北师大 数学必修2立体几何初步 第7.2节 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积

7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积【5分钟训练】1.(1)柱体的体积公式 ;圆柱的体积公式 . (2)锥体的体积公式 ;圆锥的体积公式 . (3)台体的体积公式 ;圆台的体积公式 . 答案: (1) 2,V Sh V r h π==柱体圆柱;(2) 211,33V Sh V r h π==锥体圆锥;(3) 1()3V h S S '=台体,221()3V h r rR R π=++圆台.2.若长方体中过同一顶点的三个面的面积分别为123,,S S S ,则长方体的体积为( )B.123S S S ⋅⋅ 答案:B3.若棱柱和圆柱的侧面积相等,高相等,它们的体积分别为V 、V ',则一定有( ) A.V V '> B.V V '= C.V V '< D. V 和V '大小不定 答案:C4.正方体ABCD 的边长为1,E 、F 分别为BC 、CD 的中点,沿AE 、EF 、AF 折成一个三棱锥,使B 、C 、D 三点重合,则这个三棱锥的体积为( )A.18 B. 124 C.24答案:B 提示: 11111322224V =⨯⨯⨯=. 5.正四棱台的斜高与上下底面边长之比为5:2:8,体积为14,则棱台的高为 cm 3.答案:2cm提示:设斜高与上下底面边长分别为5,2,8a a a ,可求得正四棱台的高为4a ,由体积公式可计算得22234(46416)284143a V a a a a =++=⨯=,解之得12a =,由此可得高为2cm.【10分钟训练】1.,则这个长方体的体积为( )A. 6B.C. 3D. 答案: B解析:设长,宽,高分别为,,a b c ,则ab ac bc =,解这得V abc ==故应选B.2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S,那么圆柱的体积为( )答案:A解析:设底面半径为r,则24r S π=,∴r =,∴22322(2V r h r r ππππ==⋅==柱故应选A. 3.圆柱的侧面展开图是长为12cm,宽8cm 的矩形,则这个圆柱的体积为( ) A.3288cm πB.3192cm πC.3288cm π或3192cm πD. 3192cm π 答案:C解析:若212,8r h π==,则226288()8V r h ππππ==⨯=柱;若28,12r h π==,则224192()12V r h ππππ==⨯=柱,故应选C.4.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为( )A.B.C.答案:B解析:∵2266S S ====下上∴11()233V h S S =⋅=⨯⨯=下台上.故应选B.5.圆锥的侧面展开图是半径为2的扇形,其面积是2π,那么圆锥的体积是 .答案解析:圆锥的底面半径为1,母线长为2,其高h =,2113V π=⨯圆锥 6. 已知一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长_______.答案:22解析: 正四面体可以补成一个正方体，正方体的体积为 3V 正四面体=3·72=216， 则正方体的棱长为3216=6，而 EF =31BD ，BD 为正方体的对角线， 所以BD =62，EF =22.7. 已知正三棱锥的侧面积为183cm 2，高为3 cm,求它的体积.解: 设正三棱锥底面边长为a ,斜高为h ′，底面内切圆半径为r . ∵S 侧=183, ∴.318321='⋅⋅h a 又∵h =3,r =.129,632a h a +=' ∴,3181293212=+⋅⋅a aC A 1C 1解得a 2=36,∴S 底=39432=a . ∴V 三棱锥=3939331=⨯⨯ (cm)3.8. 直四棱柱1111ABCD AC B D -的侧棱1AA 的长是a ，底面ABCD 是边长AB=2a ，BC=a 的矩形，E 为11C D 的中点.(Ⅰ)求证:平面BCE ⊥平面BDE; (Ⅱ)求三棱锥1B BDE -的体积. 解: (Ⅰ)∵直四棱柱1111ABCD AC B D -的侧棱1AA 的长是a ，底面ABCD 是边长AB=2a ，BC=a 的矩形，E 为11C D 的中点.∴a CE DE 2==，∴DE ⊥CE , 又∵a EB a DB 3,5==∴DE ⊥EB ,∴DE ⊥平面EBC, 又∵DE ⊂平面EBD,∴平面EBC ⊥平面EBD.(Ⅱ)∵11||D B BD ,∴ B D E D B ||11 ,∴112131136B BDE D BDE B DD E DD E V V V S BC a ---===⋅⋅=, ∴三棱锥1B BDE -的体积为361a .【30分钟训练】1.棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 是CC 1上两动点，且PQ=1，则三棱锥P —AQD 的体积为（ ）A ．8B ．316 C ．3 D ．38 答案:D解析: 111332P AQD A PQD PQD V V S AD PQ DC AD --==⨯⋅=⨯⋅⋅ 118144323=⨯⨯⨯⨯= , 故应选D . 2. 三棱台111ABC A B C -的上底111A B C ∆面积为4，下底ABC ∆面积为9，且三棱锥1A ABC -的体积为9，则三棱台111ABC A B C -的体积为( )A. 19B. 18C. 573D. 763答案:A解析: 设三棱台的高为h ,则119933A ABC V h h -=⨯⨯=⇒=,∴13(49)193V =⨯⨯=三棱台,故应选A. 3.如图所示，在多面体ABCDEF 中， 已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF//AB ，EF =32，EF 与面AC 的距离为2，则该多面 体的体积为（ ）A.92B. 5C. 6D.152答案: D解析: 将几何体补成一个三棱柱SAD-FBC , 则三棱锥 S-AED 的体积为三棱柱的体积的16,又三棱柱的 体积为133292⨯⨯⨯=, 即得几何体的体积为 515962⨯=,故应选D. 4. ||y x =,3y =围成的封闭平面图形绕y 轴旋转一周所得的体积与绕x 轴旋转一周所得的体积的比是( )A. 4:1B. 1:4C. (14+) D.以上都不对 答案: B解析:若绕y 轴旋转一周,可得底面半径为3,高为3的圆锥,这时213393V ππ=⨯⨯=,若绕x 轴旋转一周,可得一个底面半径为3高为6的圆柱,并在两底面上各挖去一个等底且高为3的圆锥,所以222236333633V πππ=⨯⨯-⨯⨯=, ∴12:9:361:4V V ππ==,故应选B. 5. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A. 63cmB. 6cmC. 2183cmD. 3123cm答案:B解析:根据体积相等可得水面的高度是6cm , 故应选B .6. 水平桌面上放置着一个容积为V 的密闭长方体玻璃容器ABCD —A 1B 1C 1D 1，其中装有V 21的水．①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD 保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；②在①中的运动过程中，水面始终是矩形;③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点； ④在③中水与容器的接触面积始终不变．以上说法正确的是__________ (把所有正确命题的序号都填上)答案: ①②③④F D A B CA 1B 11D 1H G 解析:本题在运动中考查对几何体性质的理解，且在题型上具有一定的开放性．在第一种运动中，AD 棱始终在水平桌面上，这就意味着AD 始终与水面平行，故AD 与平面ADD 1A 1和水面的交线平行，故水面和ADD 1A 1及BCC 1B 1两平面的交线都与AD 、BC 平行，从而这两条交线与ABB 1A 1面垂直，从而与水面和ABB 1A 1面的交线垂直，故水面始终是矩形，而水面与ABB 1A 1，DCC 1D 1两平面的接触面也始终保持平行，故水始终是柱体(且是直柱体)．水恰有V 21，故水面始终过长方体的中心O ，且水柱部分始终与空柱部分关于O 成中心对称，故水与容器接触面始终为容器表面积的一半．7.如图所示,在正方体中，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点.现在沿三角形GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几？解: 因为锯掉的是立方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直。

即HA 垂直于三角形AGF 所在的立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是直角三角形AGF ，而角FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点,所以AF=AG=12a ,则三角形AGF 的面积为而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为,,所以锯掉的那块的的是原正方体的体积的148.8. 斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积.解法一：如图所示，沿斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为S ，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6, 在AA 1上取一点P 作直截面PQR ，则AA 1⊥截面PQR ， AA 1⊥RQ ，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ， 则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO =6.∴V 斜=S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1AE DBC＝21·PO ·QR ·BB 1＝21×10×6=30. 解法二：如图所示，将斜三棱柱补成平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1与三棱柱ACD —A 1C 1D 1等底等高.,111111D C A ACD C B A ABC V V --=三棱柱三棱柱面AA 1D 1D 到面BB 1C 1C 的距离就是AA 1到BB 1C 1C 的距离.因此平面六面体BB 1C 1C —AA 1D 1D 的底面积为10，高为6,所以V 平行六面体＝60， ∴21111=-C B A ABC V 三棱柱×60=30.9. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216°的扇形，求此圆锥的体积是多少（π= 3.14）？解: 要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。