高一数学解三角形单元测试及答案
苏教版必修5高一数学第1章解斜三角形单元测试卷及答案
章节能力测试题（一）（测试范围：解三角形）一．填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．三角形ABC 中，如果A=60º，C=45º，且a=则c= 。
1.3。
提示：由正弦定理得sin 45sin sin 603a C c A ===。
2. 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2.12。
提示：B A sin sin =1sin cos sin 22A A A =，故B A sin sin 的最大值是12。
3．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3. 1200.提示：2221cos 22b c a A bc +-==-，A=1200.4．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4.26-。
提示：A=1800-300-1350=150.sin150=sin(450-300.由正弦定理得 0sin 2sin15sin sin 30b A a B ===5. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为 .提示：∵三角形两边夹角为方程57602x x --=的根，不妨假设该角为θ，则易解得得53c o s -=θ或cos θ=2（舍去），∴据余弦定理可得13252cos 3523522==⨯⨯⨯-+=θ三角形的另一边长。
6.在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= 。
6.B=105º或B=15º。
提示:由正弦定理可得sinC=sin2c A a == ,∴C=45º或者C=135º，∴B=105º或者B=15º。
7.科学家发现，两颗恒星Ａ与Ｂ分别与地球相距５亿光年与２亿光年，且从地球上观测，它们的张角为６０º，则这两颗恒星之间的距离为 亿光年。
高一解三角形试题及答案
高一解三角形试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，若a=7，b=5，A=60°，则B的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B2. 在三角形ABC中，若a=3，b=4，c=5，则三角形ABC的面积为：A. 3B. 4C. 6D. 8答案：C3. 在三角形ABC中，若a=5，b=7，c=8，且三角形ABC为锐角三角形，则角C的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C4. 在三角形ABC中，若a=6，b=8，A=45°，则B的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°答案：D5. 在三角形ABC中，若a=7，b=8，c=9，且三角形ABC为直角三角形，则角C的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：D二、填空题6. 在三角形ABC中，若a=5，b=6，A=45°，则B的度数为________。
答案：60°7. 在三角形ABC中，若a=3，b=4，c=5，则三角形ABC的面积为________。
答案：68. 在三角形ABC中，若a=5，b=7，c=8，且三角形ABC为锐角三角形，则角C的度数为________。
答案：60°9. 在三角形ABC中，若a=6，b=8，A=45°，则B的度数为________。
答案：75°10. 在三角形ABC中，若a=7，b=8，c=9，且三角形ABC为直角三角形，则角C的度数为________。
答案：90°三、解答题11. 在三角形ABC中，已知a=4，b=6，A=30°，求B和C的度数。
解答：根据正弦定理，有\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}，代入已知数据得 \frac{4}{\sin 30°} = \frac{6}{\sin B}，解得 \sin B = \frac{3}{4}。
高一数学 解三角形测试及答案
解三角形测试一、选择题（本大题共2小题，共10分）1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=√5，c=2，cosA=2，则b=()3A. √2B. √3C. 2D. 32.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc.若sin B⋅sin C=sin2A，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形二、填空题（本大题共2小题，共10分）3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=2√2，且C=π，4则△ABC的面积为______．4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2−b2=√3bc，sinC=2√3sinB，则A=______．三、解答题（本大题共2小题，每题15分，共30分）5.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m⃗⃗⃗ =(a,√3b)与n⃗=(cosA,sinB)平行．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=√7，b=2，求△ABC的面积．6.在ΔABC中，a2+c2=b2+√2ac．(Ⅰ)求∠B的大小；(Ⅱ)求√2cosA+cosC的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，属于基础题．由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc，利用已知整理可得3b2−8b−3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=√5，c=2，cosA=23，∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc =b2+4−52×b×2=23，整理可得：3b2−8b−3=0，解得：b=3或−13(舍去)．故选D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理、等边三角形的判定方法，属于中档题．b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=12，可得A=π3.由sin B⋅sinC=sin2A，利用正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．∵sin B⋅sinC=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴(b−c)2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选C．3.【答案】√3+1【解析】【分析】本题考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．由已知利用正弦定理可求sin B，结合B的范围，利用特殊角的三角函数值可求B，利用三角形内角和定理可求A，利用两角和的正弦公式可求出sinA=sin(B+C)，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由正弦定理得bsinB =csinC⇒sinB=bsinCc =12，又c>b，且B∈(0,π)，所以B=π6，所以A=7π12，∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=12×√22+√32×√22=√6+√24，所以S=12bcsinA=12×2×2√2×√6+√24=√3+1．故答案为√3+1．4.【答案】30°【解析】【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．已知sinC=2√3sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2√3sinB利用正弦定理化简得：c=2√3b，代入得a2−b2=√3bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =2224√3b2=√32，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为30°5.【答案】解：(Ⅰ)因为向量m⃗⃗⃗ =(a,√3b)与n⃗=(cosA,sinB)平行，所以asinB−√3bcosA=0，由正弦定理可知：sinAsinB−√3sinBcosA=0，因为B为△ABC的内角，所以sinB≠0，所以tanA=√3，因为A为△ABC的内角，所以A=π3；(Ⅱ)a=√7，b=2，由余弦定理可得，a2=b2+c2−2bccosA，可得7=4+c2−2c，解得c=3，或c=−1(负值舍去)，所以△ABC的面积为12bcsinA=3√32．【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，向量共线，考查计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用两向量平行，可得asinB −√3bcosA =0，通过正弦定理，即可求出结果； (Ⅱ)利用余弦定理求出c ，然后求解△ABC 的面积．6.【答案】解：(Ⅰ)∵在△ABC 中，a 2+c 2=b 2+√2ac ．∴a 2+c 2−b 2=√2ac ．∴由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =√2ac 2ac =√22， 又因为B ∈(0,π)，∴B =π4；(Ⅱ)由(Ⅰ)得：C =3π4−A ，∴√2cosA +cosC =√2cosA +cos(3π4−A) =√2cosA −√22cosA +√22sinA =√22cosA +√22sinA =sin(A +π4). ∵A ∈(0,3π4)，∴A +π4∈(π4,π)， 故当A +π4=π2时，sin(A +π4)取最大值1，即√2cosA +cosC 的最大值为1．【解析】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象性质，属于中档题．(Ⅰ)由已知根据余弦定理，可得cosB =√22，进而得到答案； (Ⅱ)由(Ⅰ)得：C =3π4−A ，结合正弦型函数的图象和性质，可得√2cosA +cosC 的最大值．。
高一解三角形试题及答案
高一解三角形试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，已知a=3，b=4，A=60°，则三角形ABC 的面积为（）A. 3√3B. 4√3C. 6D. 2√3答案：B解析：根据三角形面积公式S=1/2*ab*sinA，代入已知数据可得S=1/2*3*4*sin60°=3√3，故选B。
2. 在三角形ABC中，已知a=7，b=14，A=30°，则三角形ABC 的解的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 0答案：D解析：根据正弦定理，有a/sinA=b/sinB，代入已知数据可得sinB=14/7*1/2=1，由于B∈(0,π)，所以B=90°，此时三角形ABC 无解，故选D。
3. 在三角形ABC中，已知a=5，b=7，A=45°，则三角形ABC 的外接圆半径为（）A. 5√2B. 7√2C. 5D. 7答案：A解析：根据正弦定理，有a/sinA=2R，代入已知数据可得2R=5/sin45°=5√2，故选A。
4. 在三角形ABC中，已知a=3，b=4，A=60°，则三角形ABC 的内切圆半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A解析：根据三角形面积公式S=1/2*(a+b+c)*r，其中r为内切圆半径，代入已知数据可得S=1/2*3*4*sin60°=3√3，又a+b+c=3+4+5=12，所以r=2S/(a+b+c)=2*3√3/12=√3/2，故选A。
5. 在三角形ABC中，已知a=4，b=5，A=45°，则三角形ABC 的外接圆半径为（）A. 5B. 10/√2C. 5√2D. 10答案：B解析：根据正弦定理，有a/sinA=2R，代入已知数据可得2R=4/sin45°=4√2，故选B。
二、填空题6. 在三角形ABC中，已知a=5，b=7，A=60°，则三角形ABC 的面积为35√3 。
2024年高一数学真题分类汇编(天津专用)解三角形(解析版)
专题03解三角形考点一、利用正弦定理、余弦定理解三角形考点二、判断三角形的形状考点三、解三角形的实际应用1、根据正弦定理、余弦定理求边或角2、求三角形的周长或面积3、解三角形中求取值范围或最值问题4、解三角形的综合应用利用正弦定理和余弦定理解三角形1．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若1a =，2b =，c =C =（）A ．120︒B ．90︒C ．60︒D ．45︒2．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4a =，b =π6A =，则角B 的大小为（）A ．π3B ．π3或2π3C ．2π3D ．π63．（22-23高一下·天津·期中）已知ABC ，内角、、A B C 的对边分别是,,,60a b c a b B ===︒，则A 等于（）A ．45︒B ．30︒C ．45︒或135︒D ．30︒或150︒4．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，75,45AB A B === ，则AC =（）A B ．2CD ．3【答案】B【分析】根据三角形内角和先求出角C ，再根据正弦定理即得．【详解】因为180A B C ++= ，所以60C = ，5．（22-23高一下·天津·期中）若ABC 2BC =，60C =︒，则边AB 的长度等于（）A B C ．2D ．36．（22-23高一下·天津南开·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()42cos 1,sin 5a c B C =+=，则sin B =（）A ．1825B ．2425-C ．1825-D ．24257．（22-23高一下·天津·期中）ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π68．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，a 3b =，6A π=，则此三角形（）A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数不确定判断三角形的形状9．（19-20高一下·天津东丽·期末）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是（）A ．若4,30a b A === ，则B 只有一解B ．若2220a b c +->，则△ABC 一定是锐角三角形C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形D ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形10．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos a c B =，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B，再由诱导公式及两角和的正弦公式判断即11．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，已知()sin 2sin cos A A C C =+，那么ABC 一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形12．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角,,A B C 满足2sin cos sin B C A =，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形【答案】B【分析】根据()sin sin A B C =+得到()sin 0B C -=，求出B C =，得到三角形形状.【详解】()2sin cos sin sin sin cos cos sin B C A B C B C B C ==+=+，故sin cos cos sin 0B C B C -=，即()sin 0B C -=，因为(),0,πB C ∈，所以B C =，故ABC 为等腰三角形.故选：B13．（22-23高一下·天津·期中）在 ABC 中，如果满足cos cos b A a B =，则 ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形14．（22-23高一下·天津·期中）设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定15．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，已知||||AB AC AB AC +=-，且sin 2sin cos A B C =，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形16．（2021·甘肃天水·模拟预测）在ABC 中，若21sin cos C b C B c B -=-，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形B解三角形的实际应用17．（22-23高一下·天津·期中）一艘轮船按照北偏东40︒方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为与轮船原来的距离为A．6海里B．12海里C．6海里或12海里D．由题意得：18AC=则2 cos ACCAB∠=即灯塔与轮船原来的距离为本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果18．（22-23高一下·天津·期中）一艘轮船沿北偏东28o方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东32o方向上，经过10灯塔与轮船原来的距离为海里.19．（20-21高一下·天津宁河·阶段练习）一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为则灯塔与轮船原来的距离为海里．【答案】6【分析】由题意画出图形，求出相关量，然后利用余弦定理求解即可.【详解】记轮船的初始位置为A，灯塔位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示：由题意得：11863AC =⨯=，1804020120CAB ∠=--= 63BC =，在ABC 中，由余弦定理得：22cos 2AC AB BC CAB AC AB +-∠=⋅()2226631262AB AB+-==-⨯⋅，所以解得6AB =或12AB =-20．（22-23高一下·天津南开·期中）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：米），三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45,60A C B A B C ''''''∠=∠= ，由点C 测得点B 的仰角为15 ，BB '与CC '的差为100，由点B 测得点A 的仰角为45 ，则A ，C 两点到水平面ABC '''的高度差AA CC ''-为米.已知BB '与CC '的差为100，则又15BCD ∠=，则tan15CD =则3131010100(2B C CD ''=-==+根据正弦定理和余弦定理求边或角21．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知3a =c =2π3A =．(1)求C 的值；(2)求b 的值．22．（22-23高一下·天津河西·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b b A -=.(1)若a =3b =，求边c 的长；(2)若π2C =，求角B 的大小．23．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.24．（22-23高一下·天津·期中）在非等腰ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且3a =，4c =，2C A =.(1)求cos A 的值；(2)求ABC 的周长；(3)求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.25．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.26．（22-23高一下·天津和平·期中）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =u r与()cos ,sin n A B =r平行.(1)求A ；(2)若a =2b =，求sin C 的值.27．（22-23高一下·天津滨海新·期中）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知45,6,cos 5a b B ===-.(1)求A 的值；(2)求()sin 2B A +的值.28．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC(1)求a 的值；(2)求sin A 的值；(3)求sin 26A π⎛⎫+ ⎪的值.29．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin cos cos A A B B C +=-.(1)求角C 的大小；(2)若sin 2sin A B =，c =ABC 的面积.30．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ．向量),m b =，()sin ,cos n A B = ，且m n ∥．(1)求B 的值；(2)若2a =，b ，求ABC 的面积31．（2021·广西·二模）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为、b 、，且c b c a=--.(1)求角A 的大小；(2)若a =，且ABC S = ABC 的周长.32．（22-23高一下·天津河北·期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =u r，()cos ,sin n A B =r ，且//m n .(1)求角A ；(2)若a =2b =，求边c及ABC 的面积；(3)在（2）的条件下，求()sin 2B A -的值.33．（22-23高一下·天津和平·期中）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，4c =，a =(1)求A ，b ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积.34．（22-23高一下·天津滨海新·期中）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos cos b c a A B=+.(1)求角B 的大小；(2)若4,b a c =+=ABC 的面积.35．（22-23高一下·天津滨海新·期中）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos c A a B b A =+．(1)求角A ；(2)若ABC 的外接圆半径R =4b =，求ABC 的面积；(3)若a =3BA AC ⋅=- ，A ∠的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长．求取值范围或最值问题36．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos2cos2cos212sin sin A B C A B +-=-.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求sin sin sin A B C ++的取值范围.37．（21-22高一下·湖北·期中）已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B-=(1)求角C(2)若2a =，3b =，CD 为角C 的平分线，求CD 的长；(3)若cos cos 4a B b A +=，求锐角ABC 面积的取值范围.=38．（2020·全国·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()223sin sin 222C B bc b c b c a +=++.(1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a b m c +=的取值范围.39．（21-22高一下·江苏无锡·期中）从①222sin sin sin sin sin 0B A C B C -+-=②sin cos b A B =，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若__________.(1)求角A 的大小：(2)若D 是BC 的中点，AD =ABC 面积的最大值.(3)若O 为ABC 的外接圆圆心，且cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= ，求实数m 的值.【详解】（1）解：选条件①时，222sin sin sin sin sin 0B A C B C -+-=，根据正弦定理：222b a c bc -+=，40．（20-21高一下·山东济南·期中）如图所示，某市有一块空地OAB ，其中2km OA =，60OAM ∠=︒，90AOB ∠=︒．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ，其中M ，N ，都在边AB 上，且30MON ∠=︒，挖出的泥土堆放在OAM △地带上形成假山，剩下的OBN △地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在OAN 的周围安装防护网．设=AOM θ∠．（1）当1km AM =时，求此时防护网的总长度；（2）若15θ=︒，问此时人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN 的面积最小？最小面积是多少？（2）15θ=︒时，在三角形sin 60sin15OM AM =︒︒在三角形OMN 中，由正弦定理得，sin 30sin 75MN OM =︒︒所以sin 60sin 75MN AM =sin 60sin 301sin 302︒⋅︒=︒以O 为顶点时，所以OMN OAM S MN S AM=△△即人工湖用地OMN （3）在三角形OAN 18060ONA ∠=︒-由正弦定理得，(2sin 60sin 90ON =︒︒在三角形OAM 中，由正弦定理得sin OM。
解三角形练习题及答案
第一章 解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°2．在△ABC 中，下列等式正确的是( )． A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin B C ．a ∶b ＝sin B ∶sin AD ．a sin A ＝b sin B3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶4∶9D ．1∶2∶34．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c 等于( )． A ．25B ．5C ．25或5D ．10或55．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．形状不能确定7．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝3，∠B ＝30°，则a ＝( )． A ．3B ．23C ．3或23D ．28．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为23，那么b ＝( )． A ．231+ B ．1＋3C ．232+ D ．2＋39．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了3 km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值是( )．A ．3B ．23C ．3或23D ．310．有一电视塔，在其东南方A 处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B 处看塔顶时仰角为60°，若AB ＝120米，则电视塔的高度为( )．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米二、填空题11．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝10，b ＝ ． 12．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ． 13．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则CB A cb a sin sin sin ++++＝ ．14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝23，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，那么AD ＝ ． 16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ． 三、解答题17． 已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．18．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝1，∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状． (1)a cos A ＝b cos B ； (2)A a cos ＝B b cos ＝Cccos ．20．△ABC 中，己知∠A ＞∠B ＞∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．第一章 解三角形参考答案一、选择题 1．B解析：设三边分别为5k ，7k ，8k (k ＞0)，中间角为 α， 由cos α＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 α＝60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°． 2．B 3．B 4．C 5．C 6．C 7．C 8．B解析：依题可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac bc a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22代入后消去a ，c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1，故选B ． 9．C 10．A 二、填空题 11．56． 12．2． 13．23． 解析：设A asin ＝B b sin ＝Cc sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝23．14．32π． 15．43． 16．－41． 三、解答题17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小． 解法1：由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26·22＝23． ∵c sin A ＝6×22＝3，a ＝2，c ＝6，3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°，∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°． 故b ＝Aasin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1， ∴b ＝3+1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°． 解法2：由余弦定理得b 2＋(6)2－26b cos 45°＝4， ∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又(6)2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±21，∠C ＝60°或∠C ＝120°， 所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°． 18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解．解：∵B b sin ＝Ccsin ， ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21．∵b ＞c ，∠B ＝60°，∴∠C ＜∠B ，∠C ＝30°，∴∠A ＝90°． 由勾股定理a ＝22＋c b ＝2， 即a ＝2，∠A ＝90°，∠C ＝30°．19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． (1)解法1：由余弦定理得a cos A ＝b cos B ⇒a ·(bc a c b 2222-+)＝b ·(ac c b a 2222+-)⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0，∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0， ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 解法2：由正弦定理得 sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝π－2∠B ，∠A ，∠B ∈(0，π) ⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝2π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．(2)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得A A R cos sin 2＝B BR cos sin 2＝C C R cos sin 2， ∴A A cos sin ＝B Bcos sin ＝CC cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ． ∵∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π)， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ， ∴△ABC 为等边三角形．20．解析：利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理，用a ，c 的代数式表示cos C ，这样可以建立a ，c 的等量关系；再由a ＋c ＝8，解方程组得a ，c ．解：由正弦定理A asin ＝Cc sin 及∠A ＝2∠C ，得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝C csin ，∴cos C ＝ca2．由余弦定理cos C ＝abc b a 2222-+，∵b ＝4，a ＋c ＝8， ∴a ＋c ＝2b ，∴cos C ＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋222＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5，∴c a2＝ac a 43－5， 整理得(2a －3c )(a －c )＝0， ∵a ≠c ，∴2a ＝3c ． 又∵a ＋c ＝8， ∴a ＝524，c ＝516．。
苏教版必修5高一数学第1章解三角形章节测试题有答案
解三角形一、填空题：（每小题5分，共70分）1．一个三角形的两个内角分别为30º和45º，如果45º角所对的边长为8，那么30º角所对的边长是2．若三条线段的长分别为7，8，9；则用这三条线段组成 三角形3．在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ，若1a =，b ∠A ＝30º；则△ABC 的面积是4．在三角形ABC中，若sin :sin :sin 2A B C =，则该三角形的最大内角等于5．锐角三角形中,边a,b是方程220x -+=的两根,且c =则角C =6. 钝角三角形ABC 的三边长为a ,a +1,a +2(a N ∈)，则a=7．∆ABC 中，(sin sin )(sin sin )(sin sin )a B C b C A c A B -+-+-=8. 在△ABC 中，若cos cos cos 222ab c ABC==，那么∆ABC 是 三角形9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，cc b A 22cos 2+=，则△ABC 的形状为______ 10．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是__________11. 在∆ABC 中，若tan 2,tan A c b B b-=，则A= 12．海上有A 、B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60º的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75º的视角；则B 、C 间的距离是 海里.13．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测得该渔轮在方位角45º、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。
我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是 小时.14．已知ABC ∆中,,2,45a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围是二、解答题：（共80分）15.在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ；求证：22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=.16.如图在ABC ∆中,32,1,cos 4AC BC C ===;(1)求AB 的值(2)求sin(2)A C +A B C17．2003年伊拉克战争初期,美英联军为了准确分析战场形势,有分别位于科威特和沙特的两个距离为2的军事基地C 和D 测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处和B 处,且30ADB ∠= 30BDC ∠= 60DCA ∠= 45ACB ∠= ,如图所示,求伊军这两支精锐部队的距离.18. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且222b c a bc +=+（1）求∠A 的大小；（2）若a =，3b c +=，求b 和c 的值.A D C B19. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．20． ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积满足22()S c a b =--，且a + b=2,求面积S 的最大值一、填空题：1.锐角 3.424.1205.606.27.08.等边 9直角三角形 10. 等腰三角形11.60 12.23 14.2x << 二、解答题：15．证明：由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===； 左边＝22222(2sin sin 22sin sin 2)2[(1cos2)sin 2(1cos2)sin 2]R A B B A R A B B A +=-+-＝222[sin 2sin 2(sin 2cos2cos2sin 2)]2[sin 2sin 2sin(22)]R B A B A B A R B A A B +-+=+-+＝28sin sin sin R A B C =右边＝28sin sin sin R A B C = 原题得证。
高一必修5解三角形练习题及答案
第一章 解三角形一、选择题1．在ABC ∆中，a =03,30;c C ==(4)则可求得角045A =的是（ ） A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4） 2．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．14=a ，16=b ， 45=A D ． 7=a ，5=b ， 80=A 3．在ABC ∆中，若， 45=C ， 30=B ，则（ ）A ； BC D4．在△ABC ，则cos C 的值为（ ）A. D. 5．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或二、填空题6．在ABC ∆中，5=a ，60A =， 15=C ，则此三角形的最大边的长为 ． 7．在ABC ∆中，已知3=b ，， 30=B ，则=a _ _． 8．若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．9．在△ABC 中，AB=3，AC=4，则边AC 上的高为10. 在ABC △中，（1）若A A B C 2sin )sin(sin =-+，则ABC △的形状是 .（2）若ABC △的形状是 .三、解答题11. 已知在ABC ∆中,cos 3A =,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边.(Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()23B π+=,c =求ABC ∆的面积. 解:12. 在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6， D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。
⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 解：13．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列. （I ）求B 的值； （II ）求22sin cos()A A C +-的范围。
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解三角形本章测试
一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确选项填涂在答题卡上指定位置。
1. 在ABC ∆中，2,2,6
a b B π
==
=
，则A =（ ）
.A
4π .B 3
π
.C 34π .D 344ππ或
2.在ABC ∆中，222a b c bc =++，则角A 为（ ）
.A 030 .B 045 .C 0120 .D 0150
3. 已知ABC ∆中，::114A B C =：：，则::a b c 等于（ ）
.A 1:1:3 .B 2:2:3 .C 1:1:2 .D 1:1:4
4. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若02,1,29a b B ===，则此三角形解的情况是（ ）
.A 无解 .B 有一解 .C 有两解 .D 有无数解 5. 在ABC ∆中，00090,045C A ∠=<<，则下列各式中，正确的是（ ）
.A sin sin A B > .B tan tan A B > .C cos sin A A < .D cos sin B B <
6. 一船自西向东航行，上午10时到达灯塔的南偏西075、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ ）
.A
62海里/时 .B 346/时 .C 172
2
海里/时 .D 2海里/时 7. 已知ABC ∆的面积为S ，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
224(),4S a b c bc =--=，则=S （ ）
.A 2 .B 4 .C
3 .D 238. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若15cos 4
C =，
cos cos 3b A a B +=，则ABC ∆外接圆的半径为（ ） .A 3 .B 22 .C 4 .D 6
9. 在ABC ∆中，已知
222222
sin sin a A b B
a c
b b
c a =+-+-，则ABC ∆的形状为（ ）
A.直角三角形；
B.等腰三角形；
C.等腰或直角三角形；
D.等边三角形
10. ABC ∆中，060A ∠=,若33
2
ABC S ∆=
,且2sin 3sin B C =,则ABC ∆周长为（ ）
.A 57+ .B 12 .C 107+ .D 527+
11. 在锐角ABC ∆中， ()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，若3a =，则22b c +的取
值范围是（ ）
.A 3,6（）
.B 3,5（） .C ,6]（5 .D [5,6] 12. ABC ∆的内角，，的对边分别为，，，已知2
511
cos cos cos 2442
C a A c B =-+， 且2b =，则a 的最小值为（ ）
.A
65 .B 7
5
.C 9625 .D 11225
二. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 在锐角ABC ∆中，若222()tan a b c C ab +-=，则角C 的值________．
14. 在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆中最大边所对角的余弦值为____． 15. 在ABC ∆中，6b =，且227
cos ac B a b =-+
，O 为ABC ∆内一点，且满足0030OA OB OC BAO ++=∠=，，则||OA =________．
16. ABC ∆中，1cos 428
A A
B A
C ===，，，则A ∠的角平分线A
D 的长为________． 三.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22233342b c a bc +-=. （1）求sin A 的值；
（2）求2sin()sin()
441cos 2A B C A
ππ
+++-的值．
18. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4
A π
=，22
2
12
a c
b -=
． （1）求sin C 的值；
（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值．
19. 已知函数23()sin(
)cos()sin (3)22
f x x x x ππ
π=-+++ （1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；
（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3
()2
c f C ==
，且sin 2sin A B =，求a ，b 的值．
20. 已知(2cos ,2sin )b (sin(),cos())66
a x x x x π
π
==--，，函数()=cos ,f x a b <> （1）求函数()f x 零点；
（2）若锐角ABC ∆的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1f A =，求b c
a
+的取值范围．
21. 某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，,,,,,AB BC CD DE EA BE 为学校的主要道路（不考虑宽度）.29
,333310
BCD CDE BAE DE BC CD km ππ∠=∠=
∠====，． （1）求道路BE 的长度；
（2）求生活区ABE ∆面积的最大值．
22. 函数()=sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ+><的部分图象如图所示，将()y f x =的图象向右
平移
4
π
个单位长度后得到函数()y g x =的图象． （1）求函数()y g x =的解析式；
（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 满足2
2sin
(123
A B g C π
+=++)， 且其外接圆的半径2R =，求ABC ∆的面积的最大值．
参考答案
一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确选项填涂在答题卡上指定位置。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项
D
C
A
C
D
A
A
D
C
A
C
A
二. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
6
π
14. 14- 15. 3 16. 2
三.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分，解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解：（1）由余弦定理得
又
（2）原式
．
18. 解：（1）∵
∴ 由余弦定理可得：
∴ ，又，可得．
∴ ，可得
． ∴ ．
∵
∴ ．
（2）∵ ，解得
∴
．
19. 解（1）∵
＝
∴ 最小正周期＝ ∴ 由，，解得：对称中心为
，
．
（2）由，得
∴ ＝ ∵ ，可得：
，可得：
∴ ∵
＝
，由正弦定理得＝ ①
由余弦定理＝，可得：＝
②
由①②解得＝，＝2
20. 解：（1）由条件可知：b 2cos sin()2sin cos()2sin(2)666
a x x x x x π
ππ
⋅=⋅-+⋅-=-
∴
所以函数零点满足：，由
解得
，
．
（2）由正弦定理得
由（1）()=sin(2)6
f x x π
-，而
得
∴
又，得
∵
∴ 代入上式化简得：
又在锐角中，有
∴
∴
则有
即：．
21.解：（1）连接，在中，
由余弦定理得：
∴
∵
∴
又
∴
在中，所以．（2）设，∵，
∴．
在中，由正弦定理，得
∴．
∴
．
∵
∴．
∴当，即时，取得最大值为
即生活区面积的最大值为．
22. 解：（1）由图知，解得
∵
∴ ，，即，
由于，因此
∴
∴
即函数的解析式为
（2）∵ ∴
∵
，
，即
所以
或（舍），可得：
由正弦定理得，解得
由余弦定理得
∴ 2212a b ab ++=
∴
2)1230a b ab -=-≥（ ∴ 4ab ≤（当且仅当2a b ==时等号成立） ∴ ∴
的面积最大值为
．。