1工程力学(下)—轴向拉伸和压缩2

拉伸), 为正号, 当轴力为正号时(拉伸 正应力也为正号 称为拉应力。 轴力为正号时 拉伸 正应力也为正号 称为拉应力。 压缩), 为负号, 当轴力为负号时(压缩 正应力也为负号 称为压应力。 轴力为负号时 压缩 正应力也为负号 称为压应力。
如用与外力系静力等效的 合力来代替原力系, 合力来代替原力系 则除在 原力系作用区域内有明显 差别外, 差别外 在离外力作用区域 略远处(例如 例如, 略远处 例如 距离约等于 截面尺寸处), 截面尺寸处 上述代替的 影响就非常微小, 可以不计。 影响就非常微小 可以不计。 这就是圣维南原理 圣维南原理, 这就是圣维南原理 它已被 实验所证实。 实验所证实。
例1-1: 如图所示右端固定的阶梯形圆截面 同时承受轴向载荷F 作用。 杆 ， 同时承受轴向载荷 1 与 F2 作用 。 试 计算杆的轴力与横截面上的正应力。 计算杆的轴力与横截面上的正应力 。 已 段与BC 知F1= 20 kN, F2= 50 kN，杆件 段与 ，杆件AB段与 段的直径分别为d 段的直径分别为 1=20 mm与d2=30 mm。 与 。
两杆的变形为
F l Pl N1 ∆l1 = ∆l2 = = EA 2EAcosα
FN1
y
FN2
A
x
是伸长变形。 是伸长变形。
变形的几何相容条件是 变形后， 变形的几何相容条件是：变形后，两杆仍应铰 几何相容条件 结在一起。 结在一起。 以两杆伸长后的长度BA 以两杆伸长后的长度 1和CA2为半径作圆弧 相交于A"，即为A点的新位置 点的新位置。 就是A点 相交于 ，即为 点的新位置。AA"就是 点 就是 的位移。 的位移。
B ① ② C
α α
A
解：列平衡方程，考虑销钉A的受力，求杆的 列平衡方程，考虑销钉 的受力 轴力
ΣFx = 0, FN2 sin α − FN1 sin α = 0
B ① ② C
ΣFy = 0, FN1 cos α + FN2 cos α − P = 0
α α
A
P FN1 = FN2 = 2 cos α
Fb1Fl来自l1杆件在轴线方向的伸长为 ∆l = l1 − l
∆l 纵向线应变 ε = l
b
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
F l l1 b1 F b
杆件在横向的收缩为
∆b = b1 − b
∆b 横向线应变 ε ′ = b
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
FN F 杆件横截面上的正应力为 σ = = A A 工程上使用的大多数材料， 工程上使用的大多数材料，其应力与应变关系 的初始阶段都是线弹性 线弹性的 的初始阶段都是线弹性的。即当应力不超过材 料的比例极限时，应力与应变成正比， 料的比例极限时，应力与应变成正比，这就是 胡克定律。 胡克定律。可写成
A A = α cosα
斜截面上的应力
假想地用一平面 斜截面k－ 将 沿 斜截面 － k将 杆分成两个部分, 杆分成两个部分 取左段为研究对 象。
k F
α
k k k pα Fα
F
F
表示斜截面上的应力 斜截面上的应力。 以pα表示斜截面上的应力。与证明横截面 上的应力是均匀分布的方法一样, 上的应力是均匀分布的方法一样 可以证 明斜截面上的应力也是均匀分布的。 明斜截面上的应力也是均匀分布的。 分析该对象的平衡得
1.3 横截面上的应力
只根据轴力并不能判断杆件是否有 足够的强度, 足够的强度 如用同一材料制成粗细不同 的两根杆, 的两根杆 需用应力来度量杆件的受力聚 集程度。 集程度。 应力:分布在单位面积上的内力。 应力 分布在单位面积上的内力。 分布在单位面积上的内力 研究应力可以通过实验观察得到相关的 结果。 结果。
同理， 同理，得 BC 段内任一横截面 2-2 上的正 应力为： 应力为：
FN 2 4 × ( −3.0 × 10 4 ) 7 σ2 = = = −4.24 × 10 Pa = −42.4 MPa 2 A2 π × 0.030
是压应力
斜截面上的应力
不同材料的实验表明, 不同材料的实验表明 拉(压)杆的破坏并不 压 杆的破坏并不 总是沿横截面发生, 总是沿横截面发生 有时却是沿斜截面发生 为此, 应进一步讨论斜截面上的应力。 的。为此 应进一步讨论斜截面上的应力。 现在求与横截面成 α 角的斜截面 － k上的 角的斜截面k－ 上的 应力。 应力。
k
F
k k
Fα
pα
α
k
F
σα
pα
τα
σα = pα cosα = σ cos α
2
(2.3)
τα = pα sinα = sin2α
2
σ
(2.4)
斜截面上的应力
σ α = σ cos α σ τ α = sin 2α
2
n k
F
k
σα τα
pα
α
x
α =0
2
σ α max = σ
σα = σ
2
τα = 0
1.3 横截面上的应力 结论
F
F
(1)假设杆是由无数纵向纤维所组成的，各 假设杆是由无数纵向纤维所组成的， 假设杆是由无数纵向纤维所组成的 纵向纤维的伸长相同, 得到它们所受的力也 纵向纤维的伸长相同 相同。 相同。 平面假设:变形前为平面的横截面 (2)平面假设 变形前为平面的横截面 ， 变 平面假设 变形前为平面的横截面， 形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。 形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
A=
πd 2
4
4×100×103 × 2 ∆A = = 0.001293m =1.293mm(↓) 9 2 2 o 2×210×10 ×π ×0.025 ×cos 30
注 意
变形图中杆件的伸长(缩短 与轴力一 变形图中杆件的伸长 缩短)与轴力一 缩短 定要对应。 定要对应。
一简单托架如图所示, 杆为圆钢, 例3 一简单托架如图所示 BC杆为圆钢 横截面 杆为圆钢 直径d 杆为8号槽钢 直径 = 20mm。BD杆为 号槽钢。E = 200 GPa, 。 杆为 号槽钢。 试求B点的位移 点的位移。 试求 点的位移。设F＝60 kN。 ＝ 。 由三角形BCD求出 杆 求出BD杆 解：由三角形 求出 的长度为5m。 然后由节点B 的长度为 。 然后由节点 的平衡条件求得BC杆的轴力 的平衡条件求得 杆的轴力 FN1和BD杆的轴力 N2分别为 杆的轴力F 杆的轴力
B C ① ① A ②
α α
A A"
② A2
∆l2
α α ∆l1
A1 A"
因变形很小， 因变形很小，故可过 A1，A2 分别做两杆的垂 线，相交于 A′, 则 ′
B C ① ① A ②
α α
A A"
② A2
∆l2
α α ∆l1
A1 A'
∆l1 Pl ∆A = AA' = = 2 cosα 2EAcos α
FN l Fl ∆l = = EA EA
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形 ∆b ∆l ε′ = ε= l b 试验结果表明：当应力不超过比例极限时， 试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横 向应变ε' 与纵向应变ε之比的绝对值是一个常 数。即 ′
ε /ε = µ
µ称为横向变形因数或泊松比，是一个无量纲 称为横向变形因数 泊松比， 横向变形因数或
FN2 = F2
FN1l1 FN2l2 (F2 − F1 )l1 F2l2 + = ∆l = + EA EA EA EA F2 (l1 + l2 ) Fl1 1 − ∴∆l = EA EA
如图所示杆系由两根钢杆1和 组成 组成。 例2 如图所示杆系由两根钢杆 和2组成。已知 杆端铰接， 的角度， 杆端铰接 ， 两杆与铅垂线均成 α ＝ 30º的角度 ， 的角度 长度均为2 m，直径均为25 mm，钢的弹性模 长度均为 ，直径均为 ， 量为E＝ 量为 ＝210 GPa。设在 点处悬挂一重物 P 。设在A点处悬挂一重物 ＝100 kN，试求A点的位移∆A。 ，试求 点
的量。 的量。 因为当杆件轴向伸长时横向缩小， 因为当杆件轴向伸长时横向缩小，而轴向缩短 时横向增大， 时横向增大，所以ε'和ε的符号是相反的。ε'和ε 和 的符号是相反的。 和 的关系可以写成 ε ′ = − µε
说明P16:表1-1
例1 试分析杆AC 的轴向变形 ∆l。 试分析杆 。
分段求解: F = F − F 分段求解: N1 2 1
k F F
α
k
斜截面上的应力
k F
α
k
F
设直杆的轴向拉力为F, 横截面面积为 横截面面积为A, 设直杆的轴向拉力为 由公式(1.1), 横截面上的正应力为 由公式
FN F σ= = A A 角的斜截面k-k的面积为 的面积为A 设与横截面成α角的斜截面 的面积为 α ,
Aα与A之间的关系应为 之间的关系应为
1.3 横截面上的应力
等直杆在不同的截面上受几个轴向外力 当等直杆在不同的截面上受几个轴向外力 作用时, 由轴力图求出最大轴力FN,max, 进 作用时 由轴力图求出最大轴力 一步可求得杆内的最大正应力为 F ax N,m σmax = A 最大轴力所在的截面称为危险截面 危险截面, 最大轴力所在的截面称为 危险截面 危险 截面上的正应力称为最大工作应力 最大工作应力。 截面上的正应力称为最大工作应力。 如果不是等直杆 则需分段考虑。 等直杆， 如果不是等直杆，则需分段考虑。
1.3 横截面上的应力 推导公式 由结论可知, 由结论可知 在横截面上作用着均匀分布的正 应力。 应力。 F
σ
}
FN
F σ= N (1.1) A 式中, 为轴力, 为杆的横截面面积。 式中 FN为轴力 A 为杆的横截面面积。σ的符号 轴力F 的符号相同。 的单位为: 与轴力 N的符号相同。 σ的单位为 Pa 或 MPa