方程的根与函数的零点(公开课)

5 4
.
1
.
2
.
－3
－4
. (1,0)
0
3
x
函数图像与 x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
无交点
知识探究（一）：方程的根与函数的零点
思考：上述结论推广至一般的一元
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与相应的二次函数 y=ax2+bx+c是否成立？
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：
几何法
10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
－2
－4
－6
巩固知识，当堂练习2
练习1:下列函数在区间（1，2）上一定
有零点的是( D )
(A) f(x)=3x2-4x+5 (B) f(x)=x³ -5x-5 (C) f(x)=lnx-3x+6 (D) f(x)=ex+3x-6 练习2:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有 零点( B )
4
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点
即兴练习1
练习1.求下列函数的零点：
（1）y 2 x 1 ;（2）y 2 log 3 x .
练习2.已知函数 f ( x)的定义域为R的奇函 数，且 f ( x) 在 (0, )有一个零点，则 f ( x) 的零点个数为_____
探究： 如何求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象
1. f(-2)=
f(-2) f(1)
5 ，f(1) = -4 <
0 (填“>”或“<”)－2
y
2 1
发现在区间(-2，1)上有零点 2. f(2)=
-1
－1 0 －3 －4
1 －1 －2
2
3
4
x
-3 ，f(4) = 5
判别式
y=ax2+bx+c 的图象 ax2+bx+c=0 的根 函数的图象与 x 轴的交点
x1
>0
y y
0 x2 x
0
0
<0
y
x1
x
0
x
两个不相等的 实数根x1 、x2
有两个相等的 实数根x1 = x2
没有实数根
Байду номын сангаас
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
y
函 数 y f ( x)
x1
0
x2
x方
程 f ( x) 0
兴趣导入：
引例:解方程比赛，看谁能最快解出来
x 2x 3 0
2
x 2x 1 0 2 x 2x 3 0
2
写成相应的函数 图像有什么特点
思考: 以下一元二次方程的实数根与相应的二次函 数的图像有什么关系？
例2. 已知函数 f ( x)的图像是连续不断的，有 如下表所对应值：
X f(x) 1 23 2 9 3 -7 4 11 5 -5 6 -12 7 -26
那么函数 f ( x) 在区间 1,7 上的零点至少有 _____ 3 个。
例3 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解：分别列出部分x、f(x)的对应值表如下：
f ( x) 4 ln 2 2 ln 3 ln 4 2 ln 5 4
即f(2)· f(3)<0， 由上表可知 f(2)<0,f(3)>0， 且f(x)在(0,+∞)单调递增 说明这个函数在区间(2,3)内有零点 。 又因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数， 所以它仅有一个零点。
< 0 (填“>”或“<”) 发现在区间(2，4)上有零点 3
f(2) f(4)
知识探究（二）：函数零点存在性原理
问题探究 观察函数的图象
有 有/无)零点； ①在区间(a,b)上______(
有 有/无)零点； ② 在区间(b,c)上______( 无 有/无)零点； ③ 在区间(c,d)上______(
y y
2
y
a
0
a
-5
0
0
b
x
a
-2
x1
b
x
0
b
x
函数零点存在定理的三个注意点： 1 函数是连续的。
-4
2 定理不可逆。
3 至少存在一个零点。 -6
零点的存在的规律
f ( x )在 a , b上连续
f ( x )在 a , b上单调
f (a ) f (b) 0

f ( x )在a , b 有 唯一 零点
方 程 方程的实数根 x2－2x－3=0 x1=－1,x2=3 y= x2－2x－3
x2－2x+1=0
x1=x2=1 y= x2－2x+1 .y
2
x2－2x+3=0 无实数根 y= x2－2x+3
y
相应函数
.
函数的图象
－1
y
2
.
－1 －2
. . . .
2
.
x
－1
.
1
0
1
2
.
3
x
－1
1
0
1
3 2 1
.


就是方程f(x) = 0的根．
作用：判断函数在给定区间内是否有零 点.
定理理解：判断正误 （1） f(a)· f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。 错
（2） 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)· f(b)<0。 错 错 （3） f(a)· f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
小结
函数的零点定义： 对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数 X叫做函数y=f(x)的零点。 等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点
函数零点存在性定理
如果函数 y f ( x) 在区间 a , b 上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0 ， 那么， 函数 y f ( x) 在区间 a , b 内有零点，
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
作业布置：
课后作业：
p92
A组 第2题
谢谢大家! 欢迎大家提出问题，共同讨论！
叫做函数y=f(x)的零点。
零点是一个点吗?
注意：零点指的是一个实数
等价关系
函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有交点. 方程f(x)=0有实数根
例1：求下列函数的零点:
1 f ( x ) x 1 3 f ( x ) 2
x
2 f ( x ) x 2 4 x 3 4 f ( x ) log2 x 1
x
1
2
3
4
5
例3：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出 x，f(x)的对应值表（表3--1）和图像。 表3--1 x 1 2 3
y
14 12
4
5
6
7
8
9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
f(c).f(d) _____ < 0（＜或＞）． f(b).f(c) _____ < 0（＜或＞）．
f(a).f(b)_____0 < （＜或＞）．
零点存在定理

如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区 间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也