大学生数学建模-钢力学性能研究

A题：钢力学性能与合金元素关系的数学模型钢力学性能与合金元素关系的数学模型摘要：钢力学性能和合金元素关系的预测的数学模型预测方法有很多。

我们首先对数据进行分析拟合检验与异方差检验等，剔除异常数据。

模型一：运用逐步回归方法分析出钢力学性能与合金元素的回归关系。

模型二：利用神经网络对复杂非线形系统具有曲线拟合能力，使得预测模型具有良好的精度。

并将影响钢力学性能的几个主要因素：C元素的千分含量、Si元素的千分含量、Mn元素的千分含量、P 元素的千分含量、S元素的千分含量、V元素的千分含量、N元素的千分含量以及压缩比的值为神经网络的输入层，训练得到较好的钢力学性能与合金元素关系。

用此神经网络作短期预测的优点：结合了多个元素以及压缩比的影响因素，同时，神经网络模型比灰色系统、时间序列模型都要精确；缺点：预测不能做趋势外推。

最后利用线性优化求得在保证产品质量和各力学性能的前提下，找出最优配置方案。

关键词：BP神经网络数学模型力学性能线性优化多元线性回归一、问题重述：在当今世界的钢铁行业生产中，数学建模方法已经大量运用于钢铁行业生产的各个环节。

随着钢铁行业的迅速发展，降低钢厂的生产成本也越来越重要，通过建立数学模型可以达到精细化成本管理的目的。

一方面，可以把所得到的关系式运用到现实生产中去指导生产，可以节省大量的生产成本；另一方面，在开发高级别的钢的过程中，也可以借鉴建立的数学模型，对钢铁产品开发工作具有指导意义。

同时可对钢力学性能与合金元素之间的关系从定性的认识上升到定量的认识。

现有某钢厂的力学性能和合金元素数据，其中，压缩比当做合金元素来处理），在现有装备和现有生产工艺的条件下。

（1）对所给数据进行直观分析，考虑均值和方差的描述性分析。

（2）建立钢力学性能与合金元素之间的数学模型, 以寻找力学性能与合金元素之间存在的关系，并进行模型评价。

（3）在保证产品质量和各力学性能的前提下，使得总花费最小，找出最优配置方案。

二、模型假设1.假设样品生产过程中，加工设备，加工工艺相同2.假设不考虑其他因素对钢材力学性能的影响3.假设拉伸实验时样品的尺寸相同，不存在误差三、主要变量符号说明1X ：钢材中C 元素的千分含量 2X ：钢材中Si 元素的千分含量3X ：钢材中Mn 元素的千分含量 4X ：钢材中P 元素的千分含量5X ：钢材中S 元素的千分含量 6X ：钢材中V 元素的千分含量 7X ：钢材中N 元素的千分含量8X ：钢材压缩比的值1Y ：拉伸实验所测的样品的屈服点2Y ：拉伸实验计算所得样品的抗拉强度3Y ：拉伸实验计算所得样品的延伸率m ：所需钢材的重量S：对应的钢材的价格yi1、yi2、yi3：为所需钢材的力学性能四、模型的建立和求解问题1：对数据进行直观分析（SPSS处理数据）通过线性回归方程的计算得出压缩比对刚的屈服强度，抗拉强度，延伸率有最重要的影响，所以我们决定用压缩比的标准差作为评定其他因素偏离是否合理的标准。

一、由于压缩比的屈服强度标准差接近于23.31965C Si Mn S P V N影响因素标准差23.31965 23.31965 23.29135 23.31965 23.29135 23.31965 23.31965 综上表述，我们发现所以元素的标准差都小于23.31965，所以对于C,Si,Mn,S,P,V,N对屈服强度的影响确定是几乎准确的。

二、压缩比的抗拉强度标准差接近于20.73883C Si Mn S P V N影响因素标准差20.73883 20.73883 20.77847 20.73883 20.77847 20.73883 20.73883 综上表所述，我们发现除了Mn，P的标准差大于20.73883其他元素C,Si,S,V,N对于抗拉强度来说，他们的选取数据几乎是准确的。

一、压缩比的延伸率标准差接近于3.32089影响因素C Si Mn S P V N 标准差3.32089 3.32089 3.32392 3.32089 3.32392 3.32089 3.32089 综上表所述，我们发现除了Mn ，P 的标准差大于3.32089，其他元素C,Si,S,V,N 对于抗拉强度来说，他们的选取数据几乎是准确的。

问题2：刚力学性能与合金元素之间的数学模型 模型一： 多元回归分析方法 采用多重多元回归分析方法，非线性回归问题可通过引进新变量化为线性回归，建立各影响因素与预测值之间比较明确的线性关系．设有m 个自变量1x ，1x ，…，m x ，对应p 个因变量，1y ，2y ，…，p y 。

假定它们之间有线性关系：y1=ß01+ ß11X 1+ ßX 2+… + ßX m +ξ1 y1= ß02+ ß X 1+ ßX 2+ …+ ßX m +ξ2多元线性回归：y1=161.300+7.293X 1+0.435X 2+0.672X 3-0.208X 4-0.554X 5+0.311X 6+1.722X 7+3.862X 8 从关系式中看，屈服强度与C 、Si 、Mn 、P 、S 、V 、N 、压缩比存在线性关系，其中与P 、S 的含量成反比关系，与其他因素成正比关系，C 的含量对钢的屈服强度影响最大，C>压缩比>N>Mn>S>Si>V> P(绝对值大小比较)y2=254.403+9.561X 1+0.488X 2+0.821X 3+0.174 X 4-0.760 X 5+0.279 X 6+2.267 X 7+1.825X 8 y3=45.488-0.496 X 1+0.045 X 2-0.032 X 3-0.110 X 4+0.018 X 5-0.016 X 6-0.487 X 7+0.213 X 8模型二：BP神经网络1.模型选择钢力学性能和合金元素关系的预测的数学模型预测方法有很多，具体说来，常见的方法有以下几个方面：其一是简单的趋势外推。

合金元素按照一定的增长率变化，这相当于线形增长。

但合金元素含量变化曲线从来都不是线形延伸，所以线形模型可以拟和小范围内的序列。

其二是采用一个常用的模型给出预测结果。

模型的选择没有依据，没有考虑该模型是否符合合金元素含量变化。

其三是多种结果的加和平均，这是最常见的一种错误处理方法：将多种预测模型不分青红皂白地全套搬上，给出一系列的预测结果，然后取各项预测的平均值。

但是合金元素含量是复杂不确定变化的，能否用非线性映射表示合金元素含量这一非线性系统以提高模型精度？人工神经网络由于其神经元间非线性，是从输入到输出的高度非线性映射，使得模型具有良好的精度。

在短期预测中，神经网络模型比灰色系统、时间序列模型都要精确。

2、神经网络模型神经网络对复杂非线性系统具有曲线拟合能力，基于BP神经网络的时间序列预测方法只需以历史数据作为输入，通过抑制与激活神经网络节点自动决定影响性能的参数及其影响程度，自动形成模型，无需进行模型假设。

BP网络(backpropagation NN)是单向传播的多层前向网络，其网络除了输入和输出节点外，还有一层和多层的隐层节点。

输入信号从输入层节点，依次传过各隐层节点，然后传到输出节点。

每层节点的输出只影响下一层节点输出。

每个节点都是一个f x通常为S形函数(Sigmoid)等非线性函神经元结构，其单元特性即传递函数()数.S 状曲线常常是在(0，1)或者(-1，1)内连续取值的单调可微分的函数，如1()1exp()f x x =+-。

BP 网络可看成是一从输入到输出的高度非线性映射，即:,()n m f R R f x Y →=。

BP 神经网络的算法：反向传播是通过误差函数求导使误差沿网络向反传播,对误差函数求导以确定各层神经元误差的方法.前向传播是输入d x 进入网络,信息在网络中前进移动的方向,次计算j j t ,α直至输出k y 的过程.学习样本集为,cd d N R p t p R x x x p x ∈=∈==),,(,),,(,},{111ααααααααα分别为网络系统的输入和期望输出,而网络系统在输入αx 时的实际计算输出,误差函数为∑∑====Nc N y y E E E 111),,(αααααα∑==∂∂=∂∂Ns jis ji s w E w E 1)()(,1,αα2 分析)(s ji w E ∂∂α与误差的关系,而利用上式得)(s jiw E∂∂与误差的关系.分别称c k E kk,,1,2=∂∂=αδα和M j E j j ,1,0,)1(=∂∂=αδα为第k 个输出元和j 个隐元的误差率,计算可得kk k k k k ky E y y E E ∂∂'=∂∂∂∂=∂∂=ααααϕααδ)(2 ∑=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=ck jj j k k k k j jt t y y E E 1)1(ααααδαα 同时又可得j k kjk k kj t w E w E 222δαααα=∂∂∂∂=∂∂ i i jij j ji x w E w E )1()1()1(δαααα=∂∂∂∂=∂∂, 在计算中,先计算输出层误差)2(k δ,再计算隐层误差)1(j δ,称误差反向传播.可设计求解sij w 的最小二乘法或梯度法得学习规则∑=-=∆Njk kj t w 1)2(ααδη∑=-=∆Ni j jix w1)1()1(ααδη如果学习规则仅限当前输入,算法称为在线学习规则.j k ki t w 2ηδ-=∆i j ji x w )1()1(ηδ-=∆误差反向传播学习算法step1 给出权重和阀值的初值)0(),0()1(kj ji w w ,选择学习效率0>η step2 t 次迭代值)(),()1(t w t w kj ji 已知,正向过程,对N ,,1 =α,次计算αααk k j j y t ,,,反向过程,对N ,,1 =α,次计算)(2t k αδ和)()1(t j αδ如2k δ和)1(j δ迭代过程,计算第1+t 次权重 ∑=-=+Njkkj kj t t t w t w 12)()()1(αααδη∑=-=+Nijjiji x t t w t w 1)1()1()1()()()1(αααδηstep3 得序列 )}(),(),(),({)1(2)1(t w t w t t kj ji k j ααδδ直到满足停机准则3、模型的建立根据合金元素和压缩比与刚力学性能的特点以及题目要求，为了体现7种合金元素和压缩比对屈服、抗拉强度和延伸率的影响特点，我们设有8个输入层，其分别为C 元素的千分含量、Si 元素的千分含量、Mn 元素的千分含量、P 元素的千分含量、S 元素的千分含量、V 元素的千分含量、N 元素的千分含量以及压缩比的值。