三角函数中的数学思想
锐角三角函数中蕴涵的数学思想方法分析及对教学的启示
锐角三角函数中蕴涵的数学思想方法分析及对教学的启示作者：姜萍来源：《数学学习与研究》2019年第04期【摘要】当前数学教学中普遍存在这样一个现象：急于把概念、公式、法则、定理等知识传授给学生，然后按照考试要求进行练习，从而忽视了知识形成的过程.数学思想方法相较于知识点本身更富有生命的味道.作为教师，不仅要教给学生数学知识，更重要的是带领学生体会这些知识背后的思想方法，重视让学生经历知识形成的过程.本文以“锐角三角函数”这一课题为例，通过分析教材，包括所包含的知识点以及所蕴含的数学思想方法，得出这些思想方法对数学教学的启示.【关键词】数学思想方法;数学教学;锐角三角函数日本数学和数学教育家米山国藏说过这样一段话：“对学生而言，作为知识的数学，通常是出校门以后不到一两年很快就忘掉了.然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑中的数学精神、思想方法、研究方法、推理方法和着眼点等都随时随地发生作用，让他们受益终生.”所以对大多数学生来说，数学思想方法比形式化的数学知识更为重要.一、数学思想方法数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具.它是“思维的实验过程”，是數学真理的抽象概括过程，其最重要的特点就是不断地提出问题，不断地解决问题.数学思想方法是对数学事实、概念、原理和方法的本质和规律的认识.它是从某些具体的数学内容和对数学知识的认识过程中抽象、概括、提炼出来的数学观点.它不是显现的，而是渗透在数学知识里，所以需要教师透过具体的数学知识挖掘其背后的数学思想方法.二、数学思想方法是课程理念和目标的核心把数学思想方法的教学放在了数学教学的突出位置.强调数学课程的基础性，力求保证学生掌握基本数学思想，基础知识，基本技能和能力，形成对数学价值比较全面的认识.《义务教育阶数学课程标准》中对数学思想方法提出了明确的要求：“学生能够活得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能.”《义务教育阶数学课程标准》在理念部分也提出：“数学课程要讲推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法.”三、教材分析锐角三角函数是人教版义务教育教科书九年级下册第二十八章第一节的内容.本章在前面已经研究了直角三角形中三边间关系、两个锐角之间关系的基础上，进一步研究其边角的关系.本章内容与“相似三角形”“全等三角形”“勾股定理”等内容联系紧密.通过本章的学习，使学生全面掌握直角三角形的组成要素（边、角）之间的关系，并综合运用已有知识解决与直角三角形有关的度量问题，进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模能力，同时为高中数学中任意角三角函数等知识的学习做准备.“锐角三角函数”是《义务教育数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容.是在学生已学了一次函数、反比例函数和二次函数的基础上进行的，它反映的是角度与数值之间的对应关系.这部分内容包括锐角三角函数的概念，以及利用锐角三角函数解直角三角形的内容.锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会.（一）锐角三角函数包含的知识点（二）教学目标分析1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），能够应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比;知道30°，45°，60°角的正弦、余弦和正切值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角.2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.3.理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的作用.（三）任意角的三角函数课题中蕴涵的数学思想方法1.归纳推理归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法.归纳推理往往是在人们实践经验的基础上得出结论的，如通过观察、实验、比较、分析、综合，形成对思维对象的共性认识，最后归纳结论.归纳法有助于发现并提出问题，进行大胆猜想，数学世上有很多著名的问题都是这样提出来的，比如，哥德巴赫猜想、费马猜想等.教材中以意大利比萨斜塔的倾斜程度的实际问题引出对直角三角形中边角关系的讨论，在教学中教师可以引导学生对三角形边角关系进行猜想，并通过自主探究证明猜想.在证明的过程中让学生充分经历“研究特殊直角三角形——研究一般直角三角形——给出锐角的正弦概念”的过程.在直角三角形中，通过讨论锐角30°和45°与其所对的直角边与斜边的比之间的对应关系，学生很容易形成猜想：一个锐角的对边与斜边的比值是定值.当学生出现这样的猜想时，教师要进一步引导学生探究——如果是一般三角形会不会也能得到这样的结论？教师可启发学生自主画图、测量计算，把特殊角转换成一个任意的锐角.教学片段：（1）猜想验证，得出结论.由上述两个结论可知，在Rt△ABC中，SymbolPC@C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 2 ;当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于; 2; 2 ，由此你能猜想出什么一般的结论呢？教师引导学生思考、交流并用准确的语言归纳猜想.随后，教师在几何画板上演示、验证猜想的特殊情形.（2）证明猜想，形成概念.教师引导学生将猜想“在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.”用数学语言表示并画图，引导学生找到证明猜想的方法.（在刚刚经历自主画图、测量并计算等自主探究的活动，学生很容易想到利用相似三角形来证明猜想的正确性，可以让学生讲述证明过程）在此基础上，教师和学生共同总结出正弦的定义：Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记做sinA，即sinA= ∠A的对边斜边 = a c .2.数形结合数学是围绕数量关系和空间关系的研究展开的，数和形是它的两个侧面.它们之间可以相互转换，而数形结合的方法就是把数与形联系起来，它最大的特点就是能把抽象的内容直观的用图形表现出来.锐角三角函数的一个突出特点是它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系，因此，本章内容是体现数形结合很好的载体.例如，对锐角三角函数的概念，教材利用学生对直角三角形的认识以及相似三角形的有关知识引入，结合几何图形定义三角函数，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质.再比如，将实际问题抽象成数学问题时，也离不开几何图形，通过分析得到边、角的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决.因此，在教学中，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论证、解决实际问题时，画图帮助分析.如教材74页的例3：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行.如图所示，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400 km，结果取整数）？本题根据题意画出示意图，将抽象的实际问题变得具体，通过几何图形帮助学生找到直角三角形边、角的关系.分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点.如图所示，⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点的长就是地面上P，Q两点间的距离，为计算的长需先求出∠POQ （即α）的度数.3.模型思想数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、數量关系和空间形式的一种数学结构.从广义的角度讲，数学的概念、定理、规律、法则数量关系式、图形、图表等都是数学模型.数学建模是一个比较复杂且富有挑战性的过程，大致有以下几个步骤：（1）理解问题的实际背景，明确要解决的问题.（2）分析和简化复杂的情境，并确定必要的数据.（3）建立模型，可以是数量关系，也可以是图形.（4）解答问题.对大多数人来说，在现实生活和工作中利用数学解决各种问题，基本上都是根据对现实情境的分析，利用已有的数学知识构建模型.例如，第28.2.2的例3以“神舟”九号载人航天飞船与天宫一号交会对接为例，求能看到地球表面最远点与地球表面P点之间的距离，第28.2.2的例5的航海问题，求图中B处距离灯塔P有多远，77页练习1的触礁问题，都是将实际问题转化为数学问题，让学生在活动中体验数学模型思想和数学建模过程.去除掉复杂的情境，分析所给出的条件和数据，确定将问题转化为一般的解直角三角形，即用锐角三角函数求直角三角形一边的长度.四、结论与思考（一）渗透数学思想方法重在对教材的分析数学思想方法是蕴涵于数学知识的发生、发展和应用过程，如果说数学知识是一个人的骨架的话，数学思想方法就是让这个人有生命力的血肉.所以，教师在教学过程中首先要分析好、分析透教材，才能拥有一双慧眼，从零零散散的知识点背后挖掘更深层次的数学思想方法，并且透过这些思想方法将这些知识点串联起来.（二）系统了解数学思想方法在教学内容中的分布教师应该系统了解数学思想方法在中学各阶段、各章节中的分布.在教学的每一个环节，如概念讲解、定理证明、例题解答，都蕴含着大量的数学思想方法.只有做到心中有数，才能充分地结合具体的知识渗透数学思想方法.（三）在例题教学过程中增强数学思想方法的指导例题教学重在分析，教师在进行例题讲解的过程中，应该引导学生分析该题所包含的思想方法，并且用这种思想方法来指导解题.教师还可引导学生进行一题多解的练习，用数学思想指导知识、方法的灵活运用.（四）关注学生的认知能力向学生渗透数学思想方法必须立足于学生的认知水平，教师应从学生的实际认知能力、理解能力、接受能力、领悟能力，知识储备等方面综合考虑，有层次、有梯度的逐步地向学生渗透.（五）思考与反思上好一节数学课，必须分析和熟悉教材，明确教材是怎样安排教学内容的，这样安排是否合理，根据实际情况是否要做调整.其次，教师的价值就是讲教材上没有的东西，所以还要充分挖掘教材背后隐藏的数学思想方法.在以后的学习中要加强自身数学专业知识的学习，熟悉中小学教材，认真分析教材，挖掘其中的数学思想方法.【参考文献】[1]钱佩玲.中学数学思想方法[M].北京：北京师范大学，2001.[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2010.[3]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.[4]米山国藏.数学的精神，思想和方法[M].成都：四川教育出版社.[5]余文彪.促进学生数学思想方法形成初探[J].中学数学教学，2000（1）：38-39.[6]杨凌华.数形结合思想在中学教学中的应用仁[J].当代教育论坛，2005（4X）：76.[7]孙牟昕.初中锐角三角函数教学研究[D].沈阳：沈阳师范大学，2017（5）.。
三角函数解题思路方法
三角函数解题思路方法三角函数解题思路方法1.转化思想转化思想贯穿于本章的始终.例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化;利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化.此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题.2.数形结合思想本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法.例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决.3.函数思想锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想.例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系.也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应;反之，对于sina在(01)之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应.4.方程思想在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素.1.化简三角函数方法：利用反复利用倍角半角公式，利用同角三角函数的关系。
2.求最值或单调区间。
方法：将X的`取值化为相应的值。
即将X的范围化为Ax+B的范围。
再作正弦函数标准图，横轴为Ax+B，在图上找最值或单调区间。
3.若要求三角形面积一般用S=0.5ab*sinC若要求角度一般用余弦定理高考最常考的就是把三角函数与必修5的解三角形结合起来，要求你要掌握:降幂公式(sinxcosx=1/2sin2x;(cosx)的平方=(1+cos2x)/2;(sinx)的平方=(1-cos2x)/2);辅助角公式(asinx+bcosx=根号下(a的平方+b的平方)乘sin(x+y))通过应用这两个公式就可以把函数类型转换成y=Asin(wx+y)的形式，那有关此三角函数的一切性质(最值、周期、单调、对称中心、对称轴、奇偶性、平移)就可以迎刃而解了。
从三角函数领悟数学解题思路与方法
从三角函数领悟数学解题思路与方法作者：王文杰来源：《新教育时代·教师版》2016年第33期摘要：三角函数是高中数学中的重要内容，是历年来高考的一个热门考点，它内容丰富，题型多样，其中又蕴含着多种数学思想方法，值得我们总结和深思。
本文就三角函数中蕴含的多种数学解题思路及思想方法通过实际例题加以说明，希望能给同仁的教学以及学生的学习带来帮助和启发！关键词：数形结合分类讨论化归转化方程换元三角函数是基本初等函数之一，是高中数学的重要组成部分。
在新课改中对数学思想方法的考查要求十分明确，三角函数三大知识块中蕴含了丰富的数学思想方法，学习这些思想方法有助于提高数学思维能力和解题能力。
一、数形结合思想方法数形结合是数学研究中的重要思想方法和解题方法。
由数到形，以形助数可以使问题直观呈现，加深对知识的记忆与理解，更可以丰富表象，拓宽思路，快速找到解题思路，从而提高分析问题和解决问题的能力。
例1.已知函数的部分图象如图所示（1）求A、的值；（2）若方程上有两个不同的实根，试求的取值范围。
解：（1）由图像易知由此得此函数图象是由的图象沿x轴向左平移个单位长度得到的，故；（2）由（1）知函数解析式为，那么方程上有两个不同的实根等价于的图象有两个交点。
如图为函数由图可以看出有两个交点时，评析：本题是三角函数中数形结合的一个很好的例子，把函数的代数表达式与图象结合起来可以拓宽思路，让我们更直观更形象地解决问题。
二、整体思想整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有意识、有目的的整体处理来解决问题的方法。
中学数学中整体思想的应用广泛，主要分以下三个步骤完成：（1）从整体出发，高瞻远瞩统筹局部；（2）通过对局部的研究，酝酿总体解决方案；（3）回到整体，实现解决整个问题的总目标。
评析：给值求值问题，即给出某些角的三角函数值，求另外一些三角函数值，解题的关键在于从整体思想出发进行“变角”，如，等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围讨论。
三角函数中的数学思想方法
题 意 。 当ａ Ｏ ＜ 时
再 根 据 正 弦 、 弦 函数 的 有 界 性 求 得 。 余
Ｎ 已 函 ｆ 一 （ 詈＋＋ｘｑ莩］ 问是 否 存 ３ 知 数ｘ２．ｘ ） ｂ ［， ， （ ａｎ＋ ２ ， ｑ ） ｓ２ ａ ∈－ ＝
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通 常 将 函数 式 变 形 ， 后 转 化 为 一 个 角 的正 弦 或余 弦 函数 形 式 ， 然
在 三 角 函数 问题 中 ， 常 引 入 变 量 问题 转 化 成 对 新 变 量 通 把
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的讨 论 。这 样 通 过 转 化 原 问题 的结 构 ， 以 简 化 解题 过程 。 可 例 ２求 函 数ｖ — ｌ Ｉ 的最 大 值 与最 小 值 。 ： ｘｃ！ ！
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三角 函数 中的数 学思想 方法
何大 明
摘 要 ： 角 函数 是 中 学数 学 的 重要 内容 之 一 ， 三 函数 单 调 性 又是 函数 性 质 的 重 中之 重 ， 由于 中 学初 等 数 学 以 及 学 生 认 知 水 平 的 Ｎ 但 －
解三角形中的数学思想
解三角形中的数学思想数学是一门既理论又实践的学科，涉及到各个领域的思考和应用。
其中，解三角形是数学中的一个重要问题。
通过解三角形，我们可以深入了解数学思想的运用和推理能力的培养。
本文将围绕解三角形展开讨论，介绍其中的数学思想。
一、三角形的基本定义和性质解三角形之前，我们首先需要了解三角形的基本定义和性质。
三角形是由三条边和三个夹角构成的图形。
根据边长和角度的关系，三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
基于角度的关系，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
这些基本的定义和性质将为解三角形问题的解答提供基础。
二、角度的计算解三角形的过程中，角度的计算是非常重要的一步。
通过已知的边长和已知的角度，我们可以利用三角函数（正弦、余弦和正切）来计算其他未知角度的数值。
例如，已知一个角的正弦值和另一个角的角度，我们可以利用反正弦函数来计算另一个角的数值。
通过角度的计算，我们可以更好地理解三角形的形状和属性。
三、边长的计算解三角形的另一个重要方面是边长的计算。
在一些实际问题中，我们只知道一些角度和对应的边长，需要通过推理和计算来确定未知边长的数值。
这时，我们可以运用三角函数的关系式，如正弦定理和余弦定理，来进行边长的计算。
正弦定理表示三角形中任意一边的长度与其对应角度的正弦值成比例。
余弦定理表示三角形中任意一边的平方与其他两边的平方之差成比例。
通过边长的计算，我们能够真实地还原出三角形的形状和大小。
四、解实际问题解三角形不仅局限于理论的推导和计算，还包括解决实际问题的能力。
在现实生活中，我们可以运用解三角形的思想来解决各种问题。
例如，通过测量建筑物的高度和角度，我们可以计算出斜塔的高度。
通过测量船舶在两个位置的角度和距离，我们可以计算出船舶的速度。
通过解实际问题，我们不仅可以更好地理解数学思想的应用，还能够培养解决问题的能力。
五、推理和证明解三角形的过程中，推理和证明是非常重要的一环。
通过运用几何学知识和数学原理，我们可以通过已知条件推导和证明出未知关系。
数学思想与三角问题
、
换 元思 想
解 数学 题 时 ，把 某个 式 子看 成 一个 整 体 ，用 一个 变 量 去代 替 它 ，从 而使 问题得 到 简化 ，这 叫换 元法 。对 于一 些数 学 关 系式 ， 由于表 现 出来 的特 点 不清 晰 ，不 好 寻 求其 解 决 问题 的途 径 ，我 们 可 以根 据 已知 条件 的一 些结 构特 点，进 行 恰 当 的换 元 ，使 之转 化 为有 “ 规律 ” 的结构 ，从而 使 问题得 到解 决 。 【 】 已知 Ｘ ＋ ｙ ＝４，求 Ｍ ＝ ＋ ｊ ＋４ ＋ 例 ４ ２。 ＋２ ， 的最
．
．
Ｍ ＝ ＋ ｓｑ ｏ ＋ （ｎ ＋ｏｑ ， ４ ４ｉ ｓ ２ｓ ｑ ｃ ） ｎｃ ｑ ｉ ｓ
当ｆ 时 ， ： 的最 大值 为 ６ ２ 。 ＋√
令 ｎ ｃ ＝ ｉ ＋ ２ ｉ＋ｓ ｓｑ导 ） ｑ０ ｑ ｎ （
’
．
．
＋
一 如
解 得 一 — 一 ，Ｙ … — — 。 『＿ 【 法小 结 】通 过 适 当的 转化 ，利用 数 形 结合 思想 ，是 解 决 方 三 角 函数最 值 问题 的有 效方 法 。
教 育科 学
２ １ 第期 ＃ ７ ０ － １学科教 育 数学思想与三角 问题
王安 （ 青海省格 尔木市第十三中学 ８６０ ） １００
数学 思 想是 人 们对 数 学科 学 的本 质 及 规律 的 深刻 认 识 ，一 般
包 括 换 元思 想 、分 类 讨论 思 维 、数 形 结合 思想 、化 归思 想 、 函数 与方 程 思想 。在 一 些 三 角函 数 问题 中 ，如 果 能够 恰 当地 运用 这 些
当ａ是第 三象 限角 时 ， ： ， 一
三角形中的数学思想与方法论
三角形中的数学思想与方法论三角形是数学中的一个基本概念，它包含了许多重要的数学思想和方法论。
在本文中，我们将从几何、代数和数论的角度来探讨三角形中的数学思想和方法论。
在几何学中，三角形是最简单的多边形之一。
它由三条线段组成，其中每两条线段之间都有一个顶点。
三角形的性质和特征是几何学中的基础知识之一。
例如，根据三角形的边长和角度，我们可以计算其面积和周长。
我们可以根据三条边的关系来分类三角形，如等边三角形、等腰三角形和直角三角形。
此外，根据三角形的角度，我们还可以将其分类为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
几何学中的三角形也涉及到直线、平行和相似的概念。
我们可以使用三角形的相似性来解决各种问题，如测量无法直接测量的距离。
此外，三角形的垂足、外心和内心等特殊点也在几何学中被广泛研究和应用。
在代数学中，三角函数是研究三角形的重要工具。
三角函数是基于三角形中不同角度的比例关系定义的。
著名的三角函数包括正弦、余弦和正切。
三角函数在解决各类问题中具有广泛的应用，如测量高度、角速度和振动等。
此外，三角函数也与周期性和波动性相关联，因此在物理学和工程学中也有重要的应用。
数论中的三角形与整数和分数的关系密切相关。
勾股定理是数论和三角形之间的一种重要联系。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股三元组是满足这一关系的整数解。
勾股三元组在数论中被广泛研究，并与诸如素数和模运算等重要的数学概念相关联。
除了以上提到的数学思想，三角形还涉及到证明、构造、推理和模式识别等一系列方法论。
证明是数学中重要的思维方法之一，通过证明可以确保数学结果的正确性。
在三角形中，我们可以运用证明来证明一些性质和定理，如三角形中的角平分线定理和三条中线共点定理等。
构造是另一种重要的数学方法，可以用来解决问题和生成几何图形。
在三角形中，我们可以通过构造来找到一些特殊点，如三角形的外心、内心和重心等。
推理和模式识别是解决复杂问题的关键方法之一。
三角函数的题型及解题方法
三角函数的题型及解题方法
1．转化思想
转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．
2．数形融合思想
本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的`思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．
3．函数思想
锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．
4．方程思想
在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．。
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三角函数中的数学思想
山东 侯怀有 苗伟
一、方程思想
例1 如图1，为了知道空中一静止的广告气球A的高度，小宇在B处测得气球A的仰角为
18°，他向前走了20m到达C处后，再次测得气球A的仰角为45°.已知小宇的眼睛距地面
1.6m，求此时气球A距地面的高度（参考数据：sin18°≈0.309,cos18°≈0.951, tan18°≈0.325；
结果精确到0.1m）．
图1
解析：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，交FG于点E．
∵∠AGE=45°，∴AE=GE.
设AE=xm，则GE=xm，tan∠AFE=AEEF，即tan18°=20xx，解得x≈9.63．
易得ED=FB=1.6．∴AD=AE+ED≈9.63+1.6=11.23≈11.2（m）．
即此时气球A距地面的高度约为11.2m．
点评：方程思想是解直角三角形最常用的思想方法之一，其应用的关键是找出等量关系，列
出方程.
二、分类讨论思想
例2 在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，求BC的长.
分析：本题没有给出图形，∠C可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．
解：当∠C为锐角时，如图2-①，过点A作AD⊥BC于点D .
Rt△ABD中，AB=8，∠ABD=30°，则AD=4，BD=43；
在Rt△ACD中，AC=5，AD=4，由勾股定理，得CD=22ACAD=3．
∴BC=BD+CD=43+3.
当∠C为钝角时，如图2-②，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D .
同理（1）可求得CD=3，BD=43，则BC=BD-CD=43-3．
综上，BC的长为43+3或43-3．
图2
点评：在没有给出图形的问题中，往往需要分类讨论，注意考虑全面，不要漏解.