析（1）由于(2x-1)7=a+a x+a x2+...+a x7对于任意x的值都成立，所以可令x=1，0127从而可求出代数式a+a+a+...+a=1；0127（2）令x=-1，可得a-a+a-...-a=-37，再与a+a+a+...+a=1相减除以2，01270127即可得出a+a+a+a=13571+37【总结】在本题中要注意x=1和x=-1的特殊含义．课后作业【作业1】下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？-ab，πR2，x+3y，4a2-a+7，b1a-ba3．【难度】★【答案】单项式：-ab，πR2，-5，3y；3；3．【解析】本题主要考查了单项式和多项式的概念．【作业2】指出下列多项式是几次几项式，并指出系数最小的项：（1）13y-2xy-18x3y-7x2y2；（2）-3xy2-5x2y-x3y+2y-1．【难度】★【答案】（1）是四次四项式，系数最小的项是-18x3y；（2）是四次五项式，系数最小的项是-5x2y．【解析】多项式的次数是根据每一个单项式的最高次数定的．【作业3】合并同类项：（1）3x3-2x3-x3；（2）4a2+a-5-6a3+1-4a2+3a3；（3）4x2-8x+5-3x2+6x-2．【难度】★【答案】（1）0；（2）-3a3+a-4；（3）x2-2x+3【解析】（1）原式=(3-2-1)x3=0；（2）原式=(-6+3)a3+(4-4)a2+a-(5-1)=-3a3+a-4；（3）原式=(4-3)x2-(8-6)x+(5-2)=x2-2x+3．【总结】合并同类项的关键是将同类项的系数相加减．【作业4】将多项式a5-3a4b-11a2b3-b5+7a3b2+6ab4（1）按a的降幂排列；（2）按b的降幂排列．【难度】★★【答案】（1）a5-3a4b+7a3b2-11a2b3+6ab4-b5；（2）-b5+6ab4-11a2b3+7a3b2-3a3b+a5．【解析】注意审题，看清楚题目的要求．【作业5】若 -0.11x a +b y a -b 与x a -1 y 3是同类项，求 a ， b 的值． ⎩ a - b = 3 ，解得： ⎨⎩b = -1【作业6】若 x 4a y 4 z b 和 7 x 8 y a -2c 是同类项，求 a + b + c 的值．【解析】由题意可得： ⎨4 = a - 2c ，解得： ⎨b = 0 ，所以 a + b + c = 2 + 0 - 1 = 1 ． ⎪b = 0 ⎪c = -1 （1） x 2 y - x 2y ；（3） 3x 2 y - xy 2 - 3 3 xy 2 + 2x 2 y -y 2 x ．【答案】（1） x 2 y ；（2） -2ab ；（3） x 2y - 2 3 xy 2 ．【解析】（1）原式 = (1- ) =5 x 2y ；（3）原式 = (3 - 32 x 2 y - xy 2 ．5 9【难度】★★【答案】 a = 2 ， b = -1 ．⎧a + b = a - 1 ⎧a = 2 【解析】由题意可得： ⎨．【总结】本题主要考查同类项的概念．13【难度】★★【答案】1．⎧4a = 8 ⎧a = 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩【总结】本题主要考查同类项的概念．【作业7】合并同类项： 1 5（2） 4a 2 + 3b 2 + 2ab - 4a 2 - 3b 2 - 4ab ；1 32 yx 2 + 2【难度】★★4 7 521 4 5（2）原式 = (4 - 4)a 2 + (3 - 3)b 2 + (2 - 4)ab = -2ab ；1 2 7 22 + 2)x 2 y + (-3 + 3 - 1)xy 2 = 3【总结】合并同类项的关键是合并同类项的系数．5m 3 + 3m 2n - 6mn 2 + 9n 3 =_______________． 5m 3 + 3m 2 ⨯ (-2m ) - 6m ⨯ (-2m )2 + 9 ⨯ (-2m )3 = 97 ．【作业10】 如果 -a m -3 b 与 ab 4n 是同类项，且 m 与 n 互为负倒数，求⎝ 4 - 4 ⎪- m - 11 值．n - mn - 3⎧⎪ m - 3 = 1 1 4 ，又因为 m 、n 互为负倒数，所以 m = 4 ，n = - ．所以 n - mn - 34 ． ⎝ 4 - 4 ⎪- m - 11 = n - mn - m + 1 = - + 1 - 4 + 1 = -⎩【作业8】边长分别为 a 和 2a 的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积．【难度】★★【答案】 2a 2．2a1【解析】 S 阴 = S 正1 + S 正2 - S 三角形 = 4a 2 + a 2 - 2 ⨯ 2a ⨯ 3a = 2a 2 ．【总结】本题主要考查整式的运算在几何图形求面积中的运用．2a aa【作业9】设 m 和 n 均不为零， 3x 2 y 3 和 -5x 2+2m +n y 3 是同类项，则3m 3 - m 2n + 3mn 2 + 9n 3【难度】★★★【答案】 5597【解析】由题意可得： 2 + 2m + n = 2 ，解得 n = -2m ．所以原式= 3m 3 - m 2 ⨯ (-2m ) + 3m ⨯ (-2m )2 + 9 ⨯ (-2m )3 -55m 3 55 -97m 3 =【总结】本题主要考查同类项的概念和整体代入思想的运用．13⎛ m ⎫ 1⎭ 4 【难度】★★★【答案】【解析】由题意可得： ⎨ ，解得： m = 2 或者 m = 4 ， n = ± ⎪ 4n = 114⎛ m ⎫ 1 1 9 ⎭ 4 4 【总结】本题综合性较强，解题时注意对每一个条件的准确理解和运用．。
七年级整式知识点大全
七年级整式知识点大全整式在初中数学课程中是一个非常重要的知识点，是初中代数的基础。
学好整式对于后面的数学学习有着非常重要的作用。
本文将为大家讲解七年级整式知识点，包括定义、加减乘除四则运算等方面的内容。
一、整式的定义整式是一类以字母和数字为基本元素，仅包含加减和乘法运算的数学表达式。
常见的整式有单项式和多项式两种，其中单项式指只包含一个项的整式，多项式指包含多个项的整式。
例如，2x+3y和4x^2+5xy-6y^2就是两个多项式。
二、单项式的基本性质单项式可以看做是数字与字母的乘积，其中的数字叫做系数，字母叫做未知数。
对于单项式的基本性质，我们可以总结如下几点：1. 系数可以是整数、分数、甚至是负数。
2. 未知数的指数可以是自然数、0或负整数。
当指数为0时，该项的值为1。
3. 同一未知数可以有多个，不同未知数之间可以相乘。
例如，2x和-3/4xy^2就是两个单项式。
三、多项式的基本性质多项式是由单项式相加或相减而成，通常用多个单项式相加或相减的形式表示。
对于多项式的基本性质，我们可以总结如下几点：1. 多个单项式相加或相减得到的式子称为多项式。
2. 每一个单项式在多项式中称作一项。
3. 不同项之间可以相加或相减。
4. 多项式中各项的次数可以不同。
例如，2x+3y和4x^2+5xy-6y^2就是两个多项式。
四、整式的加减法整式的加法是指将相同次数的单项式或多项式相加，得到一个新的同次数的单项式或多项式。
整式的减法和加法是类似的，只需要将相同次数的单项式或多项式相减即可。
例如，(2x+3y)+(4x-5y)就可以化简为6x-2y，(4x^2+5xy-6y^2)-(2x^2-3xy+7y^2)就可以化简为2x^2+8xy-13y^2。
五、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个单项式或多项式相乘，得到一个新的单项式或多项式。
在进行整式的乘法时，需要遵循以下原则：1. 我们可以先将系数相乘，再将未知数相乘，最后将得到的系数和指数相乘。
7年级上册数学电子课本(带答案)
7年级上册数学电子课本(带答案)7年级上册数学电子课本带答案第一章整式的基本概念1.1 整式的定义和性质整式的定义：由有限个同一变量的变量、常数和它们的积或商的有理数指数幂组成的代数式称为整式。
整式的性质：(1)整式的项有多项式项和常数项两种；(2)整式的次数是指所有单项式次数的最大值；(3)同次异项相加得同次项；(4)同底数指数幂相乘，指数相加；(5)整式可以化简成同类项相加的形式。
1.2 多项式的概念和运算多项式的定义：只含有同一个变量的各项代数和式称为多项式。
多项式的运算：(1)同类项之间可以相加减；(2)多项式和多项式相加减；(3)多项式和数相乘。
1.3 整式的因式分解因式分解的步骤：(1)提公因式；(2)区分平方差公式、立方差公式、两数平方差等特殊公式；(3)配方法；(4)求根公式。
第二章一元一次方程2.1 一元一次方程的概念一元一次方程的定义：形如ax+b=0(a≠0)的式子称为一元一次方程，其中x是未知数，a和b是已知数。
2.2 一元一次方程的解法(1)移项法；(2)等式两边乘以相同的数；(3)约分；(4)去分母。
2.3 较复杂的运算问题第三章图形的基本概念3.1 图形的基本概念和性质图形的基本概念和性质：(1)点、线、面的概念；(2)图形的相似和全等性质；(3)图形的投影和投影的性质。
3.2 平面几何问题的解法平面几何问题的解法：(1)全等三角形的性质；(2)相似三角形的性质；(3)平行四边形的性质。
第四章勾股定理4.1 勾股定理的概念勾股定理的定义：直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。
4.2 勾股定理的应用(1)求一条直角边；(2)求斜边；(3)证明两个角是否为直角；(4)在平面直角坐标系中求距离和中点坐标等。
第五章平面向量5.1 平面向量的概念和性质平面向量的定义：既有大小又有方向的量称为向量。
平面向量的性质：(1)向量的加法和减法；(2)数与向量的乘法；(3)向量的数量积和向量积的概念和计算公式。
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注：单独的一个数或字母也是代数式
单项式
整式 多项式
π是常数
代数式
x
分式 (关键分母里有字母)
π
八年级下
✔
式
等式
根式 (关键有根号) (关键有“=”) x=2
例2(利用系数、次数的概念求参数的值)(1)若－2ax3y|n－3|是关于x，y的单项式且系数是8，次数是4求a， n的值 (2)多项式(a－4)x3－xb+x－b是二次三项式求a与b的差
解析(1)关于x，y的单项式说明只把x，y视作字母其他作为常数处理所以在进行单项式次 数运算时，只需将x，y次数相加 由题意 －2a=8，3+|n-3|=4 a=－4，n=2或4 (2)a－4=0，b=2， a=4，b=2 a－b=2
4和7易混淆
拓展那一个三位数可表示为什么呢？
例1(基本知识的考察)(1)单项式－5xmy与－2a2b2次数相同则m= 。
(2)－3π3ab的系数为 ，次数为
。
(3)多项式－3x2y+2x2-1是 次 项式其中常数项是 ，二次项系数为
。
答案：(1)m+1=2+2⇒m=3 (2)－3π3，2
(3)三，三，－1，2
4.a与b的平方和
。
5.a与b和的平方
。
6.a的平方与b的和
。
7.a与b的平方的和
。
8.5除以m与1的和的商表示为
方法与技巧看最后一个字 。
9.有一个两位数十位数字为a个位数字为b这个两位数可表示为
疑问(a＋b)²与a²＋b²不相等吗？
方法与技巧看最后一个字
归纳:一个两位数=十位数字×10+个位数字
步骤1.先确定每一项(带上符号) 2.确定每一项的次数 3.比较每一项的次数大小并排序
1.3x-2x3-3x4+5是按升幂排列吗？
1.先确定每一项(带上符号) 2.确定每一项的次数(对于多项式
2.按照x的次数对x2+y2+x3+y4+y+x进行降幂排列 3.(k+1)x4+xm+1y+x+b是按照x的降幂排列的三次二项式求k，m，
中不止一个字母只看x的次数，y 的项不含x视作0次)
3.比较每一项的次数大小并排序
b的值
升降幂的意义——好看 1.美观，整齐 2.易分辨，对于后面的整式加减易找到对应的项
文字语言化符号语言
1.把原价为m元的某种商品降低40%销售，则降价后的商品价格为 。
2.x的5倍与6的差
。
3.x与2和的平方为
。
-3π
5x3
x＞2
1-5x3
-a
x-3
x=2
5≥2
2. 5x2y2+3xy+x2y2z－1的次数是
。
1.先找多项式的每一项 2.算出每一项的次数 3.找最大，得出答案
多项式的升降幂排列
复习幂:乘方的结果 升幂:把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来 降幂:把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来
(整体思想)已知14x+5－21x2=－2，求6x2－4x+5
解题思路如果可以求出x再将x的值带入即可得到答案但显然这个方法行不通 ，那可以试着用整体带入的方法 解决问题 答案解:∵14x+5－21x2=－2 可得+3x2－2x=1 6x2－4x=2 6x2－4x+5=7
两道题中单项式有什么不同。
-33 a6b2c
-π5 a6b2c
字母前的数字不同
3.单项式的系数：单项式中的数字因数叫这个单项式的系数(与字母无关)
分别写出下列单项式的系数和次数
-π5a6b2c
2abmn
单项式字母前没有写数字系数是1而不是0
系数不是3 眼睛被骗 了������
5
对于一个单独非0的数规定他的次 数是0
下列式子是不是单项式？如果不是说明理由。
π是数字表示圆周率
-3π
x33
(数×字母)
有人会狭隘的认为不涉及加减就 不可以出现”-”和“+”这种想法是 错误的！！！
x＞2
1-5x3
x=2
5≥2
单项式一定是整式，整式不一定 是单项式，不是整式就不可能是 单项式
(数×字母)
单项式的书写规范
• 圆周率π是常数，-3πab的系数是-3π • 如果单项式的系数是1或－1通常省略不写如－ab的系数是－1 • 代数式的书写顺序都是按照符号+数+π+字母 • 有关符号书写乘法：因为×易与字母x混淆所以我们用点乘符号“·”代替“×”如2·x，a·b
等但数字×数字不可用“·”14·0.88是错误的书写方式 • 除法：在数的运算中除法可以用除号或分数形式表示如2÷7=2/7 • 单项式的次数只与字母的指数有关与系数无关 • 如果单项式的系数是分数应写成假分数的形式而不能用带分数的形式
2.单项式的次数:一个单项式中所有字母的指数之和(几个字母相乘)
ab2=a·b·b 3个字母相乘 4a2b2=4·a·a·b·b 4个字母相乘
a1b2 4a2b2
1+2=3 2+2=4
1.单项式-33a6b2c的次数是 2.单项式-π5a6b2c的次数是
。
1.只看字母指数
。
2.没标指数的字母记得补“1”
2=2 3=2
(恒等式) (条件等式) (矛盾等式)
不等式 (关键有“不等号”≠，＞，＜，≥，≤)
下列式子是不是代数式？如果不是说明理由。
-3π
5x3
x＞2
1-5x3
-a
x-3
x=2
5≥2
二、单项式
只涉及乘除乘方不涉及加减
1.定义：数或字母乘积的式子，单独的一个数或一个字母也是单项式(所有的有理数都是单项式)
二、多项式
带符号
1.定义：几个单项式的和在多项式中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项
2x2+3x－1
2x2 + 3x + －1
-1也是单项式(叫常数项)次数记为0
项
2x2
3x1
0次
二次项 一次项 常数项
到底这个多项式的次数是几？
2.多项式的次数:一个多项式中最高次项的次数
1.下列式子是不是多项式？如果不是说明理由。
单项式与多项式
大数学家解决数学问题的手稿
都是代数符号
首先我们先学习代数中最基础的用字母表示数，其实我们并不陌生
a S=ab
ab 乘法
b
用字母表示数 a2
乘方
a S=a2 C=4a
4a 乘法
想一想 便想一个自然数，将这个数乘5减7再把结果乘2加14按照上面的方法计算得到的数个位数一定是 多少？
例4某商店出售一种商品原价为a，有如下方案 (1)先提价10%，再降价10% (2)先降价10%，再提价10% (3)先提价20%，再降价20% 问这三种方案的结果是否一样，最后是否恢复了原价
解(1)先提价10%，(1+10%)a再降价10%，(1+10%)(1－10%)a=0.99a (2)先降价10%(1－10%)a，再提价10%(1－10%)(1+10%)a=0.99a (3)先提价20%(1+20%)a，再降价20%(1+20%)(1－20%)a=0.96a 方案一与方案二调价后的价格相同但与方案三不同，均没有恢复原价
例3有下列单项式－x，2x2，－3x3…－19x19，20x20 (1)由排列规律，写出第101.102个单项式 (2)进一步写出第n个，(n+1)个单项式
解:(1)－101x101 ，102x102 (2)n是奇数还是偶数呢？ 法1(分类讨论)若n为奇数，第n个单项式，第(n+1)个单项式。 若n为偶数时，第n个单项式，第(n+1)个单项式。 法2前面我们学了1的任何次幂是1，－1的奇次幂是－1，－1的偶次幂是1。所以可以用－1乘方的规律来调配符号 如果n为奇数那么系数为负数，故可用(－1)n控制符号，第n个单项式为(－1)nnxn， 第(n+1)个单项式(－1)n+1(n+1)xn+1 注意如何用-1的乘方调配符号