沪教版高一上册数学集合复习课学案一级第一学期
上海教育版数学高一上1.1《集合及其表示法》word教案
第一单元 集合和命题1.1集合及其表示法【学习要点】1、 了解集合的定义，熟知集合元素的三大特性；2、 掌握∉∈和的含义；3、 熟练掌握各种常用数集的符号；4、 理解有限集和无限集的意义，会用∅表示空集；5、 能够熟练利用列举法和描述法表示集合。
【学法指导】例1、以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形解析：集合中元素具有三大特征：确定性、互异性和无序性，它是我们解决数学集合问题的依据。
本题主要考查集合元素的确定性。
答案：B例2、已知A ={x |x ≤32,x ∈R },a =5,b =23,则 （ ）A.a ∈A 且b ∉AB.a ∉A 且b ∈AC.a ∈A 且b ∈AD.a ∉A 且b ∉A解析：∉∈和是表示集合中元素和集合之间关系的，根据a 和b 的大小与可32作比较，答案为：C例3、下列写法是否正确？（1）0∅∈； （2）}{∅∈∅； （3）0N ∈ （4）0 Z ∉解析：（1）因为∅中没有任何元素，所以是错误的；（2）}{∅表示集合中只有一个元素∅，所以是正确的；（3）根据N 的含义，正确；（4）根据Z 的含义，错误。
例4、集合M (){}R y R x xy y x ∈∈≥=,,0|, 是指（ ）A 第一象限内的点集B 第三象限内的点集C 在第一、第三象限内的点集D 不在第二、第四象限内的点集解析：这是用描述法表示集合，注意代表元是(x,y)，所以集合表示的是坐标平面内的点，根据0≥xy 的含义可知，集合表示的是第一、三象限的点和坐标轴上的点。
【自主学习】1、在“①难解的题目；②方程012=-x 在实数集内的解；③直角坐标平面内第四象限的一些点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（ A ）A ②B ①③C ②④D ①②④2、集合}12{的实数且小于大于-=M ，则下列关系式正确的为 （ D ） A M ∈5 B M ∉0 C M ∈1 D M ∈-2π3、设},,,0{},1,,b ab a b a R b a =+∈，集合｛则b – a = ( B ) A. 1 B. - 1 C. 2 D.- 24、 给出下列关系：①12R ∈； ②Q ；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是（ C ）.A. 1B. 2C. 3D. 45、下列关于空集Φ的叙述：①0∈Φ；②Φ∈{Φ}；③Φ＝{0}．正确的个数是（ B ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．【针对训练】一、填空题1、用描述法表示被5除余1的整数的集合 ．2、用∈或∉填空1_______N ， -3________N ， 0_______N *π_______R ，227_____Q ，cos300_______Z 3、已知集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，6－a ∈A ，则a ＝ ．4、下列研究的对象能构成集合的是① 某校个子较高的同学；② 倒数等于本身的实数③ 所有的无理数④ 讲台上的一盒白粉笔⑤中国的直辖市⑥中国的大城市5、用列举法表示下列集合：(1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不大于15的正约数}(3) {x|x 为不大于10的正偶数}(4){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z}6、用描述法表示下列集合：(1) 奇数的集合；(2)正偶数的集合；(3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的合.7、已知 x 2 ∈{1,0,x}，则实数x 的值8、用列举法和描述法表示方程x 2 -1=0所有实数解构成的集合 9、方程组 的解集为 10、已知集合A={x ︱ax 2 +4x+4=0 }只有一个元素， 则a 的值 11、写出不等式组 表示的整数解的集合为 二、选择题12、下列关于空集Φ的叙述：①0∈Φ；②Φ∈{Φ}；③Φ＝{0}．正确的个数是（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．13、 有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}x x <<的元素的个数是有限个. 其中正确的说法是（ C ）.A. 只有（1）和（4）B. 只有（2）和（3）C. 只有（2）D. 以上四种说法都不对14、下列各组集合M 与N 中，表示相等的集合是（ ）（A ）M ＝{(0，1)}，N ＝{0，1}； （B ）M ＝{(0，1)}，N ＝{(1，0)}；（C ）M ＝{(0，1)}，N ＝{(x ，y )|x ＝0且y ＝1}； （D ）M ＝{π}，N ＝{3.14}．15、数集{1，2，x 2-3}中的x 不能取的数值的集合是 （ ）A.{2，5}B.{-2，-5}C.{±2,±5}D.{2,- 5}三、解答题16、 试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合. 解：（1）{|2}y y ≥；（2）{|x x ≠42121{>+-≥+x x x 11{-=-=+y x y x17、当a，b满足什么条件时，集合A＝{x|ax＋b＝0}是有限集、无限集、空集？解：18、已知集合A＝{x|2ax＋3x＋1＝0，x∈R}，（1）若A中只有一个元素，求实数a的值；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．解：。
沪教版高一上册数学集合及其表示法教案一级第一学期(1)
1.1集合及其表示法一、教学内容分析集合是一种数学语言，是对数学的进一步抽象，它将贯穿在整个高中数学内容中，甚至在今后的数学学习中，将集合的概念和理论渗透到数学的各类分支中，会有利于提高学生的数学素养。
本章是高中数学的第一个章节，学习集合的有关概念和表示方法，以及集合之间的关系和基本运算，初步掌握基本的集合语言，了解集合的基本思想方法和集合的发展历史，能用集合的思想去观察、思考、表述和解决一些简单的实际问题。
二、教学目标设计知道集合的意义，理解集合的元素及其与集合的关系符号；认识一些特殊集合的记号，会用“列举法”和“描述法”表示集合；体会数学抽象的意义.三、教学重点及难点教学重点：集合的基本概念；教学难点：用“列举法”和“描述法”表示集合。
四、教学流程设计一、数学史引入（1）“物以类聚，人以群分”；（2）我校高一年级的全体学生；（3）这间教室里所有的课桌；（4）所有的正有理数；（5）……二、学习新课1．概念辨析（1）集合的有关概念：集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。
我们称集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的分类：有限集、无限集；集合中元素的特性：“确定性”；“互异性”；“无序性”； （2）集合的表示方法：集合的符号表示：集合常用大写英文字母A 、B 、C ……表示，集合中的元素常用小写英文字母a 、b 、c ……表示；元素与集合的关系：属于∈与不属于∉（注意方向和辨析）；列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}A x x p =满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法.（3）特殊集合的表示：常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；空集∅（例：方程220x+=的实数解集为∅）.[说明] 描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以通过一些例题来加深对描述法这种表示方法的理解。
数学1.1集合及其表示法教案3沪教版高中一级第一学期
课题：___集合的概念___教学任务教学流程说明教学过程设计资源2、①集合A={x│x2—2x—3<0},B={x││x│<a},若B A,则实数a的取值范围是__②若A有n个元素，则它的真子集的个数是______，子集的个数是_______，非空子集的个数是________mx+=,③集合A={x│x2＋x—6＝0},B={x│10}若B A,求实数m的取值范围B()3,-+∞集合的概念一、选择： 1、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+9122y x y x 的解（x,y ）的集合是： （ D ）A ．（5，－4）B ．{5，－4}C ．{（－5，4）}D ．{（5，－4）}2、若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有 （ A ）（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A 3、设全集是实数集R ，，，则N M 等于（ A ）（A ） （B ） （C ）（D ）4、含有三个实数的集合可表示为}1,,{ab a ，也可表示为{a 2,a+b,0}，则a 2003+b 2003的值为（ C ）A ．0B ．1C ．－1D ．±15、设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是（ B ） （A ）（C I A ） B ＝I （B ）（C I A ） （C I B ）＝I （C ）A （C I B ）＝∅ （D ）（C I A ） （C I B ）＝C I B 6、设M ={x |x ∈Z}，N ={x |x =2n ，n ∈Z }，P ={x |x =n ＋21，n ∈Z }，则下列关系正确的是（ C ） (A )N ⊂M (B ) N ⊂P (C )N =M ∪P (D ) N =M ∩P 二、填空：7、用列举法表示集合A=},512|{**N x N xx ∈∈-=_____{}1,2,3,4__________. 8、设U={x|x<10,x ∈N *}，A ∩B={2}，(C u A)∩(C u B)={1}，(C u A)∩B={4，6，8}， 则A ＝_________{}2________________B ＝_________{}2,4,6,8________________ 9、A ={x |x =a 2＋1，a ∈Z}，B ={y |y =b 2－4b ＋5，b ∈Z}，则A 、B 的关系是 A B = . 10、满足{0，1}⊂M ⊆{0，1，3，5，6}的集合M 的个数为 10 .11、设集合A ={x |10＋3x －x 2≥0}，B ={x |x 2＋a ＜0}，如果B ⊆A ，那么实数a 的取值范围是[)4,-+∞ .12、已知集合A={x │a+1＜x ＜2a —1}，B={x │-1＜x ＜4}，若A ≠∅，且A B ⊆，则a 的取值范围是________52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦_________________三、解答13、设集合A={x|－3<x<－2}∪{x|x>2},B={x|a ≤x ≤b}.（a,b 是常数），且A ∩B={x|2<x ≤4}， A ∪B={x| x >－3}，求a,b 的值. 答案：2,4a b =-=14、1）若集合A=,24k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，B=,42k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，问A 、B 是否相等，为什么？，2）若集合M={}31,x x m m Z =+∈ P={}32,y y n n Z =+∈，x 0∈M ，y 0∈P ，求x 0y 0与集合M 、P 的关系。
沪教版高一数学上册《集合的运算》教案及教学反思
沪教版高一数学上册《集合的运算》教案及教学反思教学背景本堂课是高一数学上册的第一单元，内容是集合的定义、表示法及运算。
在集合运算中，包括交集、并集、差集等。
在教学中，我们需要引导学生掌握集合概念及各类集合运算，并培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学目标本节课的教学目标主要有以下几个方面：•了解集合的定义和表示法；•掌握集合的运算规则及性质；•培养学生的逻辑思维能力；•提高学生的解决实际问题能力。
教学内容一、集合的基本概念通过引导学生思考，了解集合的基本概念，理解集合的含义及其特点。
在此基础上，引入集合的表示法及分类。
二、集合的运算1.集合的交集介绍交集的概念及其运算规则。
通过示例引导学生理解交集的含义和性质。
2.集合的并集介绍并集的概念及其运算规则。
通过示例引导学生理解并集的含义和性质。
3.集合的补集介绍补集的概念及其运算规则。
通过示例引导学生理解补集的含义和性质。
4.集合的差集介绍差集的概念及其运算规则。
通过示例引导学生理解差集的含义和性质。
三、实际问题解决通过一些实际问题，引导学生运用集合运算解决实际问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
教学方法本节课主要采用讲授与练习相结合的方式进行教学。
在讲授过程中，引导学生积极思考，并通过课堂练习及小组合作，提高学生对知识的掌握程度。
教学流程一、集合的基本概念1.导入：通过贴图或视频等形式，引起学生思考“集合”的基本概念。
2.讲解：讲解集合的基本概念，包括集合的定义、元素及表示法。
3.案例分析：通过实例引导学生理解集合的概念及其分类。
二、集合的运算1.集合的交集1.讲解：讲解交集的概念及运算规则。
2.案例分析：引导学生进行案例分析，理解交集的性质。
3.练习：对交集进行巩固练习。
2.集合的并集1.讲解：讲解并集的概念及运算规则。
2.案例分析：引导学生进行案例分析，理解并集的性质。
3.练习：对并集进行巩固练习。
3.集合的补集1.讲解：讲解补集的概念及运算规则。
沪教版(上海)数学高一上册-1.1 集合及其表示法教案
集合及其表示方法学习目标1、理解集合的概念；2、掌握集合的表示方法；3、培养逻辑思维能力，渗透抽象概括能力。
课前导学【材料阅读】1、仔细阅读高一年级第一学期数学课本目录前面的插页《编者的话》，体会高中数学要义。
2、仔细阅读高一年级第一学期数学课本第5页到第7页的例题2结束为止．找到集合的概念、表示方法、几个常见的数集、元素与集合间的关系。
【自我感知】尝试完成课本第7页上练习1.1的四道题目，找到自己困惑的地方。
课堂交流【承旧启新】观察下列研究的各个整体:（1）我校2018学年高一（1）班全体学生；（2）所有的锐角三角形；（3）申花队所有现役球员；（4）古华公园内所有好看的花。
思考：分析上述研究对象是否确定．1、概念学习：集合集合的元素2、集合中元素的三个特性：1）元素的_______性；2）元素的________性；3）元素的_______性。
3、集合、元素的表示：集合通常用_______字母表示，集合中的元素通常用_______字母表示；若a是集合A的元素，则记作_________；若a不是集合A的元素则记作__________。
4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：________，正整数集________，整数集__________，有理数集___________，实数集________。
正有理数集________，正实数集_______，负有理数集_______，负实数集_______。
集合的分类：有限集与无限集特殊的集合：空集。
5、集合的表示方法有哪些？举出一些数学中、生活中的集合例子。
掌握程度自我评价：（A ） （B ） （C ）【巩固新知】【例1】判断下列能否组成集合，为什么？（1）20元左右的书；（2）数学成绩名列前茅的学生； （3）身高低于1米的小孩；（4）《福布斯》2010全球20大富豪。
【例2】用符号∈或∉填空：（1）0_______{0}； （2）0_______∅； （3）0_______N ；（4）0_______Z ； （5）2_______Q ； （6）2-_______Z ．【例3】将下列用描述法表示的集合，改为用列举法来表示：（1）{|3}x x x Z <∈且； （2）2{|1,2}y y x x x Z =-≤∈且；（3）**{(,)|5,,}x y x y x N y N +=∈∈； （4）*6{|,}x N x Z x∈∈且；变式：*6{|,}2x N x Z x ∈∈-且【应用提高】【例4】用适当的方法表示下列集合（1）组成中国国旗的颜色名称的集合A ；（2）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合B ；（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C ；（4）全体偶数组成的集合D ；变式1：全体奇数组成的集合D ；变式2：被3除余2的自然数全体组成的集合D ；【例5】已知集合2{2,3,42}A a a =++，集合2{0,7,42,2}B a a a =+--，且A ∈7，求集合B 。
集合的运算(全集、补集)-沪教版必修1教案
集合的运算(全集、补集)-沪教版必修1教案篇一：高中数学《子集、全集、补集》教案(1)子集、全集、补集教学目标：理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系.教学重点：子集的概念，真子集的概念.教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.课型：新授课教学手段：讲、议结合法教学过程：一、创设情境在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集二、活动尝试12．用列举法表示下列集合：①{x|x3?2x2?x?2?0} {-1，1，2}②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50}11111{1,,,,{x|x?,n?N*且n?5}n3．用描述法表示集合：23454．用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”{x?Z||x?2|?3}={-1，5}5．问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}（2）A=N，B=R（3）A={xx为北京人}，B= {xx为中国人}(4)A＝?，B＝{0}（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）三、师生探究通过观察上述集合间具有如下特殊性(1)集合A的元素-1，1同时是集合B的元素.(2)集合A中所有元素，都是集合B的元素.(3)集合A中所有元素都是集合B的元素.(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素. 由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.四、数学理论1.子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作A?B（或B?A），这时我们也说集合A是集合B的子集.请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.2．真子集：对于两个集合A与B，如果A?B，并且A?B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：A或B读作A真包含于B或B真包含这应理解为：若A?B，且存在b∈B，但b?A，称A是B的真子集. 3．当集合A不包含于集合B，或集合B 不包含集合A时，则记作AB（或BA）.如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.4．说明（1?A（2若A≠Φ，则Φ（3A?A（4）易混符号①“?”与“?”：元素与集合之间是属于关系；1?N,?1?N,N?R,Φ?R，{1}?{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ如Φ?Φ={0}，Φ∈{0}五、巩固运用例1（1）写出N，Z，Q，R（2）判断下列写法是否正确①Φ?A ②Φ③A?A ④A 解（1）：N?Z?Q?R（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误；思考1：A?B与B?A能否同时成立？结论：如果A?B，同时B?A，那么A＝B.如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；{2，3}与{3，2}相等. 问：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.（A=B）稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.思考2：若AB，BC，则AC？真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC.例2写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.解：依定义：{a，b}的所有子集是?、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有?、{a}、{b}. 变式：写出集合{1，2，3}的所有子集解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}猜想：(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？(2?16)（2）集合4?a1,a2?,an?的所有子集的个数是多少？(2n)注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n －1个.六、回顾反思1．概念：子集、集合相等、真子集2．性质：（1?A（2（A≠Φ）（3A?A（4）含n个元素的集合的子集数为2；非空子集数为2?1；真子集数为2?1；非空真子集数为2?nnnn七、课外练习1．下列各题中，指出关系式A?B、A?B、AB、AB、A＝B中哪些成立：(1)A＝{1，3，5，7}，B＝{3，5，7}.解：因B中每一个元素都是A的元素，而A中每一个元素不一定都是B的元素，故A?B及AB成立.(2)A＝{1，2，4，8}，B＝{x｜x是8的约数}.解：因x是8的约数，则x：1，2，4，8那么集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素也都是集合A的元素，故A＝B. 式子A?B、A?B、A＝B成立.2．判断下列式子是否正确，并说明理由.(1)2?{x｜x≤10}解：不正确.因数2不是集合，也就不会是{x｜x≤10}的子集.(2)2∈{x｜x≤10}解：正确.因数2是集合{x｜x≤10}中数.故可用“∈”.(3){2}{x｜x≤10}解：正确.因{2}是{x｜x≤10}的真子集.(4) ?∈{x｜x≤10}解：不正确.因为?是集合，不是集合{x｜x≤10}的元素.(5) ?{x｜x≤10}解：不正确.因为?是任何非空集合的真子集.(6) ?{x｜x≤10}解：正确.因为?是任何非空集合的真子集.(7){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}解：正确.因为{4，5，6，7}中4，6不是{2，3，5，7，11}的元素.(8){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}解：正确.因为{4，5，6，7}中不含{2，3，5，7，11}中的2，3，11.3．设集合A={四边形}，B={平行四边形}，C={矩形} D={正方形}，试用Venn 图表示它们之间的关系。
沪教版高一上册数学基本不等式及其应用教案一级第一学期(1)
2.4（1）基本不等式及其应用一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的. 二、教学目标设计1、掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab ba ≥+2（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点. 三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用. 难点 基本不等式的应用. 四、教学用具准备 电脑、投影仪 五、教学流程设计六、教学过程设计 一、新课引入在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.例如，32>、02≥a （R a ∈）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边之“弦图”的现代数学图示差小于第三边等等.二、新课讲授 1、基本不等式1基本不等式1 对于任意实数a 和b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a b =时等号成立. （1）基本不等式1的证明证明：因为()22220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+.当a b =时，()20a b -=.当a b ≠时，()20a b ->.所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立.（2）基本不等式1的几何解释 ① 解释1边长为a 的正方形面积与边长为b 的正方形面积之和大于等于以a 、b 为邻边长的矩形面积的2倍（当且仅当a b =时等号成立）.已知正方形ABCD ，分别在边AD 、边DC 上取点E 、F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥，垂足为G 、H .EG 和HF 交于点M .由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积 ≥ 剩余部分的面积，当且仅当点E 移至AD 中点时等号成立. ② 解释2某届数学大会的会徽怎样的？三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以a 、b 、c 分别表示勾、股、弦，那么，a b ⋅表示“弦图”中两块“朱实”的面积，()2b a -表示“中黄实”的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以c 为边长的正方形“弦实”的面积，即H B()222222222c b a ab b ab a ab a b =-+=-++=+这就是勾股定理的一般表达式.由图可知：以c 为边长的正方形“弦实”的面积 ≥ 四块“朱实”的面积即，222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）.2、基本不等式2观察下面这个几何图形.已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB 是直径. 过D 作DC AB ⊥，垂足为C .显然有线段OD 的长度大于等于垂线段DC 的长度.设AC a =，CB b =，请用a 、b 来表示上述这个不等关系.（ 即ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.）基本不等式2 对于任意正数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立. 我们把2ba +和ab 分别叫做正数a 、b 的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）基本不等式2的证明证明：因为20a b +-=≥，所以ab ba ≥+2. 当a b =时，20-=.当a b ≠时，20>.所以，当且仅当a b =时，ab ba ≥+2的等号成立. 另证：因为a 、b均存在. 由基本不等式1，得22+≥=.即ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.（2）基本不等式2的扩充对于任意非负数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.例1 已知0>ab ，求证：2≥+baa b ，并指出等号成立的条件. 证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>ba.所以，22=⋅≥+b a a b b a a b .当且仅当 baa b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若0<ab ，则代数式baa b +的取值范围是什么？（2b a a b +≤-，当且仅当0a b =-≠时等号成立.）3、两个基本不等式的简单应用 （1）几何问题例2 在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？ 猜想：由几何画板电脑演示得出.解：设矩形的长、宽分别为a 、b （a 、b R +∈）且a b m +=（定值），则同样周长的正方形的边长为2a b+. 矩形面积S ab =，正方形面积22a b S +⎛⎫'= ⎪⎝⎭由基本不等式2，得ab b a ≥+2，又由不等式的性质得222a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即S S '≥.b 中点CM'BM AA B折点M由题意，a b m +=（定值），所以2224m mS ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（定值）.当且仅当a b =，即矩形为正方形时，矩形的面积最大. [说明]当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值. 例如，若01x <<时，有()114x x -≤，当且仅当12x =时等号成立.（事实上，由()2211124y x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭（01x <<），得104y <≤，当且仅当12x =时等号成立.）三、课堂小结 略四、作业布置 1、练习2.4（1） 2、思考题（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.（2）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？ （3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.七、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果.整堂课主要采用 “观察 —— 猜测 —— 归纳 —— 证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察——猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.。
沪教版(上海)数学高一上册-1.1 集合的概念 教案
（高一）（一）集合的概念教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念及特征，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时内容分析：把集合的初步知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合。
本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主教科书给出的“一般地，某些指定”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、回顾复习1．你知道数集的发展吗？质数与合数？奇数与偶数？最大公约数和最小公倍数？（1）质数（素数）：2,3,5,7，。
，合数：4,6,8,9，。
在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数。
这种整数叫做质数，质数又叫做素数。
（2）n为整数形如2n的整数叫做偶数，形如2n+1的数叫做奇数，全体偶数的集合叫做偶数集．（3）9与12的最大公约数是 3 ；最小公倍数36 ；2．用不同的语言描述坐标平面上的一条直线吗？自然语言：坐标平面上过原点，且与x 轴正方向夹角为45o 的直线。
解析语言：函数y x =的图像图像语言：集合语言：{(,)/,}x y y x x =为一切实数3．“物以类聚”，“人以群分”；把能够指定的一些对象放在一起研究，便于讨论它们共同的性质，这是集合的由来。
（备用）4．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；二、讲解新课：军训前学校通知：8月20日上午8点，高一年级在文体中心集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。