2016年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷
2016年四川省绵阳市中考数学试卷及解析
2016年四川省绵阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项最符合题目要求1．（3分）﹣4的绝对值是（）A．4 B．﹣4 C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x5=x7B．x5﹣x2=3x C．x2•x5=x10 D．x5÷x2=x33．（3分）下列图案，既是轴对称又是中心对称的是（）A． B．C．D．4．（3分）如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（）A．B．C．D．5．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．36．（3分）如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=150°，沿BD的方向前进，取∠BDE=60°，测得BD=520m，BC=80m，并且AC，BD和DE在同一平面内，那么公路CE段的长度为（）A．180m B．260m C．（260﹣80）m D．（260﹣80）m7．（3分）如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm8．（3分）在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）A．B．C．D．10．（3分）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（）A．B．C．D．11．（3分）如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE 于点G，延长BF交CD的延长线于H，若=2，则的值为（）A．B．C．D．12．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上.13．（3分）因式分解：2mx2﹣4mxy+2my2=．14．（3分）如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D=．15．（3分）根据绵阳市统计年鉴，2014年末绵阳市户籍总人口数已超过548万人，548万人用科学记数法表示为人．16．（3分）△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为．17．（3分）如图，点O是边长为4的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE=．18．（3分）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．现用A i表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第i个数，例如：A1=1，A2=2，A3=1，A4=1，A5=3，A6=3，A7=1，则A2016=．三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（8分）计算：（π﹣3.14）0﹣|sin60°﹣4|+（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．21．（11分）绵阳七一中学开通了空中教育互联网在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会把该平台使用情况分为A（经常使用）、B（偶尔使用）、C（不使用）三种类型，并设计了调查问卷、先后对该校初一（1）班和初一（2）班全体同学进行了问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）求此次被调查的学生总人数；（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线统计图；（3）若该校初一年级学生共有1000人，试根据此次调查结果估计该校初一年级中C类型学生约有多少人．22．（11分）如图，直线y=k1x+7（k1＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=（k2＞0）的图象在第一象限交于C、D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积为，点C横坐标为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分（不含边界）所包含的所有整点的坐标．23．（11分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．24．（11分）绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？25．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（﹣1，4）．（1）求此抛物线的解析式；（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB面积相等时，求点D 的坐标；（3）点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将△PCE 沿直线CE翻折，使点P的对应点P′与P、E、C处在同一平面内，请求出点P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．26．（14分）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S （S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．2016年四川省绵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项最符合题目要求1．（3分）【考点】绝对值．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵|﹣4|=4，∴﹣4的绝对值是4．故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．2．（3分）【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则和除法法则进行判断．【解答】解：x2与x5不是同类项，不能合并，A错误；x2与x5不是同类项，不能合并，B错误；x2•x5=x7，C错误；x5÷x2=x3，D正确，故选：D．【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘除法，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键．3．（3分）【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是A中的图形，故选：A．【点评】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．5．（3分）【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的另一根为m，由一个根为﹣1，利用根与系数的关系求出两根之和，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，设另一根为m，可得﹣1+m=2，解得：m=3，则方程的另一根为3．故选D．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．6．（3分）【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠E的度数，再根据锐角三角函数的定义可求BE，再根据线段的和差故选即可得出结论．【解答】解：在△BDE中，∵∠ABD是△BDE的外角，∠ABD=150°，∠D=60°，∴∠E=150°﹣60°=90°，∵BD=520m，∵sin60°==，∴DE=520•sin60°=260（m），公路CE段的长度为260﹣80（m）．答：公路CE段的长度为（260﹣80）m．故选：C．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知三角形外角的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．7．（3分）【考点】平行四边形的性质．【分析】由▱ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点0，若△AOD的周长比△AOB 的周长多3cm，可得AB+AD=13cm，AD﹣AB=3cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．【解答】解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OB+AD）﹣（OA+OD+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键．8．（3分）【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的解；在数轴上表示不等式的解集．【分析】把m看做已知数表示出方程组的解，根据x≥0，y＞0求出m的范围，表示在数轴上即可．【解答】解：，①×2﹣②得：3x=3m+6，即x=m+2，把x=m+2代入②得：y=3﹣m，由x≥0，y＞0，得到，解得：﹣2≤m＜3，表示在数轴上，如图所示：，故选C【点评】此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（3分）【考点】解直角三角形．【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式=，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC．设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴=，即=，解得x=﹣2±2（负值舍去），∴AE=﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA===．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．10．（3分）【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．【分析】确定剩下的三边长包含的基本事件，剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件，即可求出能构成三角形的概率．【解答】解：剩下的三边长包含的基本事件为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个；设事件B=“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“则事件B包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，故p（A）=故选A．【点评】本题主要考查了用列举法来求古典概率的问题，关键是列举要不重不漏，难度不大．11．（3分）【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，由△HFD∽△BFA，得===，求出FH，再由HD∥EB，得△DGH∽△EGB，得===，求出BG即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵AF=2DF，设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，∵HD∥AB，∴△HFD∽△BFA，∴===，∴HD=1.5a，=，∴FH=BH，∵HD∥EB，∴△DGH∽△EGB，∴===，∴=，∴BG=HB，∴==．故选B．【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型．12．（3分）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线的图象，对称轴的位置，利用二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：由图象可知，a＞0，b＞0，c＞0，∵﹣＞﹣1，∴b＜2a，故①正确，∵|a﹣b+c|＜c，且a﹣b+c＜0，∴﹣a+b﹣c＜c，∴a﹣b+2c＞0，故②正确，∵﹣＜﹣，∴b＞a，∵x1＜﹣1，x2＞﹣，∴x1•x2＜1，∴＜1，∴a＞c，∴b＞a＞c，故③正确，∵b2﹣4ac＞0，∴2ac＜b2，∵b＜2a，∴＜3ab，∴b2=b2+b2＞b2+2ac，b2+2ac＜b2＜3ab，∴b2+2ac＜3ab．故④正确．故选D．【点评】本题考查二次函数的性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象信息解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上.13．（3分）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式2m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：2mx2﹣4mxy+2my2，=2m（x2﹣2xy+y2），=2m（x﹣y）2．故答案为：2m（x﹣y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14．（3分）【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】先依据等腰三角形的性质得到∠ACO=∠AOC，然后依据三角形的内角和定理可求得∠C的度数，然后依据平行线的性质可求得∠D的度数．【解答】解：∵OA=AC，∴∠ACO=∠AOC=×（180°﹣∠A）=×（180°﹣48°）=66°．∵AC∥BD，∴∠D=∠C=66°．故答案为：66°．【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质的应用，求得∠C的度数是解题的关键．15．（3分）【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将548万用科学记数法表示为：5.48×106．故答案为5.48×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．16．（3分）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．【解答】解：∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，A（4，6），则点A的对应点A′的坐标为（﹣2，﹣3）或（2，3），故答案为：（﹣2，﹣3）或（2，3）．【点评】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．17．（3分）【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；旋转的性质．【分析】令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，根据等边三角形的性质以及内心的性质找出△FOB为等腰三角形，并且△BFO∽△B1FD，根据相似三角形的性质找出B1D的长度，再通过找全等三角形以及解直角三角形求出C1E 的长度，由此即可得出DE的长度．【解答】解：令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，如图所示．∵将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，∴∠BOF=30°，∵点O是边长为4的等边△ABC的内心，∴∠OBF=30°，OB=AB=4，∴△FOB为等腰三角形，BN=OB=2，∴BF===OF．∵∠OBF=∠OB1D，∠BFO=∠B1FD，∴△BFO∽△B1FD，∴．∵B1F=OB1﹣OF=4﹣，∴B1D=4﹣4．在△BFO和△CMO中，有，∴△BFO≌△CMO（ASA），∴OM=BF=，C1M=4﹣，在△C1ME中，∠C1ME=∠MOC+∠MCO=60°，∠C1=30°，∴∠C1EM=90°，∴C1E=C1M•sin∠C1ME=（4﹣）×=2﹣2．∴DE=B1C1﹣B1D﹣C1E=4﹣（4﹣4）﹣（2﹣2）=6﹣2．故答案为：6﹣2．【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形内心的性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及解直角三角形，解题的关键是求出线段B1D、C1E的长度．本题属于中档题，难度不小，解决该题型题目时，用到了相似三角形和全等三角形的判定及性质，因此找出相等的边角关系是关键．18．（3分）【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据杨辉三角中的已知数据，可以发现其中规律，每行的数的个数正好是这一行的行数，由题意可以判断A2016在哪一行第几个数，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，第n行有n个数，故除去前两行的总的个数为：，当n=63时，=2013，∵2013＜2016，∴A2016是第64行第三个数，∴A2016==1953，故答案为：1953．【点评】此题考查数字排列的规律，解题的关键是明确题意，发现其中的规律，计算出所求问题的答案．三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（8分）【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及零指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：：（π﹣3.14）0﹣|sin60°﹣4|+（）﹣1=1﹣|2×﹣4|+2=1﹣|﹣1|+2=2．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式化简、绝对值等考点的运算．20．（8分）【考点】分式的化简求值．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=[﹣]•=[﹣]•=•=，当a=+1时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．21．（11分）【考点】折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）先由折线统计图得到偶尔使用的学生有58人，再由扇形统计图得到了解很少的学生所占的百分比，然后用58除以这个百分比即可得到接受问卷调查的学生人数；（2）先用总数分别减去其它三组的人数得到C的学生数，再补全折线统计图；用c部分所占的百分比乘以360°即可得到c部分所对应扇形的圆心角的大小；（3）利用样本中c程度的百分比表示该校这两项所占的百分比，然后用1000乘以这个百分比即可得到c程度的总人数的估计值．【解答】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，从折线图知B类型总人数=26+32=58人，所以此次被调查的学生总人数=58÷58%=100人；（2）由折线图知A人数=18+14=32人，故A的比例为32÷100=32%，所以C类比例=1﹣58%﹣32%=10%，所以类型C的扇形的圆心角=360°×10%=36°，C类人数=10%×100﹣2=8人，折线图如下：（3）根据此次可得C的比例为10%，估计该校初一年级中C类型学生约1000×10%=100人．【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图和用样本估计总体．22．（11分）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）分别令x=0、y=0，求得对应y和x的值，从而的得到点A、B的坐标，然后依据三角形的面积公式可求得k1的值，然后由直线的解析式可求得点C的坐标，由点C的坐标可求得反比例函数的解析式；（2）由函数的对称性可求得D（6，1），从而可求得x的值范围，然后求得当x=2、3、4、5时，一次函数和反比例函数对应的函数值，从而可得到整点的坐标．【解答】解：（1）∵当x=0时，y=7，当y=0时，x=﹣，∴A（﹣，0）、B（0、7）．∴S△AOB=|OA|•|OB|=×（﹣）×7=，解得k1=﹣1．∴直线的解析式为y=﹣x+7．∵当x=1时，y=﹣1+7=6，∴C（1，6）．∴k2=1×6=6．∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵点C与点D关于y=x对称，∴D（6，1）．当x=2时，反比例函数图象上的点为（2，3），直线上的点为（2，5），此时可得整点为（2，4）；当x=3时，反比例函数图象上的点为（3，2），直线上的点为（3，4），此时可得整点为（3，3）；当x=4时，反比例函数图象上的点为（4，），直线上的点为（4，3），此时可得整点为（4，2）；当x=5时，反比例函数图象上的点为（5，），直线上的点为（5，2），此时，不存在整点．综上所述，符合条件的整点有（2，4）、（3，3）、（4，2）．【点评】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，依据三角形的面积求得k1的值是解题的关键．23．（11分）【考点】直线与圆的位置关系；三角形中位线定理；垂径定理；切线的判定．【分析】（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．【解答】解：（1）DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，由垂径定理可得：OH⊥BC，==，∴=，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，∵AB是直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH=8．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．24．（11分）【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，由题意列出关于x的方程，求出x的值即可；（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，根据题意列出关于y的不等式组，求出y的整数解即可得出结论．【解答】解：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，由题意得，=，解得x=50．经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义．（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，由题意得，解得23＜y≤25．∵y为整数，∴y=24或25，∴共有两种方案：方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．【点评】本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．25．（12分）【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线经过的C点坐标以及顶点M的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）设点D坐标为（﹣1，y D），根据三角形的面积公式以及△ACD与△ACB面积相等，即可得出关于y D含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）作点P关于直线CE的对称点P′，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．根据对称的性质即可得出△EON≌△CP′N，从而得出CN=NE，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，进而得出点P的坐标，在Rt△P′NC中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性质以及线段间的关系即可找出点P′的坐标，将其代入抛物线解析式中看等式是否成立，由此即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点C（0，3），顶点为M（﹣1，4），∴，解得：．∴所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．（2）依照题意画出图形，如图1所示．令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或x=1，故A（﹣3，0），B（1，0），∴OA=OC，△AOC为等腰直角三角形．设AC交对称轴x=﹣1于F（﹣1，y F），由点A（﹣3，0）、C（0，3）可知直线AC的解析式为y=x+3，∴y F=﹣1+3=2，即F（﹣1，2）．设点D坐标为（﹣1，y D），则S△ADC=DF•AO=×|y D﹣2|×3．又∵S△ABC=AB•OC=×[1﹣（﹣3）]×3=6，且S△ADC=S△ABC，∴×|y D﹣2|×3．=6，解得：y D=﹣2或y D=6．∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，6）．（3）如图2，点P′为点P关于直线CE的对称点，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．在△EON和△CP′N中，，∴△EON≌△CP′N（AAS）．设NC=m，则NE=m，∵A（﹣3，0）、M（﹣1，4）可知直线AM的解析式为y=2x+6，∴当y=3时，x=﹣，即点P（﹣，3）．∴P′C=PC=，P′N=3﹣m，在Rt△P′NC中，由勾股定理，得：+（3﹣m）2=m2，解得：m=．∵S△P′NC=CN•P′H=P′N•P′C，∴P′H=．由△CHP′∽△CP′N可得：，∴CH==，∴OH=3﹣=，∴P′的坐标为（，）．将点P′（，）代入抛物线解析式，得：y=﹣﹣2×+3=≠，∴点P′不在该抛物线上．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、全等三角形的判定及性质以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）找出关于y D含绝对值符号的一元一次方程；（3）求出点P′坐标．本题属于中档题，难度不小，（3）中求出点P′的坐标是本题的难点，使用垂直平分线的性质找点的坐标亦可．26．（14分）【考点】一次函数综合题．【分析】（1）先有菱形的对称性得出点C，D坐标，然后用∠DCO的正切值，以及等角的三角函数值相等列出方程，最后用待定系数法求出直线DE解析式．（2）先求出菱形的边长，再求出EF，分点P在AD和DC边上，用面积公式求解；（3）先求出∠EPD=∠ADE，分两种情况用由菱形的边长建立方程求出时间t，用相似三角形的比例式建立方程求出OQ，解直角三角形即可．【解答】解：由菱形的对称性可得，C（2，0），D（0，），∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，∵DE⊥DC，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD∠=90°，∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点O，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在RT△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在RT△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查菱形的性质，待定系数法求直线解析式，相似三角形的判定和性质，找出相似三角形是解本题的关键，分情况讨论是解本题的难点．。
绵阳市高中2016级第二次诊断性考试(数学理)
y 78 76 77 79 80 78 ． 5
………………………………2 分
5
∴ (xi x)( yi y) (10 10)(78 78) (9 10)(76 78) (9.5 10)(77 78)
i 1
(10.5 10)(79 78) (11 10)(80 78)
19．解 ：（1）∵ 3 AB AC=b(c asin C) ，
∴ 3 cbcosA=b(c-asinC)，
即 3 ccosA=c-asinC． ………………………………………………………2 分
由正弦定理得 3 sinCcosA=sinC-sinAsinC， ∵ sinC 0，
∴ 3 cosA=1-sinA，即 sinA+ 3 cosA=1． …………………………………4 分
绵阳市高中 2016 级第二次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． ABDAB BDCAC CA
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．200
14．12
15．x> 1 3
16．25
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
∴ 数列{an}的通项公式为 an 4n ． …………………………………………6 分
（2）∵
bn
log2
an
1 log2
an1
=
log2 4n
1 log2 4n1
=
1
1(1 1 ) ．
2n (2n 2) 4 n n 1
…………………………………8 分
∴ 数列{bn}的前 n 项和 Tn b1 b2 b3 bn
2016学年四川省绵阳中考数学年试题答案
数学试卷 第 5 页（共 6 页）
(1)如图 1,若点 M 在线段 AB 上,求证： AP BN , AM AN ； (2)①如图 2,在点 P 运动过程中,满足 △PBC∽△PAM ,的点 M 在 AB 的延长线上 时, AP BN 和 AM AN 是否成立(不需说明理由)? ②是否存在 满足条件的点 P ,使得 PC 1 ？请说明理由.
10 (3)在矩形的平移过程中,当以点 P , Q , M , N 为顶点的四边形是平行四边形时,求 点 M 的坐标.
数学试卷 第 6 页（共 6 页）
C. 3
D.1 3
8.如图,对折矩形纸片 ABCD ,使 AB 与 DC 重合得到折痕 EF ,将
纸片展平,再一次折叠,使点 D 落到 EF 上 G 点处,并使折痕经
过点 A ,展平纸片后 DAG 的大小为
A. 30
B. 45
() C. 60
D. 75
9.不等式 x 1＞2x 2 1 的正整数解的个数是
C. MAP MBP
答
D. ANMP BNM
4.某校共有 40 名初中学生参加足球兴趣小组,他们的年龄统计情况如图所示,则这 40
名学生年龄的中位数是
()
题
无
A.12 岁
B.13 岁
C.14 岁
5.抛物线 y x2 2x 3 的对称轴是
A.直线 x 1
B.直线 x 1
线 y 1 经过 (a,bc) .给出下列结论： 2x
四川绵阳涪城区中考数学二诊试卷(含答案解析)
年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．的算术平方根是（）A．2 B．4 C．±2 D．±42．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（）A．112 B．136 C．124 D．843．光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500 000 000 000km，这个数据用科学记数法表示是（）A．0.95×1013km B．9.5×1012kmC．95×1011km D．9.5×1011km4．已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）5．下列不等式变形正确的是（）A．由a＜b，得a﹣2＞b﹣2 B．由a＜b，得3a＜3bC．由a＜b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＜b，得|a|＜|b|6．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10 B．9 C．8 D．77．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则另一个根为（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝38．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm9．无人机在A处测得正前方河流两岸B、C的俯角分别为α＝70°、β＝40°，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为（）A．h（tan50°﹣tan20°）B．h（tan50°+tan20°）C．D．10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③④11．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′，点B′恰好落在BC边土，B′C′和CD交于点P，则∠B′PD的度数是（）A．105°B．120°C．130°D．135°12．如图，每个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有3个黑点，第②个图形中有14个黑点，第③个图形中有33个黑点，按此规律，则第⑦个图中黑点的个数是（）A．189 B．190 C．245 D．246二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则＝．14．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1＝40°，则∠2＝．15．袋中装有一个红球和二个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是．16．在平面直角坐标系中，点A（2，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点的坐标为．17．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BD上一点，∠AEF＝60°．DE＝1，BF＝，则菱形的边长为．18．如图，AB是半圆的直径，E是弦AC上一点，过点E作EF⊥EB，交AB于点F，过点A 作AD∥EF，交半圆于点D．若C是的中点，＝，则的值为．三．解答题（共7小题，满分86分）19．（16分）（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°+（π﹣2016）0﹣．（2）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣2．20．（11分）某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）该超市“元旦”期间共销售个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是度；（2）补全条形统计图；（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？21．（11分）某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在15天内完成．已知每件产品的售价为65元，工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝（1）工人甲第几天生产的产品数量为80件？（2）设第x天（0≤x≤15）生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图，工人甲第x天创造的利润为W元．①求P与x的函数关系式；②求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？22．（11分）如图1，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y 轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．23．（11分）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求sin∠AED的值；（3）如果BD＝10，求半径CD的长．24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．2．【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱柱，先根据勾股定理得到主视图三角形等边的长，再根据三棱柱的全面积＝2个底面积+3个侧面积，列式计算即可求解．【解答】解：如图：由勾股定理＝3，3×2＝6，6×4÷2×2+5×7×2+6×7＝24+70+42＝136．故选：B．【点评】考查了由三视图判断几何体，由三视图求几何体的表面积，关键是由三视图得到数据的对应量．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：9500 000 000 000km用科学记数法表示是9.5×1012km，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值4．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，解得：a＝3，b＝﹣4，则（a+b）的值为：1．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．5．【分析】根据不等式的3个性质找到变形正确的选项即可．【解答】解：A、由a＜b，得a﹣2＜b﹣2，错误；B、由a＜b，得3a＜3b，正确；C、由a＜b，得﹣2a＞﹣2b，错误；D、由a＜b，|a|与|b|不能确定大小，错误；故选：B．【点评】考查不等式性质的应用；用到的知识点为：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变．6．【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．7．【分析】把x＝3代入可求得k的值，再解方程即可．【解答】∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，∴32﹣3k﹣6＝0，解得k＝1，∴x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3或x＝﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查方程根的定义，由方程根的定义求得k的值是解题的关键．8．【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，在Rt△OEB中，OE2+BE2＝OB2，即OE2+42＝（OE+2）2解得：OE＝3，∴OB＝3+2＝5，∴EC＝5+3＝8，在Rt△EBC中，BC＝，∵OF⊥BC，∴∠OFC＝∠CEB＝90°，∵∠C＝∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF＝，故选：D．【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．9．【分析】利用角的三角函数定义求出CD，BD，从而可得BC．【解答】解：过A作CB延长线的高，垂足为D，由题意可知∠ABD＝α，∠ACB＝β，AD＝h，∴BD＝h•tan20°，CD＝h•tan50°，∴BC＝CD﹣BD＝h（tan50°﹣tan20°）．故选：A．【点评】本题考查了解三角形的应用，关键是利用角的三角函数定义求出CD，BD．10．【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）对①进行判断；根据对称轴方程为x ＝﹣＝﹣1对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），由此对③进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，得到c ＜0，而a+b+c＝0，则a﹣2b+c＝﹣3b，由b＞0，于是可对④进行判断．【解答】解：∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，所以①正确；∵x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，所以②错误；∵点（1，0）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，0），∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，而a+b+c＝0，b＝2a，∴c＝﹣3a，∴a﹣2b+c＝﹣3b，∵b＞0，∴﹣3b＜0，所以④错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．11．【分析】根据旋转的性质得出AB＝AB′，∠BAB′＝30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数，然后根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），∴AB＝AB′，∠BAB′＝30°，∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠AB′C′＝∠B＝75°，∠C＝180°﹣75°＝105°．∴∠PB′C＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠B′PD＝∠PB′C+∠C＝135°，故选：D．【点评】主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B＝∠AB′B＝75°是解题关键．12．【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑点的个数为3n+（2n﹣1）2﹣1，据此求解可得．【解答】解：∵第①个图形中黑点的个数3＝3×1+12﹣1，第②个图形中黑点的个数14＝3×2+32﹣1，第③个图形中黑点的个数33＝3×3+52﹣1，……∴第⑦个图形中黑点的个数为3×7+132﹣1＝189，故选：A．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中黑点的个数为3n+（2n﹣1）2﹣1．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．【分析】根据题意列出等式，利用多项式相等的条件求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：x2﹣4x+m＝（x+3）（x﹣n）＝x2+（3﹣n）x﹣3n，∴3﹣n＝﹣4，m＝﹣3n，解得：m＝﹣21，n＝7，则原式＝﹣3，故答案为：﹣3【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1＝40°，∠4＝45°，∴∠3＝∠1+∠4＝85°，∵矩形对边平行，∴∠2＝∠3＝85°．故答案为：85°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．15．【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次都摸到红球的概率是，故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．16．【分析】利用旋转的性质画出旋转前后的图形，然后写出A′点的坐标，则可判断点A′在平面直角坐标系中的位置．【解答】解：如图，线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为（﹣3，2），点A′在第二象限．故答案为（﹣3，2）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．17．【分析】根据菱形性质得出AD＝AB，推出△ADB是等边三角形，推出AD＝AB＝BD，∠ADE＝∠ABE＝60°，设AD＝BD＝x，求出∠DAE＝∠FEB，证△ADE∽△EBF，推出＝，代入取出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝AB＝BD，∠ADE＝∠ABE＝60°，设AD＝BD＝x，∵∠AEF＝60°，∴∠DAE+∠DEA＝180°﹣60°＝120°，∠DEA+∠FEB＝180°﹣60°＝120°，∴∠DAE＝∠FEB，∵∠ADE＝∠EBF，∴△ADE∽△EBF，∴＝，∴＝，x＝3，故答案为3．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，菱形的性质等知识点的综合运用，关键是推出△ADE∽△EBF．18．【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据，设AF＝a，AE＝4a，根据圆周角定理得：∠DAC＝∠BAC，由平行线的性质和等腰三角形三线合一的性质得：AG＝EG＝2a，由勾股定理得：FG＝a，证明△ADE∽△AGF，计算AD＝，可得结论．【解答】解：延长BE交AD于A'，∵AD∥EF，EF⊥BE，∴AA'⊥BA'，∴∠AA'B＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴D与A'重合，∵，∴设AF＝a，AE＝4a，过F作FG⊥AE于G，∵C是的中点，∴，∴∠DAC＝∠BAC，∵AD∥EF，∴∠BFE＝∠DAB＝2∠BAC＝∠BAC+∠AEF，∴∠BAC＝∠AEF，∴AF＝EF，∴AG＝EG＝2a，由勾股定理得：FG＝a，∵∠DAE＝∠GAF，∠ADE＝∠AGF＝90°，∴△ADE∽△AGF，∴，∴＝，AD＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质，也考查了相似三角形的判定与性质，延长BE，证得D、E、B共线是关键．三．解答题（共7小题，满分86分）19．【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：（1）原式＝3+﹣1﹣2×+1﹣2＝3+﹣1﹣+1﹣2＝1；（2）原式＝（﹣）÷＝•＝•＝，当x＝﹣2时，原式＝＝＝2﹣1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握实数与分式的混合运算顺序和运算法则．20．【分析】（1）用C品牌的数量除以所占的百分比，计算机求出鸡蛋的总量，再用A品牌的百分比乘以360°计算即可求出圆心角的度数；（2）求出B品牌鸡蛋的数量，然后条形补全统计图即可；（3）用B品牌所占的百分比乘以1500，计算即可得解．【解答】解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%＝2400个，A品牌所占的圆心角：×360°＝60°；故答案为：2400，60；（2）B品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200＝800个，补全统计图如图；（3）分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋为：×1500＝500个．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．【分析】（1）根据y＝80求得x即可；（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．【解答】解：（1）根据题意，得：∵若8x＝80，得：x＝10＞5，不符合题意；若5x+10＝80，解得：x＝14．答：工人甲第14天生产的产品数量为80件；（2）①由图象知：当0≤x≤5时，P＝40；当5＜x≤15时，设P＝kx+b，将（5，40），（15，50）代入得：，∴，∴P＝x+35，综上，P与x的函数关系式为：P＝；②当0≤x≤5时，W＝（65﹣40）×8x＝200x，当5＜x≤15时，W＝（65﹣x﹣35）（5x+10）＝﹣5x2+140x+300，综上，W与x的函数关系式为：W＝；当0≤x≤5时，W＝200x，∵200＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝5时，W最大为1000元；当5＜x≤15时，W＝﹣5（x﹣14）2+1280，当x＝14时，W最大值为1280元，综上，第14天时，利润最大，最大利润为1280元．【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润＝售价﹣成本，学会利用函数的性质解决最值问题．22．【分析】（1）由点A在反比例函数图象上，用待定系数法确定反比例函数的解析式；（2）由反比例函数解析式先求出点B的坐标，过B作BE⊥AD于E，可得到AE、BE间的长度关系，从而得到∠BAE的度数，再根据∠BAC的度数求出∠DAC，从而得到tan∠DAC 的值，根据tan∠DAC的值及线段的和差关系，求得点C的坐标，从而确定一次函数AC 的解析式；（3）设M的横坐标为m，可知道M、N点的坐标，利用三角形的面积公式得到关于m的二次函数，利用二次函数的性质，得到△MNC的最大面积．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1）∴＝1，∴k＝2；（2）∵k＝2，所以反比例函数解析式为y＝∵点B（1，a）在反比例函数y＝的图象上，∴a＝＝2，∴点B（1，2）过B作BE⊥AD于E，则AE＝BE＝2﹣1．∴∠ABE＝∠BAE＝45°又∵∠BAC＝75°，∴∠DAC＝30°∴tan∠DAC＝tan30°＝∴DC＝AD＝＝2，∴OC＝2﹣1＝1，∴C（0，﹣1）设直线AC的解析式为y＝kx+b∴，解得∴直线AC的解析式为y＝x﹣1（3）设M（m，）（0＜m＜2），则N（m， m﹣1）则MN＝﹣（m﹣1）＝﹣m+1∴S△CMN＝（﹣m+1）•m＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+当m＝时，△CMN的面积有最大值，最大值为【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函数的最大值等知识点．综合性比较强．掌握待定系数法及二次函数最大值的求法是关键．做BE⊥AD得到等腰三角形难点．23．【分析】（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B＝∠CAE，易证得∠ADE＝∠DAE，即可得ED＝EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；（2）首先连接DM，设EF＝4k，DF＝3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由正弦函数的定义，即可求得答案；（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2＝k •（10+5k），解此方程即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵∠ADE＝∠1+∠B，∠DAE＝∠2+∠3，且∠B＝∠3，∴∠ADE＝∠DAE，∴ED＝EA，∵ED为⊙C直径，∴∠DFE＝90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点；（2）解：连接DM，设EF＝4k，DF＝3k，则ED＝＝5k，∵AD•EF＝AE•DM，∴DM＝＝k，∴ME＝＝k，∴sin∠AED＝＝；（3）解：∵∠B＝∠3，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE：BE＝CE：AE，∴AE2＝CE•BE，∴（5k）2＝k•（10+5k），整理得：25k2＝50k，∵k＞0，∴k＝2，∴CD＝k＝5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．24．【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）讨论：当以AB为对角线，利用EA＝EB和四边形AFBE为平行四边形得到四边形AFBE 为菱形，则点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，所以F点坐标为（﹣1，﹣4）；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到EF＝AB＝4，则可确定F的横坐标，然后代入抛物线解析式得到F点的纵坐标．【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c中，得：，解得：．故抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，把点B（3，0）代入y＝kx+3中，得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x＝2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为．（3）存在．点F的坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．当以AB为对角线，如图1，∵四边形AFBE为平行四边形，EA＝EB，∴四边形AFBE为菱形，∴点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，∴F点坐标为（2，﹣1）；当以AB为边时，如图2，∵四边形AFBE为平行四边形，∴EF＝AB＝2，即F2E＝2，F1E＝2，∴F1的横坐标为0，F2的横坐标为4，对于y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝16﹣16+3＝3，∴F点坐标为（0，3）或（4，3）．综上所述，F点坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）注意分类思想的运用．25．【分析】（1）由比例中项知＝，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE可得答案；（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知＝，据此求得AE＝8﹣＝，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知＝，求得AM＝，由＝求得MN＝；（3）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．【解答】解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项∴＝，∵∠A＝∠A，∴△AME∽△AEN，∴∠AEM＝∠ANE，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵EM⊥BC，∴∠AEM+∠DEC＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴∠ANE＝∠DCE；（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC+∠AEN＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ANE+∠AEN＝90°，∴∠ANE＝∠EAC，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EAC，∴tan∠DCE＝tan∠DAC，∴＝，∵DC＝AB＝6，AD＝8，∴DE＝，∴AE＝8﹣＝，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，∴＝，∴AM＝，∵＝，∴AN＝，∴MN＝；（3）∵∠NME＝∠MAE+∠AEM，∠AEC＝∠D+∠DCE，又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴∠AEC＝∠NME，当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①∠ENM＝∠EAC，如图2，∴∠ANE＝∠EAC，由（2）得：DE＝；②∠ENM＝∠ECA，如图3，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠ECA＝∠DCE，∴HE＝DE，又tan∠HAE＝＝＝，设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，又AE+DE＝AD，∴5x+3x＝8，解得x＝1，∴DE＝3x＝3，综上所述，DE的长分别为或3．【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．。
四川绵阳二诊文科数学答案
≤ (tm − m) + (tx − tm) = tx − m = f (tx) ． 所以 f (tx) ≥ tf (x) + f (tm) ． …………………………………………………10 分
文科数学答案第5页（共 5 页）
，t∈
(1，e2] ．
令 (t)
=
(t
+1)ln t
，则 (t)
=
t
−
2ln t
−
1 t
．
t −1
(t −1)2
…………………………9 分
文科数学答案第4页（共 5 页）
令 (t)
=
t − 2ln t − 1 ，则 (t) =1− t
2 t
+
1 t2
=
t2
− 2t t2
+1 =
(t
−1)2 t2
e e2 −1
，
2(e2 +1)
所以 x1x3 的最大值为 e e2 −1 ． ………………………………………………12 分
22．解：（1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程为 (x − 2)2 + y2 = 9 ，
即 x2 + y2 − 4x − 5 = 0 ． ……………………………………………………… 2 分
17．解：（1）∵ 3Sn=4an-4， ①
∴ 当 n≥2 时， 3Sn−1 = 4an−1 − 4 ．② …………………………………………2 分
由① − ②得 3an = 4an − 4an−1 ，即 an = 4an−1 (n≥2)． ………………………3 分
当 n=1 时，得 3a1 = 4a1 − 4 ，即 a1 = 4 ．
2019年01月10日四川省绵阳市高2016级二诊文科数学试题及理科数学试题答案汇编
绵阳市高中2016级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ABDAB BDCAC CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．20014．12 15．x >13-16．25三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）∵ 3S n =4a n -4， ①∴ 当n ≥2时，11344n n S a --=-．② ………………………………………2分 由①-②得1344n n n a a a -=-，即14n n a a -=(n ≥2)． ………………………3分 当n =1时，得11344a a =-，即14a =．∴ 数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列．……………………………5分 ∴ 数列{a n }的通项公式为4n n a =． …………………………………………6分 （2）∵ 2211log log n n n b a a +=⋅=1221log 4log 4n n +⋅=1111()2(22)41n n n n =-⋅++． …………………………………8分∴ 数列{b n }的前n 项和123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+11111111[(1)()()()]4223341n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+11(1)414(1)n n n =-=++． ………………………12分 18．解：（1）1099.510.511105x ++++==，7876777980785y ++++==． ………………………………2分∴ 51()()(1010)(7878)(910)(7678)(9.510)(7778)i i i x x y y =--=--+--+--∑(10.510)(7978)(1110)(8078+--+-- =5， ………………………………………………………4分52222221()(1010)(910)(9.510)(10.510)(1110) 2.5ii x x =-=-+-+-+-+-=∑，∴ 51521()()5ˆ22.5()iii ii x x yy bx x ==--===-∑∑．……………………………………………7分 ∴ ˆˆ7821058ay bx =-=-⨯=． ……………………………………………8分 ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ258y x =+． ………………………………9分 （2）当x =8时，ˆ285874y=⨯+=． 满足|74-73|=1<2， ……………………………………………………………10分当x =8.5时，ˆ28.55875y =⨯+=．满足|75-75|=0<2， ……………………………………………………………11分 ∴ 所得的线性回归方程是可靠的． ………………………………………12分19．解 ：（1）∵=(sin )AC b c a C ⋅-，∴cos A =b (c -a sin C )，即cos A =c -a sin C ． ………………………………………………………2分由正弦定理得C cos A =sin C -sin A sin C ，∵ sin C ≠0，∴A =1-sin A ，即sin A+A =1． …………………………………4分 ∴12sin A+cos A =12，即sin (A +3π)=12．∵ 0<A <π,∴4333A πππ<+<． ∴ A +3π=56π，即A =2π． ……………………………………………………6分（2）在△BCN 中，由余弦定理得BC 2=NB 2+NC 2-2NB ⋅NC cos N ，∵ BN =4，CN =2，∴ BC 2=16+4-16cos N =20-16cos N ．…………………………………………8分 由（1）和b =c ，得△ABC 是等腰直角三角形， 于是AB =AC=， ∴ 四边形ABCD 的面积S =S △ABC +S △BC N =211sin 22AB NC NB N +⋅ = 211124sin 222BC N ⋅+⨯⨯=1(2016cos )4sin 4N N -+=4sin 4cos 5N N -+=)54N π-+． ……11分∴ 当N =34π时，S取最大值 即四边形ABCD的面积的最大值是 ………………………………12分 20．解：（1）由椭圆定义得|AB |+|AF 2|+|BF 2|=4a =82，则|AB|=……2分 因为直线l 过点F 1(-2,0)，所以m =2k 即直线l 的方程为y =k (x +2). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立()222802x y y k x ⎧⎪⎨+-=⎪=⎩+，，整理得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2-8=0． ∴ x 1+x 2=22812k k -+，x 1x 2=222188k k +-．……………………………………………4分由弦长公式|AB |=， 代入整理得2212123k k +=+，解得1k =±．所以直线l 的方程为(2)y x =±+，即20x y -+=或+20x y +=． ………………………………………………6分 （2）设直线l 方程y =kx +m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立22280y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，，整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2-8=0.∴ x 1+x 2=2421kmk -+，x 1x 2=222821m k -+． …………………………………………8分以AB 为直径的圆过原点O ，即0OA OB ⋅=． ………………………………9分∴ OA OB ⋅=x 1x 2+ y 1y 2=0．将y 1=kx 1+m ，y 2= kx 2+m 代入，整理得(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0． …………………………………………10分将x 1+x 2=2421kmk -+，x 1x 2=222821m k -+代入，整理得3m 2=8k 2+8． …………………………………………………………11分 ∵ 点P 是线段AB 上的点，满足OP AB ⊥， 设点O 到直线AB 的距离为d ，∴ |OP |=d ，于是|OP |2=d 2=22813m k =+（定值），∴ 点P的轨迹是以原点为圆心，x 轴的交点. 故点P 的轨迹方程为2283x y +=(0y ≠)． ………………………………12分21．解：（1）由题意得()ln f x x mx '=-，x >0．由题知()ln f x x mx '=-=0有两个不等的实数根，即ln xm x =有两个不等的实数根． ……………………………………………2分 令ln ()x h x x =，则21ln ()xh x x-'=． 由()h x '>0，解得0e x <<，故()h x 在(0，e)上单调递增；由()h x '<0，解得x >e ，故()h x 在(e ，+∞)上单调递减； 故()h x 在x =e 处取得极大值1e，且0)(>e h ， 结合图形可得10em <<.∴当函数f (x )有两个极值点时，实数m 的取值范围是(0，e1)． …………5分 （2）因为g (x )=x ln x -mx 2-eln x+m e x =(x -e)(ln x -mx )， 显然x =e 是其零点．由（1）知ln x -mx =0的两个根分别在(0，e)，(e ，+∞)上，∴ g (x )的三个不同的零点分别是x 1，e ，x 3，且0<x 1<e ，x 3>e ． …………6分 令31x t x =，则t ∈2(1e ]，． 则由313311ln ln x t x x mx x mx ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，，， 解得13ln ln 1ln ln .1t x t t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，故1313(1)ln ln()ln ln 1t tx x x x t +=+=-，t ∈2(1e ]，． …………………………8分令(1)ln ()1t t t t ϕ+=-，则212ln ()(1)t t t t t ϕ--'=-． 令1()2ln t t t tφ=--，则0)1(12121)(22222>-=+-=+-='t t t t t t t t φ．所以()t φ在区间2(1e ]，上单调递增，即()t φ>(1)0φ=． …………………11分 所以()0t ϕ'>，即()t ϕ在区间2(1e ]，上单调递增，即()t ϕ≤2(e )ϕ=222(e 1)e 1+-，所以21222(1)ln()1e x x e +≤-，即x 1x 3≤222(e 1)e 1e+-.所以x 1x 3的最大值为222(e 1)e 1e+-． ……………………………………………12分22．解：（1）由曲线C 的参数方程，可得曲线C 的普通方程为22(2)9x y -+=，即22450x y x +--=． ……………………………………………………… 2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为24cos 50ρρθ--=． ………………………4分（2）将6πθ=代入(cos sin)t ρθθ+=中，得t =，则1)t ρ=． ∴ |OM |=t )13(-．…………………………………………………………6分将6πθ=代入24cos 50ρρθ--=中，得250ρ--=．设点P 的极径为1ρ，点Q 的极径为2ρ，则125ρρ=-． …………………8分 所以|OP |⋅|OQ |=5． …………………………………………………………… 9分 又|OM |⋅|OP |⋅|OQ |=10，则5t )13(-=10．∴ t =31--或1． ……………………………………………………10分 23．解：（1）由m =1，则()f x =|x -1|，即求不等式|x -3|+|2x -1|>4的解集．当x ≥3时，|x -3|+|2x -1|=3x -4>4恒成立；当132x << 时，x +2>4，解得x >2，综合得23x <<； ……………………3分 当x ≤12时，4-3x >4，解得x <0，综合得x <0； …………………………… 4分所以不等式的解集为{x |x <0，或x >2}．………………………………………5分 （2）证明：∵ t <0，∴ ()()tf x f tm t x m tm m +=-+-tm m tx tm =---……………………………………………7分≤()()tm m tx tm -+- =tx m -=()f tx ．所以()f tx ≥()()tf x f tm ． …………………………………………………10分绵阳市高中2016级第二次诊断性考试 数学（文）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DBDAD BAACC CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．2515．13x >-16．三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）∵ 3S n =4a n -4， ①∴ 当n ≥2时，11344n n S a --=-．② …………………………………………2分 由①-②得1344n n n a a a -=-，即14n n a a -=(n ≥2)． ………………………3分 当n =1时，得11344a a =-，即14a =．∴ 数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列． …………………………5分 ∴ 数列{a n }的通项公式为4n n a =． …………………………………………6分 （2）∵ 2211log log n n n b a a +=⋅=1221log 4log 4n n +⋅ =1111()2(22)41n n n n =-⋅++． …………………………………8分∴ 数列{b n }的前n 项和123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+11111111[(1)()()()]4223341n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+11(1)414(1)n n n =-=++．………………………12分 18．解：（1）1099.510.511105x ++++==，7876777980785y ++++==． ………………………………2分∴ 51()()(1010)(7878)(910)(7678)(9.510)(7778)i i i x x y y =--=--+--+--∑(10.510)(7978)(1110)(8078+--+-- =5， ………………………………………………………4分52222221()(1010)(910)(9.510)(10.510)(1110) 2.5ii x x =-=-+-+-+-+-=∑，∴ 51521()()5ˆ22.5()iii ii x x yy bx x ==--===-∑∑．……………………………………………7分 ∴ ˆˆ7821058a=-=-⨯=． ……………………………………………8分 ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ258yx =+． ………………………………9分 （2）当x =8时，ˆ285874y=⨯+=． 满足|74-73|=1<2，……………………………………………………………10分当x =8.5时，ˆ28.55875y =⨯+=．满足|75-75|=0<2，……………………………………………………………11分 ∴ 所得的线性回归方程是可靠的． ………………………………………12分19．解 ：（1）∵=sin )AC b a C ⋅-，∴cos A =b(-a sin C )，即cos A=-a sin C ． ……………………………………………………2分由正弦定理得C cos A=C -sin A sin C ，∵ sin C ≠0，∴A=sin A ，即sin A+A=4分 所以12sin A+cos A=，即sin (A +3π)=∵ 0<A <π, ∴4333A πππ<+<． ∴ A +3π=23π，即A =3π．……………………………………………………6分 （2）在△ABC 中，由余弦定理得 a 2=b 2+c 2-2bc cos A ， 由（1）得A =3π，所以a 2=b 2+c 2-2bc cos3π，即a 2=b 2+c 2-bc . …………8分∵ a= ∴ 3=b 2+c 2-bc ， 即3=(b +c )2-3bc . 已知b +c=，解得bc =54. ………………………………………………10分 所以△ABC的面积为115sin sin 2243bc A π=⋅=. …………………………12分20．解：（1）因为直线l 过点F 1(-2,0)，所以m =2k 即直线l 的方程为y =k (x +2).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立()222802x y y k x ⎧⎪⎨+-=⎪=⎩+，， 整理得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2-8=0． ∴ x 1+x 2=22812k k -+，x 1x 2=228812k k -+．……………………………………………4分由弦长公式|AB |=， 代入整理得2212123k k +=+，解得k 2=1. ∴1k =±． ………………………………………………………………………6分 （2）设直线l 方程y =kx +m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立22280y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，，整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2-8=0. ∴ x 1+x 2=2421kmk -+，x 1x 2=222821m k -+． …………………………………………8分以AB 为直径的圆过原点O ，即0OA OB ⋅=． ………………………………9分∴ OA OB ⋅=x 1x 2+ y 1y 2=0．将y 1=kx 1+m ，y 2= kx 2+m 代入，整理得(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0． …………………………………………10分将x 1+x 2=2421kmk -+，x 1x 2=222821m k -+代入，整理得3m 2=8k 2+8． …………………………………………………………11分 设点O 到直线AB 的距离为d ，于是d 2=22813m k =+， 故O 到直线AB的距离是定值为d =． ……………………………12分 21．解：（1）函数)(x f 的定义域为(0，+∞).由已知可得11()mxf x m x x-'=-=． 当m ≤0时，)(x f '>0，故()f x 在区间(0，+∞)上单调递增；………………2分当m >0时，由0)(>'x f ，解得10x m <<；由0)(<'x f ，解得1x m>．所以函数)(x f 在(0，1m )上单调递增，在(1m，+∞)上单调递减. …………4分 综上所述，当m ≤0时，函数()f x 在区间(0，+∞)上单调递增；当m >0时， 函数)(x f 在(0，1m)上单调递增， 函数)(x f 在(1m，+∞)上单调递减. ……………5分 （2）∵ 函数g (x )=(x -e)(ln x -mx )有且只有三个不同的零点， 显然x =e 是其零点，∴ 函数()=ln f x x mx -存在两个零点，即ln 0x mx -=有两个不等的实数根． 可转化为方程ln xm x=在区间(0，+∞)上有两个不等的实数根， 即函数y =m 的图象与函数ln ()xh x x=的图象有两个交点. ∵ 21ln ()xh x x -'=， ∴ 由()h x '>0，解得0e x <<，故()h x 在上单调递增；由()h x '<0，解得x >e ，故()h x 在(e ，+∞)上单调递减；故函数y =m 的图象与ln ()xh x x=的图象的交点分别在(0，e)，(e ，+∞)上， 即ln x -mx =0的两个根分别在区间(0，e)，(e ，+∞)上，∴ g (x )的三个不同的零点分别是x 1，e ，x 3，且0<x 1<e ，x 3>e ． …………7分 令31x t x =，则t ∈2(1e ]，． 由313311ln ln x t x x mx x mx ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，，， 解得13ln ln 1ln ln .1t x t t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，故1313(1)ln ln()ln ln 1t tx x x x t +=+=-，t ∈2(1e ]，． …………………………9分令(1)ln ()1t t t t ϕ+=-，则212ln ()(1)t t t t t ϕ--'=-． 令1()2ln t t t tφ=--，则0)1(12121)(22222>-=+-=+-='t t t t t t t t φ．所以()t φ在区间2(1e ]，上单调递增，即()t φ>(1)0φ=．所以()0t ϕ'>，即()t ϕ在区间2(1e ]，上单调递增，即()t ϕ≤2(e )ϕ=222(e 1)e 1+-， 所以21222(1)ln()1e x x e +≤-，即x 1x 3≤222(e 1)e 1e +-，所以x 1x 3的最大值为22(e 1)e 1e +-． ………………………………………………12分22．解：（1）由曲线C 的参数方程，可得曲线C 的普通方程为22(2)9x y -+=，即22450x y x +--=． ……………………………………………………… 2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为24cos 50ρρθ--=． ………………………4分（2）将6πθ=代入(cos sin )t ρθθ+=中，得t =，则1)t ρ=． ∴ |OM |=t )13(-． ………………………………………………………6分将6πθ=代入24cos 50ρρθ--=中，得250ρ--=．设点P 的极径为1ρ，点Q 的极径为2ρ，则125ρρ=-． …………………8分 所以|OP |⋅|OQ |=5． …………………………………………………………… 9分 又|OM |⋅|OP |⋅|OQ |=10，则5t )13(-=10．∴ t =13--或1． ………………………………………………………10分23．解：（1）由m =1，则()f x =|x -1|，即求不等式|x -3|+|2x -1|>4的解集．当x ≥3时，|x -3|+|2x -1|=3x -4>4恒成立； 当132x << 时，x +2>4，解得x >2，综合得23x <<； ……………………3分 当x ≤12时，4-3x >4，解得x <0，综合得x <0； …………………………… 4分 所以不等式的解集为{x |x <0，或x >2}．………………………………………5分（2）证明：∵ t <0，∴ ()()tf x f tm t x m tm m +=-+-tm m tx tm =---……………………………………………7分 ≤()()tm m tx tm -+-=tx m -=()f tx ．所以()f tx ≥()()tf x f tm +． …………………………………………………10分。
2016年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷及解析答案word版
2016年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷一、选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣6的绝对值是（）A．﹣6 B ．﹣ C ．D．62．（3分）在过去的2015年北上广深等一线城市楼市火爆，其中仅北京的新房总成交额就达到2500亿元，若用科学记数法表示该数据应是（）A．2.5×1011元 B．25×1010元C．2.5×1012元 D．0.25×1011元3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．（3分）“双十一”购物节后，小明对班上同学中的12位进行抽样调查并用数字1﹣12对每位被调查者进行编号，统计每位同学在购物节中的消费金额，结果如表所示：根据上表统计结果，被调查的同学在“双十一”购物节中消费金额的平均数和众数分别为（）A．400，300 B．300，400 C．400，400 D．300，3005．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥6．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点H，E是⊙O上的点，若∠BEC=25°，则∠BAD的度数为（）A．65°B．50°C．25°D．12.5°7．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．158．（3分）下面关于四边形的说法中，错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．一组邻边垂直的平行四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D．矩形是特殊的平行四边形，正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E、F分别在边AB，CD上，且∠FEA=60°，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，当M，N分别在边BC，AD上时．若令△A′B′M的面积为y，AE的长度为x，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣x2+6x﹣8B．y=﹣2x2﹣12x+16C．y=2x2+12x﹣16D．y=﹣x2+2x﹣10．（3分）已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1，x2），若x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根，则下列四种说法中错误的是（）A．必有b≠0B．必有m2﹣b2=8C．线段OA的长度必定大于2D．除A点外y=与y=x+b图象必定还有一个交点，且两交点位于同一象限11．（3分）如图△ABC中，tan∠C=，DE⊥AC，若CE=5，DE=1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则BE的长度是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，⊙O是以原点为圆心，半径为2的圆，点A（6，2），点P是⊙O上一动点，以线段PA为斜边构造直角△PAM，且cos∠MPA=，现已知当点P在⊙O上运动时，保持∠MPA的大小不变，点M随着点P运动而运动且运动路径也形成一个圆，则该圆的半径是（）A．B．C．D．1二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．（3分）化简：（2a2）3=．14．（3分）如图，m∥n，点A在直线m上，B、C两点在直线n上，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=．15．（3分）如图，已知点A、B、C、D、E、F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取得长度为的线段的概率为．16．（3分）如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，分别以AB、AC 为直径作圆，则图中阴影部分的面积是．17．（3分）若规定f（x）是正整数x所唯一对应的实数，且对于任意的正整数a、b都有f（a+b）=f（a）•f（b），如f（5）=f（3+2）=f（3）•f（2），现已知f（1）=．给出下列结论：①f（2）=2．②若a＞b，则必有f（a）＞f（b）．③当a＞b时，存在符合条件的a、b，使得2f（a）=f（a﹣b）+f（a+b）成立．④当a＞b时，必有f（2a）=f（a﹣b）•f（a+b）成立．其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论的序号）．18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y=x+2，直线y=﹣x+2和直线y=4所围成的区域内或其边界上，点M在x轴上，若点N的坐标为（5，1），当MN+MP最小时，点P坐标是．三、解答题（本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算+|（）0﹣2sin45°|+2﹣1（2）解方程：﹣2=．20．（11分）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有人，男生最喜欢“乒乓球”项目的有人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生400人，女生450人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．21．（11分）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED=45°．（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE=，求AE的长．22．（11分）如图，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，∠AOC=45°，OA=2，反比例函数y=在第一现象内的图象经过点A，与BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D的纵坐标为，求直线AD的解析式．23．（11分）一工厂共有6条生产线生产某种机器设备，每条生产线每月可生产500台，该厂计划从今年1月开始对6条生产线各进行一次改造升级，每月改造升级1条生产线，这条生产线当月停产，并于次月再投入生产，每条生产线改造升级后，每月产量将比原来提高20%．已知每条生产线改造升级的费用为30万元，将今年1月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的产量设为y台．（1）求该厂第3个月的产量；（2）请求出y关于x的函数解析式；（3）如果每生产一台机器可盈利400元，至少要到第几个月，这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额？24．（12分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AC上点，且CE=CB，F为BE上点，M为BC上点，且MF⊥BE，并与OB相交于点N．（1）求证：△BOE∽△MFB；（2）若BD=AC，BF=a，求MN的长．（结果用a表示）25．（14分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6，0）、B（0，8）．已知点C（4，m）在抛物线上，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，AC与y轴交于点E．（1）请给出抛物线解析式；（2）若令∠BAO=α，请求tan的值；（注：要求运用课本所学知识结合题中几何关系进行推导求值）．（3）如图2，点P为线段CD上一动点（不与C、D重合），延长PE与x轴交于点M，点N′为AB上点，且∠PMN=∠BAO，若点P横坐标记为x，AN长度记为y，请求出y关于x的函数解析式，并求出AN长度取值范围．2016年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣6的绝对值是（）A．﹣6 B．﹣ C．D．6【解答】解：|﹣6|=6．故选D．2．（3分）在过去的2015年北上广深等一线城市楼市火爆，其中仅北京的新房总成交额就达到2500亿元，若用科学记数法表示该数据应是（）A．2.5×1011元 B．25×1010元C．2.5×1012元 D．0.25×1011元【解答】解：2500亿=2.5×1011．故选A．3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．4．（3分）“双十一”购物节后，小明对班上同学中的12位进行抽样调查并用数字1﹣12对每位被调查者进行编号，统计每位同学在购物节中的消费金额，结果如表所示：根据上表统计结果，被调查的同学在“双十一”购物节中消费金额的平均数和众数分别为（） A ．400，300B ．300，400C ．400，400D ．300，300【解答】解：∵300出现了5次，出现的次数最多， ∴众数是300；这组数据的平均数是：（300×5+200+400×3+500+600+800）÷12=400； 故选：A ．5．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．正三棱柱D ．正三棱锥【解答】解：由几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形， 故该几何体是一个柱体， 又∵俯视图是一个圆， ∴该几何体是一个圆柱． 故选：B ．6．（3分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点H ，E 是⊙O 上的点，若∠BEC=25°，则∠BAD 的度数为（ ）A ．65°B ．50°C ．25°D ．12.5°【解答】解：连接AC，∵直径AB⊥弦CD于点H，∴∴∠CAB=∠DAB∵∠BAC=∠BEC=25°，∴∠BAD=∠BAC=25°．故选C．7．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．15【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴=，∵BE=1.5，AB=2，BC=14，∴AC=16，∴=，∴CD=12．故选B．8．（3分）下面关于四边形的说法中，错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．一组邻边垂直的平行四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D．矩形是特殊的平行四边形，正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形【解答】解：A、菱形的四条边都相等，正确．B、一组邻边垂直的平行四边形是矩形，正确．C、对角线相等且互相垂直的四边形可能是等腰梯形，可能是正方形，错误．D、矩形是特殊的平行四边形，正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形，正确．故选C．9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E、F分别在边AB，CD上，且∠FEA=60°，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，当M，N分别在边BC，AD上时．若令△A′B′M的面积为y，AE的长度为x，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣x2+6x﹣8B．y=﹣2x2﹣12x+16C．y=2x2+12x﹣16D．y=﹣x2+2x﹣【解答】解：∵∠AEF=60°，∴∠BEF=120°，由题意知，∠BEM=∠B′EM=60°，∠B=∠EB′M=90°，BE=B′E=4﹣x，∴BM=BM′=BEtan∠BEM=（4﹣x），又∵AE=A′E=x，∴A′B′=A′E﹣B′E=x﹣（4﹣x）=2x﹣4，∵S=×A′B′×B′M，△A′B′M∴y=（2x﹣4）[（4﹣x）]=﹣x2+6x﹣8，故选：A．10．（3分）已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1，x2），若x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根，则下列四种说法中错误的是（）A．必有b≠0B．必有m2﹣b2=8C．线段OA的长度必定大于2D．除A点外y=与y=x+b图象必定还有一个交点，且两交点位于同一象限【解答】解：A、∴反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1，x2），∴x2=x1+b，∴b=x2﹣x1，∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根，∴b=x2﹣x1≠0，故正确；B、∵x2=x1+b，∴x2﹣x1=b，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=b2，∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根，∴x1x2=2，x1+x2=﹣m，∴m2﹣4×2=b2，∴m2﹣b2=8，故正确；C、∵点A（x1，x2），∴OA===，∵m2﹣b2=8，∴m2=，m2﹣b2=8∴OA=，∴b2+4＞4，∴OA=＞2，故正确；D、∵反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1，x2），∴x1x2=k，∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根，∴x1x2=2，∴k=2，∴反比例函数在一三象限，∵一次函数y=x+b的图象一定经过一、三象限，∴y=与y=x+b图象的交点分别在第一、第三象限，故错误；故选D．11．（3分）如图△ABC中，tan∠C=，DE⊥AC，若CE=5，DE=1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则BE的长度是（）A．B．C．D．【解答】解：作BF⊥AC于点F，如右图所示，∵CE=5，DE=1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，DE⊥AC，∴，即，解得，BF=2AE，设AE=a，则BF=2a，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴△ADE∽△ABF，即，得AF=2a2，∴EF=2a2﹣a，∵tan∠C=，tanC=，BF=2a，解得，CF=4a，∵CE=CF+EF，CE=5，即5=4a+2a2﹣a，解得，a=1或a=﹣2.5（舍去），∴BF=2，EF=1，∴BE=，故选C．12．（3分）如图，⊙O是以原点为圆心，半径为2的圆，点A（6，2），点P是⊙O上一动点，以线段PA为斜边构造直角△PAM，且cos∠MPA=，现已知当点P在⊙O上运动时，保持∠MPA的大小不变，点M随着点P运动而运动且运动路径也形成一个圆，则该圆的半径是（）A．B．C．D．1【解答】解：如图，作直线AO交⊙O于P1，P2．∵点P在⊙O上运动，∴PA的最小值就是AP1的长，PA的最大值就是PA2的长，∵∠AP1M1=∠AP2M2，∴P1M1∥P2M2，∵∠AM1P1=∠AM2P2=90°，∴A、M1、M2共线，∵OA==2，∴AP1=2﹣2，AP2=2+2，∵cos∠AP1M1=，∴sin∠AP1M1=，∴AM1=PA1•=（2﹣2），AM2=（2+2），∴M1M2=，由图象可知M1M2就是点M随着点P运动而运动且运动路径形成的圆的直径，∴该圆的半径是．故答案为C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．（3分）化简：（2a2）3=8a6．【解答】解：（2a2）3=23•a2×3=8a6．14．（3分）如图，m∥n，点A在直线m上，B、C两点在直线n上，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=45°．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=45°．∵m∥n，∴∠1=∠B=45°．故答案为：45°．15．（3分）如图，已知点A、B、C、D、E、F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取得长度为的线段的概率为．【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，∴AF=EF=1，∠AFE=120°，∴∠FAE=30°，∴AN=，∴AE=，同理可得：AC=，故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．故答案为：．16．（3分）如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，分别以AB、AC为直径作圆，则图中阴影部分的面积是π﹣6．【解答】解：π×（3÷2）2+π×（4÷2）2﹣4×3÷2=π+2π﹣6=π﹣6．故图中阴影部分的面积是π﹣6．故答案为：π﹣6．17．（3分）若规定f（x）是正整数x所唯一对应的实数，且对于任意的正整数a、b都有f（a+b）=f（a）•f（b），如f（5）=f（3+2）=f（3）•f（2），现已知f（1）=．给出下列结论：①f（2）=2．②若a＞b，则必有f（a）＞f（b）．③当a＞b时，存在符合条件的a、b，使得2f（a）=f（a﹣b）+f（a+b）成立．④当a＞b时，必有f（2a）=f（a﹣b）•f（a+b）成立．其中正确的结论是①②④（写出你认为正确的所有结论的序号）．【解答】解：①f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）==2，∴①正确；②设a=b+n，n为正整数，∴f（a）=f（b）+f（n）=f（b）+nf（1）=f（b）+n＞f（b），∴②正确；③∵f（a﹣b）+f（a+b）=﹣f（a）•f（b）+f（a）•f（b）=0，由②知f（a）≥f（1），∵f（1）=，∴f（a）≥≠0，∴③不正确；④∵f（a﹣b）•f（a+b）=f（a﹣b+a+b）=f（2a），∴④正确；∴正确的有①②④故答案为①②④．18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y=x+2，直线y=﹣x+2和直线y=4所围成的区域内或其边界上，点M在x轴上，若点N的坐标为（5，1），当MN+MP最小时，点P坐标是（1，3）．【解答】解：如图，作直线y=x+2关于x轴的对称的直线y=﹣x﹣2，过点N作直线y=﹣x﹣2的垂线垂足为E，交x轴于M，则点E坐标（1，﹣3），点E关于x轴的对称点P坐标（1，3），此时MN+MP最短，理由：∵MN+MP=MN+ME=NE，∴MN+MP最短（垂线段最短）．故点P坐标为（1，3），故答案为（1，3）．三、解答题（本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算+|（）0﹣2sin45°|+2﹣1（2）解方程：﹣2=．【解答】解：（1）原式=2+﹣1+=3﹣；（2）去分母得：x2+2x﹣2x2﹣2x+4=2，即x2=2，解得：x=±，经检验x=±都为分式方程的解．20．（11分）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，男生最喜欢“乒乓球”项目的有20人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生400人，女生450人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【解答】解：（1）女生最喜欢“踢毽子”项目的有：50﹣15﹣9﹣9﹣7=10人，男生最喜欢“乒乓球”项目的有：50×（1﹣8%﹣10%﹣14%﹣28%）=20人；（2）补充条形统计图如右图：．（3）400×28%+450×=193，答：该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数为193人．21．（11分）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED=45°．（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE=，求AE的长．【解答】（1）证明：连接OD，则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°，∴OD⊥CD，∴CD与圆O相切；（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE，∴sin∠ADE=sin∠ABE=，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6，在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴AE=5．22．（11分）如图，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，∠AOC=45°，OA=2，反比例函数y=在第一现象内的图象经过点A，与BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D的纵坐标为，求直线AD的解析式．【解答】解：（1）如图，作AH⊥x轴于点H，∵OA=2，∠AOH=45°，∴OH=AH=OAsin∠AOH=2×=，即A（，），又∵点A（，）在y=图象上，∴m=×=2，∴反比例函数解析式是y=；（2）∵点D的纵坐标为，且点D在双曲线y=上，∴其横坐标为2，即D（2，），设直线AD解析式为：y=kx+b，将点A（，）、D（，2）代入得：，解得：，∴直线AD的解析式为y=﹣x+．23．（11分）一工厂共有6条生产线生产某种机器设备，每条生产线每月可生产500台，该厂计划从今年1月开始对6条生产线各进行一次改造升级，每月改造升级1条生产线，这条生产线当月停产，并于次月再投入生产，每条生产线改造升级后，每月产量将比原来提高20%．已知每条生产线改造升级的费用为30万元，将今年1月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的产量设为y台．（1）求该厂第3个月的产量；（2）请求出y关于x的函数解析式；（3）如果每生产一台机器可盈利400元，至少要到第几个月，这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额？【解答】解：（1）由已知可得，第3个月的产量是：2×500×（1+20%）+500×3=2700（台），答：该厂第3个月的产量是2700台．（2）①当1≤x≤6时，每月均有一条生产线在停产改造，即均是有5条生产线在生产，其中，升级后的生产线有x﹣1条，未升级的生产线有6﹣x条，根据题意，得：y=（x﹣1）×500×（1+20%）+（6﹣x）×500=100x+2400；②当x＞6时，y=500×（1+20%）×6=3600台；综上，y=．（3）由（2）得，当1≤x≤6时，y=100x+2400，则前6个月的总产量Q=100×（1+2+3+4+5+6）+2400×6=16500（台），∴前6个月的盈利扣除改造升级的成本应是：16500×0.04﹣30×6=480（万元），如果不升级改造，前6个月盈利应是：500×6×6×0.04=720（万元），故前6个月不符合题目要求，从而得x＞6，则有：480+（x﹣6）×3600×0.04≥500×6x×0.04，解得：x≥16，答：至少要到第16个月，这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额．24．（12分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AC上点，且CE=CB，F为BE上点，M为BC上点，且MF⊥BE，并与OB相交于点N．（1）求证：△BOE∽△MFB；（2）若BD=AC，BF=a，求MN的长．（结果用a表示）【解答】（1）证明：∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，∴AC⊥BD，∴∠BOE=90°，∵CE=CB，∴∠CEB=∠CBE，∵MF⊥BE，∴∠BFM=90°，∴∠BOE=∠BFM，∴△BOE∽△MFB；（2）解：作MP∥AC与BE交于点P，与OB交于点Q，如图所示：由△BOE∽△MFB，∴∠EBO=∠FMB，∵BD=AC，∴OB=OC，∴tan∠OCB==，∵MP∥AC，∴∠MPB=∠CEB=∠CBE，∠MQN=90°，=，∴△MBP为等腰三角形，∵MF⊥BE，∴BF=FP，∠PMF=∠BMF=∠PBQ，∵∠MQN=∠BQP=90°，∴△PBQ∽△NMQ，∴===，∴MN=BP=×2BF=3BF=3a．25．（14分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6，0）、B（0，8）．已知点C（4，m）在抛物线上，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，AC与y轴交于点E．（1）请给出抛物线解析式；（2）若令∠BAO=α，请求tan的值；（注：要求运用课本所学知识结合题中几何关系进行推导求值）．（3）如图2，点P为线段CD上一动点（不与C、D重合），延长PE与x轴交于点M，点N′为AB上点，且∠PMN=∠BAO，若点P横坐标记为x，AN长度记为y，请求出y关于x的函数解析式，并求出AN长度取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6，0）、B（0，8），∴，解得，，即抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+8；（2）如图1所示，过点C作CH⊥x轴于点H，∵点C（4，m）在抛物线上，∴，得m=5，∴点C（4，5），又∵点A（﹣6，0），点B（0，8），∴AB=，BC=，∵CH=5，AH=AO+OH=6+4=10，AC=AC，∴AB=AH，BC=HC，∴△ABC≌△AHC，∴∠BAC=∠HAC，∵∠BAO=∠BAC+∠HAC，∴∠HAC=，∴tan；（3）如图2，作MQ⊥AB于点Q，∵∠NMO=∠PMN+∠PMO=∠BAO+∠ANM，又∵∠PMN=∠BAO，∴∠PMO=∠ANM，∵CH∥EO，在图1中，，∴OE=，∵BD=8﹣5=3，∴OE=OB﹣BD﹣OE=8﹣3﹣3=2，∵点P横坐标为x，即PD=x，∴tan∠EMO=tan∠DPE=，∴，即，得OM=，∴AM=OA﹣OM=6﹣，在Rt△QAM中，sin∠QAM=，cos∠QAM=，∴QM=AM•sin∠QAM=（6﹣），AQ=AM•cos∠QAM=，∵在Rt△QNM中，，即QN=QM，∴AN=AQ+QN=，化简，得，∴当x=时，y取得最大值，∵y＞0，∴AN的取值范围是：．赠送：初中数学几何模型【模型一】半角型：图形特征：AB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-aa B E1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.。
2016年四川省绵阳市中考数学试卷及答案
数学试卷第2页（共22页）绝密★启用前四川省绵阳市2016年初中学业考试暨高中阶段学校招生考试数学 (1)四川省绵阳市2016年初中学业考试暨高中阶段学校招生考试数学答案解析 (5)四川省绵阳市2016年初中学业考试暨高中阶段学校招生考试数学本试卷满分140分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.4-的绝对值是()A.4B.4-C.14D.14-2.下列计算正确的是()A.257x x x+=B.523x x x-=C.2510x x x=D.523x x x÷=3.下列图案,既是轴对称又是中心对称的是()A B C D4.如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体,它的主视图为()5.若关于x的方程220x x c-+=有一根为1-,则方程的另一根为( )A.1-B.3-C.1D.36.如图,沿AC方向开山修建一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找点E同时施工,从AC上的一点B取150ABD∠=,沿BD的方向前进,取60BDE∠=,测得520mBD=,80mBC=,并且AC,BD和DE在同一平面内,那么公路CE段的长度为()A.180mB.2603mC.(260380)m-D.(260280)m-7.如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC AB⊥,E是BC的中点,AOD△的周长比AOB△的周长多3cm,则AE的长度为()A.3cmB.4cmC.5cmD.8cm8.在关于x、y的方程组27,28x y mx y m+=+⎧⎨+=-⎩中,未知数满足0,0x y≥＞,那么m的取值范围在数轴上应表示为()A B C D9.如图,ABC△中4AB AC==,72C∠=,D是AB的中点,点E在AC上,DE AB⊥,则cos A的值为( )A.512-B.514-C.514+D.512+10.有5张看上去无差别的卡片,上面分别写着1,2,3,4,5.随机抽取3张,用抽到的三个数字作为边长,恰能构成三角形的概率是()A.310B.320C.720D.710毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第1页（共22页）数学试卷 第3页（共22页）数学试卷 第4页（共22页）11.如图,点E 、点F 分别在菱形ABCD 的边AB ,AD 上,且AE DF =,BF 交DE 于点G ,延长BF 交CD 的延长线于H ,若2AFDF=,则HF BG 的值为 ( )A .23 B .712C .12D .51212.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,下列结论：○12b a ＜； ○220a c b +-＞； ○3b a c ＞＞；○4223b ac ab +＜.其中正确结论的个数是 ( )A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷(非选择题 共104分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上) 13.因式分解：22242mx mxy my ++= .14.如图,AC BD ∥,AB 与CD 相交于点O ,若AO AC =,48A ∠=,D ∠= .15.根据绵阳市统计年鉴,2014年末绵阳市户籍总人口数已超过548万人,548万人用科学记数法表示为 人.16.OAB △三个顶点的坐标分别为()0,0O ,()4,6A ,()3,0B ,以O 为位似中心,将OAB △缩小为原来的12,得到OA B ''△,则点A 的对应点A '的坐标为 .17.如图,点O 是边长为43的等边ABC △的内心,将OBC △绕点O 逆时针旋转30得到11OB C △,11B C 交BC 于点D ,11B C 交AC 于点E ,则DE = .18.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形.现用i A 表示第三行开始,从左往右,从上往下,依次出现的第i 个数,例如：11A =,21A =,31A =,41A =,53A =,63A =,71A =,则2016A = .三、解答题(本大题共7小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分16分,每小题8分)(1)计算：011()|12si πn |()3.146042----+；(2)先化简,再求值：22111()21a a a a a a a a+---÷--+,其中31a =+.20.(本小题满分11分)绵阳七一中学开通了空中教育互联网在线学习平台,为了解学生使用情况,该校学生会把该平台使用情况分为A (经常使用)、B (偶尔使用)、C (不使用)三种类型,并设计了调查问卷.先后对该校初一(1)班和初一(2)班全体同学进行了问卷调查,并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题.数学试卷 第5页（共22页）数学试卷 第6页（共22页）互联网平台使用情况扇形统计图互联网平台使用情况折线图(1)求此次被调查的学生总人数；(2)求扇形统计图中代表类型C 的扇形的圆心角,并补全折线统计图；(3)若该校初一年级学生共有1000人,试根据此次调查结果估计该校初一年级中C 类型学生约有多少人.21.(本小题满分11分)如图,直线1170()y k x k =+＜与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,与反比例函数22(0)k y k x=＞的图象在第一象限交于,C D 两点,点O 为坐标原点,AOB △的面积为492,点C 横坐标为1. (1)求反比例函数的解析式；(2)如果一个点的横、纵坐标都是整数,那么我们就称这个点为“整点”.请求出图中阴影部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标.22.(本小题满分11分) 如图,AB 为O 直径,C 为O 上一点,点D 是BC 的中点,DE AC ⊥于E ,DF AB ⊥于点F .(1)判断DE 与O 的位置关系,并证明你的结论； (2)若4OF =,求AC 的长度.23.(本小题满分11分)绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售,若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元,且用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同. (1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价每件分别是多少元？(2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件,两种牛奶的总件数不超过95件,该商场甲种牛奶的销售价格为每件49元,乙种牛奶的销售价格为每件55元,则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后,可使销售的总利润(利润=售价﹣进价)超过371元,请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？24.(本小题满分12分)如图,抛物线2()0y ax bx c a =++≠与x 轴交于A B ，两点,与y 轴交于点()0,3C ,且此抛物线的顶点坐标为4()1,M -. (1)求此抛物线的解析式；(2)设点D 为已知抛物线对称轴上的任意一点,当ACD △与ACB △面积相等时,求点D 的坐标；(3)点P 在线段AM 上,当PC 与y 轴垂直时,过点P 作x 轴的垂线,垂足为E ,将PCE △沿直线CE 翻折,使点P 的对应点P '与P E C ,,处在同一平面内,请求出点P '坐标,并判断点P '是否在该抛物线上.25.(本小题满分14分)如图,以菱形ABCD 对角线交点为坐标原点,建立平面直角坐标系,A B ,两点的坐标分别为(25,0)-,5（0,-）,直线DE DC ⊥交AC 于E .动点P 从点A 出发,以每秒2个单位的速度沿着A D C →→的路线向终点C 匀速运动,设PDE △的面积为()0S S ≠,点P 的运动时间为t 秒. (1)求直线DE 的解析式；(2)求S 与t 之间的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围；(3)当t 为何值时,90EPD DCB ∠+∠=？并求出此时直线BP 与直线AC 所夹锐角的正切值.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------。
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2016年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷一、选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣6的绝对值是（）A．﹣6 B ．﹣ C ．D．62．（3分）在过去的2015年北上广深等一线城市楼市火爆，其中仅北京的新房总成交额就达到2500亿元，若用科学记数法表示该数据应是（）A．2.5×1011元 B．25×1010元C．2.5×1012元 D．0.25×1011元3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C．D ．4．（3分）“双十一”购物节后，小明对班上同学中的12位进行抽样调查并用数字1﹣12对每位被调查者进行编号，统计每位同学在购物节中的消费金额，结果如表所示：根据上表统计结果，被调查的同学在“双十一”购物节中消费金额的平均数和众数分别为（）A．400，300 B．300，400 C．400，400 D．300，3005．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥6．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点H，E是⊙O上的点，若∠BEC=25°，则∠BAD的度数为（）A．65°B．50°C．25°D．12.5°7．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2cm，BC=14m，则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．158．（3分）下面关于四边形的说法中，错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．一组邻边垂直的平行四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D．矩形是特殊的平行四边形，正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E、F分别在边AB，CD上，且∠FEA=60°，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，当M，N分别在边BC，AD上时．若令△A′B′M的面积为y，AE的长度为x，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣x2+6x﹣8B．y=﹣2x2﹣12x+16C．y=2x2+12x﹣16D．y=﹣x2+2x﹣10．（3分）已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1，x2），若x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根，则下列四种说法中错误的是（）A．必有b≠0B．必有m2﹣b2=8C．线段OA的长度必定大于2D．除A点外y=与y=x+b图象必定还有一个交点，且两交点位于同一象限11．（3分）如图△ABC中，tan∠C=，DE⊥AC，若CE=5，DE=1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则BE的长度是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，⊙O是以原点为圆心，半径为2的圆，点A（6，2），点P是⊙O上一动点，以线段PA为斜边构造直角△PAM，且cos∠MPA=，现已知当点P在⊙O上运动时，保持∠MPA的大小不变，点M随着点P运动而运动且运动路径也形成一个圆，则该圆的半径是（）A．B．C．D．1二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．（3分）化简：（2a2）3=．14．（3分）如图，m∥n，点A在直线m上，B、C两点在直线n上，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=．15．（3分）如图，已知点A、B、C、D、E、F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取得长度为的线段的概率为．16．（3分）如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，分别以AB、AC 为直径作圆，则图中阴影部分的面积是．17．（3分）若规定f（x）是正整数x所唯一对应的实数，且对于任意的正整数a、b都有f（a+b）=f（a）•f（b），如f（5）=f（3+2）=f（3）•f（2），现已知f（1）=．给出下列结论：①f（2）=2．②若a＞b，则必有f（a）＞f（b）．③当a＞b时，存在符合条件的a、b，使得2f（a）=f（a﹣b）+f（a+b）成立．④当a＞b时，必有f（2a）=f（a﹣b）•f（a+b）成立．其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论的序号）．18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y=x+2，直线y=﹣x+2和直线y=4所围成的区域内或其边界上，点M在x轴上，若点N的坐标为（5，1），当MN+MP最小时，点P坐标是．三、解答题（本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算+|（）0﹣2sin45°|+2﹣1（2）解方程：﹣2=．20．（11分）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有人，男生最喜欢“乒乓球”项目的有人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生400人，女生450人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．21．（11分）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED=45°．（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE=，求AE的长．22．（11分）如图，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，∠AOC=45°，OA=2，反比例函数y=在第一现象内的图象经过点A，与BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D的纵坐标为，求直线AD的解析式．23．（11分）一工厂共有6条生产线生产某种机器设备，每条生产线每月可生产500台，该厂计划从今年1月开始对6条生产线各进行一次改造升级，每月改造升级1条生产线，这条生产线当月停产，并于次月再投入生产，每条生产线改造升级后，每月产量将比原来提高20%．已知每条生产线改造升级的费用为30万元，将今年1月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的产量设为y台．（1）求该厂第3个月的产量；（2）请求出y关于x的函数解析式；（3）如果每生产一台机器可盈利400元，至少要到第几个月，这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额？24．（12分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AC上点，且CE=CB，F为BE上点，M为BC上点，且MF⊥BE，并与OB相交于点N．（1）求证：△BOE∽△MFB；（2）若BD=AC，BF=a，求MN的长．（结果用a表示）25．（14分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6，0）、B（0，8）．已知点C（4，m）在抛物线上，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，AC与y轴交于点E．（1）请给出抛物线解析式；（2）若令∠BAO=α，请求tan的值；（注：要求运用课本所学知识结合题中几何关系进行推导求值）．（3）如图2，点P为线段CD上一动点（不与C、D重合），延长PE与x轴交于点M，点N′为AB上点，且∠PMN=∠BAO，若点P横坐标记为x，AN长度记为y，请求出y关于x的函数解析式，并求出AN长度取值范围．2016年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2013•三明）﹣6的绝对值是（）A．﹣6 B．﹣ C．D．6【解答】解：|﹣6|=6．故选D．2．（3分）（2016•涪城区模拟）在过去的2015年北上广深等一线城市楼市火爆，其中仅北京的新房总成交额就达到2500亿元，若用科学记数法表示该数据应是（）A．2.5×1011元 B．25×1010元C．2.5×1012元 D．0.25×1011元【解答】解：2500亿=2.5×1011．故选A．3．（3分）（2016•涪城区模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．4．（3分）（2016•涪城区模拟）“双十一”购物节后，小明对班上同学中的12位进行抽样调查并用数字1﹣12对每位被调查者进行编号，统计每位同学在购物节中的消费金额，结果如表所示：根据上表统计结果，被调查的同学在“双十一”购物节中消费金额的平均数和众数分别为（）A．400，300 B．300，400 C．400，400 D．300，300【解答】解：∵300出现了5次，出现的次数最多，∴众数是300；这组数据的平均数是：（300×5+200+400×3+500+600+800）÷12=400；故选：A．5．（3分）（2016•涪城区模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥【解答】解：由几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个圆，∴该几何体是一个圆柱．故选：B．6．（3分）（2016•涪城区模拟）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点H，E是⊙O上的点，若∠BEC=25°，则∠BAD的度数为（）A．65°B．50°C．25°D．12.5°【解答】解：连接AC，∵直径AB⊥弦CD于点H，∴∴∠CAB=∠DAB∵∠BAC=∠BEC=25°，∴∠BAD=∠BAC=25°．故选C．7．（3分）（2016•涪城区模拟）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE 高1.5m，测得AB=2cm，BC=14m，则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．15【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴=，∵BE=1.5，AB=2，BC=14，∴AC=16，∴=，∴CD=12．故选B．8．（3分）（2016•涪城区模拟）下面关于四边形的说法中，错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．一组邻边垂直的平行四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D．矩形是特殊的平行四边形，正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形【解答】解：A、菱形的四条边都相等，正确．B、一组邻边垂直的平行四边形是矩形，正确．C、对角线相等且互相垂直的四边形可能是等腰梯形，可能是正方形，错误．D、矩形是特殊的平行四边形，正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形，正确．故选C．9．（3分）（2016•涪城区模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E、F分别在边AB，CD上，且∠FEA=60°，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，当M，N分别在边BC，AD上时．若令△A′B′M的面积为y，AE的长度为x，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣x2+6x﹣8B．y=﹣2x2﹣12x+16C．y=2x2+12x﹣16D．y=﹣x2+2x﹣【解答】解：∵∠AEF=60°，∴∠BEF=120°，由题意知，∠BEM=∠B′EM=60°，∠B=∠EB′M=90°，BE=B′E=4﹣x，∴BM=BM′=BEtan∠BEM=（4﹣x），又∵AE=A′E=x，∴A′B′=A′E﹣B′E=x﹣（4﹣x）=2x﹣4，=×A′B′×B′M，∵S△A′B′M∴y=（2x﹣4）[（4﹣x）]=﹣x2+6x﹣8，故选：A．10．（3分）（2016•涪城区模拟）已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1，x2），若x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根，则下列四种说法中错误的是（）A．必有b≠0B．必有m2﹣b2=8C．线段OA的长度必定大于2D．除A点外y=与y=x+b图象必定还有一个交点，且两交点位于同一象限【解答】解：A、∴反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1，x2），∴x2=x1+b，∴b=x2﹣x1，∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根，∴b=x2﹣x1≠0，故正确；B、∵x2=x1+b，∴x2﹣x1=b，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=b2，∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根，∴x1x2=2，x1+x2=﹣m，∴m2﹣4×2=b2，∴m2﹣b2=8，故正确；C、∵点A（x1，x2），∴OA===，∵m2﹣b2=8，∴m2=，m2﹣b2=8∴OA=，∵b≠0，∴b2+4＞4，∴OA=＞2，故正确；D、∵反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1，x2），∴x1x2=k，∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根，∴x1x2=2，∴k=2，∴反比例函数在一三象限，∵一次函数y=x+b的图象一定经过一、三象限，∴y=与y=x+b图象的交点分别在第一、第三象限，故错误；故选D．11．（3分）（2016•涪城区模拟）如图△ABC中，tan∠C=，DE⊥AC，若CE=5，DE=1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则BE的长度是（）A．B．C．D．【解答】解：作BF⊥AC于点F，如右图所示，∵CE=5，DE=1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，DE⊥AC，∴，即，解得，BF=2AE，设AE=a，则BF=2a，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴△ADE∽△ABF，∴，即，得AF=2a2，∴EF=2a2﹣a，∵tan∠C=，tanC=，BF=2a，解得，CF=4a，∵CE=CF+EF，CE=5，即5=4a+2a2﹣a，解得，a=1或a=﹣2.5（舍去），∴BF=2，EF=1，∴BE=，故选C．12．（3分）（2016•涪城区模拟）如图，⊙O是以原点为圆心，半径为2的圆，点A（6，2），点P是⊙O上一动点，以线段PA为斜边构造直角△PAM，且cos ∠MPA=，现已知当点P在⊙O上运动时，保持∠MPA的大小不变，点M随着点P运动而运动且运动路径也形成一个圆，则该圆的半径是（）A．B．C．D．1【解答】解：如图，作直线AO交⊙O于P1，P2．∵点P在⊙O上运动，∴PA的最小值就是AP1的长，PA的最大值就是PA2的长，∵∠AP1M1=∠AP2M2，∴P1M1∥P2M2，∵∠AM1P1=∠AM2P2=90°，∴A、M1、M2共线，∵OA==2，∴AP1=2﹣2，AP2=2+2，∵cos∠AP1M1=，∴sin∠AP1M1=，∴AM1=PA1•=（2﹣2），AM2=（2+2），∴M1M2=，由图象可知M1M2就是点M随着点P运动而运动且运动路径形成的圆的直径，∴该圆的半径是．故答案为C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．（3分）（2016•涪城区模拟）化简：（2a2）3=8a6．【解答】解：（2a2）3=23•a2×3=8a6．14．（3分）（2016•涪城区模拟）如图，m∥n，点A在直线m上，B、C两点在直线n上，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=45°．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=45°．∵m∥n，∴∠1=∠B=45°．故答案为：45°．15．（3分）（2016•涪城区模拟）如图，已知点A、B、C、D、E、F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取得长度为的线段的概率为．【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，∴AF=EF=1，∠AFE=120°，∴∠FAE=30°，∴AN=，∴AE=，同理可得：AC=，故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．故答案为：．16．（3分）（2016•涪城区模拟）如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，分别以AB、AC为直径作圆，则图中阴影部分的面积是π﹣6．【解答】解：π×（3÷2）2+π×（4÷2）2﹣4×3÷2=π+2π﹣6=π﹣6．故图中阴影部分的面积是π﹣6．故答案为：π﹣6．17．（3分）（2016•涪城区模拟）若规定f（x）是正整数x所唯一对应的实数，且对于任意的正整数a、b都有f（a+b）=f（a）•f（b），如f（5）=f（3+2）=f （3）•f（2），现已知f（1）=．给出下列结论：①f（2）=2．②若a＞b，则必有f（a）＞f（b）．③当a＞b时，存在符合条件的a、b，使得2f（a）=f（a﹣b）+f（a+b）成立．④当a＞b时，必有f（2a）=f（a﹣b）•f（a+b）成立．其中正确的结论是①②④（写出你认为正确的所有结论的序号）．【解答】解：①f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）==2，∴①正确；②设a=b+n，n为正整数，∴f（a）=f（b）+f（n）=f（b）+nf（1）=f（b）+n＞f（b），∴②正确；③∵f（a﹣b）+f（a+b）=﹣f（a）•f（b）+f（a）•f（b）=0，由②知f（a）≥f（1），∵f（1）=，∴f（a）≥≠0，∴③不正确；④∵f（a﹣b）•f（a+b）=f（a﹣b+a+b）=f（2a），∴④正确；∴正确的有①②④故答案为①②④．18．（3分）（2016•涪城区模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y=x+2，直线y=﹣x+2和直线y=4所围成的区域内或其边界上，点M在x轴上，若点N 的坐标为（5，1），当MN+MP最小时，点P坐标是（1，3）．【解答】解：如图，作直线y=x+2关于x轴的对称的直线y=﹣x﹣2，过点N作直线y=﹣x﹣2的垂线垂足为E，交x轴于M，则点E坐标（1，﹣3），点E关于x轴的对称点P坐标（1，3），此时MN+MP最短，理由：∵MN+MP=MN+ME=NE，∴MN+MP最短（垂线段最短）．故点P坐标为（1，3），故答案为（1，3）．三、解答题（本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（2016•涪城区模拟）（1）计算+|（）0﹣2sin45°|+2﹣1（2）解方程：﹣2=．【解答】解：（1）原式=2+﹣1+=3﹣；（2）去分母得：x2+2x﹣2x2﹣2x+4=2，即x2=2，解得：x=±，经检验x=±都为分式方程的解．20．（11分）（2016•涪城区模拟）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，男生最喜欢“乒乓球”项目的有20人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生400人，女生450人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【解答】解：（1）女生最喜欢“踢毽子”项目的有：50﹣15﹣9﹣9﹣7=10人，男生最喜欢“乒乓球”项目的有：50×（1﹣8%﹣10%﹣14%﹣28%）=20人；（2）补充条形统计图如右图：．（3）400×28%+450×=193，答：该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数为193人．21．（11分）（2016•涪城区模拟）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED=45°．（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE=，求AE的长．【解答】（1）证明：连接OD，则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°，∴OD⊥CD，∴CD与圆O相切；（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE，∴sin∠ADE=sin∠ABE=，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6，在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴AE=5．22．（11分）（2016•涪城区模拟）如图，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，∠AOC=45°，OA=2，反比例函数y=在第一现象内的图象经过点A，与BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D的纵坐标为，求直线AD的解析式．【解答】解：（1）如图，作AH⊥x轴于点H，∵OA=2，∠AOH=45°，∴OH=AH=OAsin∠AOH=2×=，即A（，），又∵点A（，）在y=图象上，∴m=×=2，∴反比例函数解析式是y=；（2）∵点D的纵坐标为，且点D在双曲线y=上，∴其横坐标为2，即D（2，），设直线AD解析式为：y=kx+b，将点A（，）、D（，2）代入得：，解得：，∴直线AD的解析式为y=﹣x+．23．（11分）（2016•涪城区模拟）一工厂共有6条生产线生产某种机器设备，每条生产线每月可生产500台，该厂计划从今年1月开始对6条生产线各进行一次改造升级，每月改造升级1条生产线，这条生产线当月停产，并于次月再投入生产，每条生产线改造升级后，每月产量将比原来提高20%．已知每条生产线改造升级的费用为30万元，将今年1月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的产量设为y台．（1）求该厂第3个月的产量；（2）请求出y关于x的函数解析式；（3）如果每生产一台机器可盈利400元，至少要到第几个月，这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额？【解答】解：（1）由已知可得，第3个月的产量是：2×500×（1+20%）+500×3=2700（台），答：该厂第3个月的产量是2700台．（2）①当1≤x≤6时，每月均有一条生产线在停产改造，即均是有5条生产线其中，升级后的生产线有x﹣1条，未升级的生产线有6﹣x条，根据题意，得：y=（x﹣1）×500×（1+20%）+（6﹣x）×500=100x+2400；②当x＞6时，y=500×（1+20%）×6=3600台；综上，y=．（3）由（2）得，当1≤x≤6时，y=100x+2400，则前6个月的总产量Q=100×（1+2+3+4+5+6）+2400=16800（台），∴前6个月的盈利扣除改造升级的成本应是：16800×0.04﹣30×6=480（万元），如果不升级改造，前6个月盈利应是：500×6×6×0.04=720（万元），故前6个月不符合题目要求，从而得x＞6，则有：480+（x﹣6）×3600×0.04≥500×6x×0.04，解得：x≥16，答：至少要到第16个月，这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额．24．（12分）（2016•涪城区模拟）在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E 为AC上点，且CE=CB，F为BE上点，M为BC上点，且MF⊥BE，并与OB相交于点N．（1）求证：△BOE∽△MFB；（2）若BD=AC，BF=a，求MN的长．（结果用a表示）【解答】（1）证明：∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，∴AC⊥BD，∴∠BOE=90°，∴∠CEB=∠CBE，∵MF⊥BE，∴∠BFM=90°，∴∠BOE=∠BFM，∴△BOE∽△MFB；（2）解：作MP∥AC与BE交于点P，与OB交于点Q，如图所示：由△BOE∽△MFB，∴∠EBO=∠FMB，∵BD=AC，∴OB=OC，∴tan∠OCB==，∵MP∥AC，∴∠MPB=∠CEB=∠CBE，∠MQN=90°，=，∴△MBP为等腰三角形，∵MF⊥BE，∴BF=FP，∠PMF=∠BMF=∠PBQ，∵∠MQN=∠BQP=90°，∴△PBQ∽△NMQ，∴===，∴MN=BP=×2BF=3BF=3a．25．（14分）（2016•涪城区模拟）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6，0）、B（0，8）．已知点C（4，m）在抛物线上，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，AC与y轴交于点E．（1）请给出抛物线解析式；（2）若令∠BAO=α，请求tan的值；（注：要求运用课本所学知识结合题中几何关系进行推导求值）．（3）如图2，点P为线段CD上一动点（不与C、D重合），延长PE与x轴交于点M，点N′为AB上点，且∠PMN=∠BAO，若点P横坐标记为x，AN长度记为y，请求出y关于x的函数解析式，并求出AN长度取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6，0）、B（0，8），∴，解得，，即抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+8；（2）如图1所示，过点C作CH⊥x轴于点H，∵点C（4，m）在抛物线上，∴，得m=5，∴点C（4，5），又∵点A（﹣6，0），点B（0，8），∴AB=，BC=，∵CH=5，AH=AO+OH=6+4=10，AC=AC，∴AB=AH，BC=HC，∴△ABC≌△AHC，∴∠BAC=∠HAC，∵∠BAO=∠BAC+∠HAC，∴∠HAC=，∴tan；（3）如图2，作MQ⊥AB于点Q，∵∠NMO=∠PMN+∠PMO=∠BAO+∠ANM，又∵∠PMN=∠BAO，∴∠PMO=∠ANM，∵CH∥EO，在图1中，，∴OE=，∵BD=8﹣5=3，∴OE=OB﹣BD﹣OE=8﹣3﹣3=2，∵点P横坐标为x，即PD=x，∴tan∠EMO=tan∠DPE=，∴，即，得OM=，∴AM=OA﹣OM=6﹣，在Rt△QAM中，sin∠QAM=，cos∠QAM=，∴QM=A M•sin∠QAM=（6﹣），AQ=AM•cos∠QAM=，∵在Rt△QNM中，，即QN=QM，∴AN=AQ+QN=，化简，得=，∴当x=时，y取得最大值，∵y＞0，∴AN的取值范围是：0．参与本试卷答题和审题的老师有：HLing；张其铎；sd2011；sjzx；ZJX；三界无我；守拙；zgm666；弯弯的小河；Linaliu；ln_86；CJX；gbl210；HJJ；星月相随；sks；caicl；王学峰；家有儿女（排名不分先后）。