“摩擦角”和“摩擦力”资料
摩擦角的定义以及计算公式
摩擦角的定义以及计算公式摩擦角是指两个物体之间接触面的摩擦力达到最大值时，与垂直于接触面的力之间的夹角。
摩擦角是一个重要的物理概念，它在许多领域中都有广泛的应用，如物体滑动、摩擦力的计算等。
摩擦角的计算公式是通过实验得出的，可以根据实验结果进行估算。
在实验中，我们将一个物体放置在一个斜面上，并逐渐增加斜面的倾斜角度，直到物体开始滑动为止。
此时，斜面的倾斜角度与水平面的夹角就是该物体在斜面上的摩擦角。
摩擦角的计算公式为：μ = tanθ，其中μ为摩擦系数，θ为斜面与水平面的夹角。
这个公式表明，摩擦角与斜面的倾斜角度有直接的关系。
摩擦角的概念与摩擦力有密切关系。
摩擦力是两个物体之间的接触面上产生的一种阻碍相对滑动的力。
当两个物体没有相对滑动时，摩擦力的大小等于施加在物体上的力的大小，此时摩擦力达到最大值，摩擦角也就是最大摩擦力的夹角。
摩擦角的大小取决于物体之间的接触面的粗糙程度和物体表面的性质。
如果接触面非常光滑，摩擦角很小；而如果接触面很粗糙，摩擦角则较大。
摩擦角还与物体之间的摩擦系数有关。
摩擦系数是一个无量纲的物理量，它描述了两个物体之间的摩擦性质。
不同物体之间的摩擦系数是不同的，可以通过实验来测量。
摩擦角的概念在日常生活中有许多应用。
比如，当我们行走时，我们的脚与地面之间的摩擦力使我们能够保持平衡；当我们驾驶汽车时，轮胎与地面之间的摩擦力使我们能够控制车辆的行驶；当我们滑雪时，滑雪板与雪地之间的摩擦力使我们能够控制速度和方向等。
在工程领域中，摩擦角的概念也有广泛的应用。
比如，在建筑工程中，为了确保建筑物的稳定性，需要考虑地基与建筑物之间的摩擦力；在机械设计中，为了减少零部件之间的磨损，需要选择合适的润滑剂来减小摩擦角。
摩擦角是一个重要的物理概念，它与摩擦力有密切关系，并在许多领域中有广泛的应用。
我们可以通过实验来估算摩擦角，计算公式为μ = tanθ，其中μ为摩擦系数，θ为斜面与水平面的夹角。
摩擦角的定义以及计算公式
摩擦角的定义以及计算公式摩擦角是指两个物体接触时，沿着接触面滑动所需的最小倾斜角度。
也可以理解为两个物体之间克服静摩擦力开始滑动的最小倾斜角度。
摩擦角的大小取决于两个物体之间的粗糙程度和表面特性。
在物体接触时，如果施加的力没有超过摩擦力的大小，物体将保持静止。
只有当施加的力超过摩擦力时，物体才会开始滑动。
而摩擦角就是施加的力超过摩擦力时，开始滑动所需的最小倾斜角度。
摩擦角的计算公式可以通过如下的方式推导得出。
假设两个物体之间存在静摩擦力F，施加在物体上的水平力为Fh，施加在物体上的垂直力为Fv。
根据牛顿第一定律，物体在水平方向上的受力平衡可以表示为Fh = F。
根据静摩擦力的定义，静摩擦力的大小为F = μs * Fv，其中μs为静摩擦系数，Fv为垂直力的大小。
将上述两个等式代入，可以得到Fh = μs * Fv。
此时Fh为物体受力的水平分量，Fv为物体受力的垂直分量。
根据三角函数的定义，可以得到摩擦角θ的正切值为tanθ = Fh / Fv = μs。
因此，摩擦角θ等于静摩擦系数μs的反切值。
摩擦角的计算公式为θ = arctan(μs)。
根据这个公式，可以通过给定的静摩擦系数来计算摩擦角的大小。
摩擦角的大小对于实际生活和工程应用具有重要意义。
在日常生活中，我们经常会遇到需要考虑摩擦角的情况。
比如，当我们开车行驶在湿滑的路面上时，摩擦角的大小决定了车辆在转弯或刹车时的稳定性。
在工程中，摩擦角的大小对于设计和计算摩擦传动、摩擦制动等系统也具有重要影响。
为了更好地理解摩擦角的概念，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设一个物体放置在一个倾斜的平面上，施加在物体上的垂直力为10N，静摩擦系数为0.5。
根据摩擦角的计算公式，可以得到摩擦角的大小为θ = arctan(0.5) ≈ 26.6°。
这意味着当平面的倾斜角度小于26.6°时，物体将保持静止。
只有当倾斜角度超过26.6°时，物体才会开始滑动。
摩擦角
【例6】如图所示，质量m = 5kg的物体置于一 粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀 速运动，而斜面体始终静止。已知斜面的质量 M = 10kg ，倾角为30°，重力加速度g = 10m/s2 ，求地面对斜面体的摩擦力大小。
解答：本题旨在显示整体法的解题的优越性 。 法一，隔离法。简要介绍…… 法二，整体法。注意，滑块和斜面随有相对 运动，但从平衡的角度看，它们是完全等价 的，可以看成一个整体。 做整体的受力分析时，内力不加考虑。受力 分析比较简单，列水平方向平衡方程很容易 解地面摩擦力。 答案：26.0N 。
【例4】结构均匀的梯子AB，靠在 光滑竖直墙上，已知梯子长为L， 重为G，与地面间的动摩擦因数 为μ， （1）求梯子不滑动，梯子与水平 地面夹角θ的最小值θ0； （2）当θ=θ0时，一重为P的人沿 梯子缓慢向上，他上到什么位置， 梯子开始滑动？
本题也有两种解法：解法一是根据物体的平衡条件求解， 这是常规解法；另一解法是分析出它临界条件θ 0 再引入摩擦角解。 解法一： （1）如图 2 所示，平衡条件可得： N
【例11】两本书A、B交叉叠放在一起，放在 光滑水平桌面上，设每页书的质量为5克，两 本书均为200页，纸与纸之间的摩擦因数为 0.3，A固定不动，用水平力把B抽出来，求水 平力F的最小值。
解析：以Ｂ为书为研究对象。设抽出每一页的 水平力依次为Ｔ1、Ｔ２、Ｔ３……Ｔn(从上至 下)，它们分别等于各页上、下两面所受的总 摩擦力。对于第一页：Ｔ１＝μmg对于第二页 ：Ｔ2＝μ・2mg＋μ・3mg＝(2+3)μmg对于第 三页：Ｔ3＝μ・4mg＋μ・5mg＝ (4+5)μmg……………对于第n页：Ｔn＝[(2n2)+(2n-1)]μmgＦ≥［1+2+3+……+(2n-1)］ μmg＝ [(2n-1)(2n)]μmg即Ｆ≥ [(2×2001)(2×200)]×0.3×5×10－3×9.8＝1173Ｎ按 照这样大的力，绝大多数同学无法把课本分开 的。点评：本题既涉及摩擦力的基本概念，处理过程中还涉及巧用
“摩擦角”和“摩擦力”.
A 45°
< 90
45°FT
FN
v
A
Ff
tan1 < 45
G tan Ff
FN
如图所示，在倾角45°的斜面上，放置一质返量回
为m的小物块，小物块与斜面间的动摩擦因数 3
，
欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施一力3 ，该
力最小时大小与方向应是
A. mg sin15 ，与水平成15°斜向右上
F0 F1
（1）F3与“摩擦线”垂直。显然，在所有令木块
匀速运动的拉力中F3最小。即有F：min mg sin 见《3+2》P33例1
mg
1 2
（2）当拉力F与重力的夹角小于等于“摩擦角”
时（如F0），无论取多大，约束力与支持力的夹角
α都不可能等于θ。由情景1知，此时木块恒静止。
这种现象称为“自锁”。
沿什么方向？此时地面对物体的作用力大小如何？
水平恒力与重力、 地面约束力作用而 平衡时,三力构成 闭合三角形：
加F2仍构成闭合三角形：
1 2
F地1
F1
1 2 FΒιβλιοθήκη 2 F1FF2
tan-1μ
F1
G F2
如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重
为G的物体A与斜面间的动摩擦因数为μ,且μ<tan θ,现给A施以一 水平力F,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,求水平推力F多大时物
7、木块在拉力作用下加速运动：
• 由结论3知，木块做变速运动时，约束力和支持力 的夹角α=θ，且受到3个力不能构成闭合三角形。
O FR
F合
mg C
初二摩擦力的知识
初二摩擦力知识详解1. 摩擦力定义摩擦力是阻碍物体相对运动（或相对运动趋势）的力。
它存在于两个相互接触的物体之间，当这两个物体试图在接触面上发生相对运动或具有相对运动趋势时，就会受到彼此施加的阻碍作用，这种作用即为摩擦力。
2. 产生条件摩擦力产生的条件主要有三个：1. 两物体相互接触：摩擦力作用在直接接触的两个物体之间。
2. 接触面粗糙：完全光滑的接触面不会产生摩擦力，因为无法形成阻碍运动的“抓手”。
3. 有相对运动或相对运动趋势：至少有一个物体试图改变其在接触面上的位置或状态。
3. 种类与方向种类- 静摩擦力：发生在物体即将开始但尚未开始相对运动时，其大小随使物体产生运动趋势的外力增加而增加，直到达到最大静摩擦力后物体开始运动。
- 动摩擦力（滑动摩擦力）：物体已经发生相对运动时产生的摩擦力，其大小通常小于最大静摩擦力，且在一定条件下可视为恒定。
- 滚动摩擦力：物体在另一物体表面滚动时产生的摩擦力，一般远小于滑动摩擦力。
方向摩擦力的方向总是与物体相对运动（或相对运动趋势）的方向相反。
例如，在水平面上拉一个物体，摩擦力方向与拉力方向相反。
4. 影响因素- 接触面的粗糙程度：接触面越粗糙，摩擦力越大。
- 正压力大小：在接触面粗糙程度不变的情况下，物体间的正压力越大，摩擦力也越大。
- 接触面积：在大多数情况下，接触面积对滑动摩擦力的影响可以忽略不计（但滚动摩擦力与接触面积有关）。
- 材料性质：不同材料间的摩擦力性质不同。
5. 测量方法测量摩擦力通常使用间接方法，如通过测量物体在特定条件下运动所需的力来推算摩擦力大小。
一种常见的实验方法是利用弹簧秤拖动木块在水平面上运动，弹簧秤的读数即可近似为摩擦力大小。
6. 利用与防止利用- 增加摩擦：如轮胎上的花纹、刹车系统中的摩擦片，都是为了增大摩擦力，确保行车安全。
- 传递动力：如皮带传动、链条传动，都是利用摩擦力将动力从一个部分传递到另一个部分。
防止- 减少摩擦：机器轴承中的润滑油、磁悬浮列车的设计，都是为了减少不必要的摩擦，降低能耗，提高效率。
“摩擦角”和“摩擦力”
1 Fmin mg tan tan
Fmax mg tan tan
1
静摩擦力达到最大时, 斜面约束力作用线方向 与斜面法线成摩擦角!
F约 F约
Fmin m Fmax
tan-1
tan-1
mg
sin cos sin cos mg F mg cos sin cos sin
F0
（1）F3与“摩擦线”垂直。显然，在所有令木块 F m gsin mg 匀速运动的拉力中F3最小。即有： 1 见《3+2》P33例1 （2）当拉力F与重力的夹角小于等于“摩擦角” 时（如F0），无论取多大，约束力与支持力的夹角 α都不可能等于θ。由情景1知，此时木块恒静止。 这种现象称为“自锁”。
问题思考：
• 如果拉力大小确定，则其方向如何时物体受到的 合力最大？（也即有最大的加速度？）
FR mg C F O
F合
例1 如图所示，用绳通过定滑轮牵引物块，使物块在水平面 上从图示位置开始沿地面做匀速直线运动，若物块与地面间的 动摩擦因数μ＜1，滑轮的质量及摩擦不计，则在物块运动过程 中，以下判断正确的是 Ａ. 绳子拉力将保持不变 B. 绳子拉力将不断增大 C. 地面对物块的摩擦力不断减小 D. 物块对地面的压力不断减小
“摩擦角”和摩擦力
1、有关摩擦力的性质和“三角形定则”
FN f F f FR FN
F
G
G
• 基本模型：地面对木块有支持力和摩擦力作用， 把支持力和摩擦力的合力FR叫做地面对物体的 全约束反力，简称约束力（也有叫“全反 力”）。 如果木块在F作用下运动或恰好达到最大静摩擦 FN f f F 力 tan ，θ 称 N ，θ 满足：
“摩擦角”和“摩擦力”
5、木块在拉力作用下静止：
• 由结论1：木块受力满足1、3情景，即满足 0≤α ≤θ 和能够构成闭合三角形2个条件。
mg FR F
若拉力确定，则约束力唯一确定，并且，FR 的竖直分量为支持力，水平分量为静摩擦力。 在此基础上，若已知某些边角关系，即可求 解相关的问题。
6、木块在拉力作用下匀速运动：
F0
（1）F3与“摩擦线”垂直。显然，在所有令木块 F m gsin mg 匀速运动的拉力中F3最小。即有： 1 见《3+2》P33例1 （2）当拉力F与重力的夹角小于等于“摩擦角” 时（如F0），无论取多大，约束力与支持力的夹角 α都不可能等于θ。由情景1知，此时木块恒静止。 这种现象称为“自锁”。
“摩擦角”。FR方向的线称“摩擦线”。
FN
FN
2、关于“摩擦角”和“摩擦线”的性质：
• 性质1：约束力与支持力的夹角α 的取值范围为 0≤α ≤θ 。 • 性质2：当约束力与支持力的夹角α 小于摩擦 角θ 时，物体静止（受静摩擦力）；当约束力 与支持力的夹角α 等于θ 时，物体运动或者刚 要运动（受滑动摩擦力）。
Fmin m Fmin
45°
返回
m
F约
tan tan
1 1
3 3
mg
3 3
45°
mg
本题答案:A
例2
如图所示，放在水平面上的质量为m的物体，在水平恒力F1 作用下，刚好做匀速直线运动．若再给物体加一个恒力，且使F1 ＝F2（指大小），要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力F2应 沿什么方向？此时地面对物体的作用力大小如何？
作出一簇力三角形
A 45°
< 90
45°
FT
摩擦角 (1)资料
3．摩擦角
全约束力与法线间的夹角的最大值，称为摩擦角.摩擦角与摩擦 因数一样，都是表示材料表面性质的量
二、自锁现象
物块平衡时，静摩擦力不一定达 到最大值，可在零与最大值Fmax之间 变化，所以全约束力与法线间的夹角
也在零与摩擦角 之间变化，即
（5-5）
由于静摩擦力不可能超过最大值， 因此全约束力的作用线也不可能超出 摩擦角之外，即全约束力必在摩擦角 之内。
摩擦角在平衡中的应用
1．支承面的全反力
当物体对支承面有弹力和摩擦力或两个作用力时， 支承面对物体有弹力和摩擦力或两个反作用力， 把支承面反作用物体的沿接触面法线方向的弹 力和切线方向的摩擦力或的合力叫做支承面对 物体的全约束反力，简称全反力。全反力用R 表示。
2.全反角
全反力和与接触面法线方向的夹角叫全反角
3．利用摩擦角测定静摩擦因数
利用摩擦角的概念，可用简单的 试验方法，测定静摩擦因数，如图 54 所示。
把要测定的两种材料分别做出斜 面或物块，把物块放在斜面上，并逐 渐从零起增大斜面的倾角 ，直到 物块刚开始下滑时为止。 这时的 角就是要测定的摩擦角 。
因为当物块处于临界状态时 由式（5-4）求得摩擦因数，即
1．自锁现象
如果作用于物块的全部主动力的 合力FR的作用线在摩擦角 之内， 则无论这个力怎样大，物块必定保持 静止，这种现象称为自锁现象。
在自锁情况下，主动力的合力FR
与法线间的夹角
，因此，FR 与
全约束力 FRA 必能满足二力平衡条件，
且
如图5-3a 所示。
工程实际中常用自锁条件设计一 些机构或夹具，如千斤顶、压榨机、 圆锥销等，使它们保持在平衡状态下 工作。
2．不发生自锁的条件
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5、木块在拉力作用下静止：
• 由结论1：木块受力满足1、3情景，即满足 0≤α≤θ和能够构成闭合三角形2个条件。
mg FR
F
若拉力确定，则约束力唯一确定，并且，FR 的竖直分量为支持力，水平分量为静摩擦力。
在此基础上，若已知某些边角关系，即可求 解相关的问题。
6、木块在拉力作用下匀速运动：
• 由结论2：木块受力满足2、3情景，即满足α=θ 和能够构成闭合三角形2个条件。
动摩擦因数μ＜1，滑轮的质量及摩擦不计，则在物块运动过程
中，以下判断正确的是 Ａ. 绳子拉力将保持不变 B. 绳子拉力将不断增大 C. 地面对物块的摩擦力不断减小 D. 物块对地面的压力不断减小
作出一簇力三角形
A 45°
< 90
45°FT
FN
v
A
Ff
tan1 < 45
G tan Ff
FN
如图所示，在倾角45°的斜面上，放置一质返量回
为m的小物块，小物块与斜面间的动摩擦因数 3
，
欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施一力3 ，该
力最小时大小与方向应是
A. mg sin15 ，与水平成15°斜向右上
B. mg sin 30 ，竖直向上
C. mg sin 75 ，沿斜面向上
D. mg tan15 ，水平向右 F全反力
Fmmin
F约
如图所示，质量为m的物体放在水平地面上，
物体与地面间的动摩擦因数为
，想用力F推动物体沿水
平地面滑动，推力方向与水平面的夹角在什么范围内者是可能
解:的？ 分析物体恰开始滑动时的受力情况: 物体所受地面约束力的摩擦角 F约
FN
tan Ff 3
30
Ff
FN
3
作出物体所受三力恰构成的闭合矢量三角形:
mg
1 2
（2）当拉力F与重力的夹角小于等于“摩擦角”
时（如F0），无论取多大，约束力与支持力的夹角
α都不可能等于θ。由情景1知，此时木块恒静止。
这种现象称为“自锁”。
7、木块在拉力作用下加速运动：
• 由结论3知，木块做变速运动时，约束力和支持力 的夹角α=θ，且受到3个力不能构成闭合三角形。
O FR
mg
F
mg
sin 90 0 sin
0
60
sin 1 mg 2F
30
G
推力与水平线所成角θ满足:
60 sin
1
mg
0
2F
均可使物体沿水平地面滑动
3、平衡和非平衡状态下合力的三角形性质：
• 当物体受到3个力作用而处于平衡状态时，有 F1+F2+F3=0，三个力矢量构成闭合三角形；当物 体受三个力作用而处于非平衡状态时F1+F2+F3≠0， 三个力矢量不能构成闭合三角形，且力三角形 的“缺口”就是物体受到合力的大小。
F1
F2
F合
F3
4、“摩擦角”、“三角形法则”的相关情景 列表：
m
Fmin
45°
tan1 3
45°
本题答案:A tan1 3
mg
3
3
mg
例2 如图所示，放在水平面上的质量为m的物体，在水平恒力F1
作用下，刚好做匀速直线运动．若再给物体加一个恒力，且使F1 ＝F2（指大小），要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力F2应
沿什么方向？此时地面对物体的作用力大小如何？
水平恒力与重力、 地面约束力作用而 平衡时,三力构成 闭合三角形：
静摩擦力达到最大时, 斜面约束力作用线方向 F约 与斜面法线成摩擦角!
Fmax mg tan tan1
Fmin mg tan tan1
F约
Fmin m Fmax
tan-1
tan-1 mg
sin cos mg F sin cos mg
cos sin
cos sin
mg F1 FR F2 F1
拉力F1、F2、F3都是使木块匀速运动的拉 力（拉力不同对应有不同的约束力）。显然， 使木块匀速运动的拉力有无穷多个。
6、木块在拉力作用下匀速运动：
• 如下情况值得注意：
mg F3 FR F2
F0 F1
（1）F3与“摩擦线”垂直。显然，在所有令木块
匀速运动的拉力中F3最小。即有F：min mg sin 见《3+2》P33例1
1 0≤α≤θ时，物体静止
约束力和支持力的夹角α
2 α=θ时，物体运动或刚要运动
物体受到三个力
3
能构成闭合三角形时，物体静止或者做 匀速直线运动
4
不能构成闭合三角形时，物体做变速运 动
• 对基本模型的4个结论： 1．物体静止时，必定同时满足1、3情景； 2．物体匀速运动时，必同时满足2、3情景； 3．物体匀变速运动时，必同时满足2、4情景； 4．不可能有某种运动同时满足1、4情景；
F合
mg C
F
因为木块受到的合力方向一定沿水平方向。则三
角形“缺口”水平。过任意拉力的末端作地面的 平行线，与“摩擦线”交于C点，则OC即为此时 的约束力。
问题思考：
• 如果拉力大小确定，则其方向如何时物体受到的 合力最大？（也即有最大的加速度？）
O FR mg C
F合
F
例1 如图所示，用绳通过定滑轮牵引物块，使物块在水平面 上从图示位置开始沿地面做匀速直线运动，若物块与地面间的
“摩擦角”和摩擦力
1、有关摩擦力的性质和“三角形定则”
FN F
FN
FR
F
f
f
G
G
• 基本模型：地面对木块有支持力和摩擦力作用，
把支持力和摩擦力的合力FR叫做地面对物体的
全约束反力，简称约束力（也有叫“全反
如力果”木）块。在F作用下运动或恰好达到最大静摩擦
力 f FN ，θ满足：tan f FN ，θ称
加F2仍构成闭合三角形：
1 2
F地1
F1
1 2
F地2
F1
FF2
tanห้องสมุดไป่ตู้1μ
F1
G F2
如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重
为G的物体A与斜面间的动摩擦因数为μ,且μ<tan θ,现给A施以一 水平力F,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,求水平推力F多大时物
体能地斜面上静止 ？
FN FN
“摩擦角”。FR方向的线称“摩擦线”。
2、关于“摩擦角”和“摩擦线”的性质：
• 性质1：约束力与支持力的夹角α的取值范围为 0≤α≤θ。
• 性质2：当约束力与支持力的夹角α小于摩擦 角θ时，物体静止（受静摩擦力）；当约束力 与支持力的夹角α等于θ时，物体运动或者刚 要运动（受滑动摩擦力）。