杭州市上城区九年级(上)期末数学试卷含答案
2022年浙江省杭州市上城区杭州中学数学九年级上册期末检测模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过()A．12 mm B．123mmC．6 mm D．63mm2．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠BCE=43．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为()A．B．C．D．3．如图是胡老师画的一幅写生画，四位同学对这幅画的作画时间作了猜测. 根据胡老师给出的方向坐标，猜测比较合理的是（）A．小明：“早上8点”B．小亮：“中午12点”C ．小刚：“下午5点”D ．小红：“什么时间都行”4．若点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）都在反比例函数3y x=的图象上，并且x 1<0<x 2<x 3，则下列各式中正确的是（ ） A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 25．若一个扇形的圆心角是45°，面积为2π，则这个扇形的半径是( ) A ．4B ．22C ．4πD ．22π6．如果将抛物线22y x =-平移，使平移后的抛物线与抛物线289y x x =-+重合，那么它平移的过程可以是（ ） A ．向右平移4个单位，向上平移11个单位 B ．向左平移4个单位，向上平移11个单位 C ．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D ．向右平移4个单位，向下平移5个单位． 7．34-的相反数是（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．348．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．2x ﹣3＝xB ．2x +3y ＝5C ．2x ﹣x 2＝1D ．17x x+= 9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，若AB=8，AE=1，则弦CD 的长是（ ）A 7B ．7C ．6D ．810．将抛物线22y x =向左平移2个单位后所得到的抛物线为（ ） A ．222y x =- B ．222y x =+C ．22(2)y x =-D ．22(2)y x =+11．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x ，1，1，1．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ） A ．7B ．1C ．5D ．412．下列方程中，关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．x +1x＝2 B ．ax 2+bx +c ＝0 C ．（x ﹣2）（x ﹣3）＝0D ．2x 2+y ＝1二、填空题（每题4分，共24分） 13．已知反比例函数ky x=的图象经过点()3,2M -，则这个函数的表达式为__________． 14．用配方法解方程211022x x --=时，原方程可变形为 _________ ． 15．甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S 甲2=16.7，乙比赛成绩的方差为S 乙2=28.3，那么成绩比较稳定的是_____（填甲或乙）16．两个相似多边形的一组对应边分别为2cm 和3cm ，那么对应的这两个多边形的面积比是__________ 17．关于x 的方程1(2)02x x +=的根为______．18．若1x 、2x 为关于x 的方程220x mx m ++=（m≠0）的两个实数根，则1211+x x 的值为________． 三、解答题（共78分）19．（8分）如图，二次函数的图象交x 轴于点()()1,0,4,0A B -，交y 轴于点()0,4,C P -是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式;（2）连接,PB PC ，是否存在点P ，使PBC ∆面积最大，若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．20．（8分）如图，在△ABC 中，AB=2，∠B=45°，1tan 2C ∠=．求△ABC 的周长．21．（8分）感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，BD 是∠ABC 的平分线．①证明△ABD 是“类直角三角形”；②试问在边AC 上是否存在点E （异于点D ），使得△ABE 也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE 的长；若不存在，请说明理由． 类比拓展（2）如图2，△ABD 内接于⊙O ，直径AB ＝10，弦AD ＝6，点E 是弧AD 上一动点（包括端点A ，D ），延长BE 至点C ，连结AC ，且∠CAD ＝∠AOD ，当△ABC 是“类直角三角形”时，求AC 的长．22．（10分）如图，点O 为∠ABC 的边BC 上的一点，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ．图形W 与射线BC 交于E ，F 两点(点在点F 的左侧).（1）过点M 作MH BC ⊥于点H ，如果BE=2，2sin 3ABC ∠=，求MH 的长； （2）将射线BC 绕点B 顺时针旋转得到射线BD ，使得∠CBD 90MOB +∠=︒，判断射线BD 与图形W 公共点的个数，并证明．23．（10分）如下图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ．另一边交CB 的延长线于点G ．（1）观察猜想：线段EF 与线段EG 的数量关系是 ；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a 、BC b =，求EFEG的值． 24．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知P （a ,b ）,R （c ,d ）两点，且a c ≠，b d ≠，若过点P 作x 轴的平行线，过点R 作y 轴的平行线，两平行线交于一点S ，连接PR ，则称△PRS 为点P ，R ，S 的“坐标轴三角形”.若过点R 作x 轴的平行线，过点P 作y 轴的平行线，两平行线交于一点S '，连接PR ，则称△RP S '为点R ，P ，S '的“坐标轴三角形”.右图为点P ，R ，S 的“坐标轴三角形”的示意图.（1）已知点A （0，4），点B （3，0）,若△ABC 是点A ，B ，C 的“坐标轴三角形”，则点C 的坐标为 ； （2）已知点D （2，1），点E （e ，4），若点D ，E ，F 的“坐标轴三角形”的面积为3，求e 的值. （3）若O 的半径为322，点M （m ，4），若在O 上存在一点N ，使得点N ，M ，G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形，求m 的取值范围.25．（12分）如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD AB ＝34，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ＝10，∠ABD ＝∠ACB ，点E 在CB 延长线上，且AE ＝AC ． （1）求证：△AEB ∽△BCO ； （2）当AE ∥BD 时，求AO 的长．26．同时抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子各个面的点数分别是1至4的整数，把这两枚骰子向下的面的点数记为（a，b），其中第一枚骰子的点数记为a，第二枚骰子的点数记为b．（1）用列举法或树状图法求（a，b）的结果有多少种？（2）求方程x2+bx+a＝0有实数解的概率．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】试题解析：已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×12=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．故选A．2、D【解析】设AB＝x，根据折叠，可证明∠AFB=90°，由tan∠BCE=43，分别表示EB、BC、CE，进而证明△AFB∽△EBC，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF的面积. 【详解】设AB ＝x ，则AE ＝EB ＝12x ，由折叠，FE ＝EB ＝12x ，则∠AFB ＝90°，由tan ∠BCE ＝43，∴BC ＝23x ，EC ＝56x，∵F 、B 关于EC 对称，∴∠FBA ＝∠BCE ，∴△AFB ∽△EBC ，∴2()EBCy AB SEC ＝，∴y ＝221366×62525x x ＝，故选D. 【点睛】本题考查了三角函数，相似三角形，三角形面积计算，二次函数图像等知识，利用相似三角形的性质得出△ABF 和△E BC 的面积比是解题关键. 3、C【解析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案．解：根据题意：影子在物体的东方，根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，可得应该是下午． 故选C ．本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 4、D【分析】由题意先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在象限，再根据题意即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数3y x=中k ＝3＞0， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小； ∵x 1＜0＜x 2＜x 3， ∴y 1＜y 3＜y 2， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数图象上各点的坐标是解题的关键． 5、A【分析】根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为为R ，由题意得2452360R ππ=, 解得 R=4.故选A. 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，R 是扇形半径，n 是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L 是扇形对应的弧长.那么扇形的面积为：2360n R S π=. 6、D【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解． 【详解】解：抛物线22y x =-的顶点坐标为：（0，2-）， ∵2289(4)7y x x x =-+=--，则顶点坐标为：（4，7-），∴顶点由（0，2-）平移到（4，7-），需要向右平移4个单位，再向下平移5个单位， 故选择：D. 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便． 7、D【详解】考查相反数的概念及应用，只有符号不同的两个数，叫做互为相反数.3-4的相反数是34. 故选D. 8、C【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A 、方程2x ﹣3＝x 为一元一次方程，不符合题意； B 、方程2x +3y ＝5是二元一次方程，不符合题意； C 、方程2x ﹣x 2＝1是一元二次方程，符合题意； D 、方程x +1x＝7是分式方程，不符合题意， 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 9、B【解析】根据垂径定理，构造直角三角形，连接OC ，在RT △OCE 中应用勾股定理即可． 【详解】试题解析：由题意连接OC ，得 OE=OB-AE=4-1=3，CE=CD=22OC OE =7，CD=2CE=27， 故选B ．10、D【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可.【详解】解：将抛物线22y x =向左平移2个单位后所得到的抛物线为：22(2)y x =+.故选D. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础知识，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 11、C【分析】本题可先算出x 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数． 【详解】解：∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，3，x ，1，1，2．已知这组数据的平均数是3， ∴x=3×2-4-4-3-1-1-2=3， ∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，3，1，1，2， ∴这组数据的中位数是：3． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键． 12、C【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程.【详解】解：A 、x +1x＝2不是整式方程，不符合题意； B 、ax 2+bx +c ＝0不一定是一元二次方程，不符合题意； C 、方程整理得：x 2﹣5x +6＝0是一元二次方程，符合题意； D 、2x 2+y ＝1不是一元二次方程，不符合题意. 故选：C ．二、填空题（每题4分，共24分） 13、6y x=-【分析】把点的坐标代入根据待定系数法即可得解． 【详解】解：∵反比例函数y=kx经过点M （-3，2）， ∴2=3k -， 解得k=-6，所以，反比例函数表达式为y=6x- ． 故答案为：y=6x-． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，是求函数解析式常用的方法，需要熟练掌握并灵活运用． 14、()212x -=【分析】将常数项移到方程的右边，将二次项系数化成1，再两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 【详解】∵211022x x --=， 方程整理得：221x x -=， 配方得：22111x x -+=+， 即()212x -=． 故答案为：()212x -=． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 15、甲 【分析】【详解】∵S 甲2=16.7，S 乙2=28.3，∴S 甲2＜S 乙2， ∴甲的成绩比较稳定， 故答案为甲． 16、4：9【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可．【详解】解：因为两个三角形相似， ∴较小三角形与较大三角形的面积比为（23 ）2=49 ， 故答案为：49. 【点睛】此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．17、x 1=0,x 2=1-4【分析】直接由因式分解法方程，即可得到答案． 【详解】解：∵1(2)02x x +=，∴0x =或1202x +=， ∴10x =，214x =-； 故答案为：10x =，214x =-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程．18、-2 【分析】根据根与系数的关系12b x x a +=-，12c x x a=，代入化简后的式子计算即可. 【详解】∵122x x m +=-，12x x m =， ∴1212121122x x m x x x x m+-+===-， 故答案为：2-【点睛】本题主要考查一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数关系，熟记：两根之和是b a -，两根之积是c a，是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）234y x x =--；（2）存在点P ，使PBC ∆面积最大，点P 的坐标为()2, 6-． 【分析】（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过P 作PE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC 面积的最大值及P 点的坐标．【详解】（1）∵二次函数的图象交y 轴于点()0,4C -，∴设二次函数表达式为24y ax bx =+-，把A 、B 二点坐标代入可得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解这个方程组，得13a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为：234y x x =--；（2））∵点P 在抛物线上，∴设点P 的坐标为()2,34t t t --过P 作PE x ⊥轴于E ，交直线BC 于F设直线BC 的函数表达式y mx n =+，将B （4，0），C （0，-4）代入得404m n n +=⎧⎨=-⎩， 解这个方程组，得14m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为4y x =-，∴点F 的坐标为(),4t t -，()()224344PF t t t t t ∴=----=-+， ()2114422PBC S PF OB t t ∆∴==-+⨯ ()2228t =--+，∵20a =->，∴当2t =时，PBC S ∆最大，此时223423246y t t =--=-⨯-=-，所以存在点P ，使PBC ∆面积最大，点P 的坐标为()2, 6-．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P 点坐标表示出△PBC 的面积是解题的关键．20、523++【分析】过点A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中解直角三角形可得出AD 、BD 的长，再在Rt △ACD 中解直角三角形求出CD 的长，利用勾股定理求出AC ，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ．∵Rt △ADB 中，∠B=45°，∴∠BAD=∠B=45°，∴AD=BD ，又2，∴AD=AB ·sin ∠22=1=BD ． ∵Rt △ACD 中，1tan 2AD C DC∠==， ∴DC=2，∴BC=BD+DC=1．又Rt △ADC 中，AD=1，DC=2，∴22AD CD +5 ∴△ABC 523++． 【点睛】本题考查了解直角三角以及勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．21、（1）①证明见解析；②CE ＝94；（2）当△ABC 是“类直角三角形”时，AC 的长为143或1507． 【分析】（1）①证明∠A +2∠ABD =90°即可解决问题．②如图1中,假设在AC 边设上存在点E （异于点D ）,使得△ABE 是“类直角三角形”,证明△ABC ∽△BEC ,可得BC ACCE BC=,由此构建方程即可解决问题．（2）分两种情形:①如图2中,当∠ABC+2∠C=90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB．则点F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,可证∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【详解】（1）①证明:如图1中,∵BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABC＝2∠ABD,∵∠C＝90°,∴∠A+∠ABC＝90°,∴∠A+2∠ABD＝90°,∴△ABD为“类直角三角形”;②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,∴AC2222534AB BC--=,∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,∴∠ABE+2∠A＝90°,∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°,∴∠A＝∠CBE,∴△ABC∽△BEC,∴BC AC CE BC=,∴CE＝294 BCAC=,（2）∵AB是直径, ∴∠ADB＝90°,∵AD＝6,AB＝10,∴BD＝22221068AB AD-=-=,①如图2中,当∠ABC+2∠C＝90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB,则点F在⊙O上,且∠DBF＝∠DOA,∵∠DBF+∠DAF＝180°,且∠CAD＝∠AOD,∴∠CAD+∠DAF＝180°,∴C，A，F共线,∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°,∴∠C＝∠ABF,∴△FAB∽△FBC,∴FA FBFB FC=,即6886AC=+,∴AC＝143．②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,∴∠C+2∠ABC＝90°,∵∠CAD＝∠CBF,∠C＝∠C,∴△DAC∽△FBC,∴CD ADCF BF=,即668CDAC=+,∴CD ＝34（AC +6）, 在Rt △ADC 中,[34（ac +6）]2+62＝AC 2, ∴AC ＝1507或﹣6（舍弃）, 综上所述,当△ABC 是“类直角三角形”时,AC 的长为143 或1507． 【点睛】本题主要考查圆综合题,考查了相似三角形的判定和性质,“类直角三角形”的定义等知识, 解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题.22、（1）MH=453；（2）1个． 【分析】（1）先根据题意补全图形，然后利用锐角三角函数求出圆的半径即OM 的长度，再利用勾股定理求出BM 的长度，最后利用1122BMOS MO MB MH BO =⋅=⋅可求出MH 的长度. （2）过点O 作ON ⊥BD 于点N ，通过等量代换可知∠CBD =∠ABC ，从而利用角平分线的性质可知OM ON =，得出BD 为⊙O 的切线，从而可确定公共点的个数.【详解】解：（1）∵到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ，∴图形W 是以O 为圆心，OM 的长为半径的圆．根据题意补全图形：∵OM AB ⊥于点M ，∴∠90BMO =︒．在△BMO 中，2sin 3OM ABC BO ∠==， ∴32BO MO =． ∵2BE = ∴322BO OE OM =+=，解得：4OM OE ==．∴6BO =．在Rt △BOM 中，222BM OM BO +=， ∴22226425BM BO OM =-=-=．∵1122BMO SMO MB MH BO =⋅=⋅ ∴11425622MH ⨯⨯= ∴453MH =． （2） 解： 1个．证明：过点O 作ON ⊥BD 于点N ，∵∠CBD +∠MOB 90=︒，且∠ABC +∠MOB90=︒， ∴ ∠CBD =∠ABC ．∴OM ON =．∴BD 为⊙O 的切线．∴射线BD 与图形W 的公共点个数为1个．【点睛】本题主要考查解直角三角形和直线与圆的位置关系，掌握圆的相关性质,勾股定理和角平分线的性质是解题的关键.23、（1）EF EG =；（2）成立，证明过程见解析；（3）EF b EG a=. 【分析】（1）利用三角形全等的判定定理与性质即可得；（2）如图（见解析），过点E 分别作,EH BC EI CD ⊥⊥，垂足分别为,H I ，证明方法与题（1）相同；（3）如图（见解析），过点E 分别作,EM BC EN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N ，先同（2）求出FEN GEM ∠=∠，从而可证FEN GEM ∆~∆，由相似三角形的性质可得EF EN EG EM=，再根据平行线的性质和相似三角形的性质求出EN EM的值，即可得出答案. 【详解】（1）EF EG =，理由如下：由直角三角板和正方形的性质得90ED EB D EBC BED GEF =⎧⎨∠=∠=∠=∠=︒⎩9090FED BEF GEB BEF D EBG ∠+∠=∠+∠=︒⎧∴⎨∠=∠=︒⎩FED GEB ∴∠=∠在FED ∆和GEB ∆中，90FED GEB ED EB D EBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()FED GEB ASA ∴∆≅∆EF EG ∴=；（2）成立，证明如下：如图，过点E 分别作,EH BC EI CD ⊥⊥，垂足分别为,H I ，则四边形EHCI 是矩形90HEI ∴∠=︒90,90FEI HEF GEH HEF ∴∠+∠=︒∠+∠=︒FEI GEH ∴∠=∠由正方形对角线的性质得，AC 为BCD ∠的角平分线则EI EH =在FEI ∆和GEH ∆中，90FEI GEH EI EH FIE GHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()FEI GEH ASA ∴∆≅∆EF EG ∴=；（3）如图，过点E 分别作,EM BC EN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N同（2）可知，FEN GEM ∠=∠由长方形性质得：90,90,D ENC ABC EMC AD BC b ∠=∠=︒∠=∠=︒==//,//EN AD EM AB ∴,CEN CAD CEM CAB ∴∆~∆∆~∆ ,EN CE EM CE AD CA AB CA ∴== EN EM AD AB ∴=，即EN AD b EM AB a== 在FEN ∆和GEM ∆中，90FEN GEM FNE GME ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩FEN GEM ∴∆~∆EF EN b EG EM a∴==.【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.24、（1）（3，4）；（2）4e =或0e =；（3）m 的取值范围是17m ≤≤或71m ≤≤--.【分析】（1）根据点C 到x 轴、y 轴的距离解答即可；（2）根据“坐标轴三角形”的定义求出线段DF 和EF ，然后根据三角形的面积公式求解即可；（3）根据题意可得：符合题意的直线MN 应为y=x+b 或y =－x +b ．①当直线MN 为y=x+b 时，结合图形可得直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第四象限时，b 取得最小值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b 的最小值，进而可得m 的最大值；当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b 取得最大值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b 的最大值，进而可得m 的最小值，可得m 的取值范围；②当直线MN 为y =－x+b 时，同①的方法可得m 的另一个取值范围，问题即得解决.【详解】解：（1）根据题意作图如下：由图可知：点C 到x 轴距离为4，到y 轴距离为3，∴C （3，4）；故答案为：（3，4）；（2） ∵点D （2，1），点E （e ，4），点D ，E ，F 的“坐标轴三角形”的面积为3， ∴2DF e =-，312EF =-=，∴12332DEF S e =-⨯=，即2e -=2，解得：e =4或e =0； （3）由点N ，M ， G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得：直线MN 为y=x+b 或y =－x +b . ①当直线MN 为y=x+b 时，由于点M 的坐标为（m ，4），可得m =4－b ，由图可知：当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第四象限时，b 取得最小值.此时直线MN 记为M 1 N 1，其中N 1为切点，T 1为直线M 1 N 1与y 轴的交点.∵△O N 1T 1为等腰直角三角形，ON 3222213232()()322OT =+=， ∴b 的最小值为－3，∴m 的最大值为m =4－b =7；当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b 取得最大值.此时直线MN 记为M 2 N 2，其中N 2为切点，T 2为直线M 2 N 2与y 轴的交点.∵△ON 2T 为等腰直角三角形，ON 23222223232()()322OT =+=， ∴b 的最大值为3，∴m 的最小值为m =4－b =1，∴m 的取值范围是17m ≤≤；②当直线MN 为y =－x+b 时，同理可得，m =b －4，当b =3时，m =－1；当b =－3时，m =－7；∴m 的取值范围是71m ≤≤--.综上所述，m 的取值范围是17m ≤≤或71m ≤≤--.【点睛】本题是新定义概念题，主要考查了三角形的面积、直线与圆相切的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想和分类讨论思想是解题的关键.25、（1）见解析；（2）12532【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到E ACE ∠=∠，等量代换得到E ABD ∠=∠，根据三角形的内角和和平角的性质得到EAB OBC ∠=∠，于是得到结论；（2）过A 作AF BC ⊥与F ，过O 作OE BC ⊥与E ，根据平行线的性质得到E DBC ∠=∠，EAB ABD ∠=∠，推出OB OC =，求得6AF =，8=CF ，得到216EC CF ==，根据相似三角形的性质得到25BE 4=，于是得到25391644BC EC BE =-=-=，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：（1）AE AC =，E ACE ∴∠=∠，ABD ACB ∠=∠， E ABD ∴∠=∠，180EAB E ABE ∴∠=︒-∠-∠，180OBC ABE ABD ∠=︒-∠-∠，EAB OBC ∴∠=∠，在△AEB 和△BCO 中，E BCO EAB CBO∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEB BCO ∴∆∆∽；（2）过A 作AF BC ⊥于F ，过O 作OG BC ⊥于G ，//AE BD ，E DBC ∴∠=∠，EAB ABD ∠=∠，ABD ACB ∠=∠，EAB ACE ∴∠=∠，OBC EAB ∠=∠，OBC OCB ∴∠=∠，OB OC ∴=， 3tan tan 4AD AF ABD ACB AB CF ∠=∠===， 10AC =， 6AF ∴=，8=CF ，AE AC =，216EC CF ∴==，EAB ACE ∠=∠，E E ∠=∠，AEB CEA ∴∆∆∽，∴AE BE CE AE =， ∴101610BE =， 254BE ∴=， 25391644BC EC BE ∴=-=-=， 13928CG BC ∴==， AF BC ⊥，OG BC ⊥，//OG AF ∴，∴AO AC GF FC=， ∴1039888AO =-， 12532AO ∴=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．26、（1）一共有16种结果；（2）716．【分析】（1）根据题意画出树状图，得出所有等情况的结果数，再列举出来即可；（2）先找出符合条件的结果数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意画图如下：（a，b）的结果如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），一共有16种结果；（2）易知方程是一元二次方程，其有解的条件是b2﹣4a≥0，符合条件的（a，b）：（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（1，3），（2，3），（1，2）共有7种结果，所以，此方程有解的概率是7 16．【点睛】本题主要考察列表法和概率，熟练掌握计算法则是解题关键.。
杭州市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
杭州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．抛物线2(1)2y x =+-的顶点坐标是( ) A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)--2．下面事件是随机事件的是( ) A ．掷一枚硬币，出现反面 B ．在标准大气压下，水加热到8C ︒时会沸腾C ．实数的绝对值不小于零D ．如果a ，b 是实数，那么a b b a =3．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A ．B ．C ．D ．4．在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高线，ACD ∠的正弦值是23，则AC AB的值是( )A B ．23C D 5．三角函数sin 30︒、cos16︒、cos 43︒之间的大小关系是( ) A ．cos 43cos16sin 30︒>︒>︒ B ．cos16sin 30cos 43︒>︒>︒ C ．cos16cos 43sin 30︒>︒>︒D ．cos 43sin 30cos16︒>︒>︒6．在半径为25cm 的O 中，弦40AB cm =，则弦AB 所对的弧的中点到AB 的距离是( )A ．10cmB ．15cmC ．40cmD ．10cm 或40cm7．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =，下面结论正确的是( )A ．0a <，0c <，240b ac ->B ．0a <，0c >，240b ac -<C ．0a >，0c >，240b ac ->D ．0a <，0c <，240b ac -<8．已知矩形ABCD 的边6AB =，8BC =，以点B 为圆心作圆，使A ，C ，D 三点至少有一点在B 内，且至少有一点在B 外，则B 的半径r 的取值范围是( ) A ．6r > B ．68r <<C ．610r <<D ．68r <<或810r <<9．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，E 在AB 上，2AE =，HF 是CE 的垂直平分线，交CD 的延长线于点F ，连结EF 交AD 于点G ，则GDAG的值是( )A ．52B C ．114D 10．下列关于函数246y x x =-+的四个命题：①当0x =时，y 有最小值6；②若n 为实数，且1n >，则2x n =+时的函数值大于x n =时的函数值；③若2n >，且n 是整数，当1n x n +剟时，y 的函数值有(22)n -个；④若函数图象过点0(,)a y ，0(,1)b y +，则a b <，其中真命题的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④二、填空题（每小题4分，共24分）11．计算：2cos60sin 45tan 30tan 60︒+︒-︒︒= ．12．O 的半径10r =，圆心O 到直线l 的距离10d =，则O 与直线l 的位置关系是 ． 13．某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：请用频率估计概率的方法估计这批油菜籽在相同条件下的发芽概率是 ．14．如图，在锐角ABC ∆中，BD AC ⊥于D ，DE BC ⊥于E ，14AB =，4AD =，:9:2BE EC =，则CD = ．15．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为AO 的中点，CD AB ⊥交半圆与点D ，以C 为圆心，CD 为半径画弧DE 交AB 于E 点，若4AB cm =，则图中阴影部分面积为 2cm ．16．如图，Rt ABC ∆中，Rt C ∠=∠，2AB =，30B ∠=︒，正六边形DEFGHI 完全落在Rt ABC ∆内，且DE 在BC 边上，F 在AC 边上，H 在AB 边上，则正六边形DEFGHI 的边长为 ，过I 作11//A C AC ，然后在△11A C B 内用同样的方法作第二个正六边形，按照上面的步骤继续下去，则第n 个正六边形的边长为 ．三、解答题（本大题共有7个小题，共66分）17．袋中装有3红1白除颜色外一样的球，一次随机取出两只球，请用列表或画树状图的方法求摸出两球是一红一白的概率．18．如图，在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，E 为AC 边上一点，且2AD AEDB EC== （1）求证：ADE ABC ∆∆∽；（2）求ADE ∆与四边形DBCE 的面积比．19．如图，一张正三角形的纸片的边长为2cm ，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA （含端点）上的点，设()BD CE AF x cm ===，DEF ∆的面积为2()y cm ． （1）求y 关于x 的函数表达式和自变量的取值范围； （2）求DEF ∆的面积y 的最大值和最小值．20．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱下滑至如图所示位置时，2=，已知木箱高AB m︒=，︒=，cos320.8480 1BE m=，斜面坡角为32︒．（参考数据：sin320.5299︒=tan320.6249)（1）求点B到AC的距离．（精确到0.1)m（2）求木箱端点E距地面AC的高度．（精确到0.1)m21．如图，已知一块等边三角形钢板ABC的边长为60厘米．（1）用尺规作图能从这块钢板上截得的最大圆（作出图形，保留作图痕迹），并求出此圆的半径．（2）用一个圆形纸板完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？22．在平面直角坐标系中，设二次函数24y ax ax =-，其中为常数且0a <． （1）若函数24y ax ax =-的图象经过点(2,4)，求此函数表达式； （2）若抛物线24y ax ax =-的顶点在双曲线ky x=上，试说明k 的符号； （3）已知1(,)m y 、2(1,)m y +、3(2,)m y +，(01)m <<都是抛物线24(0)y ax ax a =-<上的点，请判断1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由23．如图1，圆O 的两条弦AC 、BD 交于点E ，两条弦所成的锐角或者直角记为α∠ （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：猜想：AB 、CD 、α∠的度数之间的等量关系，并说明理由（2）如图2，若60α∠=︒，2AB =，1CD =，将AB 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D 重合，同时B 落在圆O 上的点，连接CG ①求弦CG 的长； ②求圆O 的半径．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分） 1．抛物线2(1)2y x =+-的顶点坐标是( ) A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)--【解答】解：由2(1)2y x =+-，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(1,2)--， 故选：D ．2．下面事件是随机事件的是( ) A ．掷一枚硬币，出现反面B ．在标准大气压下，水加热到8C ︒时会沸腾C ．实数的绝对值不小于零D ．如果a ，b 是实数，那么a b b a =【解答】解：A 、掷一枚硬币，出现反面，是随机事件，符合题意； B 、在标准大气压下，水加热到8C ︒时会沸腾，是不可能事件，不合题意； C 、实数的绝对值不小于零，是必然事件，不合题意；D 、如果a ，b 是实数，那么a b b a =，是必然事件，不合题意；故选：A ．3．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：设单位正方形的边长为1，．A 、三角形三边2，，与给出的三角形的各边不成比例，故A 选项错误；B 、三角形三边2，4，，与给出的三角形的各边成正比例，故B 选项正确；C 、三角形三边2，3，与给出的三角形的各边不成比例，故C 选项错误；D ，4，与给出的三角形的各边不成比例，故D 选项错误．故选：B ．4．在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高线，ACD ∠的正弦值是23，则AC AB的值是( )A B ．23C D 【解答】解：在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高线， 因而B ACD ∠=∠，2sin sin 3AC B ACD AB ∴∠=∠==． 故选：B ．5．三角函数sin 30︒、cos16︒、cos 43︒之间的大小关系是( ) A ．cos 43cos16sin 30︒>︒>︒ B ．cos16sin 30cos 43︒>︒>︒ C ．cos16cos 43sin 30︒>︒>︒ D ．cos 43sin 30cos16︒>︒>︒【解答】解：sin 30cos60︒=︒，又164360︒<︒<︒，余弦值随着角度的增大而减小， cos16cos 43sin 30∴︒>︒>︒．故选：C ．6．在半径为25cm 的O 中，弦40AB cm =，则弦AB 所对的弧的中点到AB 的距离是( )A ．10cmB ．15cmC ．40cmD ．10cm 或40cm【解答】解：点C 和D 为弦AB 所对弧的中点，连结CD 交AB 于E ，连结OA ，如图， 点C 和D 为弦AB 所对弧的中点， CD ∴为直径，CD AB ⊥，1202AE BE AB ∴===， 在Rt OAE ∆中，25OA =，20AE =，15OE ∴==，40DE OD OE ∴=+=，10CE OC OE =-=，即弦AB 和弦AB 所对的劣弧的中点的距离为10cm ，弦AB 和弦AB 所对的优弧的中点的距离为40cm ． 故选：D ．7．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =，下面结论正确的是( )A ．0a <，0c <，240b ac ->B ．0a <，0c >，240b ac -<C ．0a >，0c >，240b ac ->D ．0a <，0c <，240b ac -<【解答】解：抛物线开口向下， 0a ∴<，图象与y 轴交点在x 轴下方可判断0c <， 图象与x 轴交于两点， 240b ac ∴->，故选项A 正确； 故选：A ．8．已知矩形ABCD 的边6AB =，8BC =，以点B 为圆心作圆，使A ，C ，D 三点至少有一点在B 内，且至少有一点在B 外，则B 的半径r 的取值范围是( ) A ．6r > B ．68r <<C ．610r <<D ．68r <<或810r <<【解答】解：因为6AB =，8BC =，所以根据矩形的性质和勾股定理得到：10BD ==． 6BA =，8BC =，10BD =，而A ，C ，D 中至少有一个点在B 内，且至少有一个点在B 外， ∴点A 在B 内，点D 在B 外．因此：610r <<． 故选：C ．9．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，E 在AB 上，2AE =，HF 是CE 的垂直平分线，交CD 的延长线于点F ，连结EF 交AD 于点G ，则GDAG的值是( )A ．52B C ．114D 【解答】解：矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，2AE =， 4BC ∴=，3CD =，1BE =，CE ∴==HF 是CE 的垂直平分线，12CH CE ∴=，FH CE ⊥， //CF AB ， FCH CEB ∴∠=∠， Rt FCH Rt CEB ∴∆∆∽，∴FC CHCE BE ==， 172FC ∴=， 1711322DF ∴=-= //DF AE ， FDG EAG ∴∆∆∽，∴1111224DG DF AG AE ===． 故选：C ．10．下列关于函数246y x x =-+的四个命题：①当0x =时，y 有最小值6；②若n 为实数，且1n >，则2x n =+时的函数值大于x n =时的函数值；③若2n >，且n 是整数，当1n x n +剟时，y 的函数值有(22)n -个；④若函数图象过点0(,)a y ，0(,1)b y +，则a b <，其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．②③C ．③④D ．②④【解答】解：2246(2)2y x x x =-+=-+，∴当2x =时，y 有最小值2，故①错误；当2x n =+时，2(2)4(2)6y n n =+-++， 当2x n =-时，2(2)4(2)6y n n =---+，22(2)4(2)6[(2)4(2)6]0n n n n +-++----+=，n ∴为任意实数，2x n =+时的函数值等于2x n =-时的函数值，大于x n =时的函数值，故②正确；抛物线246y x x =-+的对称轴为2x =，10a =>， ∴当2x >时，y 随x 的增大而增大，当1x n =+时，2(1)4(1)6y n n =+-++， 当x n =时，246y n n =-+，22(1)4(1)6[46]23n n n n n +-++--+=-，n 是整数，23n ∴-是整数，y ∴的整数值有(22)n -个；故③正确；抛物线246y x x =-+的对称轴为2x =，10>，∴当2x >时，y 随x 的增大而增大，2x <时，y 随x 的增大而减小， ∴无法判断a b <，故④错误，故选：B ．二、填空题（每小题4分，共24分）11．计算：2cos60sin 45tan 30tan 60︒+︒-︒︒= 0 ．【解答】解：原式212=+， 11122=+-， 0=．故答案为：0．12．O 的半径10r =，圆心O 到直线l 的距离10d =，则O 与直线l 的位置关系是 相切 ． 【解答】解：根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d r =时，则直线和圆相切． 故答案为相切．13．某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：请用频率估计概率的方法估计这批油菜籽在相同条件下的发芽概率是 0.90 ． 【解答】解：(24960116282639133918062715)(251070130310700150020003000)x =+++++++++÷+++++++++69727727=÷ 0.90≈，当n 足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.90，故用频率估计概率，这批油菜籽在相同条件下的发芽概率是0.90． 故答案为：0.90．14．如图，在锐角ABC ∆中，BD AC ⊥于D ，DE BC ⊥于E ，14AB =，4AD =，:9:2BE EC =，则CD =【解答】解：BD AC ⊥， 90ADB ∴∠=︒，22222144180BD AB AD ∴=-=-=，设9BE x =，2EC x =， DE BC ⊥，2BD BE BC ∴=，即1809(92)x x x =+，解得22011x =， 220211224011CD CE CB x x ===⨯=，CD ∴=．故答案为15．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为AO 的中点，CD AB ⊥交半圆与点D ，以C 为圆心，CD 为半径画弧DE 交AB 于E 点，若4AB cm =，则图中阴影部分面积为712π+2．【解答】解：连接AD ，OD ，BD ，可得ACD CDB ∆∆∽，有2CD AC CB =，CD ∴=，1OC cm =，tan :1COD ∠=，60AOD ∴∠=︒，即AOD ∆是等边三角形，2260223603OADS cm ππ⨯∴==扇形，2132CDO S CO CD cm ∆==．223ADC CDOOAD S S S cm π∆⎛∴=-= ⎝扇形，221344CDE S cm ππ=⨯=扇形．∴阴影部分的面积()2712ADC CDE S S S cm π⎛=-+=+ ⎝半圆扇形．故答案为：712π+16．如图，Rt ABC ∆中，Rt C ∠=∠，2AB =，30B ∠=︒，正六边形DEFGHI 完全落在Rt ABC ∆内，且DE 在BC 边上，F 在AC 边上，H 在AB 边上，则正六边形DEFGHI 的边长为I 作11//A C AC ，然后在△11A C B 内用同样的方法作第二个正六边形，按照上面的步骤继续下去，则第n 个正六边形的边长为 ．【解答】解：如图，连接AG ，延长HG 交AC 于J ．则易知AJ JF CF ==，设EF a =，则12EC a =，CF =．3CF AC ∴=，a ∴=， 在Rt ABC ∆中，2AB =，30B ∠=︒，112AC AB ∴==，a ∴=，易知11A C =，∴12=⨯，同法可得第三个正六边形的边长为：23=⨯，∴第n 个正六边形的边长为：1n n-⨯，1n n-⨯； 三、解答题（本大题共有7个小题，共66分）17．袋中装有3红1白除颜色外一样的球，一次随机取出两只球，请用列表或画树状图的方法求摸出两球是一红一白的概率． 【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸出两球是一红一白的结果数为6， 所以摸出两球是一红一白的概率61122==． 18．如图，在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，E 为AC 边上一点，且2AD AEDB EC== （1）求证：ADE ABC ∆∆∽；（2）求ADE ∆与四边形DBCE 的面积比．【解答】（1）证明：2AD AEDB EC==， ∴23AD AE AB AC ==， A A ∠=∠， ADE ABC ∴∆∆∽；（2）解：ADE ABC ∆∆∽，23AD AB =， ∴24()9ADE ABC S AD S AB ∆∆==， ADE ∴∆与四边形DBCE 的面积比是4:5．19．如图，一张正三角形的纸片的边长为2cm ，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA （含端点）上的点，设()BD CE AF x cm ===，DEF ∆的面积为2()y cm ． （1）求y 关于x 的函数表达式和自变量的取值范围； （2）求DEF ∆的面积y 的最大值和最小值．【解答】解：（1）AF BD CE x ===，且等边ABC ∆的边长为2，2BE CF AD x ∴===-， AB BC AC ==，()ADF BED CFE SAS ∴∆≅∆≅∆．在ADF ∆中，AF x =，2AD x =-，1sin (2)2DEF S AD AF A x ∆=⨯⨯=-；33(2)2)ABC AEG y S S x x ∆∆∴=-=-=+剟． （2）33y =-+ ∴其图象为二次函数，且开口向上，02x 剟，∴y ，DEF ∴∆． 20．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱下滑至如图所示位置时，2AB m =，已知木箱高1BE m =，斜面坡角为32︒．（参考数据：sin 320.5299︒=，cos320.8480︒=，tan 320.6249)︒=（1）求点B 到AC 的距离．（精确到0.1)m（2）求木箱端点E 距地面AC 的高度．（精确到0.1)m【解答】解：（1）作BH AC ⊥与H ． sin 32BHAB︒=， 20.5299 1.1()BH m ∴=⨯≈． ∴点B 到AC 的距离为1.1m ．（2）作EN AC ⊥与N 交AB 与M ． 在Rt EMB ∆中，32MEM ∠=︒， 1.18()cos32EBEM m ∴=≈︒，tan 320.62BM EB =︒≈，0.38()AM AB BM m ∴=-=， sin 320.73()MN AM m ∴=︒≈， 1.180.73 1.9()EN EM MN m ∴=+=+≈． ∴木箱端点E 距地面AC 的高度为1.9m ．21．如图，已知一块等边三角形钢板ABC 的边长为60厘米．（1）用尺规作图能从这块钢板上截得的最大圆（作出图形，保留作图痕迹），并求出此圆的半径．（2）用一个圆形纸板完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？【解答】解：（1）O 如图所示；在Rt BOE ∆中，30BE cm =，30OBE ∠=︒，tan 30)OE BE cm ∴=︒=，O ∴的半径为)cm ．（2）在Rt BOE ∆中，2)OB OE cm ==，用一个圆形纸板完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是． 22．在平面直角坐标系中，设二次函数24y ax ax =-，其中为常数且0a <． （1）若函数24y ax ax =-的图象经过点(2,4)，求此函数表达式； （2）若抛物线24y ax ax =-的顶点在双曲线ky x=上，试说明k 的符号； （3）已知1(,)m y 、2(1,)m y +、3(2,)m y +，(01)m <<都是抛物线24(0)y ax ax a =-<上的点，请判断1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由 【解答】解：（1）把点(2,4)代入24y ax ax =-中得： 484a a -=， 1a =-，∴此函数表达式为：24y x x =-+；（2）2224(444)(2)4y ax ax a x x a x a =-=-+-=--， ∴顶点(2,4)a -，顶点在双曲线ky x=上， 2(4)8k a a ∴=⨯-=-， 0a <， 0k ∴>；（3）0a < ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴是2x =，∴当2m <时，y 随x 的增大而增大，且2x m =+与2x m =-对称，12m m <+<，12y y ∴<，(2)(1)12m m m --+=-，当102m <<时，21m m ->+，321y y y >>， 当12m =时，321y y y =>； 当112m <<时，12m m m +>->，231y y y >>． 23．如图1，圆O 的两条弦AC 、BD 交于点E ，两条弦所成的锐角或者直角记为α∠ （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：猜想：AB 、CD 、α∠的度数之间的等量关系，并说明理由（2）如图2，若60α∠=︒，2AB =，1CD =，将AB 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D 重合，同时B 落在圆O 上的点，连接CG ①求弦CG 的长； ②求圆O 的半径．【解答】解：（1）1(2AB α∠=的度数CD +的度数）． 理由如下：连接BC ，如图1，B C α∠=∠+∠， 而12B CD ∠=的度数，12C AB ∠=的度数， 1(2AB α∴∠=的度数CD +的度数）； （2）①连接OG 、OC 、AG ，作OH CG ⊥于H ，GF CD ⊥于F ，如图2， 将AB 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D 重合，同时B 落在圆O 上的点G ， ∴AB GD =，2AB DG ==，由（1）得AB 的度数CD +的度数2120α=∠=︒， DG 的度数CD +的度数2120α=∠=︒， 即CG 的度数为120︒，120COG ∴∠=︒，60CAG ∴∠=︒，而120CAG CDG ∠+∠=︒，120CDG ∴∠=︒，60GDF ∴∠=︒，在Rt GDF ∆中，112DF DG ==，GF ==在Rt CFG ∆中，CG == ②OH CG ⊥，12CH GH CG ∴===，1(180120)302OGH ∠=︒-︒=︒，OH ∴===2OG OH ∴==，即圆O ．。
初三上城区期末考数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √16B. πC. √-9D. 2/32. 已知a、b是实数，且a + b = 0，则下列等式中正确的是（）A. a^2 = b^2B. a^2 = -b^2C. a^2 = 2b^2D. a^2 = 1/2b^23. 下列函数中，有最小值的是（）A. y = x^2B. y = -x^2C. y = x^2 + 2x + 1D. y = x^2 - 2x + 14. 已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式△ = b^2 - 4ac，则下列说法正确的是（）A. 当△ > 0时，方程有两个不相等的实数根B. 当△ = 0时，方程有两个相等的实数根C. 当△ < 0时，方程没有实数根D. 当△ ≥ 0时，方程至少有一个实数根5. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°6. 已知函数y = kx + b（k ≠ 0），若k > 0，则函数图象（）A. 经过第一、二、三象限B. 经过第一、二、四象限C. 经过第一、三、四象限D. 经过第二、三、四象限7. 已知一次函数y = kx + b的图象经过点（1，3），则下列说法正确的是（）A. 当k > 0时，b > 0B. 当k > 0时，b < 0C. 当k < 0时，b > 0D. 当k < 0时，b < 08. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点是（）A. （-2，-3）B. （-2，3）C. （2，-3）D. （2，3）9. 下列各图中，表示函数y = x^2的图象是（）A.B.C.D.10. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解是x1和x2，则x1 + x2的值是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题4分，共40分）11. 若方程2x - 3 = 5的解为x = 4，则方程2(x - 3) = 5的解为x = _______。
2020-2021学年浙江省杭州市上城区九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．小明买彩票中奖B．在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下D．任选三角形的两边，其差小于第三边2．（3分）下列各式中正确的是（）A．tan45°＝B．cos45°＝1C．sin30°＝D．tan60°＝3．（3分）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（）A．50°B．60°C．100°D．120°4．（3分）下列关于相似三角形的说法，正确的是（）A．等腰三角形都相似B．直角三角形都相似C．两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似D．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似5．（3分）已知二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝2，则这个函数图象必过点（）A．（﹣1，4）B．（0，3）C．（2，4）D．（3，4）6．（3分）如图，在△ABC中，作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若要使△ADE与四边形DBCE的面积相等，则AD与AB的比为（）A．1：B．1：2C．2：3D．：7．（3分）下列函数图象经过变换后，过原点的是（）A．y＝（x﹣1）2﹣2向右平移3个单位B．y＝（x﹣1）2﹣2向左平移3个单位C．y＝2（x+1）2﹣1向上平移1个单位D．y＝2（x+1）2﹣1关于x轴作轴对称变换8．（3分）如图，点C、D、E、F、G均在以AB为直径的⊙O上，其中∠AGC＝20°，∠BFE＝10°，则∠CDE＝（）A．115°B．120°C．135°D．150°9．（3分）已知M（b，m）和N（b+1，n）是二次函数y＝x2﹣bx+c（其中b，c是常数）上不同的两点，则判断m和n的大小关系正确的是（）A．b＞0时，m＞n B．b＜0时，m＜n C．b＞﹣1时，m＜n D．b＜1时，m＞n 10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点E，若AD的长与⊙O的半径相等，则下列等式正确的是（）A．2BC2＝AB2+CD2B．3BC2＝2AB2+2CD2C．4BC2＝3AB2+3CD2D．5BC2＝4AB2+4CD2二、认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地墳写答案．11．（4分）如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，CE＝6，＝，则ED＝．12．（4分）某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100张奖券，设特等奖1名，一等奖10名，二等奖20个，三等奖30个，已知每张奖券获奖可能性相同，则抽一张奖券获得特等奖或一等奖的概率是．13．（4分）已知（﹣3，y1），（﹣0.5，y2），（2，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，则将y1，y2，y3按从小到大排列为．14．（4分）如图，已知等边△ABC以C为旋转中心，按逆时针方向旋转α°（0＜α＜180°），得到△DEC，若CD⊥AB，等边三角形边长为1，则点A的运动路径长为．15．（4分）已知在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则sin A＝．16．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为；AF的长为．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）已知半径为6的扇形面积为12π，求此扇形圆心角的角度．18．（8分）已知有一个30度的角，两个45度的角，一个60度的角．（1）从中任取两个角，请用树状图或列表求出两个角恰好互余的概率；（2）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠A是上面四个角中的一个，求边AB 的长．19．（8分）已知△ABC中，∠C＝90°．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由．20．（10分）一位运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．（1）求铅球所经过路线的函数表达式；（2）求出铅球的落地点离运动员有多远．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）连接AD，交BE于点G，若△AGE≌△DGF，且AB＝2，求AE的长．22．（12分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）．（1）已知函数过点（2，3），求出b和c满足的关系式；（2）若c＝1﹣b，求证：不论b为何值，该函数图象与x轴一定有交点；（3）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发现函数的最大值是9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现x＝4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个同学是谁，并根据另三位同学的表述求出此函数表达式．23．（12分）如图1，△ABC是边长为2的等边三角形，以BC为一边向下作矩形BDEC，其中DB＝1．M为线段AB上的动点（且不与A、B重合），过M作矩形MNPQ，使边NP在线段DE上，点Q在AC上．（1）当MN为1+时，请直接写出矩形MNPQ的面积；（2）设MN＝x，矩形MNPQ的面积为y，①试求出y关于x的函数表达式；②矩形MNPQ的面积y是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．（3）如图2，过点N作AB的平行线，交线段AC于点F，连接MF，若△MNF为直角三角形，请直接写出线段MN的长度．2020-2021学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，据此进行判断即可．【解答】解：A．小明买彩票中奖，是随机事件，不合题意；B．在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球，是不可能事件，不合题意；C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，不合题意；D．任选三角形的两边，其差小于第三边，是必然事件，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：A、tan45°＝1，故本选项错误，不符合题意；B、cos45°＝，故本选项错误，不符合题意；C、sin30°＝，故本选项正确，符合题意；D、tan60°＝，故本选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3．【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设∠A＝x，则∠C＝2x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴x+2x＝180°，解得，x＝60°，即∠A＝60°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4．【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：等腰三角形不一定都相似，如∠A＝∠B＝30°的△ABC和∠D＝∠E＝60°的△DEF，它们不相似，故选项A错误；直角三角形不一定相似，如∠A＝60°，∠B＝30°的Rt△ABC和∠D＝40°，∠E＝50°的Rt△DEF，它们不相似，故选项B错误；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，但是两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形不一定相似，故选项C错误；一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的相似解答．5．【分析】根据二次函数的对称性即可判断．【解答】解：∵二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝2，∴点P关于对称轴的对称点为（3，4），∵点P关于对称轴的对称点必在这个函数的图象上，∴这个函数图象必过点（3，4），故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性．6．【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得＝（）2＝，即可求解．【解答】解：∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，＝2S△ADE，∴S△ABC∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．7．【分析】先求得变换后的解析式，然后将（0，0）代入各选项进行判断即可．【解答】解：A、y＝（x﹣1）2﹣2向右平移3个单位得到y＝（x﹣4）2﹣2当x＝0时，y＝6，不经过原点，故本选项不合题意；B、y＝（x﹣1）2﹣2向左平移3个单位得到y＝（x+2）2﹣2，当x＝0时，y＝0，经过原点，故本选项符合题意；C、y＝2（x+1）2﹣1向上平移1个单位得到y＝2（x+1）2，当x＝0时，y＝2，不经过原点，故本选项不合题意；D、y＝2（x+1）2﹣1关于x轴作轴对称变换得到y＝﹣2（x+1）2+1，当x＝0时，y＝﹣1，不经过原点，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，求得变换后的函数解析式是解题的关键．8．【分析】连接GB、GE，如图，根据圆周角定理得到∠AGB＝90°，∠BGE＝∠BFE＝10°，则∠CGE＝60°，然后根据圆内接四边形的性质求∠D的度数．【解答】解：连接GB、GE，如图，∵AB为直径，∴∠AGB＝90°，∵∠AGC＝20°，∠BGE＝∠BFE＝10°，∴∠CGE＝∠AGB﹣∠AGC﹣∠BGE＝90°﹣20°﹣10°＝60°，∵四边形DCGE为⊙O的内接四边形，∴∠D+∠CGE＝180°，∴∠D＝180°﹣60°＝120°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9．【分析】将点M，N的坐标代入解析式，分三种情况讨论，即可求解．【解答】解：∵M（b，m）和N（b+1，n）是二次函数y＝x2﹣bx+c（其中b，c是常数）上不同的两点，∴m＝b2﹣b2+c＝c，n＝（b+1）2﹣b（b+1）+c＝b+1+c，当b+1＞0时，则b+1+c＞c，即b＞﹣1时，n＜m，当b+1＝0时，则b+1+c＝c，即b＝﹣1时，n＝m，当b+1＜0时，则b+1+c＜c，即b＜﹣1时，n＞m，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，利用分类思想解决问题是本题的关键．10．【分析】连接OA、OD，如图，先证明△OAD为等边三角形得到∠AOD＝60°，再利用圆周角定理∠ABD＝∠ACD＝30°，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到BE ＝AB，CE＝CD，然后在Rt△BCE中利用勾股定理得到BC2＝BE2+CE2，从而可确定BC、AB、CD的关系．【解答】解：连接OA、OD，如图，∵OA＝OD＝AD，∴△OAD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴∠ABD＝∠ACD＝30°，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，在Rt△AEB中，∵∠ABE＝30°，∴AE＝AB，∴BE＝AE＝AB，同理可得CE＝CD，在Rt△BCE中，∵BC2＝BE2+CE2，∴BC2＝AB2+CD2，∴4BC2＝3AB2+3CD2．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理．二、认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地墳写答案．11．【分析】通过证明△ADE∽△BCE，可得，即可求解．【解答】解：∵AD∥BC，∴△ADE∽△BCE，∴，又∵CE＝6，＝，∴，∴DE＝8，故答案为8．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．12．【分析】用特等奖、一等奖的数量除以奖券的总张数即可．【解答】解：∵有100张奖券，设特等奖1名，一等奖10名，二等奖20个，三等奖30个，∴抽一张奖券获得特等奖或一等奖的概率是＝．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13．【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m，∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵（﹣3，y1），（﹣0.5，y2），（2，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，∴点（﹣3，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1，y1），∵﹣1＜﹣0.5＜1＜2，∴y3＜y1＜y2，故答案为y3＜y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．14．【分析】由旋转的性质可得AC＝CD＝1，由等边三角形的性质可得∠ACD＝30°，由弧长公式可求解．【解答】解：∵等边△ABC以C为旋转中心，∴AC＝CD＝1，∵CD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ACD＝30°，∴点A的运动路径长＝＝π，故答案为．【点评】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，旋转的性质，弧长公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．15．【分析】分AC为斜边、AC为直角边两种情况，根据正弦的定义解答．【解答】解：当AC是斜边时，sin A＝＝，当AC为直角边时，斜边AB＝＝＝5，sin A＝＝，故答案为：或．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．16．【分析】（1）证明△AFE∽△AEC，可得结论．（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，利用平行线分线段成比例定理求出AE，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE∴∠ECA＝∠FEA，∵∠FAE＝∠EAC，∴△AFE∽△AEC．（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，∵ED＝EC，∴，∵AD∥EG，∴，∴＝2，解得，∵△AFE∽△AEC，∴，∴＝，解得．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．【分析】根据扇形的面积公式S＝，得n＝．【解答】解：根据扇形的面积公式，得n＝＝＝120°．【点评】此题主要是能够灵活运用扇形的面积公式．18．【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到两个角恰好互余的结果数，再根据概率公式求解即可；（2）分∠A＝30°、45°、60°三种情况，根据AB＝分别计算即可．【解答】解：（1）列表如下：30°45°45°60°30°75°75°90°45°75°90°105°45°75°90°105°60°90°105°105°由表知，共有12种等可能结果，其中两个角恰好互余的有4种结果，∴两个角恰好互余的概率为＝；（2）若∠A＝30°，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∴AB＝2BC＝4；若∠A＝45°，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∴AB＝＝＝2；若∠A＝60°，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∴AB＝＝＝．【点评】本题考查了解直角三角形及列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．19．【分析】过点C作CD⊥AB于D，则△CDA∽△BDC．【解答】解：如图，直线CD即为所求作．理由：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△CDA∽△BDC．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，相似三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3，用待定系数法求解即可；（2）令y＝0得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．【解答】解：（1）由图可知抛物线的顶点坐标为（4，3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3，把（0，）代入得，＝a（0﹣4）2+3，解得：a＝﹣，∴铅球所经过路线的函数表达式为；（2）∵，令y＝0得，0＝﹣（x﹣4）2+3，解得：x1＝﹣2（舍），x2＝10，∴铅球的落地点离运动员有10m远．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法与二次函数的性质是解题的关键．21．【分析】（1）首先证明BE⊥AC，AD⊥BC，再证明OD∥AC，可得结论．（2）由题意AE＝DF，利用三角形中位线定理证明OF＝AE＝DF，根据OD＝1，求出DF即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，∴AD⊥BC，AE⊥BE，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵BO＝OA，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，∴OD⊥BE．（2）∵△AGE≌△DGF，∴AE＝DF，∵AO＝OB，FO∥AE，∴EF＝FB，∴OF＝AE＝DF，∵AB＝2，∴OD＝AB＝1，∴DF＝OD＝，∴AE＝DF＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．【分析】（1）将点（2，3）代入函数解析式，即可求解；（2）由c＝1﹣b得到y＝﹣x2+bx﹣b+1，则△＝b2+4（﹣b+1）＝b2﹣4b+4＝（b﹣2）2≥0，即可求解；（3）依据函数的性质逐个分析求解即可．【解答】解：（1）将点（2，3）代入解析式，得﹣22+2b+c＝3，则c＝7﹣2b；（2）∵c＝1﹣b，∴y＝﹣x2+bx﹣b+1，则△＝b2+4（﹣b+1）＝b2﹣4b+4＝（b﹣2）2≥0，∴不论b为何值，该函数图象与x轴一定有交点；（3），若甲正确，则c＝5；若乙正确，则，即b2+4c＝36；若丙正确，则，即b＝4；若丁正确，则﹣42+4b+c＝0，即c＝16﹣4b；假设甲和丙结论正确，则b2+4c＝42+4×5＝36，即乙结论也正确；此时，c＝16﹣4b不成立，即丁结论错误；依题意，假设成立，∴y＝﹣x2+4x+5，综上所述，丁结论错误，函数解析式为y＝﹣x2+4x+5．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了根的判别式的运用、二次函数的图象的性质等，具有一定的综合性，难度适中．23．【分析】（1）由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求NP，即可求解；（2）利用直角三角形的性质和等边三角形的性质可求NP，由矩形的面积公式可求y关于x的函数表达式，由二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：如图1，延长AB、AC与DE所在直线分别交于点G、H，（1）∵MQ∥BC，BC∥DE，∴MQ∥BC∥DE，∴∠ABC＝∠G＝60°，∠ACB＝∠H＝60°，∴△AMQ是等边三角形，同理可得：△AGH均为等边三角形，∵BD＝1，∠G＝60°，∴DG＝，GB＝2DG＝，∴AG＝GH＝2+，∵，∠G＝60°＝∠H，∴GN＝PH＝，∴NP＝GH﹣GN﹣PH＝1，∴矩形MNPQ的面积为；（2）同理可求，，，则（1＜x＜+1），∴当时，矩形MNPQ的面积y有最大值；（3）如图2，延长AB、AC与DE所在直线分别交于点G、H，∵NF∥AB，∴∠HFN＝∠A＝60°，∠FNH＝∠G＝60°，∴∠MNF＝30°，△FNH是等边三角形，由（2）可知：，，∵△MNF为直角三角形，①若∠MFN＝90°，则，即，解得；②若∠NMF＝90°，则，即，解得，综上所述，满足条件的MN长度为或．【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．。
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中，是二次函数的是( )A. y=2x−3B. y=−1x2C. y=(x−5)2−x2D. y=x(1−x)2.下列事件是必然事件的是( )A. 任意一个五边形的外角和等于540°B. 投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次C. 367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日D. 正月十五雪打灯3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为( )A. y=(x+3)2+2B. y=(x+3)2−2C. x=(x−3)2+2D. y=(x−3)2−24.两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为( )A. 14cmB. 16cmC. 18cmD. 30cm5.如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是( )A. 正三角形B. 正方形C. 正六边形D. 正八边形6.如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为m．( )A. 2B. 4C. 6D. 87.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y=a(x−b)2+c的图象正确的是( )A.B.C.D.8.“苏堤南起南屏山麓，北到栖霞岭下，全长2.8公里．苏堤上有名的六吊桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、东浦桥、跨虹桥．压堤桥约居苏堤南北的黄金分割位，旧时又是湖船东来西去的水道通行．”从地图上看，压堤桥位于苏堤北部，请结合上述描述，估计压堤桥到栖霞岭下的大致距离为( )A. 0.9公里B. 1.1公里C. 1.3公里D. 1.4公里9.过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度(单位：m)，x表示水平距离(单位：m).由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为( )A. 4B. 5C. 7D. 910.如图，半圆O的直径AB=2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD=1，延长AD、BC相交于点E.记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y.则以下结论正确的是( )A. x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化B. x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化C. x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化D. x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知扇形的圆心角为120°，直径为6cm，那么这个扇形的面积是______cm2．12.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码(绿码)示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______cm2．13.如图，AB是半圆O的直径，∠ABC=40°，则∠D=______．14.某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式______．15.为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD//AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD=10米，OC=15米，OA=45米，则河宽AB=______米．16.如图，已知点E为矩形ABCD内一点，满足∠AEB=90°，延长DE交以CD为直径的半圆于点F，当AE=20，BE=15，DF=24时，则矩形AD边的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。
2014-2015学年浙江省杭州市上城区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2014-2015学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1.下列事件中，属于必然事件的是（）A．在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾B．掷一枚硬币，正面朝下C．一个三角形三个内角的和小于180°D．某运动员跳高的成绩是20.3米2.在平面直角坐标系中，若⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，则点M（1，1）在（）A．⊙O内B．⊙O外C．⊙O上D．不能确定3.已知二次函数的图象（-3≤x≤0）如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值1，无最小值B．有最大值1，有最小值0C．有最大值1，有最小值-3D．有最大值0，有最小值-34.已知圆心角为120°的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（）A．2B．4C．2πD．4π5.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（）A．（2，2）B．（2，1）C．（3，2）D．（3，1）6.水库堤坝的横断面是梯形（如图）．测得斜坡AB长为60米，斜坡AB的坡比为1：2，则此堤坝横断面的高为（）A．30米B．30米C．12米D．24米7.如图，△ABC中，CE交AB于点D，∠A=∠E，AD：DB=2：3，AB=10，ED=5，则DC的长等于（）A．B．C．D．8.投一个普通骰子，有下述说法：①朝上一面的点数是奇数；②朝上一面的点数是整数；③朝上一面的点数是3的倍数；④朝上一面的点数是5的倍数．将上述事件按可能性大小，从小到大排列为（）A．①②③④B．④③①②C．④①③②D．②①③④9.“二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据对这句话的理解，解决下面问题：若m，n（m＜n）是关于x的方程2-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是（）A．a＜m＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．m＜a＜n＜b10.如图，矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于点A，圆O的半径为4，且=2．若在没有滑动的情况下，将圆O向右滚动，使得O点向右移动了98π，则此时与地面相切的弧为（）A．B．C．D．二、填空题11.在比例尺为1：100 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是20cm，则两地的实际距离为__________km．12.如图为一座拱桥的示意图，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=-（x+6）2+4，则选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是__________．13.已知α是锐角，且sinα=，则tanα=__________．14.一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要__________位．15.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（4，a）（a＞4），半径为4，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2，则a的值是__________．16.二次函数y=x2+bx+c与直线y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2-4c＞0；②3b+c+6=0；③当x2+bx+c＞1时，x＜1；④当x2+bx+c＞时，x ＞；⑤当1＜x＜3时，x2+（b-1）x+c＜0．其中正确结论的编号是__________．三、解答题17.已知⊙O中的弦AB=CD，求证：AD=BC．18.人要使用斜靠在墙面上的梯子安全地攀到梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一个6m的梯子．问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀到多高的墙？（精确到0.1m）（2）当梯子的底端距离墙面2.4m时，此时人是否能够安全地使用这个梯子？（sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）19.如图，已知△ABC．（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆；（2）若AB=8，AC=5，BC=7，求△ABC的外接圆半径R．20.已知二次函数y=-2x2+4x+6．（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象．（2）自变量x在什么范围内，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值．21.有A，B两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有-2，4，6；B组卡片上分别写有-1，0，2．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y．若甲抽出的数字是4，乙抽出的数是-1，它们恰好是方程x-ay=6的解．（1）求a的值；（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程x-ay=6的解的概率．（请用树状图或列表法求解）22.如图，已知抛物线的顶点在第一象限，顶点到x轴的距离为3，抛物线与x轴交于原点O（0，0）及点A，且OA=4．（1）求该抛物线的解析式．（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转30°到OA′，作A′E⊥y轴于点E，连结AE，OA′交于点F．①试判断点A′是否在该抛物线上，说明理由．②求△A′EF与△OAF的面积之比．23.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P为BC边上一动点，AP交BD于点Q．点P从B点出发沿BC边以每秒1个单位长度的速度向C点移动，移动时间为t 秒．（1）t为何值时，AP⊥BD？（2）t为何值时，△BPQ是等腰三角形？（3）设S△AQD+S△PQB=y，写出y与t之间的函数关系式，并探究P点运动到第几秒与第几秒之间时，y取得最小值．2014-2015学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷试卷的答案和解析1.答案：A试题分析：试题分析：必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．试题解析：A、在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾，是必然事件，选项正确；B、掷一枚硬币，正面朝下，是随机事件，选项错误；C、一个三角形三个内角的和小于180°，是不可能事件，选项错误；D、某运动员跳高的成绩是20.3米，是不可能事件，选项错误．故选A．2.答案：A试题分析：试题分析：利用已知画出图形，进而得出M的位置．试题解析：如图所示：点M（1，1）在⊙O内．故选：A．3.答案：C试题分析：试题分析：直接根据函数图象即可得出结论．试题解析：由函数图象可知，当x=-1时，y最大=1；当x=-3时，y最小=-3．故选C．4.答案：D试题分析：试题分析：根据扇形面积公式S=求得半径R，再根据l=求弧长；试题解析：令扇形的半径和弧长分别为R和l，则∵S==12π，∴R=6，∴l==4π．∴扇形的弧长为4π．故选D．5.答案：D试题分析：试题分析：直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．试题解析：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点D的坐标为：（3，1）．故选：D．6.答案：C试题分析：试题分析：根据坡比为1：2，设BE=x米，AE=2x米，在Rt△ABE中，利用勾股求出x的值即可．试题解析：∵坡比为1：2，∴设BE=x米，AE=2x米，∵斜坡AB长为60米，∴x2+（2x）2=602，∴x=12．故选C．7.答案：A试题分析：试题分析：先根据题意得出△BDE∽△CDA，再由相似三角形的对应边成比例求出DC的长即可．试题解析：∵∠A=∠E，∠ADC=∠EDB，∴△BDE∽△CDA．∵AD：DB=2：3，AB=10，ED=5，∴AD=×10=4，BD=10-4=6，∴=，即=，解得DC=．故选A．8.答案：B试题分析：试题分析：根据可能性大小的求法，求出各个事件发生的可能性的大小，进而比较可得答案．试题解析：∵投一个骰子有1，2，3，4，5，6这六个结果，∴朝上一面的点数是奇数的可能性是=，朝上一面的点数是整数的可能性是1，朝上一面的点数是3的倍数=，朝上一面的点数是5的倍数，∴从小到大排列为④③①②；故选B．9.答案：C试题分析：试题分析：依题意画出函数y=（x-a）（x-b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．试题解析：依题意，画出函数y=（x-a）（x-b）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．方程2-（x-a）（x-b）=0转化为（x-a）（x-b）=2，方程的两根是抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=2的两个交点．由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选：C．10.答案：B试题分析：试题分析：根据题意得出圆的周长以及圆转动的周数，进而得出与地面相切的弧．试题解析：∵圆O半径为4，∴圆的周长为：2π×r=8π，∵将圆O向右滚动，使得O点向右移动了98π，∴98π÷8π=12…2π，即圆滚动12周后，又向右滚动了2π，∵矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于A点，=2，∴=×8π=π＜2π，+=×8π=4π＞2π，∴此时与地面相切；故选：B．11.答案：试题分析：试题分析：设实际距离为xcm，然后根据比例尺的定义列出比例式求解即可．试题解析：设实际距离为xcm，由题意得，20：x=1：100 000，解得x=2 000 000，2 000 000cm=20km．故答案为：20．12.答案：试题分析：试题分析：直接利用抛物线顶点坐标的位置变化得出相当于抛物线y=-（x+6）2+4向右平移12个单位，进而得出答案．试题解析：由题意可得：相当于抛物线y=-（x+6）2+4向右平移12个单位，故选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是：y=-（x-6）2+4．故答案为：y=-（x-6）2+4．13.答案：试题分析：试题分析：根据同一个锐角的正弦与余弦的关系，可得锐角的余弦，根据正切函数与正弦、余弦的函数，可得答案．试题解析：α是锐角，且sinα=，得cosα===，tanα===，故答案为：．14.答案：试题分析：试题分析：分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．试题解析：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；取两位数时一次就拨对密码的概率为；取三位数时一次就拨对密码的概率为；取四位数时一次就拨对密码的概率为．故密码的位数至少需要4位．故答案为：4．15.答案：试题分析：试题分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．试题解析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵PE⊥AB，AB=2，半径为4，∴AE=AB=，PA=4，根据勾股定理得：PE===1，∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=4，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（4，a），∴a=PD+DC=+4．故答案为：4+．试题分析：试题分析：①根据图象与x轴的交点情况判断b2-4c的符号；②根据图象经过（3，3），判断3b+c+6=0的正确性；③根据图象可以判断③；④根据过顶点（，）的反比例函数为y=，判断④；⑤根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，列式判断⑤．试题解析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2-4ac＜0；∴b2-4c＜0故①不正确；当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0故②正确；从图象可知当x2+bx+c＞1时，x＜1或x＞2③不正确；④过顶点（，）的反比例函数为y=，由图象可知，当x2+bx+c＞时，x＞或x＜0，④错误．∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b-1）x+c＜0．故⑤正确．故答案为：②⑤17.答案：试题分析：试题分析：由AB=CD，得：，即可推出，即可推出AD=BC．试题解析：∵⊙O中的弦AB=CD，∴，∴，18.答案：试题分析：试题分析：（1）根据锐角三角函数关系得出sinα=，进而求出BC的长；（2）利用锐角三角函数关系得出α的余弦值，进而得出α的取值范围即可得出答案．试题解析：（1）当α=75°，则sinα==，故BC=6×0.97=5.82（m），故使用这个梯子最高可以安全攀到5.82m的墙；（2）当梯子的底端距离墙面2.4m时，cosα==0.4，∵cos50°≈0.64，cos75°≈0.26，∴50°＜α＜75°，∴此时人能够安全地使用这个梯子．19.答案：试题分析：试题分析：（1）分别作AB、AC两边的垂直平分线，相交于点O，再以O为圆心，以OA长为半径画圆，⊙O即为所求的三角形的外接圆；（2）利用余弦定理求得∠A的度数，然后过外接圆的圆心作BC的垂线，利用圆周角定理和三角函数即可求解．试题解析：（1）圆O就是所求的圆；（2）∵BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cosA，∴72=82+52-80cosA，解得：cosA=，连接OB、OC，则∠BOC=2∠A=120°，∵OD⊥BC，∴∠BOD=∠BOC=60°，BD=BC=3.5．∴OB===．20.答案：试题分析：试题分析：（1）根据函数解析式可求出顶点坐标，对称轴及与坐标轴的交点；根据二次函数的顶点，对称轴及与y轴的交点可画出图象；（2）根据确定的对称轴及顶点坐标确定其增减性即可．试题解析：（1）∵y=-2x2+4x+6=-2（x2-2x+1-1）+6=-2（x-1）2+8，∴顶点坐标为（1，8），对称轴为x=1；令y=-2x2+4x+6=0，解得：x=-1或x=3，∴抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0）；令x=0，则y=6，∴抛物线与y轴的交点为（0，6），大致图象为：（2）∵开口向下且对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时y随x的增大而减小；函数有最大值为8．21.答案：试题分析：试题分析：（1）把x=4，y=-1代入方程即可求出a的值；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程x-ay=6的解的情况数，即可求出所求的概率．试题解析：（1）把x=4，y=-1代入方程得：4+a=6，解得：a=2；（2）列表得：2种，则P=．22.答案：试题分析：试题分析：（1）首先求出抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，由于抛物线经过原点，进而求出a的值即可；（2）①设点A′坐标为（x，y），先求出直线OA′的解析式，根据OA′=OA=4，求出点A′的坐标，进而判断点A′是否在该抛物线上；②先求出A′E的长，利用△A′EF∽OAF求出△A′EF与△OAF的面积之比．试题解析：（1）根据题意可知：抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，由于抛物线经过原点，即4a+3=0，解得a=-．故抛物线的解析式为y=-（x-2）2+3；（2）①设点A′坐标为（x，y），则直线OA′的解析式为y=x①，根据旋转的性质可知：OA′=OA=4，即x2+y2=16②，由①②可得x=2，y=2，即点A′坐标为（2，2），把点A′坐标为（2，2）代入解析式y=-（x-2）2+3；2≠-（2-2）2+3，即点A′是不在该抛物线上；②如图，∵∠A′OA=30°，∴∠OA′E=30°，∵OA′=OA=4，∴A′E=cos30°×4=2，∵A′E∥OA，∴∠A′EF=∠OEF，∠EA′F=∠AOF，∴△A′EF∽OAF，∴．23.答案：试题分析：试题分析：（1）当垂直时，易得三角形相似，故有相似边成比例，由题中已知矩形边长，AP长已知，故t易知；（2）先证明△BQP∽△DQA，利用相似三角形的性质得对应边关系，利用分类讨论思想得出结论；（3）因为S△AQD+S△PQB=y，故求S△AQD和S△PQB是解决问题的关键，观察无固定组合规则图象，则考虑作高分别求取．考虑两高在同一直线上，且相加恰为4，故由△AQD∽△PQB结论得，高的比等于对应边长比，设其中一高为h，即可求得，则易表示y，注意要考虑t的取值，探讨得出y最小值．试题解析：（1）当AP⊥BD时，∠PAD+∠QDA=90°，∵∠PAD+∠PAB=90°，∴∠QDA=∠PAB，∵∠BAD=∠PBA=90°，∴△BAD∽△PBA，∴=∴=，解得 PB=1.6，∴t=1.6；（2）∵AD∥BC，∴△BQP∽△DQA，∴，，，∴当BP=BQ时，DA=DQ=10，∵BD===2，∴BP=BQ=2-10，∴t=2-10；当BP=QP时，DA=AQ=10，∴-10=t，∴，解得：t=-4.2（舍去）；当BQ=QP时，DQ=AQ，∴AP=DB，即 t=10，∴综上所述：当t=2-10 或t=10时，△BPQ是等腰三角形；（3）设△PQB的边BP上的高h，则△AQD的边AD上的高为（4-h），∵AD∥BC，∴△ADQ∽△BQP，∴=，解得 h=，∴4-h=，∴S△PQB=BP?h=，S△DQA=AD（4-h）=，∴y=S△AQD+S△PQB=（0≤t≤10），探究：t=0，y=20；t=1，y≈18.36；t=2，y≈17.33；t=3，y≈16.77；t=4，y≈16.57；t=5，y=16.67；t=6，y=17；t=7，y≈17.53；t=8，y≈18.22；t=9，y≈19.05；t=10，y=20；观察数据知：当0≤t≤4时，y随t的增大而减小；当5≤t≤10时，y随t的增大而增大；故y在第4秒到第5秒之间取得最小值．。
浙江省杭州市上城区2022-2023学年九年级数学第一学期期末经典试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，若OA =2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A ′的坐标为（ ）A ．(3，﹣1)B ．(1，﹣3)C ．(2，﹣2)D ．(﹣2，2) 2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列结论:①0abc <，②20a b +=，③1m ≠时，2a b am bm +<+，④0a b c -+<，⑤当221122ax bx ax bx +=+且12x x ≠时，122x x +=，⑥当13x 时，0y >.其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④⑥C ． ②⑤⑥D ．②③⑤3．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件200元调至72元，设平均每次的降价百分率为x ，则得方程（ ）A ．()2001722x -=⨯B ．()22001%72x -= C ．()2200172x -= D ．220072x = 4．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P=40°，则∠B 的度数为 （ ）A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°5．方程x 2＝3x 的解为（ ）A ．x ＝3B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝﹣3D ．x 1＝0，x 2＝36．已知二次函数y ＝﹣2x 2﹣4x +1，当﹣3≤x ≤2时，则函数值y 的最小值为（ ）A ．﹣15B ．﹣5C ．1D ．37．如图，AB ⊥OB ，AB=2，OB=4，把∠ABO 绕点O 顺时针旋转60°得∠CDO ，则AB 扫过的面积（图中阴影部分）为（ ）A ．2B ．2πC ．23πD ．π 8．若二次函数2y ax =的图象经过点P (-1，2)，则该图象必经过点( )A ．(1，2)B ．(-1，-2)C ．(-2，1)D ．(2，-1) 9．己知O 的半径为5cm ，点A 是线段OP 的中点，当8cm OP =时，点A 与O 的位置关系是（ ）A ．点A 在O 外B ．点A 在O 上C ．点A 在O 内D ．不能确定 10．对于二次函数()212y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴1x =C ．顶点坐标是()1,2D ．与x 轴有两个交点二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，已知直线l ：y ＝﹣x +4分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，双曲线k y x=（k ＞0，x ＞0）与直线l 不相交，E 为双曲线上一动点，过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，EF ⊥y 轴于点F ，分别与直线l 交于点C ，D ，且∠COD ＝45°，则k ＝_____．12．如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x (x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为______.13．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，根据函数图象，可以写出一系列的正确结论，如：a ＞0；b ＜0；c ＜0；对称轴为直线x ＝1；…请你再写出该函数图象的一个正确结论：_____．14．若关于x 的一元二次方程2770kx x --=有实数根，则k 的取值范围是_____．15．如图，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等于 ．16．如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，将BCE 沿BE 折叠为BFE △，点F 落在边AD 上，若8AB =，10BC =，则CE =________．17．如图，在等边三角形ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上的一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是________．18．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣2）．（I ）求此反比例函数的解析式；（II ）当y ≥2时，求x 的取值范围．20．（6分）如图，在等腰ABC ∆中，AB BC =，以AB 为直径的O ，分别与AC 和BC 相交于点D 和E ，连接OD .（1）求证：//OD BC ；（2）求证：AD DE =.21．（6分）如图，O 外接ABD ∆，点C 在直径AB 的延长线上，CAD BDC ∠=∠（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若3,2CD BC ==，求O 的半径22．（8分）如图1，ABD △内接于O ,AD 是直径，BAD ∠的平分线交BD 于H ，交O 于点C ，连接DC 并延长，交AB 的延长线于点E.（1）求证：AE AD =；（2）若32BE AB =，求AH HC的值 （3）如图2，连接CB 并延长，交DA 的延长线于点F ，若,6AH HC AF ==，求BEC △的面积. 23．（8分）某校为了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，从该校2000名学生中随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）补全条形统计图并填空，本次调查的学生共有 名，估计该校2000名学生中“不了解”的人数为 ． （2）“非常了解”的4人中有A 1、A 2两名男生，B 1、B 2两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名男生的概率．24．（8分）（1）2y 2+4y ＝y +2（用因式分解法）（2）x 2﹣7x ﹣18＝0（用公式法）（3）4x 2﹣8x ﹣3＝0（用配方法）25．（10分）（1）计算：2sin 60tan 452cos60︒︒︒-+；（2）解方程：2450x x -=+．26．（10分）解方程组:7235215x y x y -=⎧⎨+=-⎩参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】试题解析：∵三角板绕原点O 顺时针旋转75°， ∴旋转后OA 与y 轴夹角为45°， ∵OA=2，∴O A′=2，∴点A′的横坐标为2×2，纵坐标为-2×2，所以，点A′，）故选C.2、D【分析】①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y 轴的交点位置就可得到a 、b 、c 的符号，从而得到abc 的符号；②只需利用抛物线对称轴方程x=2b a-=1就可得到2a 与b 的关系；③只需结合图象就可得到当x=1时y=a+b+c 最小，从而解决问题；④根据抛物线x=1-图象在x 轴上方，即可得到x=1-所对应的函数值的符号；⑤由221122ax bx ax bx +=+可得221122ax bx c ax bx c ++=++，然后利用抛物线的对称性即可解决问题；⑥根据函数图像，即可解决问题.【详解】解：①由抛物线的开口向下可得a>0，由对称轴在y 轴的右边可得x=2b a-＞0，从而有b<0， 由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可得c<0，则abc>0，故①错误；②由对称轴方程x=2b a-=1得b=-2a ，即2a+b=0，故②正确； ③由图可知，当x=1时，y=a+b+c 最小，则对于任意实数m （1m ≠），都满足2a b c am bm c ++<++，即2a b am bm +<+，故③正确；④由图像可知，x=1-所对应的函数值为正，∴x=1-时，有a-b+c>0，故④错误；⑤若221122ax bx ax bx +=+，且x 1≠x 2，则221122ax bx c ax bx c ++=++，∴抛物线上的点（x 1，y 1）与（x 2，y 2）关于抛物线的对称轴对称，∴1-x 1=x 2-1，即x 1+x 2=2，故⑤正确．⑥由图可知，当13x时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误；∴正确的有②③⑤；故选：D.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴、对称性、最值性等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想即可解决问题．3、C【分析】设调价百分率为x ，根据售价从原来每件200元经两次调价后调至每件72元，可列方程．【详解】解：设调价百分率为x ，则：2200(1)72.x -=故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后的价格列方程求解．4、B【解析】连接OA ，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案.【详解】连接OA ，如图：∵PA 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=90°-40°=50°，∴∠B=12∠AOB=25°， 故选B.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键.5、D【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】∵x 2﹣1x ＝0，∴x (x ﹣1)＝0，∴x ＝0或x ﹣1＝0，解得：x 1＝0，x 2＝1．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．6、A【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后在根据二次函数的性质和x 的取值范围，即可解答本题．【详解】∵二次函数y ＝﹣2x 2﹣4x +1＝﹣2（x +1）2+3，∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，开口向下，∴当﹣3≤x ≤2时，x ＝2时，该函数取得最小值，此时y ＝﹣15，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的最值，解题的关键是将二次函数的一般式利用配方法化成顶点式，求最值时要注意自变量的取值范围.7、C【解析】根据勾股定理得到OA ，然后根据边AB 扫过的面积=DOC AOB AOC BOD S S S S ∆∆+--扇形扇形=AOC BOD S S -扇形扇形解答即可得到结论．【详解】如图，连接OA 、OC ．∵AB ⊥OB ，AB =2，OB =4，∴OA =2242+=25，∴边AB 扫过的面积=DOC AOB AOC BOD S S S S ∆∆+--扇形扇形=AOC BOD S S -扇形扇形=2260(25)604360360ππ⨯⨯- =23π．故选C ．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．8、A【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y 轴，再根据二次函数的对称性解答．【详解】解：∵二次函数y=ax 2的对称轴为y 轴，∴若图象经过点P （-1，2），则该图象必经过点（1，2）．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y 轴是解题的关键．9、C【分析】首先根据题意求出OA ，然后和半径比较大小即可.【详解】由已知，得OA=12OP=4cm ， ∵O 的半径为5cm∴OA ＜5∴点A 在O 内故答案为C .【点睛】此题主要考查点和圆的位置关系，解题关键是找出点到圆心的距离.10、C【分析】根据抛物线的性质由a=2得到图象开口向上，再根据顶点式得到顶点坐标，再根据对称轴为直线x=1和开口方向和顶点，从而可判断抛物线与x轴的公共点个数．【详解】解：二次函数y=2（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【解析】证明△ODA∽△CDO，则OD2＝CD•DA，而则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣1n+16，CD（m+n﹣4），DA n，即可求解．【详解】解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，∴OD2＝CD•DA，设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m），则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣1n+16，CD（m+n﹣4），DA n，即2n2﹣1n+16（m+n﹣4）n，解得：mn＝1＝k，故答案为1．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到三角形相似、一次函数等知识点，关键是通过设定点E的坐标，确定相关线段的长度，进而求解．12、6.【分析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：S△AOD=92, S△BOE=12，再证明△BOE∽△AOD，由性质得OB与OA的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论．【详解】如图，分别作BE⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为点E、D，∴BE∥AD，∴△BOE∽△AOD，∴22BOEAODS OBS OA=，∵OA=AC，∴OD=DC，∴S△AOD=S△ADC=12S△AOC，∵点A为函数y=9x（x＞0）的图象上一点，∴S△AOD=92，同理得：S△BOE=12，∴112992BOEAODSS==，∴13 OBOA=，∴23 ABOA=，∴23ABCAOCSS=，∴2963ABCS⨯==，故答案为6.13、4a+2b+c＜1【分析】由函数的图象当x=2时，对应的函数值小于1，把x=2代入函数的关系式得，y=4a+2b+c，因此4a+2b+c＜1．【详解】把x＝2代入函数的关系式得，y＝4a+2b+c，由图象可知当x＝2时，相应的y＜1，即：4a+2b+c ＜1，故答案为：4a+2b+c ＜1【点睛】考查二次函数的图象和性质，抛物线的性质可以从开口方向、对称轴、顶点坐标，以及图象过特殊点的性质．14、74k ≥-且k≠1． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到0k ≠且27470k ，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得0k ≠且27470k ，解得：74k ≥-且k≠1． 故答案是：74k ≥-且k≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=1（a≠1）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．15、45°【分析】连接AO 、BO ，先根据正方形的性质求得∠AOB 的度数，再根据圆周角定理求解即可．【详解】连接AO 、BO∵⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆∴∠AOB ＝90°∴∠APB ＝45°．【点睛】圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半．16、5【分析】由矩形的性质可得AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，由折叠的性质可求BF=BC=10，EF=CE ，由勾股定理可求AF 的长，CE 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，∵将△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，在Rt △ABF 中，=6∴DF=AD-AF=4在Rt △DEF 中，DF 2+DE 2=EF 2=CE 2，∴16+（8-CE ）2=CE 2，∴CE=5故答案为：5【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．17、6【解析】由题意得，∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD ，∠A=∠POD=60°， ∴∠APO=∠COD ，在△AOP 与△CDO 中，A C APO COD OP DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOP ≌△CDO （AAS ），∴AP=CO=AC ﹣AO=9﹣3=6.故答案为6.18、1【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x 2﹣7x +10＝0（x ﹣2）（x ﹣5）＝0，解得：x 1＝2，x 2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.三、解答题(共66分)19、 (I) y ＝﹣4x ；(II) 当y ≥2时，﹣2≤x ＜1 【分析】（I ）利用待定系数法可得反比例函数解析式；（II ）利用反比例函数的解析式不求出2y =的点，利用函数图象即可求得答案.【详解】（I ）设解析式为y ＝k x， 把点（2，﹣2）代入解析式得，﹣2＝2k ， 解得：k ＝﹣4∴反比例函数的解析式y ＝﹣4x； （II ）当y ＝2时，x ＝﹣2，如图，所以当y ≥2时，﹣2≤x ＜1．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确求出函数解析式，画出函数图象的草图．20、（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得OAD ODA ∠=∠，BAC C ∠=∠，从而得出∠=∠ODA C ，最后根据平行线的判定即可证出结论；（2）连接半径OE ，根据等腰三角形的性质可得B OEB ∠=∠，再根据平行线的性质可得∠=∠AOD B ，∠=∠OEB EOD ，从而得出∠=∠AOD EOD ，最后根据在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等即可证出结论．【详解】证明：（1）∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠，∵AB BC =，∴BAC C ∠=∠，∴∠=∠ODA C ，∴//OD BC ；（2）连接半径OE ，∴OB OE =，∴B OEB ∠=∠，由（1）知//OD BC ，∴∠=∠AOD B ，∠=∠OEB EOD ，∴∠=∠EOD B ，∴∠=∠AOD EOD ，∴AD DE =．【点睛】此题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质和平行线的判定及性质，掌握在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等、等边对等角和平行线的判定及性质是解决此题的关键．21、（1）见解析；（2）54，见解析 【分析】（1）根据AB 是直径证得∠CAD+∠ABD=90°，根据半径相等及CAD BDC ∠=∠证得∠ODB+∠BDC=90°，即可得到结论；（2）利用CAD BDC ∠=∠证明△ACD ∽△DCB ，求出AC ，即可得到答案.【详解】（1）∵AB 是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CAD+∠ABD=90°，∵OB=OD ，∴∠ABD=∠ODB ，∵CAD BDC ∠=∠，∴∠ODB+∠BDC=90°，即OD ⊥CD ，∴CD 是O 的切线；（2）∵CAD BDC ∠=∠，∠C=∠C ，∴△ACD ∽△DCB ，∴2CD CB AC =⋅，∵3,2CD BC ==，∴AC=4.5，∴O 的半径=524AC BC -=. 【点睛】此题考查切线的判定定理，相似三角形的判定及性质定理，圆周角定理，正确理解题意是解题的关键.22、（1）见解析；（2） 43AH HC =；（3）42BEC S =【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得90∠=∠=︒ACD ACE ，然后利用ASA 判定△ACD ≌△ACE 即可推出AE=AD ；（2）连接OC 交BD 于G ，设3,2==BE x AB x ，根据垂径定理的推论可得出OC 垂直平分BD ，进而推出OG 为中位线，再判定ABH CGH ，利用对应边成比例即可求出AH HC的值； （3）连接OC 交BD 于G ，由（2）可知：OC ∥AB ，OG=12AB ，然后利用ASA 判定△BHA ≌△GHC ，设OG m =，则2,3CG AB m OA OC m ====，再判定FAB FOC ，利用对应边成比例求出m 的值，进而得到AB 和AD 的长，再用勾股定理求出BD ，可求出△BED 的面积，由C 为DE 的中点可得△BEC 为△BED 面积的一半，即可得出答案.【详解】（1）证明：∵AD 是O 的直径90∴∠=∠=︒ACD ACE∵AC 平分BAD ∠DAC EAC ∴∠=∠在△ACD 和△ACE 中，∵∠ACD=∠ACE ，AC=AC ，∠DAC=∠EAC∴△ACD ≌△ACE （ASA ）AE AD ∴=（2）如图，连接OC 交BD 于G ， 32BE AB =，设3,2==BE x AB x ， 则5AD AE AB BE x ==+=，OC=12AD=52x DAC EAC ∠=∠BC CD ∴=∴OC 垂直平分BD又∵O 为AD 的中点∴OG 为△ABD 的中位线∴OC ∥AB ，OG=1AB 2=x ，CG=53OC OG=22--=x x x ABHCGH ∴ 24332AH AB x HC CG x ∴===（3）如图，连接OC 交BD 于G ，由（2）可知：OC ∥AB ，OG=12AB ∴∠BHA=∠GCH在△BHA 和△GHC 中， ∵∠BHA=∠GCH ，AH=CH ，∠BHA=∠GHC()BHA GHC ASA ∴≅∴CG AB =设OG m =，则2,3CG AB m OA OC m ==== 又//OC AB ，∴FAB FOCFA AB FO OC∴= 62633m m m∴=+ 1m ∴=，2,6,4∴===AB AD BE∵AD 是O 的直径90∴∠=∠=︒ABD EBDBD ==11422EBD SEB BD ∴=⋅=⨯⨯= 又,≅ACD ACE∴=EC CD 1122BEC EBD S S ∴==⨯=【点睛】 本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，是一道圆的综合问题，解题的关键是连接OC 利用垂径定理得到中位线.23、（1）图详见解析，50，600；（2）16． 【分析】（1）由“非常了解”的人数及其所占百分比求得总人数，继而由各了解程度的人数之和等于总人数求得“不了解”的人数，用总人数乘以样本中“不了解”人数所占比例可得；（2）分别用树状图和列表两种方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到2名男生的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷8%＝50人， 则不了解的学生人数为50﹣（4+11+20）＝15人，∴估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有2000×1550＝600人，补图如下：故答案为：50、600；（2）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个，∴P（恰好抽到2名男生）＝212＝16．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．24、（1）y1＝﹣2，y2＝12；（2）x1＝9，x2＝﹣2；（3）x1＝7x2＝17．【分析】（1）先变形为2y（y+2）﹣（y+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式法解方程；（3）先把二次项系数化为1，再两边加上一次项系数一半的平方，配方法得到（x﹣1）2＝74，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：（1）2y（y+2）﹣（y+2）＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y+2＝0或2y﹣1＝0，所以y1＝﹣2，y2＝12；（2）a＝1，b＝﹣7，c＝﹣18，∴△＝（﹣7）2﹣4×（﹣18）＝121，∴x ＝71121±⨯， ∴x 1＝9，x 2＝﹣2；（3）x 2﹣2x ＝34， ∴x 2﹣2x +1＝34+1， ∴（x ﹣1）2＝74，∴x ﹣1＝∴x 1＝1+2，x 2＝1﹣2． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．25、（1）34；（2）11x =，25x =- 【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原式=2133(12112244-+⨯=-+= （2）原方程可变形为(5)(1)0x x +-=50x +=或10x -=125,1x x ∴=-=【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值及因式分解法是解题的关键．26、15x y =-⎧⎨=-⎩. 【分析】根据加减消元法即可求解.【详解】解:723 5215 x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②+①②得:1212x=-. 解得:1x=-代入①，解得:5y=-所以，原方程组的解为15 xy=-⎧⎨=-⎩【点睛】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知加减消元法的运用.。
浙江省杭州市上城区杭州中学2022年数学九年级第一学期期末综合测试模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知点C 为线段AB 延长线上的一点，以A 为圆心，AC 长为半径作⊙A ，则点B 与⊙A 的位置关系为（ ） A ．点B 在⊙A 上 B ．点B 在⊙A 外 C ．点B 在⊙A 内 D ．不能确定2．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 垂足为F ，交BC 于点E ，BE=2EC ，连接AE ．则tan ∠CAE 的值为（）A ．24B ．13 C ．39 D ．143．如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 交于点F ，下列三角形中，外心不是点O 的是（ ）A ．△ABEB ．△ACFC ．△ABD D ．△ADE4．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则sin ∠BDE 的值是 （ ）A ．15 B ．14 C ．13 D ．245．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜16．如图，O 截ABC ∆的三条边所得的弦长相等，若80A ︒∠=，则BOC ∠的度数为( )A ．125︒B ．120︒C ．130︒D ．115︒7．△ABC 在正方形网格中的位置如图所示，则cosB 的值为( )A ．55B ．255C ．12D ．28．某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是 （ ）A ．B ．C ．D ．9．方程248x x =的解是（ ）A ．2x =B ．0x =C ．10x =，22x =D ．12x =-，22x =10．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线y ＝﹣49x 2+bx +c 经过原点，与x 轴的另一个交点为A （﹣6，0），点C 是抛物线的顶点，且⊙C 与y 轴相切，点P 为⊙C 上一动点．若点D 为PA 的中点，连结OD ，则OD 的最大值是（ ）A ．9855B ．97+32C ．210D ．130211．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．m ≥94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜﹣94 12．若()22222()230a b a b+-+-=，则代数式22a b +的值（ ） A ．-1 B ．3 C ．-1或3D ．1或-3 二、填空题（每题4分，共24分）13．一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x ＝_________.14．如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是_______ ，阴影部分面积为(结果保留π) ________．15．如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为 ．16．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式_____．17．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为 ▲ ．18．如图，在平面直角坐标系中，DEF ∆是由ABC ∆绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是_______．三、解答题（共78分）19．（8分）如图在完全相同的四张卡片中，分别画出边长相等的正方形和等边三角形，然后放在盒子里搅匀，闭上眼睛任取两张，看纸片上的图形能拼成长方形或拼成菱形或拼成小房子，预测一下能拼成“小房子”的概率有多大．20．（8分）已知：△ABC中，点D为边BC上一点，点E在边AC上，且∠ADE＝∠B(1) 如图1，若AB＝AC，求证：CE BD CD AC=；(2) 如图2，若AD＝AE，求证：CE BD CD AE=；(3) 在(2)的条件下，若∠DAC＝90°，且CE＝4，tan∠BAD＝12，则AB＝____________．21．（8分）如图，直线y=mx与双曲线y=kx相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2）（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出当mx＞kx时，x的取值范围；（3）计算线段AB的长．22．（10分）某果园有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验估计，每增种1棵树，平均每棵树就少结5个橙子．设果园增种x 棵橙子树，果园橙子的总产量为y 个．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 420个以上？23．（10分）已知a ＝152-，b ＝152+，求228a b ab +-+． 24．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，点A 为切点，BP 与⊙O 交于点C ，点D 是AP 的中点，连结CD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若2AB =，030P ∠=，求阴影部分的面积．25．（12分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：将点P 沿向右或向上的方向平移一次，平移距离为d （d ＞0）个长度单位，平移后的点记为P′，若点P′在图形G 上，则称点P 为图形G 的“达成点”．特别地，当点P 在图形G 上时，点P 是图形G 的“达成点”．例如，点P （﹣1，0）是直线y ＝x 的“达成点”．已知⊙O 的半径为1，直线l ：y ＝﹣x+b ．（1）当b ＝﹣3时，①在O （0，0），A （﹣4，1），B （﹣4，﹣1）三点中，是直线l 的“达成点”的是：_____；②若直线l 上的点M （m ，n ）是⊙O 的“达成点”，求m 的取值范围；（2）点P 在直线l 上，且点P 是⊙O 的“达成点”．若所有满足条件的点P 构成一条长度不为0的线段，请直接写出b 的取值范围．26．游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）.滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点，且点B 到水面的距离2BE m =，点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离3m 2CG =，与点B 的水平距离2m CF =.（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；（2）求整条滑道ABCD 的水平距离；（3）若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N 距离平台3m 2，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p ，若水流最终落在滑道BCD 上（包括B 、D 两点），直接写出p 的取值范围.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据题意确定AC ＞AB ，从而确定点与圆的位置关系即可．【详解】解：∵点C 为线段AB 延长线上的一点，∴AC ＞AB ，∴以A 为圆心，AC 长为半径作⊙A ，则点B 与⊙A 的位置关系为点B 在⊙A 内，故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是点与圆的位置关系，根据题意确定出AC ＞AB 是解此题的关键．2、C【分析】证明△AFD ∽△CFE ，得出3AF DF AD CF EF CE===，由△CFE ∽△DFC ，得出2233CF DF EF m m m =⨯=⋅=，设EF=x ，则DE=3x ，再由三角函数定义即可得出答案．【详解】解： 设EC=x ，∵BE=2EC=2x ，∴BC=BE+CE=3x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=3x ，AD ∥EC ，∴△AFD ∽△CFE ， ∴3AF DF AD CF EF CE=== ， ，设CF=n ，设EF=m ，∴DF=3EF=3m ，AF=3CF=3n ，∵△ECD 是直角三角形，DE AC ⊥，∴△CFE ∽△DFC ， ∴CF EF DF CF=， ∴2233CF DF EF m m m =⨯=⋅=，即223n m =，∴n =，∵3AF n ==，∴tan ∠CAE=EF AF == 故选：C ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．3、B【解析】试题分析：A．OA=OB=OE,所以点O为△ABE的外接圆圆心；B．OA=OC≠OF，所以点不是△ACF的外接圆圆心；C．OA=OB=OD,所以点O为△ABD的外接圆圆心；D．OA=OD=OE,所以点O为△ADE的外接圆圆心；故选B考点：三角形外心4、C【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，可得BE＝CE＝12BC＝12AD，由全等三角形的性质可得AE＝DE，由相似三角形的性质可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求sin∠BDE的值．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC∵点E是边BC的中点，∴BE＝CE＝12BC＝12AD，∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABC＝∠DCB＝90°∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝DE∵AD∥BC∴△ADF∽△EBF∴AF AD=EF BE＝2∴AF＝2EF，∴AE＝3EF＝DE，∴ sin∠BDE＝EF1= DE3，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．5、D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6、C【分析】先利用O 截ABC 的三条边所得的弦长相等，得出即O 是ABC 的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出BOC ∠的度数．【详解】解：过点O 分别作OD BC 、OE AC ⊥、OF AB ⊥，垂足分别为D 、E 、F ，连接OB 、OC 、OM 、ON 、OP 、OQ 、OS 、OT ，如图：∵MN PQ ST ==，OM ON OP OQ OS OT =====∴()OMN OPQ OST SAS ≌≌∴OD OE OF ==∴点O 是ABC 三条角平分线的交点，即三角形的内心∴12∠=∠，34∠=∠∵180100ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒ ∴()124502ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒ ∴()18024130BOC ∠=︒-∠+∠=︒．故选：C【点睛】本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单． 7、A【解析】解：在直角△ABD 中，BD =2，AD =4，则AB 22222425BD AD +=+=，则cos B =25525BD AB ==． 故选A ．8、A【解析】从左面看应是一长方形，看不到的应用虚线，由俯视图可知，虚线离边较近，故选A ．9、C【分析】先把从方程的右边移到左边，并把两边都除以4化简，然后用因式分解法求解即可.【详解】∵248x x =，∴2480x x -=，∴220x x -=，∴()20x x -=，∴10x =，22x =.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.10、B【分析】取点H （6,0）,连接PH ,由待定系数法可求抛物线解析式,可得点C 坐标, 可得⊙C 半径为4,由三角形中位线的定理可求OD =12PH , 当点C 在PH 上时,PH 有最大值,即可求解． 【详解】如图,取点H （6,0）,连接PH ,∵抛物线y ＝﹣49x 2+bx +c 经过原点,与x 轴的另一个交点为A （﹣6,0）, ∴0403669c b =⎧⎪⎨=-⨯-⎪⎩, 解得:830b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴抛物线解析式为：y ＝﹣24893x x -, ∴顶点C （﹣3,4）,∴⊙C 半径为4,∵AO ＝OH ＝6,AD ＝BD ,∴OD ＝12PH , ∴PH 最大时,OD 有最大值,∴当点C 在PH 上时,PH 有最大值,∴PH 最大值为＝81+16＝97,∴OD 的最大值为3+97故选B ．【点睛】本题主要考查了切线的性质,二次函数的性质,三角形中位线定理等知识,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数性质和三角形中位线的性质.11、B【解析】试题解析：∵关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，()2243410b ac m ∴=-=--⨯⨯>，9.4m ∴< 故选B.12、B【分析】利用换元法解方程即可.【详解】设22a b +=x ，原方程变为：2230x x --=，解得x=3或-1，∵22a b +≥0，∴22 3.a b +=故选B.【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，设22a b +=x ，把原方程转化为2230x x --=是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、5【解析】根据众数的概念求解可得．【详解】∵数据4，3，x ，1，1的众数是1，∴x=1，故答案为1．【点睛】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．14、相切 6-π【详解】∵正方形ABCD 是正方形，则∠C=90°，∴D 与⊙O 的位置关系是相切．∵正方形的对角线相等且相互垂直平分，∴CE=DE=BE ，∵CD=4，∴，∴CE=DE=BE=22梯形OEDC的面积=（2+4）×2÷2=6，扇形OEC的面积=904 360=π，∴阴影部分的面积=6-π．15、12﹣43【详解】试题分析：如图所示：连接AC，BD交于点E，连接DF，FM，MN，DN，∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC⊥BD，四边形DNMF是正方形，∠AOC=90°，BD=2，AE=EC=3，∴∠AOE=45°，ED=1，∴AE=EO=3，DO=3﹣1，∴S正方形DNMF=2（3﹣1）×2（3﹣1）×12=8﹣43，S△ADF=12×AD×AFsin30°=1，∴则图中阴影部分的面积为：4S△ADF+S正方形DNMF=4+8﹣43=12﹣43．故答案为12﹣43．考点：1、旋转的性质；2、菱形的性质．16、y=﹣2x2(答案不唯一)【分析】由题意知，图象过原点，开口向下则二次项系数为负数，由此可写出满足条件的二次函数的表达式．【详解】解：由题意可得：y=﹣2x2(答案不唯一)．故答案为：y=﹣2x2(答案不唯一)．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．17、243 【解析】根据题意画出图形，如图，连接OB ，OC ，过O 作OM ⊥BC 于M ，∴∠BOC=16×360°=60°． ∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形．∴∠OBC=60°．∵正六边形ABCDEF 的周长为21，∴BC=21÷6=1．∴OB=BC=1，∴BM=OB·sin ∠OBC =1·3=232． ∴ABCDEF OBC 11S 6S 6BC OM 642?3?24322∆==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=． 18、 (0,1) 【解析】利用旋转的性质，旋转中心在各对应点的连线段的垂直平分线上，则作线段AD 、BE 、FC 的垂直平分线，它们相交于点P （0，1）即为旋转中心．【详解】解：作线段AD 、BE 、FC 的垂直平分线，它们相交于点P （0，1），如图，所以△DEF 是由△ABC 绕着点P 逆时针旋转90°得到的．故答案为(0,1).【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是利用旋转的性质确定旋转中心．三、解答题（共78分）19、23． 【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．【详解】画树状图如图：∵所有机会均等的结果有12种，能组成小房子的结果有8种，∴P （所抽出的两张卡片能拼成“小房子”）＝82123=． 【点睛】本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；根据树状图得到能组成小房子的情况数是解题关键．2065 【解析】分析：(1)180,B BAD ADB ∠+∠+∠=︒ 180,ADE CDE ADB ∠+∠+∠=︒∠ADE ＝∠B,可得,BAD CDE ∠=∠ ,AB AC = 根据等边对等角得到,B C ∠=∠△BAD ∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可证明.(2) 在线段AB 上截取DB ＝DF ,证明△AFD ∽△DEC ，根据相似三角形的性质即可证明.(3) 过点E 作EF ⊥BC 于F ，根据tan ∠BAD ＝tan ∠EDF ＝12EF DF =，设EF ＝x ，DF ＝2x ，则DE 5x ，证明△EDC ∽△GEC ，求得410C G =，根据CE 2＝CD ·CG ，求出CD ＝210 根据△BAD ∽△GDE,即可求出AB 的长度.详解：(1) 180,B BAD ADB ∠+∠+∠=︒ 180,ADE CDE ADB ∠+∠+∠=︒∠ADE ＝∠B,可得,BAD CDE ∠=∠,AB AC =∴,B C ∠=∠∵△BAD∽△CDE，∴CE BD BD CD AB AC==；(2) 在线段AB上截取DB＝DF∴∠B＝∠DFB＝∠ADE∵AD＝AE ∴∠ADE＝∠AED ∴∠AED＝∠DFB，同理：∵∠BAD＋∠BDA＝180°－∠B，∠BDA＋∠CDE＝180°－∠ADE ∴∠BAD＝∠CDE∵∠AFD＝180°－∠DFB，∠DEC＝180°－∠AED∴∠AFD＝∠DEC ，∴△AFD∽△DEC，∴CE DF BD CD AD AE==(3) 过点E作EF⊥BC于F∵∠ADE＝∠B＝45°∴∠BDA＋∠BAD＝135°，∠BDA＋∠EDC＝135°∴∠BAD＝∠EBC（三等角模型中，这个始终存在）∵tan∠BAD＝tan∠EDF＝12 EFDF=∴设EF＝x，DF＝2x，则DE5x，在DC上取一点G，使∠EGD＝45°，∴△BAD∽△GDE，∵AD＝AE∴∠AED＝∠ADE＝45°，∵∠AED＝∠EDC＋∠C＝45°，∠C＋∠CEG＝45°，∴∠EDC＝∠GEC，∴△EDC ∽△GEC ，∴CG EG CE CE DE CD ==∴4CG =，CG = 又CE 2＝CD ·CG ， ∴42＝CD·5，CD＝，∴25x x ++=，解得5x = ∵△BAD ∽△GDE∴DE DG AD AB==∴AB ===. 点睛：属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定于性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.21、 (1)反比例函数的表达式是y=2x; (2)当mx ＞时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜0或x ＞1;【分析】（1）把A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；（2）求出直线的解析式，解组成的方程组求出B 的坐标，根据A 、B 的坐标结合图象即可得出答案；（3）根据A 、B 的坐标．利用勾股定理分别求出OA 、OB ，即可得出答案．【详解】（1）把A （1，2）代入y=k x 得：k=2， 即反比例函数的表达式是y=2x； （2）把A （1，2）代入y=mx 得：m=2，即直线的解析式是y=2x ， 解方程组22y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩得出B 点的坐标是（-1，-2），∴当mx ＞k x时，x 的取值范围是-1＜x ＜0或x ＞1； （3）过A 作AC ⊥x 轴于C ，∵A（1，2），∴AC=2，OC=1，由勾股定理得：22215+=同理求出5∴5考点：反比例函数与一次函数的交点问题．22、（1）y=600-5x（0≤x＜120）；（2）7到13棵【分析】（1）根据增种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，然后根据函数关系式y=-5x2+100x+60000=60420，结合一元二次方程解法得出即可．【详解】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600-5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+60000当y=-5x2+100x+60000=60420时，整理得出：x2-20x+84=0，解得：x1=14，x2=6，∵抛物线对称轴为直线x=1002(5)-⨯-=10，∴增种7到13棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．23、1．【分析】先对已知a、b进行分母有理化，进而求得ab、a-b228a b ab+-+的值．【详解】解：∵a ＝152-，b ＝152+， ∴a ＝5+2，b ＝5﹣2， ∴ab ＝1，a ﹣b ＝4，∴228a b ab +-+＝2()8a b ab -++＝2418++＝1．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法和分母有理化的方法．24、（1）见解析；（2）=33S π-阴影．【解析】（1）连结OC ，AC ，由切线性质知Rt△ACP 中DC=DA ，即∠DAC=∠DCA，再结合∠OAC=∠OCA 知∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，据此即可得证；（2）先求出OA=1，BP=2AB=4，AD ＝12223BP AB -=,再根据S 阴影=S 四边形OADC -S 扇形AOC 即可得．【详解】（1）连结,OC AC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，AP 是切线，∴090BAP ∠=，090ACP ∠=，∵点D 是AP 的中点，∴12DC AP DA ==， ∴DAC DCA ∠=∠，又∵OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠，∴090OCD OCA DCA OAC DAC ∠=∠+∠=∠+∠=，即OC CD ⊥，∴CD 是⊙O 的切线；（2）∵在Rt ABP ∆中，030P ∠=，∴060B ∠=，∴0120AOC ∠=，∴1OA =，24BP AB ==，AD ==∴21201=13603OADC AOCS S S ππ⨯⨯-==阴影四边形扇形． 【点睛】 本题考查了切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、直角三角形的性质、扇形面积的计算等知识点．25、（1）①A ，B ；②﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；（2）﹣2≤b ．【分析】（1）①根据“达成点”的定义即可解决问题．②过点（0，1）和点（0，﹣1）作x 轴的平行线分别交直线l 于M 1，M 2，过点（1，0）和点（﹣1，0）作y 轴的平行线分别交直线l 于M 3，M 4，由此即可判断．（2）当M 2与M 3重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝1+b ，可得b ＝﹣2；当直线l 与⊙O 相切时，设切点为E ，交y 轴于F ，求出点E 的坐标，即可判断．【详解】（1）①∵b ＝﹣3时，直线l ：y ＝﹣x ﹣3，∴直线l 与x 轴的交点为：（﹣3，0），直线l 与y 轴的交点为：（0，﹣3），∴O （0，0）在直线l 的上方，∴O （0，0）不是直线l 的“达成点”，∵当x ＝﹣4时，y ＝4﹣3＝1，∴点A （﹣4，1）在直线l 上，∴点A 是直线l 的“达成点”，∵点B （﹣4，﹣1）在直线l 的下方，把点B （﹣4，﹣1）向上平移2个长度单位为（﹣4，1），∴点B 是直线l 的“达成点”，故答案为：A ，B ；②设直线l ：y ＝﹣x ﹣3，分别与直线y ＝1、y ＝﹣1、x ＝﹣1、x ＝1依次交于点M 1、M 2、M 3、M 4，如图1所示：则点M1，M2，M3，M4的横坐标分别为﹣4、﹣2、﹣1、1，线段M1M2上的点向右的方向平移与⊙O能相交，线段M3M4上的点向上的方向平移与⊙O能相交，∴线段M1M2和线段M3M4上的点是⊙O的“达成点”，∴m的取值范围是﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；（2）如图2所示：当M2与M3重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝1+b，∴b＝﹣2；②当直线l与⊙O相切时，设切点为E，交y轴于F．由题意，在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，OE＝1，∠EOF＝45°，∴△OEF是等腰直角三角形，∴OF＝2OE2；观察图象可知满足条件的b的值为﹣2≤b2．【点睛】本题是圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，点P为图形G的“达成点”的定义、等腰直角三角形的判定与性质、切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考压轴题．26、（1）10y x=，25x ≤≤；（2）7m ；（3）91332128p -≤≤-. 【分析】（1）在题中，BE=2，B 到y 轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k ；（2）根据B ，C 的坐标求出二次函数解析式，得到点D 坐标，即OD 长度再减去AP 长度，可得滑道ABCD 的水平距离；（3）由题意可知点N 为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+，通过计算水流分别落到点B 和点D 可以得出p 的取值范围.【详解】解：（1）∵2BE m =，点B 到y 轴的距离是5，∴点B 的坐标为()5,2. 设反比例函数的关系式为k y x=， 则25k =，解得10k =. ∴反比例函数的关系式为10y x=. ∵当5y =时，2x = ，即点A 的坐标为()2,5，∴自变量x 的取值范围为25x ≤≤；（2）由题意可知，二次函数图象的顶点为()5,2B ，点C 坐标为37,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.设二次函数的关系式为2(5)2y a x =-+，则23(75)22a -+=，解得18a =-. ∴二次函数的关系式为221159(5)28848y x x x =--+=-+-. 当0y =时，解得129,1x x ==（舍去），∴点D 的坐标为()9,0，则9OD =. ∴整条滑道ABCD 的水平距离为：927m OD PA -=-=；（3）p 的取值范围为91332128p -≤≤-. 由题意可知，点N 坐标为（31,52⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，为抛物线的顶点. 设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+.当水流落在点()5,2B 时，由213(51)22p -+=，解得932p =-； 当水流落在点()9,0D 时，由213(91)02p -+=，解得13128p =-. ∴p 的取值范围为91332128p -≤≤-. 【点睛】此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难度较大．错因分析 较难题. 失分原因是（1）没有掌握利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）没有掌握二次函数的基本性质，利用二次函数的性质求得点D 的坐标；（3）没有掌握利用顶点式求二次函数的解析式，根据B ，D 两点的坐标进而求得p 的取值范围.。
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浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列事件是随机事件的是（）A．火车开到月球上B．在地面上向空中抛出的石子会落下C．2018年元旦当天杭州会下雨D．早晨太阳从东方升起2．若，则=（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么sinB的值是（）A．B．C．D．4．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=﹣（x+1）2+3 C．y=﹣（x+1）2﹣3 D．y=﹣（x ﹣1）2﹣35．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．6m B．8.8m C．12m D．30m6．一个点到圆的最大距离为9 cm，最小距离为3 cm，则圆的半径为（）A．3 cm或6 cm B．6 cmC．12 cm D．12 cm或6 cm7．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a= b B．a=2b C．a=2 b D．a=4b8．在利用图象法求方程x2=x+3的解x1、x2时，下面是四位同学的解法：甲：函数y=x2﹣x﹣3的图象与X轴交点的横坐标x1、x2；乙：函数y=x2和y=x+3的图象交点的横坐标x1、x2；丙：函数y=x2﹣3和y=x的图象交点的横坐标x1、x2；丁：函数y=x2+1和y=x+4的图象交点的横坐标x1、x2；你认为正确解法的同学有（）A．4位 B．3位 C．2位 D．1位9．如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与正方形的边长的比值为（）A．B．3 C．D．10．己知抛物线y1=﹣x2+1，直线y2=x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M，若y1=y2，记M=y1=y2，例如：当x=1时，y1=0，y2=2，y1＜y2，此时M=0，下列判断：①当x＜0时，x值越大，M值越小；②使得M大于1的x值不存在；③使得M=的x值是﹣或；④使得M=的x值是﹣或，其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、选择题11．圆心角为110°，半径为6的扇形的面积是．12．若sin60°•cosα=，则锐角α=．13．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转32°，得到△AB'C'，恰好B'，C，C'三点在一直线上，则么∠C'=．14．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对的概率小于，则密码的位数至少需要位．15．△ABC中，∠A=38°，BD是AC边上的高，且BD2=AD•CD，则∠BCA的度数为．16．己知抛物线y=（x﹣2）2，P是抛物线对称轴上的一个点，直线x=t分别与直线y=x、抛物线交于点A，B，若△ABP是等腰直角三角形，则t的值为．三、解答题17．如图，己知△ABC（1）用直尺和圆规作出⊙O，使⊙O经过A，C两点，且圆心O在AB边上（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）中，若∠CAB=30°，∠B=60°且⊙O的半径为1，试求出AB的长．18．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数）参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．19．己知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P 为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．20．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字2，3，4，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，实验数据如下表：解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为6”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为6”的概率是．（2）当x=5时，请用列表法或树状图法计算“和为6”的概率（3）判断x=5是否符合（1）的结论，若符合，请说明理由，若不符合，请你写出一个符合（1）的x的值．21．大学生小韩在暑假创业，销售一种进价为20元/件的玩具熊，销售过程中发现，每周销售量少（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣2x+100（1）如果小韩想要每周获得400元的利润，那么销售单价应定为多少元？（2）设小韩每周获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每周可获得利润最大，最大利润是多少？（3）若该玩具熊的销售单价不得高于34元，如果小韩想要每周获得的利润不低于400元，那么他的销售单价应定为多少？22．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD （1）求证：AB=CD；（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角顶点C在抛物线y=ax2+bx 上运动，斜边AB垂直于y轴，且AB=8，∠ABC=60°，当Rt△ABC的斜边AB落在x轴上时，B点坐标是（﹣3，0），A点恰在抛物线y=ax2+bx上（1）求AB边上的高线CD的长；（2）求抛物线解析式；（3）Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分，当这两部分的面积之比为1：2时，求顶点C的坐标．2016-2017学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列事件是随机事件的是（）A．火车开到月球上B．在地面上向空中抛出的石子会落下C．2018年元旦当天杭州会下雨D．早晨太阳从东方升起【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、火车开到月球上是不可能事件；B、在地面上向空中抛出的石子会落下是必然事件；C、2018年元旦当天杭州会下雨是随机事件；D、早晨太阳从东方升起是必然事件，故选：C．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．若，则=（）A．B．C．D．【分析】设a=2k，进而用k表示出b的值，代入求解即可．【解答】解：设a=2k，则b=9k．==，故选A．【点评】考查比例性质的计算；得到用k表示的a，b的值是解决本题的突破点．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么sinB的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再运用锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，∴sinB==．故选D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．正确记忆定义是解题关键．4．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=﹣（x+1）2+3 C．y=﹣（x+1）2﹣3 D．y=﹣（x ﹣1）2﹣3【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．【解答】解：抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+3．故选B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．5．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．6m B．8.8m C．12m D．30m【分析】竹竿、旗杆以及经过竹竿和旗杆顶部的太阳光线正好构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得旗杆的长．【解答】解：如图，AD=8m，AB=30m，DE=3.2m；由于DE∥BC，则△ADE∽△ABC，得：=，即=，解得：BC=12m，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，建立适当的数学模型来解决问题．6．一个点到圆的最大距离为9 cm，最小距离为3 cm，则圆的半径为（）A．3 cm或6 cm B．6 cmC．12 cm D．12 cm或6 cm【分析】根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．【解答】解：点在圆外，圆的直径为9﹣3=6cm，半径为3cm，点在圆内，圆的直径为9+3=12cm，半径为6cm，故选：A．【点评】本题考查了点于圆的位置关系，利用线段的和差得出直径是解题关键，分类讨论，以防遗漏．7．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a= b B．a=2b C．a=2 b D．a=4b【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴=，∴a=2b．故选B．【点评】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．8．在利用图象法求方程x2=x+3的解x1、x2时，下面是四位同学的解法：甲：函数y=x2﹣x﹣3的图象与X轴交点的横坐标x1、x2；乙：函数y=x2和y=x+3的图象交点的横坐标x1、x2；丙：函数y=x2﹣3和y=x的图象交点的横坐标x1、x2；丁：函数y=x2+1和y=x+4的图象交点的横坐标x1、x2；你认为正确解法的同学有（）A．4位 B．3位 C．2位 D．1位【分析】根据方程x2=x+3的解为x1、x2，即方程x2﹣x﹣3=0的两个根为x1、x2，即可求解．【解答】解：方程x2=x+3的解为x1、x2，即方程x2﹣x﹣3=0的两个根为x1、x2，对甲，函数y=x2﹣x﹣3的图象与X轴交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3=0的两个根为x1、x2；对乙，函数y=x2和y=x+3的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3=0的两个根为x1、x2；对丙，函数y=x2﹣3和y=x的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3=0的两个根为x1、x2；对丁，函数y=x2+1和y=x+4的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3=0的两个根为x1、x2；故选A．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，属于基础题，关键是掌握方程的根即为函数与x轴的交点．9．如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与正方形的边长的比值为（）A．B．3 C．D．【分析】由题意知：三个正方形的共用顶点即为圆的圆心，也是等边三角形的重心；可设等边三角形的边长为2x，作等边三角形，再根据三角形重心的性质即可得到正方形的对角线的长，求出正方形的边长，即可得出答案．【解答】解：如图，设圆的圆心为O，由题意知：三角形的重心以及三个正方形的共用顶点即为点O．过A作AD⊥BC于D，则AD必过点O，且AO=2OD；设△ABC的边长为2x，则BD=x，AD==x，OD=x；∴正方形的边长为：x，∴等边三角形与正方形的边长的比值是2x：x=，故选C．【点评】此题考查的知识点有：轴对称图形、等边三角形及正方形的性质、三角形重心的性质等知识点，找到等边三角形和正方形边长的比例关系是解答此题的关键．10．己知抛物线y1=﹣x2+1，直线y2=x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M，若y1=y2，记M=y1=y2，例如：当x=1时，y1=0，y2=2，y1＜y2，此时M=0，下列判断：①当x＜0时，x值越大，M值越小；②使得M大于1的x值不存在；③使得M=的x值是﹣或；④使得M=的x值是﹣或，其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】①错误．观察图象可知当x＜0时，x值越大，M值越大．②正确．因为y1=﹣x2+1的最大值为1，所以使得M大于1的x值不存在．③错误．使得M=的x值是﹣或．④正确．求出x=﹣和时y的值即可判断．【解答】解：①错误．观察图象可知当x＜0时，x值越大，M值越大．故①错误．②正确．因为y1=﹣x2+1的最大值为1，所以使得M大于1的x值不存在，故②正确．③错误．使得M=的x值是﹣或，故错误．④正确．∵x=﹣时，y1=，y2=，∴M=，∵x=时，y1=，y2=+1，∴M=．故选D．【点评】本题考查二次函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，所以中考常考题型．二、选择题11．圆心角为110°，半径为6的扇形的面积是11π．【分析】利用扇形的面积公式即可直接求解．【解答】解：扇形的面积是=11π．故答案是：11π．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，理解扇形的面积公式是关键．12．若sin60°•cosα=，则锐角α=60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由题意，得•coα=，得cosα=，由α是锐角，得α=60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．13．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转32°，得到△AB'C'，恰好B'，C，C'三点在一直线上，则么∠C'=74°．【分析】利用旋转的性质得出AC=AC′，以及∠CAC′的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案．【解答】解：由题意可得：AC=AC′，∵把△ABC绕着点A顺时针方向旋转34°，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上，∴∠CAC′=32°，∴∠ACC′=∠C′=×（180°﹣32°）=74°．故答案是：74°．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出AC=AC′是解题关键．14．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对的概率小于，则密码的位数至少需要4位．【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．【解答】解：解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；取两位数时一次就拨对密码的概率为；取三位数时一次就拨对密码的概率为；取四位数时一次就拨对密码的概率为．故一次就拨对的概率小于，密码的位数至少需要4位．故答案为：4．【点评】本题考查了概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P （A）=．15．△ABC中，∠A=38°，BD是AC边上的高，且BD2=AD•CD，则∠BCA的度数为52°或128°．【分析】根据相似三角形的判定，由已知可判定△ADB∽△BDC，进而求出∠A=∠CBD，即可求∠BCA的度数．【解答】解：有两种可能：△ABC为锐角三角形或钝角三角形时，①当△ABC为锐角三角形时，∵BD2=AD•CD，∴，∵BD是AC边上的高，∴∠ADB=∠CDB=90°，∴△ADB∽△BDC，∴∠A=∠CBD，∵∠A=38°，∴∠CBD=38°，∴∠BCA=∠BDC﹣∠CBD=90°﹣38°=52°．②当△ABC为钝角三角形时，∵BD2=AD•CD，∴，∵BD是AC边上的高，∴∠ADB=∠CDB=90°，∴△ADB∽△BDC，∴∠CBD=38°，∴∠BCA=∠BDC+∠CBD=90°+38°=128°；故答案为：52°或128°．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键，注意分类讨论．16．己知抛物线y=（x﹣2）2，P是抛物线对称轴上的一个点，直线x=t分别与直线y=x、抛物线交于点A，B，若△ABP是等腰直角三角形，则t的值为0或3或或或．【分析】首先求出抛物线与直线y=x的交点坐标，再分四种情形列出方程即可解决问题．【解答】解：由解得或，根据的通知解三角形的性质可知当AB=|P x﹣A x|或AB=2|P x﹣A x|时，△PAB可以是等腰直角三角形．①当0＜x≤1时，（t﹣2）2﹣t=2﹣t或（t﹣2）2﹣t=2（2﹣t），解得t=2﹣或0，②当1＜t≤2时，t﹣（t﹣2）2=2﹣t或t﹣（t﹣2）2=2（2﹣t），解得t=3﹣或，③当2＜t≤4时，t﹣（t﹣2）2=（t﹣2），或t﹣（t﹣2）2=2（t﹣2），解得t=2+或3，④当t＞4时，（t﹣2）2﹣t=t﹣2或（t﹣2）2﹣t=2（t﹣2），解得t=3+或，综上所述，满足条件的t的值为0或3或或或．故答案为0或3或或或．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题17．如图，己知△ABC（1）用直尺和圆规作出⊙O，使⊙O经过A，C两点，且圆心O在AB边上（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）中，若∠CAB=30°，∠B=60°且⊙O的半径为1，试求出AB的长．【分析】（1）根据弦的垂直平分线经过圆心，可以先作出AC的垂直平分线，交AB于点O，再以O为圆心，AO长为半径画圆即可；（2）先连接CO，根据∠CAB=30°，∠B=60°，求得∠BCO=∠B=60°，进而得到BO=CO=1，即可得出AB=2．【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求；（2）如图所示，连接CO，∵∠CAB=30°，∠B=60°，∴∠ACB=90°，又∵AO=CO=1，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠BCO=90°﹣30°=60°，∴∠BCO=∠B=60°，∴BO=CO=1，∴AB=2．【点评】本题主要考查了复杂作图以及垂径定理的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数）参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．【分析】首先在直角三角形ABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．【解答】解：在直角三角形ABC中，∵=，∴BC=．在直角三角形ADB中，∵tan26.6°=0.50，∴．∴BD=2AB．∵BD﹣BC=CD=200，∴．解得：AB=300米．∴小山岗的高度为300米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．19．己知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P 为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．【分析】由于C点不确定，故分△OPC∽△OBA，△BPC∽△BOA，△OPC∽△OAB 三种情况进行讨论．【解答】解：∵点B的坐标为（4，2），∴OA=4，AB=2，OB==2，OP=．如图，当△OPC∽△OBA时，∵==，即==，∴PC=1，OC=2，∴C1（2，0）；当△BPC∽△BOA时，∵==，即==，解得BC=2，∴AC=1﹣1=1，∴C2（4，1）；当△OPC∽△OAB时，∴=，即=，解得OC=2.5，∴C3（2.5，0）；综上所述，C点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．20．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字2，3，4，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，实验数据如下表：解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为6”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为6”的概率是0.33．（2）当x=5时，请用列表法或树状图法计算“和为6”的概率（3）判断x=5是否符合（1）的结论，若符合，请说明理由，若不符合，请你写出一个符合（1）的x的值．【分析】（1）根据实验次数越大越接近实际概率求出出现“和为6”的概率即可；（2）根据小球分别标有数字2、3、4、x，用列表法或画树状图法说明当x=5时，得出数字之和为6的概率，即可得出答案；（3）根据（1）（2）的结果可得出结论．【解答】解：（1）利用图表得出：实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为6”的概率是0.33；（2）当x=5时，如图，共有12种情况，和是6的情况共2种，“和为6”的概率==；（3）由（2）可知x=5是不符合（1）的结论，当x=2，3，4时均符合．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，以及列树状图法求概率，注意甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，列出树状图是解决问题的关键．21．大学生小韩在暑假创业，销售一种进价为20元/件的玩具熊，销售过程中发现，每周销售量少（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣2x+100（1）如果小韩想要每周获得400元的利润，那么销售单价应定为多少元？（2）设小韩每周获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每周可获得利润最大，最大利润是多少？（3）若该玩具熊的销售单价不得高于34元，如果小韩想要每周获得的利润不低于400元，那么他的销售单价应定为多少？【分析】（1）根据“总利润=单件利润×销售量”列出方程，解方程可得；（2）根据以上关系列出函数解析式，配方成顶点式可得答案；（3）根据每周获得的利润不低于400元，即w≥400列出不等式求解可得．【解答】解：（1）根据题意可得：（x﹣20）（﹣2x+100）=400，解得：x=30或x=40，答：销售单价应定为30元或40元；（2）w=（x﹣20）（﹣2x+100）=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2（x﹣35）2+450，∴当x=35时，w取得最大值，最大值为450元，答：当售价为35元/台时，最大利润为450元；（3）根据题意有：（x﹣20）（﹣2x+100）≥400，解得：30≤x≤40，又x≤34，∴30≤x≤34，答：他的销售单价应定为30元至34元之间．【点评】本题主要考查一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系列出方程或函数解析式是解题的关键．22．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD （1）求证：AB=CD；（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．【解答】（1）证明：∵AC=BD，∴=，则=，∴AB=CD；（2）解：连接OB、OD，作OH⊥BD于H，∵弧BD的度数为120°，∴∠BOD=120°，∴∠BOH=60°，则BH=OB=4，∴BD=8，则四边形ABCD的面积=×AC×BD=96；（3）AD=2OM，连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，∵OE⊥AD，∴AE=DE，∵∠BOC=2∠BAC，而∠BOC=2∠BOM，∴∠BOM=∠BAC，同理可得∠AOE=∠ABD，∵BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠BOM+∠AOE=90°，∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AOE，在△BOM和△OAE中，，∴△BOM≌△OAE，∴OM=AE，∴AD=2OM．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角顶点C在抛物线y=ax2+bx 上运动，斜边AB垂直于y轴，且AB=8，∠ABC=60°，当Rt△ABC的斜边AB落在x轴上时，B点坐标是（﹣3，0），A点恰在抛物线y=ax2+bx上（1）求AB边上的高线CD的长；（2）求抛物线解析式；（3）Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分，当这两部分的面积之比为1：2时，求顶点C的坐标．【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠A=∠BCD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、BD，再利用勾股定理列式计算即可得解；（2）根据点B的坐标和AB的长度求出点A的坐标，再求出点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（3）设AC、AB与y轴的交点分别为E、F，再分两种情况，利用三角形AEF的面积求出AF，再表示出DF，得到点C的横坐标，再根据点C在抛物线上，把点C的横坐标代入抛物线求解得到点C的纵坐标即可得解．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∴BC=AB=4，AC=4，在Rt△BCD中，∠ABC=60°，∴∠ABC=60°，∴∠BCD=30°，∵BC=4，∴BD=2，CD=2，即：AB边上的高线CD的长为2；（2）由（1）知，BD=2，∵AB=8，B（﹣3，0），∴A（5，0），∴C的横坐标为﹣1，∴C（﹣1，2），∵A（5，0），C（﹣1，2）恰在抛物线y=ax2+bx上，∴，∴，∴抛物线解析式为y=，（3）由（1）知，BC=4，AC=4，∴S△ABC=BC•AC=8，∴S△ABC=，由（1）知，BD=2，CD=2，∴S△BCD=BD•CD=2，∴S△ABC ＞S△BCD，∵Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分，当这两部分的面积之比为1：2时，y轴只能和AC、AB相交，设△ABC的边AC、AB与y轴相交于E，F，在Rt△AEF中，∠A=30°，∴EF=AFtan30°=AF，∴S△AEF=AF•EF=AF2，①当S△AEF=S△ABC=，∴AF2=，∴AF=4，∵AD=AB﹣BD=6，∴C点的横坐标为﹣2，∵点C在抛物线y=上，∴点C的纵坐标为=，∴C（﹣2，），②当S=S△ABC=，△AEF∴AF2=，∴AF=4，∵AD=AB﹣BD=6，∴C点的横坐标为4﹣6，∵点C在抛物线y=上，∴点C的纵坐标为=，∴C（4﹣6，）．即：满足条件的点C的坐标为，．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，勾股定理的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，（2）表示出点C的横坐标是解题的关键，（3）难点在于利用三角形的面积求出点A到y轴的距离，即AF的长度．。