2018苏教版解三角形单元测试17
苏教版必修5高一数学第1章解三角形单元复习练习
解三角形一、 知识点梳理：1、正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注：①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用2、余弦定理：在△ABC 中， A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= 也可以写成第二种形式：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 3、△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===二、题组训练： 1、在△ABC 中， a=12，A=060，要使三角形有两解，则对应b 的取值范围为2、判定下列三角形的形状在△ABC 中，已知38,4,3===c b a ，请判断△ABC 的形状。
在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，请判断△ABC 的形状。
在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，请判断△ABC 的形状。
在△ABC 中，已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，请判断△ABC 的形状。
在△ABC 中，,sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++请判断△ABC 的形状。
3、在△ABC 中，已知030,4,5===A b a ，求△ABC 的面积。
4、在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，求tanC 的值。
5、在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积。
6、在△ABC 中，已知,sin sin ,360C B ab ==△ABC 的面积为315，求边b 的长。
2018苏教版解三角形单元测试18
一、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)1.△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为(用B表示)．2.在中，，那么B等于_____________.3.如图，在中，AB＝AC＝3，BC＝2，∠ABC的平分线交BC的平行线于点D，则△ABD的面积为_____.4.在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝_____.5.等腰三角形一腰上的高是，底边长为，则这条高与底边的夹角为6.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，则BC＝_____.7.在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.8.已知锐角三角形的边长分别为1、3、a，则a的取值范围是____________.9.在中，已知AB＝7，BC＝5，AC＝6，则等于____________.10.在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于_____________.二、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.12.在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin A sin C，求B的度数．13.在△ABC中，a cos(－A)＝b cos(－B)，试判断△ABC的形状．14.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，(1) 求的值；(2) 若，，求边c的值及的面积．16.如下图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．17.在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．18.在△ABC中，已知·＝3·.(1)求证：tan B＝3tan A.(2)若cos C＝，求A的值．19.在△ABC中，若c·cos B＝b·cos C，且cos A＝，求sin B的值．20.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.答案解析1.【答案】6sin＋3【解析】在△ABC中，由正弦定理得＝，化简得AC＝2sin B，＝，化简得AB＝2sin，所以三角形的周长为3＋AC＋AB＝3＋2sin B＋2sin＝3＋3sin B＋3cos B ＝6sin＋3.2.【答案】60°【解析】，∴.3.【答案】【解析】在△ABC中，由余弦定理得，∴.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，∴.∵BD为∠ABC的平分线，AD∥BC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB＝3，∴.4.【答案】【解析】∵，∴，∴b＝5.∴5.【答案】60°【解析】如图所示，等腰三角形ABC的腰AB边上的高，而底边，∴又，∴.6.【答案】【解析】由得∴cosB＝－.由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即9＝4＋BC2－4BCcosB，，BC2＝3，∴BC＝7.【答案】1∶1∶【解析】根据三角形内角和定理，A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶.8.【答案】【解析】若，则，∴.若，则，∴，∴.9.【答案】－19【解析】三边分别为a，b，c，则a＝5，b＝6，c＝7，，∴.10.【答案】【解析】设BC＝a，则BM＝MC＝.在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM cos∠AMB，即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB①在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB②①＋②得72＋62＝42＋42＋a2，∴a＝.11.【答案】C＝15°【解析】由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C，利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin A＋sin C＝sin B，又∵sin A＝cos C，∴sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin(C＋45°)＝sin B，又A，B，C是△ABC的内角，故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°所以C＝15°.12.【答案】因为sin2B－sin2C－sin2A＝sin A sin C，由正弦定理得：b2－c2－a2＝ac，由余弦定理得：，又0°＜B＜180°，∴B＝150°.【解析】13.【答案】△ABC为等腰三角形.【解析】方法一∵a cos(－A)＝b cos(－B)，∴a sin A＝b sin B.由正弦定理可得：a·＝b·，∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．方法二∵a cos(－A)＝b cos(－B)，∴a sin A＝b sin B.由正弦定理可得：2R sin2A＝2R sin2B，即sin A＝sin B，∴A＝B.(A＋B＝π不合题意，舍去)．故△ABC为等腰三角形．14.【答案】(1)cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－.又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝.【解析】15.【答案】(1) 由sin2C＋cos2C＝1，得.则.(2)∵，则.又，∴ a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝27.∴ c2＝a2＋b2－2abcosC＝25，则c＝5.∴【解析】16.【答案】＋h.【解析】选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是β、α，CD＝a，测角仪器的高是h.那么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC＝，AB＝AE＋h＝AC sinα＋h＝＋h.17.【答案】由题意画图，由余弦定理得.∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得.∴.【解析】18.【答案】因为·＝3·，所以||||·cos A＝3||||·cos B所以|AC|cos A＝3|BC|cos B.由正弦定理知＝，从而sin B cos A＝3sin A cos B.又因为0＜A＋B＜π，所以cos A＞0，cos B＞0，所以tan B＝3tan A.(2)因为cos C＝，0＜C＜π.所以sin C＝＝，tan C＝2，则tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2.由(1)得＝－2.整理得3tan2A－2tan A－1＝0，解得tan A＝1或tan A＝－.因为cos A＞0，所以tan A＝1，所以A＝.【解析】19.【答案】由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理得，sin C cos B＝sin B cos C，故sin(B－C)＝0，易知B＝C，故b＝c.因为cos A＝，所以由余弦定理得3a2＝2b2，再由余弦定理得cos B＝，故sin B＝.【解析】20.【答案】(1) 由及正弦定理得∵ B＝π－A－C，∵由于，∴.又，故.(2) △ABC的面积，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.【解析】。
苏教版四年级数学下册三角形的内角和解析测试题
苏教版四年级数学测试卷（考试题）苏教版小学数学四年级下册《三角形内角和》同步练习及参考答案一、选择1、把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（）A. 90°B. 180°C. 60°【考点】:三角形的内角和.【解析】:根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180°据此解答。
【答案】解:因为三角形的内角和等于180°，所以每个小三角形的内角和也是180°。
故选:B【总结】:本题考查了三角形内角和定理，属于基础题,关键是掌握三角形内角和为180°。
2、在能组成三角形的是（）A．90°50°40°B．100°32°19°C．50°50°50°D．60°60°60°E．120°30°30°F．98°35°47°【考点】：三角形的内角和．【解析】：根据三角形的内角和是180度，进行判断即可．【答案】：解：A、90°+50°+40°=180°，所以能组成三角形．B、100°+32°+19°=151°≠180°，所以不能组成三角形；C、50°+50°+50°=150°≠180°，所以不能组成三角形；D、60°+60°+60°=180°，所以能组成三角形；E、120°+30°+30°=180°，所以能组成三角形；F、98°+35°+47°=180°，所以能组成三角形．故选：A、D、E、F．【总结】：此题考查了三角形内角和原理．三角形的内角和是180度．8、一个三角形的两个3、三角形的两个内角分别为60度和45度，第三个内角是（）度。
苏教版八年级数学上册第1章全等三角形单元检测(有答案)
苏教版八年级上册第一单元单元检测（有答案）数学考试阅卷人得分单选题（共10题；共20分）1.（ 2分）如图，已知/ 1 = /2,则不一定能使 ^ABP4ACD 的条件是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等3.（ 2 分）如图，AABS4ACF 若 AB=5, AE=2, BE=4,贝U CF 的长度是（）A. 4B. 3C. 5D. 64. （ 2分）已知△AB8 △ DEF, BC= EF=6m, AA BC 的面积为18/，则EF 边上的高的长是（）.A. 3mB. 4m C . 5mC. 6m5. （ 2分）.如图，已知 幺觎"肺 ,A 和B, C 和D 分别是对应顶点.如果AB=6cm,BD=7cm,AD=4cm,那么 BC 的长为（）DB. 5cm B. BD=CDC. / B=Z CD. / BDA=Z CDA C. 6cm D. 7cmA. AB=AC2. （ 2分）下列判断中错误的是（）BA. 4cmA A C.66 ° D. 76 ° 、BD 交于E 点，下列结论中不止确的是 （） 6.（ 2分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则/ 1的度数是（ ） D C A. / DAE-/ CBE B. A DEA5全T A CEB 8 .（ 2分）如图，在5 x5格的止方形网格中，与 三角形（顶点在格点上的三角形）共有 （） A. 5个 B. 6个 9 .（ 2分）卜列命题中，真命题是（ ）. A.周长相等的锐角二角形都全等； C.周长相等的钝角二角形都全等； C. CE-DE D. A EABI 等腰三角形 △ ABC 有一条公共边且全等（不与 4ABC 重合）的格点 C. 7个 D. 8个 B.周长相等的直角二角形都全等； D.周长相等的等腰直角二角形都全等.10.（ 2分）（2015?海南）如图，下列条件中，不能证明 △AB84DCB 的是乂 DA. AB-DC, AC-DBB. AB-DC, / ABC-/ DCBC. BO-CQ / A-/ DD. AB-DC, / DBC-Z ACB 阅卷人 二、填空题（共10题；共21分） 得分 11.（ 2分）如图，/ ACB- / DFE, BC- EF,可以补八个直接条件 ______________ ( ) 就能使△AB ®△ DEF.12.（ 2分）如图，在4ABC和4DEF中，已知：AC=DF,, BC=EF要使△ ABe △ DEF还需要的条件可以是；（只填写一个条件）13.（ 2分）如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x=14.（ 2 分）如图，AOADZAOBC,且/ O=72 , Z C=20°,贝U/ AEB=:Ay %15.（ 2分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知/ 1的16.（ 2 分）如图，△AB8△ ADE, BC的延长线交DA 于F,交DE 于G, Z D=25°, /E=105 ； / DAC=16 ,贝U/ DGB=D17.（ 2分）如图所示，已知点A D、B、F在一条直线上，AC=EF AD=FB,要使△ ABe△ FDE,还需添加一个条件，这个条件可以是 .（只需填一个即可）18. （4 分）如图所示，^ABP4ACE / B与/C是对应角，若AE=5cm, BE=7cm, / ADB=100°,则/ AEC=19.（ 2分）如图，在四边形ABCD中，/ BAD=Z C=90°, AB=AD, AE±CD,垂足为E,若线段AE=10,则S四边形ABCD=B C20.（ 1分）如图，已知JBC= ZDCS ,添加下列条件中的一个：① 4= 2D②心明③的二DC，其中不能确定MBC -△阅卷人、解答题（共4题；共17分）ADCF的是（只填序号）.得分21. （4 分）如图，已知AC平分/ BAD, AB=AD,求证：△ABe△ ADC.22. （4 分）如图：点B、E、C F在同一直线上，AB=DE, /A=/D, AB // DE. 求证：△AB8 ADEF.A23.(4 分)如图，若△OAD^^OBC,且 / 0=65 °, / BEA=135°,求/ C 的度数.24.（ 5分）如图，已知ABXAC, AB=AC, DE过点A,且CD, DE, BEX DE,垂足分别为点D, E.求证:25.（ 5分）沿着图中的虚线，用四种不同的方法将下面的图形分成两个全等的图形(1)/ AEC之BED；(2)AC=BD.27.( 6分)如图，四边形ABCD是正方形，B已BF, BE=BF EF与BC交于点G.(1)求证：AE=CF(2)若/ ABE=65 ,求/ EGC的大小.28.( 8分)如图：在△ ABC中，BE、CF分别是AC AB两边上的高，在BE上截取BD=AC在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.(1)求证：AD=AG；(2) AD与AG的位置关系如何，请说明理由.29.( 8分)在4ABC中，AB=AC, / BAC=90°,点D在射线BC上(与B、C两点不重合)，以AD为边作正方形ADEF,使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G.(1)若点D在线段BC上，如图1.①依题意补全图1 ;② 判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明;(2)若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE, AB=翘,则GE的长为* ,并简述求GE长的思路.30.（ 9分）问题探究：如图1, 4ACB 和4DCE 均为等边三角形，点 A 、D 、E 在同一直线上，连接 BE.如图2, 4ACB 和4DCE 均为等腰直角三角形，/ ACB=Z DCE=90 ,点A 、D 、E 在同一直线上，CM为4DCE 中DE 边上的高，连接 BE. （I ） t#求出/ AEB 的度数；（n ）判断线段 CM 、AE 、BE 之间的数 量关系，并说明理由.答案解析部分一、单选题1. 【答案】 B【考点】 三角形全等的判定【解析】【解答】解：A 、•••/ 1 = /2, AD 为公共边，若 AB=AC,则△ABD^^ACD (SA0 ；故A 不符合 题意；B 、1 = Z2, AD 为公共边，若 BD=CD,不符合全等三角形判定定理，不能判定AABD^AACD;故B 符合题意； C 、••• / 1 = Z2, AD 为公共边，若/ B=ZC,贝U AABD^AACD (AAS);故 C 不符合题意；D 、1=Z2, AD 为公共边，若/ BDA=Z CDA,贝U △ ABD^ AACD (ASA);故 D 不符合题意.故答案为： B ．【分析】已经有一边一角对应相等，再添一个条件不能判断两个三角形全等的话，只能添加这个角的对边。
苏教版必修5高一数学第1章解三角形章节测试题有答案
解三角形一、填空题：（每小题5分，共70分）1．一个三角形的两个内角分别为30º和45º，如果45º角所对的边长为8，那么30º角所对的边长是2．若三条线段的长分别为7，8，9；则用这三条线段组成 三角形3．在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ，若1a =，b ∠A ＝30º；则△ABC 的面积是4．在三角形ABC中，若sin :sin :sin 2A B C =，则该三角形的最大内角等于5．锐角三角形中,边a,b是方程220x -+=的两根,且c =则角C =6. 钝角三角形ABC 的三边长为a ,a +1,a +2(a N ∈)，则a=7．∆ABC 中，(sin sin )(sin sin )(sin sin )a B C b C A c A B -+-+-=8. 在△ABC 中，若cos cos cos 222ab c ABC==，那么∆ABC 是 三角形9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，cc b A 22cos 2+=，则△ABC 的形状为______ 10．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是__________11. 在∆ABC 中，若tan 2,tan A c b B b-=，则A= 12．海上有A 、B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60º的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75º的视角；则B 、C 间的距离是 海里.13．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测得该渔轮在方位角45º、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。
我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是 小时.14．已知ABC ∆中,,2,45a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围是二、解答题：（共80分）15.在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ；求证：22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=.16.如图在ABC ∆中,32,1,cos 4AC BC C ===;(1)求AB 的值(2)求sin(2)A C +A B C17．2003年伊拉克战争初期,美英联军为了准确分析战场形势,有分别位于科威特和沙特的两个距离为2的军事基地C 和D 测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处和B 处,且30ADB ∠= 30BDC ∠= 60DCA ∠= 45ACB ∠= ,如图所示,求伊军这两支精锐部队的距离.18. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且222b c a bc +=+（1）求∠A 的大小；（2）若a =，3b c +=，求b 和c 的值.A D C B19. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．20． ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积满足22()S c a b =--，且a + b=2,求面积S 的最大值一、填空题：1.锐角 3.424.1205.606.27.08.等边 9直角三角形 10. 等腰三角形11.60 12.23 14.2x << 二、解答题：15．证明：由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===； 左边＝22222(2sin sin 22sin sin 2)2[(1cos2)sin 2(1cos2)sin 2]R A B B A R A B B A +=-+-＝222[sin 2sin 2(sin 2cos2cos2sin 2)]2[sin 2sin 2sin(22)]R B A B A B A R B A A B +-+=+-+＝28sin sin sin R A B C =右边＝28sin sin sin R A B C = 原题得证。
苏教版小学二年级[上册]数学单元检测试题(全册)2018用
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姓名一、口算。
9分30＋15＋11＝40＋20＋18＝1＋19＋56＝19＋8＋6＝31＋25＋7＝44＋6＋28＝90－50－20＝56－16－20＝39－19－6＝二、检查下面各题，对的画“√”错的画“×”，错题请更正。
9分三、在○里填上“>”、“<”或“=”。
14分20－7○20 11＋38○49 60－23○30 78－48○42 73－19＋28○75 35＋24－18○62 90－24＋28○48四、计算。
18分35＋27－18＝81－28－28＝70－27＋43＝28＋37＋18＝20＋42－38＝60－25－35＝五、先画一画，再解答。
10分（1）在横线上画△，比□多3个，△有（）个。
□□□□□□□□□（2）在横线上画□，比○少2个，□有（）个。
○○○○○○○○○○○六、看图填空。
10分（1）苹果比桃子少（）个，桃子拿走（）就和苹果同样多。
苹果添上（）个就和桃子同样多。
（2）小明比小红多（）张明信片。
小明送给小红（）张后，两人的明信片张数同样多。
七、解决问题。
30分1、动物园有20只黑熊，黑熊比白熊多8只，白熊有多少只2、商店里有42个汽车玩具，卖出18个，还剩多少个又运来44个，现在有多少个3、听解放军叔叔讲故事，二年级上册去了45人，一年级比二年级上册多去8人，一年级去了多少人，两个年级共去了多少人4、5、第一次摘了18个，第二次又摘了21个，两次共摘了多少个，摘了两次后，树上还剩下多少个苹果第二单元《平行四边形的初步认识》测试卷姓名＿＿＿＿＿得分＿＿＿＿＿一、图形分类，再填空，填图形的序号(每空3分，12分)。
上面图形中，四边形是（），五边形是( )，六边形是( )，平行四边形的（）。
二、折一折，填一填(每空2分，30分)⑤搭一个六边形至少要（）根小棒。
⑥两个完全一样的正方形可以拼成一个（）形。
⑦课桌面是（）形，红领巾的面是（）形，车轮的面是（）形。
三、数一数填一填。
苏教版初中数学相似三角形专题--有答案有解释
苏教版初中数学相似三角形专题一．填空题（共7小题）1．已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是．2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）．3．如图是两张大小不同的4×4方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图①与图②中小正方形的面积比为5：4，请在图②中画出格点正方形EFGH，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC的长是．6．如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=．二．解答题（共23小题）8．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．9．已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）求证：F点是AD的黄金分割点．10．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．11．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．13．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s 的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？15．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．16．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．17．如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB 上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E．求证：△DME∽△BCA．19．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF ∽△EBD．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．22．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE 交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且=．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AD2=DG•DE，求证：=．23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC≌△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．24．已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：（1）△ABF∽△BED；（2）=．25．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．26．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）27．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？28．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．29．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度．30．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD 的相似比．苏教版初中数学相似三角形专题参考答案与试题解析一．填空题（共7小题）1．（2014•黄冈模拟）已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．【考点】作图—相似变换．【专题】作图题．【分析】根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．【解答】解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．故答案为：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．【点评】本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数．2．（2013•天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于6；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【考点】作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A 画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3=6；（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【点评】此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．3．（2012•鼓楼区一模）如图是两张大小不同的4×4方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图①与图②中小正方形的面积比为5：4，请在图②中画出格点正方形EFGH，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等．【考点】作图—相似变换．【专题】压轴题．【分析】根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4，求出图①中正方形ABCD 的面积为8，进而得出正方形EFGH的面积即可．【解答】解：根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4，图①中正方形ABCD的面积为8，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等，则图②中正方形EFGH的面积为10，如图所示：【点评】此题主要考查了图形相似的性质，根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4得出两个大正方形面积之比是解题关键．4．（2016春•苏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为4．【考点】射影定理．【分析】根据射影定理得到：CD2=AD•BD，把相关线段的长度代入计算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，∴CD2=AD•BD=8×2，则CD=4．故答案是：4．【点评】本题考查了射影定理．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD•DC；②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC．5．（2015春•成都校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是4，AC的长是2．【考点】射影定理．【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD，然后根据勾股定理即可求得AC．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴，∵CD=2，BD=1，∴，∴AD=4，在Rt△ACD中，AC===2，故答案为：4，2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用．6．（2015秋•太原校级期末）如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm．【考点】射影定理．【分析】根据射影定理求出BD的长，再根据射影定理计算即可．【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边CD上的高，∴CD2=AD•DB，∴BD=，则AB=AD+BD=，∵BC2=BD•BA=×，∴BC=，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．7．（2016•三明）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC 与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= 4.5．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出==，求出DE 的长即可．【解答】解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A 点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），∴AO=1，DO=3，∴==，∵AB=1.5，∴DE=4.5．故答案为：4.5．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出==是解题关键．二．解答题（共23小题）8．（2016秋•长春期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．【考点】相似多边形的性质．【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴，∠C=α，∠D=∠D′=140°．∴x=12，，α=∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣62°﹣75°﹣140°=83°．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解答此题的关键．9．（2015秋•萧县校级月考）已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）求证：F点是AD的黄金分割点．【考点】相似多边形的性质；黄金分割．【分析】（1）根据题意证明四边形ABEF是矩形，根据折叠的性质得到AB=AF，证明结论；（2）根据相似多边形的性质得到AB2=FD•AB，根据正方形的性质得到答案．【解答】证明：（1）∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°，∴四边形ABEF是矩形，由折叠的性质可知AB=AF，∴四边形ABEF是正方形；（2）∵四边形EFDC与矩形ABCD相似∴=，又AB=CD，∴AB2=FD•AB，又AB=AF，∴AF2=FD•AB，∴F点是AD的黄金分割点．【点评】本题考查的是相似多边形的性质和黄金分割的概念，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键，注意把线段分成两条线段，且使较长是已知线段和较短的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．10．（2016秋•滦南县期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【考点】相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB=80°，根据角平分线的定义得到∠ACD=40°，证明△BCD∽△BAC，证明结论；（2）根据△BCD∽△BAC，得到，设BD=x，解方程求出x，根据相似三角形的性质定理列式计算即可．【解答】解：（1）∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；（2）∵△BCD∽△BAC，∴，∵AC=AD=2，BC=，设BD=x，则AB=4+x，∴，解得x=﹣1±，∵x＞0，∴BD=x=﹣1+，∵△BCD∽△BAC，∴，∵AC=2，BC=，BC=﹣1+∴CD==﹣．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．11．（2016秋•莲都区校级月考）如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD ∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．【解答】解：∵△OBD∽△OAC，∴==，∴=，解得OA=6，∴AB=OA+OB=4+6=10．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．12．（2015秋•佛山期末）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．【解答】解：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABP，∴∠APB=∠ACP=120°．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．13．（2015秋•延庆县期末）已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形的性质易证∠1=∠2，再由三角形内角和定理易证∠2=∠3，进而可证明∠1=∠2=∠3．【解答】证明：∵△ABC∽△ADE，∴∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠1=∠2，在△AOE和△DOC中，∠E=∠C，∠AOE=∠DOC（对顶角相等），∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的各种性质是解题关键．14．（2015秋•泗县期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P 从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A 移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？【考点】相似三角形的性质；一元一次方程的应用．【专题】动点型；分类讨论．【分析】若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间．【解答】解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．【点评】本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．15．（2016•兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD 上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．16．（2016•萧山区模拟）如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．【解答】解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE，∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．（2016•厦门校级模拟）如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据已知可以分△PDC∽△ABP或△PCD∽△PAB两种情况进行分析．【解答】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB∴∠D=∠B=90°，设DP=x，当PD：AB=CD：PB时，△PDC∽△ABP，∴=，解得DP=2或12，当PD：PB=CD：AB时，△PCD∽△PAB，∴=，解得DP=5.6∴DP=5.6或2或12．【点评】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．18．（2016•云南模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC 于点N，交AB于点E．求证：△DME∽△BCA．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】先证明∠DEM=∠A，再由∠C=∠DME=90°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明△DME∽△BCA．【解答】证明：∵∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，∴∠C=∠ENB=∠DME=90°，∴AC∥DN，∴∠BEN=∠A，∵∠BEN=∠DEM，∴∠DEM=∠A．在△DME与△BCA中，，∴△DME∽△BCA．【点评】本题考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．19．（2016•厦门校级模拟）在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．【专题】证明题．【分析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出=，进而得出△DEF∽△BED．【解答】证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴=，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴=，又∵∠FED=∠DEB，∴在△DEF和△BED中=﹛∠FED=∠DEB∴△DEF∽△BED．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出=是解题关键．20．（2016春•昌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．21．（2017•松江区一模）如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先根据S△BEF ：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF ：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．22．（2017•闵行区一模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且=．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AD2=DG•DE，求证：=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到，根据等式的性质得到=，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∵=，∴，∴AB∥CD；（2）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∴=，∴=，∵AD2=DG•DE，∴=，∵AD∥BC，∴=，∴=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（2017•普陀区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC≌△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，=，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．【解答】证明：（1）∵DC=，CE=a，AC=b，∴CD2=CE×CA，即=，又∵∠ECD=∠DCA，∴△DEC≌△ADC；（2）∵△DEC≌△ADC，∴∠DAE=∠CDE，∵∠BAD=∠CDA，∴∠BAC=∠EDA，∵△DEC≌△ADC，∴=，∵DC=AB，∴=，即=，∴△ADE∽△CAB，∴=，即AE•AB=BC•DE．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．24．（2017•奉贤区一模）已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：（1）△ABF∽△BED；（2）=．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由菱形的性质得出AC⊥BD，AB∥CD，得出△ABF∽△CEF，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，证出△BED∽△CEF，即可得出结论；（2）由平行线得出，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∵BE⊥DC，∴∠FEC=∠BED，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，∴△BED∽△CEF，∴△ABF∽△BED；（2）∵AB∥CD，∴，∴，∵△ABF∽△BED，∴，∴=．【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．25．（2016•陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度。
2018苏教版解三角形单元测试16
一、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)1.△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．2.在中，已知，则边c的值是_____________.3.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为________ km.4.在中，若，则中最长的边是_____________．5.已知在中，，则此三角形的形状是____________.6.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为.7.在中，若a cos B＝b cos A，则的形状是____________.8.已知中，AB ＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则的面积为_____.9.在中，若，则________.10.如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________.二、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)11.在△ABC中，求证：＝.12.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p ＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．13.在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积．14.如下图，要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．15.一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．16.已知△ABC的面积为1，tan B＝，tan C＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．17.如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449)．18.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．19.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．答案解析1.【答案】150°【解析】∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0，由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，即a2＋c2－b2＝－ac，再由余弦定理，得cos B＝－，又0°<B<180°，∴B＝150°.2.【答案】【解析】根据余弦定理，∴.3.【答案】【解析】如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°⇒∠ABC＝45°，AC＝60 km，根据正弦定理，得BC＝＝＝30(km)．4.【答案】【解析】由正弦定理知，∴，∴，由大角对大边知边最长.5.【答案】等腰三角形【解析】方法一）由及余弦定理，，化简得b＝c.方法二）由及余弦定理，，即，∵∴，即∴△ABC是等腰三角形.6.【答案】700 m【解析】根据题意画出图形如图．在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos120°＝3002＋5002－2×300×500×＝490 000，∴AB＝700(m)．7.【答案】等腰三角形【解析】法一由正弦定理有sin A cos B＝sin B cos A，∴sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin(A－B)＝0.∴A＝B，∴为等腰三角形．法二由余弦定理有，∴a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，即a2－b2＝0，得a＝b.∴为等腰三角形．8.【答案】【解析】∵∴∴.∴.9.【答案】【解析】利用正弦定理解三角形．在中，，∴10.【答案】【解析】设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得.11.【答案】证明因为右边＝＝·cos B－·cos A＝·－·＝－＝＝左边．所以＝.【解析】12.【答案】(1)证明∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，由正弦定理得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0. ∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝ab sin C＝×4×sin＝.【解析】13.【答案】由正弦定理，得＝，∴sin C＝，且C为锐角(∠A＝120°)．∴cos C＝.∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝cos C－sin C＝×－×＝.∴S△ABC＝AB·BC·sin B＝×5×7×＝.【解析】14.【答案】km【解析】在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝(km)．△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2××cos 75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)．∴A、B之间的距离为km.15.【答案】如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形，设所需时间为t小时，则AB＝21t海里，BC＝9t海里．又已知AC＝10海里，依题意知，∠ACB＝120°，根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC cos∠ACB.∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t cos 120°，∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.∴或(舍)．∴(海里)．即“黄山”舰需要用小时靠近商船，共航行14海里．【解析】16.【答案】∵tan B＝>0，∴B为锐角．∴sin B＝，cos B＝.∵tan C＝－2＜0，∴C为钝角．∴sin C＝，cos C＝－.∴sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝·＋·＝.∵S△ABC＝ab sin C＝2R2sin A sin B sin C＝2R2×××＝1.∴R2＝，R＝.∴πR2＝π，即外接圆的面积为π.∴a＝2R sin A＝，b＝2R sin B＝，c＝2R sin C＝.【解析】17.【答案】在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，＝，所以AB＝＝，即BD＝≈0.33(km)．故B、D的距离约为0.33 km.【解析】18.【答案】依题意得，CD＝，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°.在△BDC中，由正弦定理得BC＝＝＝.在△ADC中，由正弦定理得AC＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝(3)2＋()2－2×3×cos 45°＝25.所以AB＝5，即这两座建筑物之间的距离为5 km.【解析】19.【答案】如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝≈1.732(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝ 30°，由正弦定理sin∠ACB＝·AB＝，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米)，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(千米)．∵×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．【解析】20.【答案】(1)由题意可知，所以.又因为，所以.(2)由已知得.当△ABC为正三角形时取等号，所以sinA＋sinB的最大值是.【解析】。
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一、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)1.在△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，则△ABC的解的个数为____________.2.在中，若，则a＝________.3.在中，有下列结论：①若，则为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则∠A为60°；③若a2＋b2＞c2，则为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确错误的是____________.4.在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝______.5.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进m至点D，测得顶端A的仰角为4θ，则θ＝___________.6.已知锐角的面积为，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 _____.7.某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．8.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________.9.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m 到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为___________.10.如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________.二、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)11.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S.12.在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．13.如图所示，已知半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，OA＝2，点B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，求B在什么位置时，四边形OACB面积最大．14.在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．15.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．16.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos 2A＝.(1)求A的度数．(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．17.如下图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)18.在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．19.已知方程的两根之积等于两根之和，且为的两边，为两内角，试判定这个三角形的形状．20.在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝34 cm，A＝41°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1 cm)．答案解析1.【答案】一个解【解析】由正弦定理得，又a＞b，所以B为锐角，角B有唯一的解．进一步，可以求角C和边c，都是唯一的．2.【答案】【解析】∵，∴由正弦定理，得又，∴3.【答案】②③④【解析】①由条件，，∴A为钝角，正确；②由条件，，∴A＝120°，错误；③由条件，，∴C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；④由条件，A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝1∶∶2，错误.4.【答案】2【解析】由正弦定理得：AB＝BC＝2BC＝2.5.【答案】15°【解析】BC＝CA，CD＝DA，设AE＝h，则∴.∴. ∴，∴6.【答案】60°【解析】由的面积为，且BC＝4，CA＝3可知，∴，又为锐角三角形，∴ C＝60°.7.【答案】无【解析】由题意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，∴由正弦定理则在Rt△BDC中，. 因而此船无触礁的危险.8.【答案】【解析】∵A，B，C为三角形内角且cos A＝，cos B＝，∴sin A＝，sin B＝.sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝.由正弦定理解三角形（两角及任一边）＝，得c＝b×＝3×＝.9.【答案】1000 m【解析】∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，，∴(m)．10.【答案】【解析】设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得.11.【答案】因为cos B＝2cos2－1＝，故B为锐角，所以sin B＝.所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝sin cos B－cos sin B＝.由正弦定理解三角形（两角及任一边），得c＝＝，所以S△ABC＝ac sin B＝×2××＝.【解析】12.【答案】由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得1－2cos A＝0，.再由正弦定理，得又知，所以B不是最大角，则，所以.由上述结果知，设BC上的高为h，则有.【解析】13.【答案】设∠AOB＝α，在△ABO中，由余弦定理得AB2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，α∈(0，π)，∴S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OB·sinα＋AB2＝2sin＋.当α－＝，α＝π，即∠AOB＝π时，四边形面积最大．【解析】14.【答案】由题意画图，由余弦定理得.∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得.∴.【解析】15.【答案】依题意得，CD＝，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°.在△BDC中，由正弦定理得BC＝＝＝.在△ADC中，由正弦定理得AC＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝(3)2＋()2－2×3×cos 45°＝25.所以AB＝5，即这两座建筑物之间的距离为5 km.【解析】16.【答案】(1)由4sin2－cos 2A＝及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝，4(1＋cos A)－4cos2A＝5，即4cos2A－4cos A＋1＝0，∴(2cos A－1)2＝0，解得cos A＝.∵0°<A<180°，∴A＝60°.(2)由余弦定理，得cos A＝.∵cos A＝，∴＝，化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，将a＝，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.则由解得或【解析】17.【答案】此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile 【解析】在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC＝＝≈113.15(n mile)．根据正弦定理，＝，sin∠CAB＝＝≈0.325 5，所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.所以此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.18.【答案】a＝6，b＝8 内切圆的半径为r＝2【解析】由正弦定理知＝，∴＝.即sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B.又∵a≠b，∴2A＝π－2B，即A＋B＝.∴△ABC是直角三角形，且C＝90°，由得a＝6，b＝8.故内切圆的半径为r＝＝＝2.19.【答案】设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系，得∴.由正弦定理得：∴，即∵为的内角，∴∴，即故为等腰三角形．【解析】20.【答案】根据余弦定理，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝602＋342－2×60×34×cos 41°≈1 676.82，所以a≈41(cm)．由正弦定理得，sin C＝≈≈≈0.544 0.因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C≈33°，∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.【解析】。