高等数学(同济第六版)第三章第1节

即
2
1 1 cos 2 sin x sin 1 x
(0 , x )
1 1 x sin 1 ( 2 sin cos ) x , (0 , x ) x


1 当 x 0 时 0 , 因此由上式得 cos 0 .

问是否可由此得出 lim cos 1 0 ? x
第三章第一节
使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a ) f ( )(b a ) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a ) F ( )(b a ) , (a , b) 一定相同
[ e x f ( x ) ]
x
0
作辅助函数F ( x ) e x f ( x ) ,验证 F ( x )在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
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第三章第一节
4. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f ( x ) f (0) f ( )( x 0) ,
1
x y o
1
o
1
x
x
5
第三章第一节
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
x a
lim f ( x ) lim f ( x )
x b
在( a , b ) 内至少存在一点
使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
6
第三章第一节
思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
3 15 4 _____ .
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1 , 2) , ( 2 , 3) , ( 3 , 4) 上.
19
第三章第一节
2. 设 f ( x ) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存
在一点 ( 0 , ) , 使 f ( ) f ( ) cot .
提示: 由结论可知, 只需证
即 设
f ( x ) sin x x
F ( x ) f ( x ) sin x
0
验证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
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第三章第一节
使
f ( x ) sin ln x ,
F ( x ) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e ) f (1) f ( ) , (1, e ) 因此 F (e ) F (1) F ( ) 即 分析:
16

1
cos ln
不能 !
因为 ( x ) 是依赖于 x 的一个特殊的函数.
x 0
x 0表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
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第三章第一节
作业 P132 提示: 题14. 考虑 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15
题15.
f ( 0) 0
f ( 0 ) 0

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第三章第一节
证: M 和最小值 m . 若M=m,则 故在[ a , b ]上取得最大值
因此
4
第三章第一节
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 则至少存在一点 使
则由费马引理得 f ( ) 0 .
y
o
y
1
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
第三章第一节
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a ) F ( )(b a ) 0 f (b) f (a ) F ( ) f ( ) 0 F (b) F (a ) f (b) f (a ) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a )
0 1
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
7
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f (x)
第三章第一节
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点 证: 问题转化为证 f ( ) 作辅助函数
a
0
b x
f (b) f (a ) . 使 f ( ) ba f (b) f (a )

1
第三章第一节
例5. 试证至少存在一点
使
法2 令 f ( x ) sin ln x sin 1 ln x 则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 因此存在 使
1 1 f ( x ) cos ln x sin 1 x x
17
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
8
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 令 则
第三章第一节
y f ( x0 x ) x
(0 1)
则

推论: 若函数 在区间 I 上满足
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得
自证: arctan x arc cot x

2
, x ( , )
10
第三章第一节
x ln(1 x ) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f ( t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
11
三、柯西(Cauchy)中值定理
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
证： 不妨设 0 x1 x2
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f ( 2 ) x1 f (1 ) x1 ( x2 2 x1 x2 , 0 1 x1 ) x1 f ( )( 2 1 ) 0 (1 2 )
第三章 微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
推广
泰勒公式
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
1
第三章
第一节 中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
2
第三章第一节
一、罗尔( Rolle )定理
上面两式相比即得结论.
错!
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第三章第一节
柯西定理的几何意义:
弦的斜率
切线斜率
x F (t ) y f (t )
注意:
y
f (b) f (a)
d y f ( t ) d x F ( t )
o F (a)F ( )
F (b) x
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第三章第一节
例4. 设
至少存在一点 证: 结论可变形为 使
响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
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第三章第一节
备用题 1. 设 f ( x )在 [0,1] 连续，0 , 1) 可导，且 f (1) 0 , (
求证存在 (0 , 1) ,使 设辅助函数 ( x ) x n f ( x ) 证：
第三章第一节
费马引理
f (b) f (a )
拉格朗日中值定理
F ( x) x
f (b) f (a ) F ( x) x 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
罗尔定理
柯西中值定理
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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第三章第一节
显然 ( x ) 在[0, 1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0 , 1) , 使得
( ) n
即
n 1
f ( ) n f ( ) 0
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第三章第一节
2. 设 f ( x ) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
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例1. 证明方程 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . f ( x ) x 5 5 x 1 , 则 f ( x ) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 设 由介值定理知存在 x0 (0 , 1) , 使
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 . 假设另有 f ( x ) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x , x 之间
f(( x ) f (b) f (a ) x ( x) ) ba
b a
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
ba
(a ) b f (a ) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点